幼儿学习数学分析论文

摘要：树状图是把分类单位摆在图上树枝顶部，根据分枝可以表示其相互关系，它可以既不重复又不遗漏地列举出所有符合条件的对象。本文针对树状图在数学分析教学中的几点应用进行讨论。今天小编给大家找来了《幼儿学习数学分析论文(精选3篇)》，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助！

幼儿学习数学分析论文 篇1：

关于幼儿STEM教育的几点思考

近年来，随着与STEM相关的能力在各个年龄阶段教育体系中日益受到关注，STEM教育也被探讨得越来越多。STEM是四个基础学科，包括科学、技术、工程以及数学的统称。但事实上，上述四个单项的基础学科的教育，并不能称为STEM教育。根据Johnson（2013）的定义，STEM教育指的是一种整合了科学探究、技术和工程设计、数学分析等主题与技能的跨学科教育方法。而在这一整合中，数学与科学通常作为教学的主体，而工程和技术则通常作为用以更好地实现科学和数学的教学内容的一种教学途径或方法（Johnson，2013）。

因此，虽然STEM的各个基本元素在传统教育中已经获得充分的体现，但是其跨学科以及整合的特性，在传统教育中仍然是需要继续探索的方向。有趣的是，学习内容的整合性是幼儿教育的一个重要特征。早期的数学、科学的学习活动通常会与幼儿的生活经验或特定生活场景相结合，鼓励幼儿通过探究来达成学习目的。越来越多的研究也显示，幼儿早期丰富的STEM学习经验有助于幼儿未来获得更好的学业成就（Geary et al.， 2013）。在这样的基本背景下，我们又该如何认识幼儿教育阶段的STEM教育呢？

一、早期STEM学习与幼儿教育

幼儿是天生的“科学家”，他们充满好奇心、对身边的环境满怀探究的渴望，这使得幼儿对于具有高度探究性的STEM活动有天然的兴趣。加上STEM活动通常与幼儿的生活经验相关，并以动手操作和探究为活动的组织形式，因此更加能吸引幼儿的兴趣并积极参与其中。同时，幼儿教育课程体系注重幼儿的生活经验，强调操作和體验，因此，幼儿教育中经典的科学与数学的学习活动，例如测量、磁力、沉浮、光影等，也是幼儿STEM教育中常见的学习主题。

注重学科之间整合性的学习经验是STEM教育的重要特征。研究指出，具体的、情境性的、整合性的经验有助于幼儿更好地学习，而学科之间的整合也更有助于加深幼儿对特定概念的理解、帮助幼儿解决学习问题，并更好地将相关概念应用于日常生活（McClure et al.， 2017）。幼儿教育课程的去学科化和强调学习的整合性，正好满足了STEM教育对于学科整合的要求。例如，在学习“物体的滚动”这一物理概念时，教师通常会请幼儿探索可以滚动的物体的形状，在不同斜坡或平面上滚动的速度，以及如何改变物体的滚动状态等。这些科学探究活动自然地将基本的工程设计理念融入其中，不仅能够帮助幼儿更好地理解这一科学概念，也使幼儿对材料的建构和工程的设计有所体验。然而，要实现STEM中各个学科元素在幼儿学习活动中恰当有效的整合，则需要幼儿教师对于这些基本的STEM学习概念有深入的理解，并能够有意识地设计和安排整合性的STEM学习活动。研究显示，缺乏整体设计和对于学习内容理解的整合并不能提升幼儿对于基本STEM概念的学习成效（Czerniak， Weber， Sandmann， & Ahern， 1999）。那么，幼儿STEM教育中如何体现教师的作用？

二、幼儿STEM教育中的教师

幼儿教师在幼儿早期的STEM学习经验中起着决定性作用。如果教师对于实施STEM教育充满信心和热情，且具备能够根据幼儿的发展特征设计适合的STEM教育活动的专业能力，这对提高幼儿学习STEM的热情与成效是非常重要的（McClure et al.， 2017）。但事实上，很多教师未能做好心理和专业上的准备，因此在实践中未能设计适宜的STEM活动以符合幼儿的特定发展特点与需要。我们可以通过以下几个方面加强幼儿教师在STEM教育方面的准备。

