三角函数式求值论文

2022-04-18

三角函数式求值论文篇1：

三角函数式的化简求值问题探究

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一,因此,在高考复习中为学生总结解题的规律和途径,掌握技巧,优化解题效果,很有必要。在长期的教学实践中,笔者认为,为了更有效地解决三角函数式的化简求值问题,须做到“三看三凑”,即:“看角——凑同角;看三角函数名称——凑同名;看式子结构——凑公式”。下面谈几点体会,以求教于同仁。

一、看角——凑同角

三角函数式中常常有多个互异角或非特殊角,要看清角与角的关系和特殊性,化互异角为同角,化非特殊角为特殊角,以达到化简的目的。

例1、化简-2cos(A+B)。

分析:解答本题要注意对题中角间的关系进行分析,只要抓住题中2A+B=(A+B)+A这个关系后,再恰当地运用公式,问题便不难解决。

评注:本题中三角函数均为弦函数,所以变换的问题只涉及角。一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点。

例2、已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值。

解法一:∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<;

∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=,

cos(α+β)=-1-sin2(α+β)=-;

∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]

=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)

=×(-)+×(-)=-

解法二:∵sin(α-β)=,cos(α+β)=-;

∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=-

sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=-

∴sin2α=(--)=-。

评注:上例两种不同的解法有相同的思路,就是从角与角的关系入手进行凑角。

例3、设f(x)=6cos2x-3sin2x。(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小正周期;(Ⅱ)若锐角α满足f(α)=3-23,求tanα的值。

解:(Ⅰ)f(x)=6-3sin2x

=3cos2x-3sin2x+3

=23cos2x-sin2x)+3

=23cos(2x+)+3。

故f(x)的最大值为23+3;最小正周期T==π。

(Ⅱ)由f(α)=3-23得23cos(2α+)+3=3-23,故cos(2α+)=-1。

又由0<α<得<2α+<π+,故2α+=π,解得α=π。

从而tanα=tan=3。

评注:在三角化简、求值、证明中,表达式往往会出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中的差异,使问题获解。

二、看三角函数名称——凑同名

看到一个三角函数式中若名称多而杂时,往往需要把不同的名称化为同名才可使式子得以化简。

例4、已知tanα=-3,求4sin2α-3sinα·cosα的值。

分析:已知正切值,要求弦的值,当然得凑出正切值来。

解析:因为sin2α+cos2α=1,

所以4sin2α-3sinα·cosα

评注:本题通过“弦化切”将所求的三角式中的“弦函数”化为已知条件中的“切函数”,达到了统一函数名称的目的,这是一种值得重视的方法。

评注:本题通过“切化弦”将所求的三角式化为统一的函数名称。

三、看式子结构——凑公式

看清式子的结构特点,进行恰当的恒等变形和配凑公式是解题突破口,应熟练掌握三角公式的直接应用、逆用以及变形使用,以达到运用自如的效果。

例6、已知:-

(1)求sinx-cosx的值;

分析:(1)看到sinx+cosx与sinx-cosx,如能想到二倍角的正弦公式与同角三角函数平方关系式,就会得出解题的思路。

(2)看到角度和名称不同,想到凑同角和同名后,自然会凑出倍角公式的变形使用,从而使问题得解。

解:(1)sinx+cosx==>2sinxcosx=-1=-,

(sinx-cosx)2=1+=;

又:-sinx-cosx<0,

∴sinx-cosx=-。

=[2-(cosx+sinx)]sinxcosx

=×(-)=-

评注:本题通过看清式子的结构,恰当地运用公式及公式的变形使用,使问题得以轻松解决。

以上所谈,仅是本人在教学实践中的点滴体会。对三角函数式的化简求值问题的处理方法,还有很多地方值得我们在分析问题和解决问题的过程中去思考、去感悟、去反思、去总结。只要我们积极探索、善于总结,就会不断提高自己的解题能力、优化解题方法,从而收到事半功倍的效果。

作者：张超鹏

三角函数式求值论文篇2：

剖析重点与难点　突破三角与向量

从近两年高考来看，三角与向量方面一般是一道选择题或填空题，一道综合解答题．三角函数的小题重点考查解析式及性质、图象及图象变换、简单的三角变换及正余弦定理，向量的小题重点考查平面向量的概念、坐标形式的运算、向量垂直与共线的充要条件及数量积的运算．

一、三角函数式求值

重难点剖析化简三角函数式，关键在于灵活运用公式．化简变形过程中一定要关注角的统一性、函数名称的一致性，以及变形的严谨性．解决求值问题，特别是解决有条件的求值问题时，应认真分析已知条件（包括隐含条件）和结论之间的结构特征，把所求的三角函数式进行适当变形，使之与已知条件的形式一致，充分发挥条件的整体功能，为整体代换创造条件，或把条件式和所求的三角函数式都进行适当变形，以便逐步架设沟通两者的桥梁．

