数学思维例析研究论文

数学思维例析研究论文 篇1：

探寻学生识图、画图与析图能力的培养路径

[摘 要]数学识图、作图与析图能力的强弱一定程度上直接影响学生几何直观能力的发展和数学素养的培养。由从直观走向抽象、从简单走向复杂和从认知走向思辨三个角度入手，结合具体的案例阐述如何培养学生识图、画图与析图的能力，从而有效促进学生数学素养的全面发展。

[关键词]识图;画图;析图;几何直观

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心概念之一， 其实质是利用图形描述和分析数学问题，把复杂的数学问题变得简明、形象，从而有效降低数学的抽象性给学生解决问题带来的困扰。理性审视当前课堂教学，很多教师能认识到运用图形帮助学生理解数学知识的重要性，但在实践操作过程中只是停留于想当然式的单向解析与引导，并没有立足于学生的内在需求，因而导致学生识图、作图与析图能力缺失，对学生几何直观能力的发展和数学素养的培养造成不利影响。下面基于笔者所倡导的“启智数学”教学主张，结合多年的实证性研究，就如何培养学生识图、画图与析图的能力进行论述。

一、从直观走向抽象，培养学生识图能力

1.培养识图的习惯

小学生尚处于形象思维为主的重要阶段，对直观性、生动性的图形更容易产生兴趣，尤其是低年级学生，他们随意性大，常常只会对图中较为明显的内容感兴趣。识图能力是学生的基本数学素养之一，也是学生今后学习数学的必备条件。然而识图能力的培养并非一朝一夕之事，需要教师能够掌握学生的认知特点和规律，引导学生对图意进行有序的描述，促使学生养成识图习惯。

例如，教学人教版教材二年级上册“认识乘法”时，若教师直接出示主题图（如图1）后便让学生观察，学生往往会游离于数学信息之外，将数学课演绎成看图说话的语文课。对此，为了突出“乘法”的本质意义，笔者通过有针对性的引导“图中设置了几种游戏项目，每种游戏项目各可以玩多少人？”将学生的观察视角立足于数学，不但促使学生分类后能够提出相应的数学问题，还能得出“4个3”“4个6”“7个2”等数量关系，直接揭示了“乘法”的本质意义。

从低年级开始，就要经常性地进行这样的数学训练，致力于以导向性的问题引导学生用数学的眼光观察并识别图形，让学生养成识图的习惯。

2.渗透识图的方法

教师要注重对识图方法的示范与引导，由浅入深、循序渐进，从直观走向抽象，引导学生有序、有目的、完整地读图，形成从图中收集、分析和处理信息的能力。

例如，教学人教版教材一年级上册“1～5的认识”时，当学生通过教材主题图初步认识“1～5”之后，笔者让学生认真观察教材中的图式（如图2），学生一看这5幅珠子图便想当然地说出“1、2、3、4、5”。学生有可能是不看图只看数字，也有可能是只看珠子数，还有可能是既看数字也看珠子数。这些都仅仅是学生浅层的直观感知。如何引领学生由直观走向抽象呢？

笔者是这样进行启发的：“大家都能很快地看懂这些数字和图，但这些图背后还藏着一些有趣的小秘密！看看谁的眼睛最亮。”当学生答非所问，或是答题无序且混乱时，笔者再引导学生有序观察：“我们观察图时，要有顺序地、一幅幅地观察。先认真观察第一幅图。”于是学生就会说出：“第一幅图是一顆珠子，下面是一个圆片，所以表示数字1。”笔者及时给予肯定：“观察得很仔细，先看有几颗珠子，再看有几个圆片，然后说出用数字几来表示。”有了这样的指导与示范，在观察第二幅图时，学生就能进行模仿式的有序识图了。这时，笔者再让学生找出第一幅图与第二幅图的不同点，学生都能马上发现“多了一个箭头”。在说这个箭头的含义时，学生能够有序地表述：“第二幅图原来也跟第一幅图一样，只有一颗珠子表示1;这里箭头表示的是又拨来一颗珠子，所以从1变成了2。”笔者给予积极的肯定。在观察第三幅图、第四幅图和第五幅图时，不仅要让学生有序识图，还要让学生用联系的眼光识图，从而促使学生明白每一个数字都是在前面数字的基础上增加1得来的。从实物到图形，再到数字，从直观不断走向抽象，不但培养了学生有序识图的习惯，而且渗透了数形结合思想与函数思想，促使学生的数学素养得以提升。