首先，幼儿教师未必有足够的学科知识储备去设计合理有效的STEM相关的活动，进一步做到四个基础学科之间的有效统整就更加困难。因此，大部分幼儿教师在开展STEM相关的活动时，都缺乏应有的专业自信，对于教授数学、科学等内容的焦虑也普遍存在（Cuban， 2013; Lee & Ginsburg， 2007）。研究显示，教师对于数学教育本身的理解和信念能够有效地预测学前儿童的数学成就（Seker&Alisinanoglu， 2015），当教师对于学科持有负面态度时，这种态度则很有可能会传递给学生。可见，提升幼儿教师的STEM专业学科知识，并帮助他们树立对STEM教育的积极认知至关重要。

除了帮助幼儿教师获得相关的学科知识和专业自信，专门的幼儿STEM教育培训也必不可少。教师首先需要熟悉幼儿在STEM教育的主要学习内容及其年龄适宜性。例如，设计光影活动时，如果能够清楚了解该主题涉及的科学、数学概念以及可用的工程和技术设计思路和相关材料或产品，并对不同年龄段幼儿掌握这些概念的层次有合理的期望，那么教师在活动中实现有效的跨学科整合的可能性也将大大提升。在STEM活动中，幼儿能否进行有效的探究、交流并解决问题是衡量教学的重要指标，而促进幼儿的探究、交流，设计合理的问题解决方式，则需要专门的学习、指导、实践和反思，单纯具备特定的学科知识也并不足够。因此，幼儿教师还要接受如何有效实施STEM教育的专业培训。

最后，帮助幼儿教师了解当前STEM教育中存在的问题，对于改善他们的教学理念与方法也有积极的作用。例如，在幼儿园的课堂中，STEM活动的时间有限，以教师为中心的现象普遍，教师和家长通常更多地关注学习的成果而非过程，社会对于STEM教育存在各种误解等，都是当前幼儿园STEM教育中普遍存在的问题。如果教师能够对于这些问题有清晰的认识和足够的敏感度，则有助于提高设计与实施STEM教育活动的合理性和有效性。

三、幼儿STEM教育中的家长

支持幼儿STEM学习的另一重要方面则是家庭。我们知道，家长在幼儿学习中的参与程度对于幼儿的学业成就有显著的正相关（Van Voorhis， 2013），类似的研究在数学和语文学习领域尤为集中。举例来说，如果家长在日常生活中，能够更多地与孩子玩一些与数学相关的游戏，例如棋类游戏、买卖游戏，那么这些孩子的数学成绩更有可能展现出优势（Huang et al.， 2017）。

尽管如此，就家长日常参与幼儿STEM活动的情况来看，他们对幼儿STEM学习相关的知识、观念和态度等范畴仍然存在很大的局限性。很多家长认为STEM活动更适合年龄较大的孩子，需要专门的设备和材料，或通过复杂的演算才能进行。也有相当多的家长更关注目标学科技能或概念的掌握，例如期望孩子在学前阶段能够进行加减运算、讲述基本的科学原理或名称，从而为顺利升学打下基础。因此，他们更倾向于让孩子参加教学活动来学习STEM相关的知识和技能，而往往忽略了在日常生活中引导幼儿自然地探索STEM相关知识的机会（Mirtschewa，2020）。事实上，日常的用餐、清洁、运动等生活环节中都蕴含着丰富的STEM教育的内容和契机，家长需要获得足够的支持和帮助，才能发现这些契机，从而引导和鼓励孩子积极参与和探究。也有家长认为，STEM活动更适合男孩，且男孩相对于女孩在STEM领域有更强的学习能力（GundersoN， Ramirez， Levine， &Beilock， 2012）。这种性别偏见使得家长不自覺地更多关注男孩在STEM领域的学习，并为男孩提供更多的机会（Crowley， Callanan， Tenenbaum， & Allen， 2001），购买更多的STEM类玩具（Jacob &Bleeker， 2004）。这种性别倾向性也会通过家长的养育行为传递给孩子，进而影响孩子的STEM学习态度与成效。