例1已知cosα

－+sinα=，则sinα

+的值是（）

A．－B．

C．－D．

简析因为cosα

－+sinα=cosα+sinα=，所以sinα

+=，而sinα

+= －sinα

+=－，故选C．

点评在处理条件求值问题时，首先要观察条件式和所求式中角的特征，再恰当地进行角的配凑，把题目中的角化成同一个角（注意整体的思想），为求出待求式的值创造条件. 三角函数的变形要遵循“统一角，统一名称”的原则，而且常常运用“降次”“切弦互化”等基本变形技巧．

二、三角函数的简单性质

重难点剖析三角函数的性质主要包括周期性、单调性、奇偶性、对称性和最值，在研究三角函数的性质时，首先要把三角函数解析式变形成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，换句话说，y=Asin（ωx+φ）+B是三角函数解析式变形的方向，然后根据公式求解，并注意结合三角函数的图象．

例2已知函数f（x）=（sinx－cosx）·sinx，x∈R，则f（x）的最小正周期是________．

简析f（x）=sin2x－sinxcosx=－=－sin

2x+·，此时可得函数的最小正周期T==π．

点评把函数变形成y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）后，可以分别由2kπ－≤ωx+φ≤2kπ+，2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+（k∈Z）得出y的递增区间、递减区间；由公式T=得到周期；由公式ωx+φ=kπ+得到对称轴．

三、图象及图象变换

重难点剖析由y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一段图象求函数的表达式时，首先要正确理解三角函数的概念，一般由图象可知周期T，再由T求出ω；要确定φ可以通过图象最高（低）点的坐标. 由y=sinx的图象通过变换可得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，变换的顺序通常有如下两种：

（1）y=sinx[相位变换]y=sin（x+φ）[周期变换]y=sin（ωx+φ）[振幅变换]y=Asin（ωx+φ）；

（2）y=sinx[周期变换]y=sin（ωx）[相位变换]y=sin（ωx+φ）[振幅变换]y=Asin（ωx+φ）.

值得指出的是，若对调相位变换与周期变换的顺序，则平移的单位一般是不同的．先相位变换后周期变换，应平移φ个单位；先周期变换后相位变换，应平移个单位．

例3把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）

简析y=sinx[向左平移个单位]y=sinx+

[横坐标缩短到原来的倍]y=sin

2x+，故选C．

点评一定要注意在对函数y=sin（ωx）平移变换时，需要将x前面的系数ω与x分离，即将y=sin（ωx）向右平移φ个单位所得解析式为y=sin（ω（x－φ））．

四、向量的概念及运算

重难点剖析平面向量的加法、减法、数乘和数量积及其运算律既是向量部分的基本运算，又是向量部分的核心内容．复习时应从几何、代数（坐标）两方面注意定义、性质、法则、定理，熟练地进行平面向量的四种基本运算，处理好有关长度、角度、平行（包括三点共线）及垂直的问题．

例4关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b=a·c，则b=c．

②若a=（1，k），b=（－2，6），a∥b，则k=－3．

③非零向量a和b满足

，则a与a+b的夹角为60°．

其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）

简析①a·b=a·c⇒a·（b－c）=0，向量a与b－c垂直；

②a∥b⇒b=λa⇒=⇒k=－3；

⇒a，b，a－b构成等边三角形，a与a+b的夹角应为30°，所以真命题只有②．

点评可以类比解析几何中的直线平行与垂直公式来记忆向量平行与垂直的坐标公式；两个向量的数量积是一个实数，不是向量，其符号由夹角所处范围决定，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角（0≤θ≤π），两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量的始点符合要求，在向量的数量积的运算中要注意：①a·b=0未必有a=0或b=0；②数量积不适合结合律，即（a·b）·c≠a·（b·c）；③a·b=a·c不一定能推出b=c．

五、利用向量知识解决平移问题

重难点剖析向量意义上的函数图象平移问题的本质是前后两个图象的每个对应点构成的向量相同，基本方法有待定系数法和向量的几何意义法（结合三角函数图象的平移等知识）．

例5将y=2cos

+的图象按向量a=

－，－2平移，则平移后所得图象的解析式为（）

简析解法1，由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P ′（x′，y′），P（x，y），a=

－，－2==（x－x′，y－y′）⇒x′=x+，y′=y+2，带入到已知解析式中即可得到答案，选A．

解法2，由a=

－，－2平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．

点评本题主要考查向量与三角函数图象平移的基本知识，以平移公式切入，易错点是将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背成先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选C. 所以了解向量意义下函数图象的本质是正确解决这类问题的关键．

六、综合性问题

重难点剖析三角和向量与函数、不等式、解析几何、平面向量（三角函数）交汇命题是近年高考考查三角和向量的一种趋势，重点考查三角和向量的基本知识、基本技能和基本方法. 解决向量与三角综合问题的关键是用向量运算的有关法则及公式等，把问题转化为三角函数问题．