图式，不管是主题图，还是几何图形，都是一种数学语言。而数学识图其实质就是观察并识别图式所要传递的数学信息。因此，教师应致力于用各种途径促进学生掌握数学识图方法，促使学生用数学的眼光读懂图意，在提升学生数学识图能力的同时，提高学生的几何直观能力。

二、从简单走向复杂，培养学生画图能力

用图形直观语言表述数学概念，一定程度上可以有效降低数学知识的抽象程度，使复杂的数学问题变得简明、形象。然而，数学画图只有出自学生内在的强烈需求，才能彰显其价值， “因画图而画图”反而会增加学生的厌恶感。画图能力并非与生俱来，在引导学生画图的过程中需要教师根据学生的认知规律，引导学生从简单走向复杂，拾级而上。

1.悉心指导，从简单入手

小学生形象思维占主导，教师应从学生熟悉的实物图着手，从简单的实物图开始，让枯燥的数学变得生动、直观，激发学生画图的兴趣，让学生懂得通过画图将数量关系表达出来。

例如，学习“一个数比另一个数多（少）几”时，学生常常难以理解其中的数量关系，这时，教师可引导学生借助画图的方法来厘清数量关系。大部分学生会画出实物图（红旗，如图3），也有一部分学生会用圆形（或是其他图形）来代表红旗，还有一小部分学生懂得用直条图来代表红旗。根据学生的认知特点，立足于学生的“最近发展区”，教师可引导学生先厘清实物图，再比较用圆形、小棒等模型代表红旗的简洁性，接着抽象出用直条图来代表红旗的清晰性，最后引导学生体会用直条图表示两者的数量关系最为简洁清楚。

这样的教学从简单的实物图入手，使得学生的思维从直观走向表象，再从表象走向抽象，学生体验到了图形所展现的数学简洁之美。

2.扶放结合，向复杂过渡

线段图是发展学生几何直观能力的一个重要媒介。因此，教师要根据学生的思维特点，充分挖掘教材资源，边扶边放，促使学生学会通过画线段图将抽象复杂的数量关系变得直观具体。

例如，人教版教材五年级下册“解决问题”的例3（如图4）：

先让学生尝试用自己喜欢的方法分析题中的数量关系，当学生思维受阻时，教师启发学生阅读教材中的“画图法”（如图5）。

教材呈现了半抽象的直观图，并在直觀图的下面用文字进行详细的标注说明，这样的编排是基于学生的思维特点，本着“扶”学生的思维的宗旨，让学生能对题中复杂的数量关系有一个清晰的建构，进而唤醒学生画图的内在需要，感受画图对解决问题的重要性。接着，教师可以继续追问：“除了可以这样画图分析题中的数量关系外，还有没有更简洁的画图法？”五年级学生已经具备画线段图的经验，这样“半扶半放”的教学有效扫除了学生的思维障碍，促使学生顺利地从文字抽象走向图形直观，继而上升到数学图形的简约抽象上。学生亲身经历从“半抽象”到“全抽象”的过程，自然感悟到数学的抽象美与简洁美，实现了数学学习的横向化发展。

三、从认知走向思辨，培养学生析图能力

数学识图侧重于让学生形成辨识图形外在呈现信息的数学直觉，数学析图则侧重于让学生辨析图形所要表达的内隐的数量关系。数学画图重在让学生将数学语言转换成图形语言，而数学析图则重在将图形语言转换成更为清晰精练的数学语言。可以说，数学识图更多的是聚焦于学生的认知层面，数学画图则更多的是聚焦于学生的动作思维层面，而数学析图则是关注学生思维的思辨性。基于这样的认识，教师要借助图形这个直观手段，致力于促使学生形成超越直观图形走向更为“抽象”的数学思维。

1.同中求异，辨析拓展

利用线段图来表征时，首先要厘清条件与问题之间的关系，从而找到解决问题的路径。数学问题千变万化，就算是同一种解决问题的策略，其问题的呈现方式也会有所不同。因而教师要有意识地引导学生灵活地辨析线段图表征信息的方式。

例如，教师可设计一幅线段图（如图6）：

先让学生根据线段图提出问题并解决。有学生提出：“柳树和杨树一共有多少棵？”有学生提出：“苹果树有多少棵？”还有学生提出：“苹果树比柳树多多少棵？”等等。显然，第一个问题比较简单，利用第一条线段呈现的信息便可以解决;第二个问题就稍复杂一些，学生要先通过第一条线段求出柳树和杨树一共多少棵，再通过图中信息“10棵”才能求出苹果树的数量;对于第三个问题，有的学生会运用正迁移先求出苹果树的棵数，再用苹果树的棵数与柳树的棵数进行比较，而有一部分学生则是通过观察和辨析线段图，一步解决问题，即“18-10”，算出的就是苹果树比柳树多的棵数。这样的训练，能促使学生发现同样的线段图表征信息却可以解决不同的问题，从而彰显了图形辨析策略之于同类问题的统摄作用，有效提升了学生的析图能力。