与幼儿教师相似，很多家长对自身支持幼儿的STEM学习的能力也缺乏信心。美国国家家长教师联合会的一项调查发现，虽然家长都认同自己在激发孩子的科学学习的兴趣中承担着重要作用，但是有大约三分之一的家长认为自身未有足够的能力支持孩子的科学学习（National Parent Teacher Association， 2016），而只有18%的家长表示近期曾经与幼儿在家庭中进行了亲子科学活动（Jacob &Bleeker， 2004）。由此可见，帮助家长更好地发挥促进幼儿STEM学习的作用，仍有很长的路要走。他们需要切实的帮助和支持，从而更好地理解学习的内容和特点，并增强其促进幼儿STEM学习的能力和信心。

四、幼儿STEM教育的社会支持

中国向来重视学生的学业成就，尤其强调数理化学科学习的重要性。虽然当前教育越来越关注学生的全面发展，但是对传统学科的重视却从未削弱。这种对于重点学科学习成果的强调也体现在大众对幼儿早期学习的期望中。然而，STEM教育与学习并不仅仅关注单科学习的优异。相比学业成绩，STEM教育更关注学习过程中学生的探究能力、学习兴趣和问题解决能力的培养。而这些在以往的学习观里并未得到足够的重视，与之对应的重视探究过程的教学理念，相比传统的知识传授型教育方法，对于家长和教师来说也显得陌生。这可能也是相当一部分教师和家长面对相对开放的STEM探究情境和学习内容感觉焦虑和无从下手的原因之一。

近年来，越来越多的教育基础研究揭示了早期STEM教育和干预的重要性和可行性（McClure et al.， 2017）。但科学研究的话语通常抽象和生涩，对于非专业的读者往往缺乏吸引力。因此，如何将科学研究的发现和建议用大众能够接受和理解的方式传递给社会，进而逐渐帮助大众接受STEM教育和学习的特点，并提升大众对于STEM学习过程中的学习兴趣、探究精神、问题解决能力的认可，则至关重要。举例来说，科学研究反复证实儿童是天生的“科学家”，对于STEM相关学科天生具有敏感性。但是大众的常识则认为可能只有某些孩子具备学习STEM的天赋，可以给予更多的培养和支持;对于其他的孩子，STEM的学习则过于复杂和抽象。在两者当中，如果能够有适当的媒介，将抽象的科学研究发现用具体的情境化的方式表达出来，让大众能够实际参与观察与认知幼儿日常科学探究活动，则有助于大众接受和理解基于日常生活经验的幼儿STEM教育和学习的特点以及对于幼儿学习的重要性，从而更好地发挥幼儿STEM教育的功能。

作者：孙瑾

幼儿学习数学分析论文 篇2：

树状图在数学分析教学中的应用

摘 要：树状图是把分类单位摆在图上树枝顶部，根据分枝可以表示其相互关系，它可以既不重复又不遗漏地列举出所有符合条件的对象。本文针对树状图在数学分析教学中的几点应用进行讨论。

关键词：树状图;复合函数;二元复合函数;隐函数;隐函数组;全微分;求导

数学分析课程中涵盖了大量的基础性概念知识，这会使学生在学习的过程中感到抽象与枯燥，从而导致学生的学习兴趣下降，最终影响对学生数学实际应用技能的培养。在教学过程中积极探索该课程的实践性已成为近年来教学改革的热点，目的在于激发学生学习数学分析的兴趣，提高课堂教学效果。本文主要针对树状图在数学分析教学中的应用进行讨论。

树状图是不包含回路的连通图，也叫树枝状图。树状图本身由结和连接结的枝组成。在日常事物关系中，树状图的应用情况是很多的。比如，封建时代的家谱或者族谱是用树状图来代表的;河流的支流和分支也可用树状图来表示;在学习概率问题时经常需要画树状图，在概率统计这门课程中，树状图起到了一种“模型”的作用，它可以清晰地看出元素的排列顺序及层次，进而准确地计算出排列种数，使之不重复，不丢项;同样的，树状图在数学分析教学中也有比较重要的应用，在进行多元复合函数求偏导数，多元复合函数求高阶偏导数，多元函数求全微分，隐函数和隐函数组求偏导数等运算时，树状图就发挥了可以不重复又不遗漏的特点，给我们解决问题提供了极大的便利。下面，从这四个方面分别阐述一下树状图在数学分析教学过程中的应用。

