数学归纳法在平面机构自由度公式中的应用

2022-09-11

在进行一个已有机构的运动分析和受力分析时, 必须先通过机构的结构分析才能进行。而机构的结构分析中, 判定其输出件是否具有确定运动和所需原动件的数量的关键因素是平面机构自由度的正确计算。如果机构的自由度计算不正确, 那就无法进行后续机构的结构分析、运动分析和受力分析。所以平面机构的自由度计算无论在相关课程教学过程中还是在实际机构的设计和分析中都占有很重要的地位, 它是机构设计任务中必不可少的步骤。但是, 在大多数的教材中, 关于机构自由度的计算内容, 往往是在说明了有关平面运动副、运动副元素、约束、运动链及自由度等概念之后, 就直接推导出平面机构自由度的计算公式[1]6-11:

其中, n——机构的活动构件数;

PL——低副数;

PH——高副数。

此种推导方式过于简练, 缺乏逻辑上的条理性和易读性, 并不能给读者留下深刻印象。本文尝试使用数学归纳法对平面机构自由度的计算公式进行推导。

一、公式推导

自由度是构件相对于参考坐标系的独立运动的数目, 其数目用F表示[1]。根据自由度的定义, 我们可以得出自由度的计算通式:

其中, B——单个无约束构件的独立运动数;

K——构件数;

P——所有约束数。

(一) 平面空间中K=1时自由度的判定

如图1所示, 对于一个在平面上没有受到任何约束而自由运动的构件, 其相对于直角坐标系具有的独立运动有:

(1) 沿x轴方向直线往复独立移动;

(2) 沿y轴方向直线往复独立移动;

(3) 绕垂直xoy平面的任意轴线A的独立转动。

此时, B=3, P=0, 根据公式 (1) 计算自由度:

(二) 平面空间中K=2个构件自由度的判定

平面空间中2个构件的自由度取决于2个构件间是否通过一定的约束相连接以及约束的类型。总体上有以下3种情况:

(1) 2个构件之间无约束连接

根据公式 (1) 计算, B=3, P=0, 自由度:

(2) 2个构件之间完全约束

此时, B=3, P=6, 根据公式 (1) 计算自由度:

(3) 2个构件之间有运动副相连接

假定构件1被完全约束做机架, 其3个自由度完全失去, 即P1=3, 研究构件2相对于构件1的独立运动数。

(1) 运动副为低副

如图2-a所示, 当2个构件用转动副连接时, 构件2相对于构件1只能绕O点做定轴转动, 而不能沿x轴和y轴做直线往复运动, 此时, 构件2受转动副约束失去2个自由度, 即一个转动副添加约束数P2=2。

此时, B=3, P=P1+P2, 根据公式 (1) 计算自由度:

如图2-b所示, 当2个构件用移动副连接时, 构件2相对于构件1只能沿x轴做直线往复运动, 而不能沿y轴做直线往复运动和绕O点做定轴转动, 此时, 构件2受移动副约束失去2个自由度, 即一个移动副添加约束数P2=2。

此时, B=3, P=P1+P2, 根据公式 (1) 计算自由度:

综上所述, 有如下结论:

平面机构中一个低副引入两个约束, 仅保留一个自由度。

故, 用低副连接的2个构件所组成的机构自由度有如下通式:

(2) 运动副为高副

如图3-a所示, 当2个构件以凸轮高副连接时, 构件2推杆相对于构件1凸轮既可以沿接触处切线做直线运动, 又可以沿接触处做摆动, 而不能沿接触处法线做直线运动。此时, 构件2失去1个自由度, 即一个凸轮高副添加约束数P3=1。

此时, B=3, P=P1+P3, 根据公式 (1) 计算自由度:

如图3-b所示, 当2个构件以齿轮高副连接时, 构件2相对于构件1既可以沿接触处切线做直线运动, 又可以沿接触处做摆动, 而不能接触处法线做直线运动, 此时, 构件2失去1个自由度, 即一个齿轮高副添加约束数P3=1。

此时, B=3, P=P1+P3, 根据公式 (1) 计算自由度:

综上所述, 得出如下结论:

平面机构中一个高副引入一个约束, 保留两个自由度。

故, 用高副连接的2个构件所组成的机构自由度

(三) 平面空间中K=3个构件自由度的判定

如1.2节所述, 假定构件1被完全约束做机架, 即P1=3, 判断构件2和1、构件3和1以及构件2和3之间的约束类型 (高副或低副) , 根据约束类型确定引入的约束数量 (P2或P3) , 计算每种约束类型的总数量 (PL和PH) , 然后代入公式 (1) 计算。