2.异中求同，辨析沟通

数学是一门抽象性和逻辑性极强的学科，数量关系常常因一字之差而表征各异。因此，教师不但要引领学生辨析数学信息的异同，还要沟通数学知识之间的联系，使学生构建完整而清晰的认知结构。

例如，题目一：小度和小智共有卡纸48张。小度比小智多6张 ，他们两人各有卡纸多少张？题目二：小智和小度共有卡纸48张。小度给小智6张，这时两人卡纸一样多。他们两人原来各有卡纸多少张？

这两道题一起出现时经常让学生感到困惑，学生解题时往往弄不清数量关系。此时，借助线段图（如图7），学生便能很快明确两道题的不同点：题目一中小度和小智的卡纸数之差是 “6张”;题目二中小度和小智的卡纸数之差是“2 个 6张”。通过这样直观的对比与辨析，两道题中的数量关系便十分清晰，学生很快就能找到解决问题的方法。像这样经常性地引导学生利用图形辨析和分析内隐的数量关系，能有效增强学生的析图能力。

3.转化突破，辨析重构

对于一些数量关系呈现较为隐蔽和复杂的图形，学生看到就想放弃。对此，教师要引导学生适时地改变思路，促使他们主动调用数学思维析图，在解构与重构的过程中提升析图能力。

例如，笔者设计了一道比较面积的习题： 如图8，在梯形[ABCD]中，[△AOD]和[△BOC]的面积相比，谁更大？

大部分学生想当然地认为△BOC 的面积比较小，而另一部分学生却提出了疑问。在学生众说纷纭，处于强烈的思维冲突之际，笔者适时启发：“能否用转化的方法分析△AOD与△BOC的面积的关系？”学生很快就能利用三角形同底等高的性质发现△AOD与△BOC的面积是相等的。这样的教学引导能让学生打破思维定式，灵活调用数学经验与数学方法进行理性析图，从而找到图形中隐含的数量关系，促使问题得以快速解决。

综上所述，小学阶段是学生直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的重要时期，教师要充分挖掘教材资源，不但要关注学生识图能力的培养，还应增强学生的画图能力，使学生数学思维可视化，更要提升学生的析图能力，从而让学生数学素养的培养得以落实。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 侯美霞，李醒群.低年段解决问题教学中学生画图能力的培养[J].小学数学教育，2015（Z3）.

[2] 杨志荣.浅谈画图法在小学数学解决问题教学中的作用[J].吉林教育，2015（20）.

【本文系福建莆田市教育科学2020年度名师专项课题《基于启智数学的小学数学习题设计研究》（编号：PTMS20002）阶段性成果。】

（责编 金 铃）

作者：蔡凤梅

数学思维例析研究论文 篇2：

基于学科学习力的数学教学策略

【摘 要】 人才发展模式的变革等背景，都彰显了培养学生学习力的迫切性.学习力的具体价值主要包括能够改进学生的学习行为和构建基于学生学习的教学方式等.学习力可构建三层次六要素结构模型，数学学科学习力由一般学习力和数学学科特有的学习力（由数学学习能力、数学能力和数学创新能力等成分构成）两部分组成.进一步整理提炼四条数学教学策略（问题驱动、思维引领、变式训练和文化浸润），从内涵、作用、教学、案例及简析四方面进行说明，最后分析四条教学策略在实施过程中对提升学生数学学习力的关系.

【关键词】 学习力;数学学科;教学策略

在全球信息社会背景下，学习者的学习需求正在不断丰富，然而现代公民是否具备足够的素养来适应瞬息万变的社会发展呢？分析TIMSS2007数据发现，东亚地区学生的数学成绩与学习态度存在极大反差，学习数学的情感、自信心、价值观均低于世界平均水平[1].人才发展模式的变革、传统教与学的困境及新课程改革的要求，都彰显培养学生学习力的迫切性.这对我们教育者提出新的要求，对于今天的数学教育，如何继承和发扬、改革与创新？如何在学校学科教育中提供合适的教学，提升学生的学习力？教学有法，教无定法，贵在得法.整理提炼相关的数学教学策略，对提高学生数学学科学习力具有重要的作用与意义.