一、用树状图在二元复合函数求一阶偏导以及求全微分中的应用

多元函数的复合函数求偏导数运算与一元函数的求导运算比较起来，因为变量个数增加，同时变量间也满足一定的函数关系，所以处理起来一般比较复杂，它在数学分析的学习过程中既是重点，同时也是难点。我们必须特别注意正确区分复合函数中哪些是自变量，哪些是中间变量，只有这样才能正确使用链式法则求出结果;其次，为了便于记忆链式法则，可以按照各变量间的复合关系，画出树状图，并在每一条分支上标出上一个变量关于下一个变量的求导关系，最后再按照同一路径的不同分支之间用乘法运算符号连接，不同路径之间用加法运算符号连接的运算法则进行运算，就能得出最终的运算结果。

下面通过二元复合函数的例子看怎么利用树状图解决此类问题。

例1：设 z=（x+y）^xy，求dz 。

解：本题是计算二元复合函数全微分的，那么我们首先要弄清楚求全微分和求偏导数之间的关系，进而再解决问题。

关于二元复合函数如何求全微分，我们已经学习了如下定理：

若二元函数z在其定义域D内每一点（ ）都可微，则z在每一点关于每个自变量的偏导数都存在，且z在D上全微分为dz（x，y）=z_x（x，y）dx+z_y（x，y）dy

观察求解全微分的公式，可以看出要想计算dz，首先要先计算出zx和zy，也就是说求全微分的本质就是计算二元复合函数关于其所有自变量的一阶偏导数。那么在计算之前要先判断变量与变量之间的关系，哪些是中间变量，哪些是最终自变量。

为了更容易理解，在这里的处理方法有一定技巧，可以先令，则z=uv，从这里可以看出来引入的u和v是中间变量，而x和y是最终自变量，接着就可以用画出树状图1表示求导关系。首先，从因变量z向中间变量u，v画出两个分枝，然后再分别从中间变量u，v向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数，求zx时，只要把从z到x的每条路径上的各个偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得，同理可以求出 。下面列出算式：

根据树状图1，结合运算法则，得到则

注：在处理这种题型时，我们也可以利用多元函数的一阶全微分形式不变性的知识点来求全微分，利用微分形式的不变性，可以有条理地计算复杂函数的全微分。但是本文着重点在于介绍树状图的方法，利用不变性的这种方法就不再赘述了。

二、用树状图在二元复合函数求二阶偏导中的应用

众所周知，多元复合函数求高阶偏导数时往往会出现各种各样的问题：比如不能正确使用公式，少项、多项等，特别是函数关系是抽象的函数时，因为函数具体表达式不清楚，学生在学习和解决这部分题目时往往无从下手，所以更容易出现错误。分析其错误时，不难发现主要在对一阶偏导再求导这一步上，没有弄清楚一阶偏导函数仍然是以原来的中间变量为中间变量，原来的自变量为自变量的函数，因而不能很好利用复合函数求导公式，如果利用树状图就可以避免出现这类错误。因为树状图可以清晰地表示出每上一个变量与下一个变量的关系，从而做到不漏项、不多项，所以在解决计算多元复合函数高阶偏导数的问题时，可以优先考虑画出树状图，进行计算，会使问题简化很多。

下面通过例题来说明。

例2. 设

解：通过观察题意可知，这里z是以x，y为自变量的复合函数，而且这里函数f的形式是抽象函数而不是具体函数，要想解决此类问题，可以把函数表达式改写成如下形式： 然后再进行计算，可以先计算，其中引入的变量u，v为中间变量，变量x，y为最终自变量。接下来可以首先从因变量z向中间变量u，v画出两个分枝，然后再从中间变量u向自变量x画出分枝，同时从中间变量v向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数，求 时，只要把从z到x的每条路径上的各个偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得，同理可以求出 。下面列出算式：