由此推导出公式:

其中, PH——高副数;

PL——低副数。

(四) 平面空间中K=4个……N个构件自由度的判定

如1.3节所述, B, P1, P2, P3均为常数, 构件数量K的增加会使PL和PH值发生变化, 并不影响公式模式的改变。故平面空间中4个……N个构件自由度的计算公式:

其中, K——构件数;

PH——高副数;

PL——低副数。

二、公式应用注意事项

公式 (2) 是公式 (1) 在平面机构自由度计算中的具体表达, 但公式 (2) 的运用需辨别以下几种特殊情况方能得到正确的计算结果。

(一) 复合铰链

复合铰链是指两个以上的构件在同一处组成的转动副相连接。若复合铰链由k个构件组成, 则连接处形成k-1个低副[1]12。

如图4所示机构中的复合铰链由3个构件组成, 故此处形成PL=3-1=2个低副。根据公式 (2) 计算机构自由度:

(二) 局部自由度如图5-a所示, 凸轮为主动件, 推杆为从动件。

PL=3, PH=1。根据公式 (2) 计算机构自由度:

该机构中, 凸轮和滚子各有一个自由度, 滚子的自由度是为减少磨损和摩擦而设计的从动件, 并且滚子与推杆间形成的自由度不会影响输入件和输出件的运动, 所以从机构的功能实现的角度上讲, 此处滚子与推杆间的自由度为多余的自由度, 即局部自由度。在进行机构自由度计算时, 可将二者视为一个构件。

1-机架2-推杆3-凸轮4-滚子

如图5-b所示, PL=2, PH=1, 机构自由度

(三) 公共约束

公共约束是指全部构件均受到的共同的约束, 即机构中所有构件都缺乏某种性质运动副的约束, 比如同时缺乏转动副或移动副的情况, 公共约束数以m表示。

1-机架2-楔块a 3-楔块b

如图6楔块机构为例, 该平面机构所有活动构件只能沿水平、竖直方向作直线运动, 转动运动均被约束, 各构件之间只用移动副约束, 不存在转动副约束。即, 公共约束数m=1。在这种情况下, 机构中所有独立构件都失去一个转动副, 其自由度变为2, 不再是3。存在公共约束的平面机构自由度公式应改写为:

如图6所示楔块机构, K=3, PL=3自由度

(四) 虚约束

当运动副带入的约束对机构的运动只起重复约束作用, 把这类约束称为隐形约束或虚约束。对于虚约束, 从机构的运动观点看是多余的, 但能增强机构的刚性, 改善其受力状况, 因而被广泛采用。计算时应将其排除, 不予计算。

机构中的虚约束通常有以下四种情况:

(1) 如果两构件在多处接触而构成转动副, 且转动轴线重合;或者在多处接触而构成移动副, 且移动方向彼此平行;或者两构件构成平面高副, 且各接触点处的公法线彼此重合, 则只有一个运动副 (一个转动副、一个移动副、一个平面高副) 起约束作用, 其余为虚约束[2]。

(2) 机构中, 如果用转动副连接的是两构件上运动轨迹重合的点, 则该连接将带入一个虚约束。

(3) 机构中拆除某一构件后不影响其原来联接点的运动轨迹时, 则此构件与其他构件形成的约束为虚约束。

(4) 机构中对机构运动传递无影响的重复部分所带入的约束为虚约束。

(五) 复合高副

如果两构件在多处相接触构成平面高副, 而在各接触点处的公法线方向彼此不重合, 就构成了复合高副, 此时相当于一个低副起约束作用。

综上所述, 计算平面机构自由度时必须首先分析、判断是否存在复合铰链, 局部自由度、公共约束、虚约束和复合高副, 加以正确处理后, 才能获得正确结果。

三、结束语

(1) 机构自由度的计算是一个古老而重要的问题, 实践中人们对机构的认识在不断提高, 对机构理论的研究也越来越深入, 各国学者提出多达三十多种形式的机构自由度计算公式。无论公式的形式如何变化, 理论如何更新, 机构自由度计算的基本思想都是统一的, 都是公式 (1) 所描述的用所有无约束构件的自由度减去所有约束数得到的。换句话说, 只要正确获得公式 (1) 中3个参数的数据, 机构自由度的计算结果便是正确的。在这三个参数中, 构件数和单个无约束构件的独立运动数容易准确获得, 机架和其余构件之间的运动副所引入的所有约束数是机构自由度计算的难点, 也是学者们研究的重点。