“学习力”一词最早来源于管理学领域，多以“组织学习力”“学习型组织”出现，它反映组织作为一个整体对各种内外信息的认知与反应能力.学术界普遍认为学习力是一种综合、复杂的能力，研究主要围绕概念、内涵、构成要素、应用（提升策略等）进行.裴娣娜教授分析、提取出学习力六大要素，分别是知识与经验、策略与反思、意志与进取、实践与活动、写作与交往、批判与创新，并提出学习力的三层次六要素结构模型[2].

笔者在《数学学科学习力的要素及模型构建》[3]一文中初步构建数学学科学习力的模型.数学学科学习力的核心是思维、数学思维，提升学习力即促进学生数学思维的发展.数学学科学习力是由一般学习力和数学学科特有的学习力两部分组成，其中数学学科特有的学习力又由数学学习能力（经验与旧知、问题与活动、思想与方法、观念与态度、调控与反思等）、数学能力（抽象与概括、运算与推理、作图与想象、统计与分析、建模与解释等）和数学创新能力（质疑与批判、推广与引申、联系与贯通等）三部分组成.又在《基于学科学习力的数学课程结构》[4]一文中初步构建数学课程结构及其实践应用.两篇文章分别被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2017年第10期和2018年第7期全文转载.在此基础上，笔者进一步提炼四条数学教学策略（问题驱动、思维引领、变式训练和文化浸润），并结合教学实例进行简析.这里的“教学策略”主要指在特定教学情境中为完成教学目标与适应学生认知需要而制定的教学程序计划和采取的教学实施措施.

1 问题驱动

1.1 问题驱动的内涵

著名数学家P.r.Halmos指出“问题是数学的心脏”，不管是对数学发展还是教学，问题都有着重要的地位.注重“问题驱动”的数学教学，以问题为教学活动的主线，引导学生发现、提出、分析、解决问题，激发学生内驱力，在传授基础知识的同时鼓励学生自主探索.

1.2 问题驱动的作用

当外部刺激（问题）与学生内部条件（已有的知识与技能）形成落差，学生会主动进行思维，通过“思而知之”，获得新的知识与技能、提升数学素养.

1.3 问题驱动的教学

由问题提出的可能主体不同，笔者主要从创设情境，引导学生提出问题与问题链教学两个层面进行“问题驱动”的数学教学策略分析.

1.3.1 创设问题情境，引导学生提出问题

问题情境，问题呈现的形态和组织方式，学生解决问题有一定困难但通过分析、探索能实现的学习情境.在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题[5].

为达到目标即未知的东西，教师创设情境是前提，创设问题情境可弥补学生间学习经验与旧知的差异，一般借助数学活动、现实生活与数学知识等.在数学活動中鼓励学生主动探索新知以解决与认知结构产生矛盾落差的问题，提高分析、解决问题的能力;借助现实生活，打破学科纯形式化的逻辑结构与概念命题系统，学生感受知识的建构与真实情景的关联性;借助数学知识，体现知识的螺旋式上升，同时帮助学生认识知识本质.基于情境，学生产生思维动机，教师引导学生提出问题是关键.开发学生的最近发展区，共同探索解决问题，培养学生数学核心素养是目的.

1.3.2 问题链教学

数学问题链教学，在课堂上呈现有序的主干问题串，既提供引导学生在内容上获得深入的数学思考问题，又借助问题间的跨度为学生提供多样思维和探索的可能性[6].在构建问题链过程中，遵循“看整体结构、看内容本身、看学生学情”，先寻找该数学主题与其他主题间的关联（包括知识内容、思想方法、研究视角等），再结合本节课需要解决的核心问题及顺序，构思内部的教学联结点，最后关注学生学情，构建主干问题链.好的问题链教学，在重视“知识联结”的同时应更多地倡导“方法联结”，既关注知识间的逻辑顺序，又重视学生的认知结构及数学方法的体会和领悟.

1.4 问题驱动的案例及简析

案例1 问题驱动下的定理教学

本案例选自《数学教学研究》2016年第7期中《“平面向量基本定理”教学的理论分析与教学设计》[7]一文，该文被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2016年第12期全文转载.其中教学重点环节问题链的部分内容如下：

案例简析 复习旧知（共线向量定理），使新知拥有生长点，提出问题与原有认知产生冲突，引发学生主动思考;结合物理知识（矢量分解与合成），使新知具有实际背景意义，同时渗透类比联想的思想方法，鼓励学生大胆尝试.设置问题链，一步步引导学生得到核心知识——平面向量基本定理.