借助于树状图4表示求导关系：

所以有

注意：这里，仍然是以u，v為中间变量的复合函数，所以接下来可以首先从因变量向中间变量u，v画出两个分枝，然后再从中间变量u向自变量x画出分枝，同时从中间变量v向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数。另外从因变量向中间变量u，v画出两个分枝，然后再从中间变量u向自变量x画出分枝，同时从中间变量v向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数，最后利用用树状图3和树状图4，求。

首先有

其中可由树状图3求得：

所以得到

同理也可以求  。

注意：用树状图进行多元复合函数求导时，不要求解释具体的关系，只是借用树状图的结构，将多元复合函数的求导形象化，避免多项，漏项。

三、用树状图在隐函数和隐函数组求导中的应用

在一般情况下，我们在用隐函数的知识解决问题时，主要考虑隐函数的连续性和可微性，而不管它是否能用显式表示。同样，对于隐函数组，我们在进行求导时，更重要的先明确哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，然后再进行有关的运算和讨论。这些特点，都为能采用树状图去解决隐函数和隐函数组求导问题提供了便利。

另外，对于隐函数或者隐函数组的函数表达式是具体函数时，一般不采用树状图，而是直接利用公式或者直接对式子本身去求导即可，而对于隐函数和隐函数组的具体函数表达式不具体时，树状图的应用就凸显了优势，当然在这里更重要的是要找到变量与变量间的关系，画出树状图。下面主要通过隐函数组的例子来具体说明一下：

例3. 设函数f（x，y），g（x，y）具有连续偏导数，而u=u（x，y）v=v（x，y）是由方程组确定的隐函数组，试求和。

解：分析题意，我们可以直接利用公式求出和，另外从题目中的方程组可以看出，给出的的两个方程都不是具体的函数表达式，那么在这里就可以尝试用树状图来解决问题。

首先，构造出F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v），这个由题目中的两个方程很容易实现，

设

则对此方程组中的F（x，y，u，v）=u-f （ux，v+y）=0，令ω=ux，h=v+y，另外对此方程组中的G（x，y，u，v）=g （u-x，v2y）=0，令m=u-x，n=v2y，由此可看出ω，h，m，n，u，v都是中间变量，而x，y是最终自变量。

我们可以从变量f向中间变量ω，h画出两个分枝，然后再从变量ω向变量u，x画出两个分枝，变量h向v，y画出两个分枝，最后分别从变量u，v分别向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数。另外从变量g向中间变量m，n画出两个分枝，然后再从变量m向变量u，x画出两个分枝，变量n向v，y画出两个分枝，最后分别从变量u，v分别向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数。就得到了树状图如下：

对F（x，y，u，v）=u-f （ux，v+y）=0和 G（x，y，u，v）=g （u-x，v2y）=0方程两端分别关于x求偏导，直接根据树状图5和树状图6，可得到

解此方程组，可得

同样的方法，我们也可以计算出和。

注：树状图在数学分析教学中引用，具有清晰，直观，形象，各变量不易重复与遗漏等优点，特别是函数结构复杂和函数关系抽象的函数，引用树状图求二元复合函数一阶偏导，高阶偏导，全微分，隐函数和隐函数组求导时可避免很多困难 。

总之，用树状图去解决数学分析中关于多元复合函数的求导问题，不仅可以使问题变得形象化，使枯燥的数学理论变得生动有趣起来;而且在课堂教学中可以激发学生的学习兴趣，充分调动了学生的学习积极性，使学生在课堂中能积极地思考问题，同时展开热烈的讨论，进而极大地提高学生的学习效率。今后在进行数学分析的课堂教学实践中，要学会把理论问题形象化，图像化，实现教与学的和谐统一。

课题项目：湛江幼儿师范专科学校教育教学改革研究与实践项目（2019ZYCQ18）.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系等.数学分析 第四版[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]刘玉琏等.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1991.

[3]张颖华.树形图在数学教学中的应用[J].遼宁工学院学报，1998，（3）.