(2) 本文用数学归纳法的思想对平面机构自由度计算的契贝舍夫公式进行了推导, 并总结了平面机构中契贝舍夫公式不适用的几种情况。从全新的角度论述契贝舍夫公式的合理性和适用范围, 深化了对机构自由度计算公式的认识, 同时对机械创新设计、改良不合理机构, 有着重要的实用价值和指导意义。

【相关链接】

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法, 它主要用来研究与正整数有关的数学问题, 在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo (1575年) 。Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2, 由此揭开了数学归纳法之谜。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立, 这种方法是由下面两步组成:

递推的基础:证明当n=1时表达式成立。

递推的依据:证明如果当n=m时成立, 那么当n=m+1时同样成立。在于第一步证明起始值在表达式中是成立的, 然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了, 那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些, 如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定:

第一张骨牌将要倒下, 只要某一个骨牌倒了, 与之相邻的下一个骨牌也要倒, 那么你就可以推断所有的骨牌都将要倒。

这样就确定出一种递推关系, 只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下:

(1) 第一块骨牌倒下;

(2) 任意两块相邻骨牌, 只要前一块倒下, 后一块必定倒下。

这样, 无论有多少骨牌, 只要保证 (1) (2) 成立, 就会全都倒下。

第一数学归纳法

一般地, 证明一个与自然数n有关的命题P (n) , 有如下步骤:

(1) 证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1, 但也有特殊情况;

(2) 假设当n=k (k≥n0, k为自然数) 时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立。

综合 (1) (2) , 对一切自然数n (≥n0) , 命题P (n) 都成立。

折叠第二数学归纳法

对于某个与自然数有关的命题P (n) ,

(1) 验证n=n0时P (n) 成立;

(2) 假设n0≤n

综合 (1) (2) , 对一切自然数n (≥n0) , 命题P (n) 都成立。

折叠倒推归纳法

(1) 验证对于无穷多个自然数n命题P (n) 成立 (无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数, 如对于算术几何不等式的证明, 可以是2^k, k≥1) ;

(2) 假设P (k+1) (k≥n0) 成立, 并在此基础上, 推出P (k) 成立,

综合 (1) (2) , 对一切自然数n (≥n0) , 命题P (n) 都成立;

折叠螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P (n) , Q (n) ,

(1) 验证n=n0时P (n) 成立;

(2) 假设P (k) (k>n0) 成立, 能推出Q (k) 成立, 假设Q (k) 成立, 能推出P (k+1) 成立;

综合 (1) (2) , 对一切自然数n (≥n0) , P (n) , Q (n) 都成立。

数学归纳法的原理, 通常被规定作为自然数公理 (参见皮亚诺公理) 。但是在另一些公理的基础上, 它可以用一些逻辑方法证明。比如, 由下面的公理可以推出数学归纳法原理:

自然数集是良序的。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说, 两者是等价的。

(1) 确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

(2) 数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

(3) 证明数列前n项和与通项公式的成立。

(4) 证明和自然数有关的不等式。

由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式 (减法中有:减一个数等于加上它的相反数) 。多项式中每个单项式叫做多项式的项, 这些单项式中的最高次数, 就是这个多项式的次数。在数学中, 多项式 (polynomial) 是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算 (非负整数次方) 得到的表达式。

对于比较广义的定义, 1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义, 多项式就是整式。实际上, 还没有一个只对狭义多项式起作用, 对单项式不起作用的定理。0作为多项式时, 次数定义为负无穷大 (或0) 。单项式和多项式统称为整式。

多项式中不含字母的项叫做常数项。如:5X+6中的6就是常数项。

应用高斯引理可证, 如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积, 那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于Q[x]中多项式的不可约性的判断, 还有艾森斯坦判别法:对于整系数多项式, 如果有一个素数p能整除αn-1, αn-2, …, α1, α0, 但不能整除αn, 因而, 对任一自然数n, 都有n次不可约的有理系数多项式。

摘要：“平面机构的自由度及其计算公式”作为《机械设计基础》课程中第一个重要知识点, 在大多数的教材中, 通常是在说明了平面机构的几个基本概念之后, 就直接推导出平面机构自由度的契贝谢夫—克鲁伯公式, 读者对公式的理解并不是很透彻。本文尝试使用数学归纳法对平面机构自由度的计算公式进行推导, 使读者从数学逻辑推理角度理解公式的形成过程, 加深印象, 为后续章节的学习奠定扎实的基础。最后, 指出自由度计算公式的难点所在。

关键词：平面机构,自由度,约束类型,约束数