[4]James Stewart.微积分[M].北京：高等教育的出版社，2014.

[5]Adrian Banner.普林斯顿微积分读本[M].北京：人民邮电出版社，2016.

作者：苏丹

幼儿学习数学分析论文 篇3：

了解数学史走进微积分

摘 要：教学“导数及其应用”，不妨先用一课时让学生了解有关微积分的数学史。其目的是让学生初步认识微积分在数学思想史和科学思想史上的价值，以激发学习微积分的兴趣与动力。为此，要讲：什么是微积分；微积分研究的历史；为什么要学习微积分；教师本人学习微积分的经历和体会。教学效果非常好，使教师和学生树立起教好、学好微积分的信心。

关键词：微积分；数学史；学习

课堂实录

1.什么是微积分

师：同学们，听说过微积分吗？

生：听说过。

师：从哪里听说过？

生：在网上看到的。

生：从别人那里听说的，听说还很难学。

师：那人也是学生吗？

生：是正在参加自考的学生。

师：其实，微积分并不难学，而且是比较容易学的。我们现在要学习的新的一章“导数及其应用”是微积分的一个很小很小的部分。

在这里，我们有必要先了解一下什么是微积分。

微积分是研究函数微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。通俗的说，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。微分和积分既对立又统一，互为逆运算。

2.关于微积分的历史

师：微积分堪称人类智慧最伟大的结晶之一。从17世纪开始，随着社会生产力的发展，以及航海、天文、矿山建设等许多问题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，使微积分不断完善成为一门学科。

历史上，微积分是由两位科学家，牛顿和莱布尼茨几乎同时发现的。

大家应该知道牛顿吧！知道多少？

生：知道，我们在物理学习中就有牛顿定律，还有万有引力定律，但不知道牛顿在数学中还有贡献。

师：在17世纪60年代的短短几年里，牛顿成功地将他的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料进行统一并推广，成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。

关于莱布尼茨，同学们听说过吗？

生（多数）：没有听说过。

生（个别）：只是在网上看到过一些。

师：莱布尼茨是德国科学家，他在数学、逻辑学、文学、史学和法学等方面都很有建树。

莱布尼茨的研究成果遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。由于他创建了微积分，并精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。

这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法，认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示微分学与积分学之间的本质联系；他们都各自建立了微积分学基本定理，他们给出微积分的概念、法则、公式和符号理论，为以后微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。总之，他们创立了作为一门独立学科的微积分学。

3.为什么要学习微积分

师：同学们，通过上面关于微积分的介绍，你知道我们为什么要学习微积分吗？哪些方面需要微积分，能归纳一下吗？

生：理论科学的发展需要微积分。

师：还有呢？

生：科学技术的发展需要微积分。

师：还有呢？

生：广大技术员工需要微积分。

师：那你们呢？

生：不知道。

师：实际上，你们自身的发展也需要微积分。那我们就分别细说一下吧！

对于理论科学的发展需要微积分，恩格斯曾经说过：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了”。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与提升了数学的作用。

对于科学技术的发展需要微积分，可以说，有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、信息技术、生物工程、现代交通、神州飞船、航母建设等都离不开微积分。

对于广大技术员工需要微积分，是因为运用微积分的领域比较广泛。比如经济数学：用最小的成本获得最大的利润。比如工程设计：各种曲线段的长度，各种封闭图形的面积，各种几何体的体积，各种非恒定的速度问题，各种非均匀物体的受力分析。比如统计与预测：各种非等量的繁殖问题，各种非常数的增减问题，各种非常态的分布问题等等。

对于我们自身的发展也需要微积分，一是知识的发展需要微积分，进入高等阶段的数学学习，微积分是必修课程，也是理工农医商类的公共课程；二是能力的发展需要微积分，在我们的生活和工作中，处处需要微积分学中所体现出来的数学思想和方法。比如思考问题的严密性，解决问题的最优化，学会用数学的方法去分析和解决实际问题。

4.本人学习微积分的经历

师：由于社会和历史的原因，老师本人学习微积分的路程颇为坎坷。同学们，想知道老师本人学习微积分的那段不平凡的经历吗？

生（众）：想！

师：就教材的版本而言，我先后学习过吉林大学版、复旦大学版和四川大学版的《数学分析》。学习《数学分析》，就是比较系统地学习微积分。

生：为什么要学习那么多版本？学习一个版本不行吗？

师：一般来说，在高校学习《数学分析》或《高等数学》，就只是学习一个版本。

但是，我的经历比起你们现在是较为特殊的。我1975年高中毕业后，本应该进入大学继续学习，却去农村插队当知青，不知你们听说过“知青”没有，就是知识分子到农村去，接受锻炼，接受再教育。

生（多数）：没听说过，不知道。

生（个别）：还是听说过。

生：为什么要去呀？

师：那是社会和历史的原因，鉴于时间关系，现在我们不谈这个话题。

生：老师，您在那里呆了多长时间？做些什么？与农民一样吗？累吗？

师：一呆就是三年。与农民一样，整天抬石头修梯田，背粪土到庄稼地，种地，收割，等等。收工以后还要去背水回来做饭，真累！

生（众）：啊……

生：后来呢？

师：1978年参加刚刚恢复的全国高考，由于中专和大专只能选择其一，如果选择大专，那么已经荒废了三年学业的我实在是没有把握，因此选择了中专，结果被录取到广元师范学校，大家知道就是现在我们川北幼儿师范高等专科学校的前身。

生：啊！那您也是广师毕业？

师：是的。1980年毕业后留校任教，直到现在。就是在广师学习期间，当时我是理科班，学的是吉林大学版的《数学分析》，任教期间分别参加了专科学校和本科院校的学习，相继学习了复旦大学版和四川大学版的《数学分析》。因此，学习微积分的路程颇为坎坷。但是，对于你们来讲，就不会再有我这样的经历了。

就我本人学习状况而言，失去过读书机会的人才倍加珍惜学习机会。虽然是学习同一课程的三种版本，但我却在学习每一种版本时都那么如痴如醉，都去购买或借阅了相应的习题集，成百上千的习题的完成需要大量的时间，占用了我几乎一切可以利用的时间，甚至在宿舍熄灯后去租用附近的民房而挑灯夜战。当然，我们现在不提倡这种行为，但当时那种失去过读书机会的人就是这样珍惜学习机会的。

好在工夫不负有心人，正是这种比较扎实的专业功底，才使得我享用到了知识的力量，一方面在教学中能够驾轻就熟，另一方面在教学研究中能够成就上百篇的研究论文得以发表。

同学们，每个人来到这个世界上都应该有所追求，虽然我们还不能与牛顿和莱布尼茨这样伟大的科学家相比，给人类创造巨大的财富，但我们总应该力所能及地做出我们的贡献吧！不瞒大家，我本人作为教师，就有个人的教育理想。想听听吗？

生（众）：想！

师：我的教育理想，就是在我的教育生涯中实现两个愿望。一是成为一名特级教师，二是撰写一部具有一定影响力的属于自己的专著。前者在几年前已经实现，成为四川省中学特级教师；而后者正在实现，即《数学基本能力学习》一书正在联系出版之中。我想，这样的人生才是有价值、有意义的人生。

生（众）：（沉思）

5.怎样学习微积分

师：同学们，听了以上关于微积分的介绍，我们应该思考一个问题：怎样学习微积分？哪位同学能够谈一谈？或者说一说你有什么心得和收获？

生：我愿意学习微积分。

生：我渴望今后能够系统地学习微积分。

生：我对学习微积分产生了兴趣。

生：我希望自己能够走进微积分。

生：原来微积分是那么的诱人。

生：我一直对学习数学不感兴趣，听了老师的学习经历，我感到惭愧，是自己对学习数学失去了信心，根本没有努力，我很后悔。

生：我要像老师那样学习微积分。

生：我也要做一个有人生追求的人。

……

师：大家对学习微积分有如此信心和认识，老师感动无比高兴。

我们应该明白一个道理：学习数学并不只是为了学会怎么去解一道题，而更多的是为了在解这道题的过程中锻炼思维，体会头脑高速运转的感觉，这些很奇特的抽象的东西将会在我们今后的人生道路上散发着数学思维的芳香。

希望同学们在本章的学习中能够深入地体会到微积分的美感，能够享受到学习微积分的乐趣。

6.作业布置

请同学们结合关于“微积分”的有关资料思考以下问题：微积分的创立说明了什么？它的历史意义是什么？你有什么体会？

教学反馈

课前，我根据学生和教材的特点，精心准备，大胆设计，增加了“为什么要学习微积分”、“本人学习微积分的经历”和“怎样学习微积分”等内容，以期为学生学习“导数及其应用”打好思想基础。但我对微积分的广泛应用还显得准备不足。

课中，我察言观色，发现学生对“什么是微积分”这种比较抽象的概念和表述比较茫然，只能点到为止；学生对“微积分的历史”，对牛顿和莱布尼茨的介绍很感兴趣，于是就比预设适当地多讲了点内容；学生对“为什么要学习微积分”是在教师的启发之下体悟出来的，因此重点讲了“自身的发展也需要微积分”；学生对教师“本人学习微积分的经历”出乎预料的专注和在意，看来这种教学资源的作用不可低估；学生对“怎样学习微积分”异常活跃，使教师能够水到渠成地进行归纳和板书。

课后，我对学生进行了解，听到这样的声音：“这节课我们之所以很投入，是因为我们喜欢听这些历史故事，特别是老师本人学习微积分的经历对我们的触动很大，令人钦佩，很受鼓舞。其实我们也想学好数学，就是缺乏一种自信，缺少一种动力，缺少一种追求。在本章的学习中我们也要像老师那样锻炼我们的数学思维……”

这节课是为学习微积分的初步内容“导数及其应用”而进行的开场课。这是一种尝试，为了“走进微积分”，不妨先来“了解数学史”。实践表明，不但教学效果好，而且使我的教学知识有些新的生成。

生成之一：教师应学会捕捉教学契机

教学契机蕴含于教学活动之中，是教师借此进一步开展有效教学的良好机会，错过了或者没能抓住这种机会，恐怕就再难以利用，即便过后想起来再来利用，也难以达到当时的效果，正所谓机不可失，失不再来。学习“导数及其应用”，应该让学生先来了解微积分，了解数学史，这些数学史很值得了解，很有助于学生学习新知，其中蕴含很好的着丰富的数学文化和数学思想，是一种很好的教学契机，实践证明了抓住这种教学契机的效果。

生成之二：教师应学会利用自身资源

教师本身就是一种教学资源，这不仅包括教师的学识和才艺，也包括教师的经历、意志和品质；不仅包括教师身上让学生看得见的“亮点”，也包括教师身上使学生看不见的“闪光点”。这些“光亮之点”可以影响学生、照耀学生、激励学生。学生认同教师，喜欢教师，尊敬教师，就会认同教师所教的课程，喜欢教师的课，尊重科学。因此，教师应学会利用自身资源。

生成之三：磨刀不误砍柴工

俗话说得好：“磨刀不误砍柴工。”这道理似乎谁都明白，但说来容易做着难，往往是刀锋卷刃照样砍，结果是既费力气又伤神。在本课例中，学生一旦通过了解微积分的数学史而生发学习微积分的强烈愿望，还怕不能学好微积分吗？正如课堂中所进行问题探究一样，学生能够自主成功地探究问题，还怕探究的结论不会应用吗？

反思自己以往的教学，时有抱怨学生如何如何，却较少思考教师自身如何如何，较少考虑在教学中渗透那些能使学生树立信心、确立基点和明白道理的思想和方法。事实上，数学教师应该树立一份信心：我能教好数学；确立一个基点：掌握基本的育人方法；明白一个道理：不是为了数学而教数学。正如莱布尼茨所说：“世界上没有两片完全相同的树叶”，教学方法要因学生而异，教学效果也因教师而异。教师也应学会“站在巨人的肩上”，托起教育的希望，创造教育的奇迹。

作者：杨忠