2 思维引领

2.1 思维引领的内涵

注重“思维引领”的数学教学，倡导自主探究结合教师引导，学生能动地进行高效思维活动.教师以思维方法和思想方法的分析带动、促进具体数学知识内容的教学，真正做到把数学课讲活、讲懂和讲深，学生既能掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法.当学生处于“欲知未知、欲言不能”时，适当点拨，起到“启”“发”的作用，体现“以人为本、学生主体”的教学理念.

2.2 思维引领的作用

数学知识具有暂时性记忆，教师仅通过讲、灌知识，先行组织者对学生已有认知的激活没有到位，未與学生已有知识等建立实质性联系，学生无法体会知识的本质，内部学习动机没得到调动，学习便缺乏积极主动性[8].数学家米山国藏曾写道：学生在学校学的数学知识，一段时间不用很快会忘掉.然而不管他们从事什么工作，铭刻在头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等却随时发生作用，使其终身受益[9].数学教学应帮助学生学会学习，学会学习重在学会思维，学会数学地思维.

2.3 思维引领的教学

教师教学应克服教材在一定程度上掩盖数学对象的抽象过程与数学思维的活动过程等不利因素，注重数学思维活动的过程与结果，避免学生数学学习的表面化[10].教师精讲基础，确保学生能准确掌握基础知识与基本思想方法;把时间还给学生，让学生有时间进行自主思考、主动探索、合作交流，教师适时地进行点拨;教师恰当地归纳总结，帮助学生进一步掌握数学知识和思想方法，明晰算理，学会举一反三，融会贯通.

2.4 思维引领的案例及简析

案例2 思维引领下的探究教学

本案例选自《教育研究与评论（中学教育教学）》2010年第11期中《数学探究：数学思想是灵魂——“对f（x）=ax+bx（ab≠0）型函数性质的探究”一课评析》[11]一文，该文被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2011年第3期全文转载.其中探究内容如下：

今天我们一起来研究形如f（x）=ax+bx（ab≠0）函数的性质.

初步探究（策略分析）：

（1）当我们研究一类函数的性质时，采用的是什么思路？经历了哪些步骤？

（2）要研究一类函数的性质，往往先研究一些具体的函数，再归纳、概括此类函数的性质.那在课堂有限的时间内，我们如何实现这一目标呢？

进一步探究（小组探究与汇报）：

小组探究（结合学案探究这类函数的性质，绘制函数图象）→汇报交流（说明探究过程并证明相关性质）→探究结果汇总展示.

归纳探究：

（3）有了小组展示，我们能否归纳出函数f（x）=ax+bx（ab≠0）的性质呢？

（通过类比转化、归纳总结，得到四类函数的性质）

（4）我们是否研究过含有两个参数的函数呢？研究其意义时采用什么样的方法呢？

案例简析 教师激活学生数学活动经验，探究问题从方法论角度得到“概略性解决”，隐含数学思想方法，指向学生内部的数学思维活动;设置探究任务，小组类比转化、合作探究，集大众智慧获得函数性质;引领学生由具体到抽象，进行一般的概括归纳，最后延伸扩展探究a，b的意义.在整个教学中，渗透特殊到一般、数形结合、类比和转化的思想.

3 变式训练

3.1 变式训练的内涵

注重“变式训练”的数学教学，通过改变数学内容的维度，学生通过有限的数学变式成功体验和辨别各种变异.一定的变式教学策略可促成学生形成看待原有问题的全新视角，可帮助学生系统、有效地理解和掌握学科知识.

3.2 变式训练的作用

变式分为概念性变式和过程性变式.概念性变式训练借助概念变式之间、概念变式与非概念变式间的差异与联系引导学生识别概念的内涵和外延，帮助学生多方面理解概念，并不是 “被动灌输”.过程性变式训练通过有层次地推进教学活动，使学生形成概念或解决问题，从而积累多层次的数学活动经验，并不是“机械训练”[12].

3.3 变式训练的教学

变式训练的数学教学，应从数学情境、数学知识、学生认知三个维度去构造学习空间，选择形式、内容、数量上合理、变化丰富而不重复的问题，充分利用和开发教材中例题和习题的价值功能，促进学生有意义的学习，培养学生数学创新能力，避免被动灌输和机械训练.

概念性变式训练，可构建一个聚焦知识对象关键（如条件、适用范围等）的变异空间，学生从中把握和理解概念的本质;过程性变式训练，可建立适合的教学脚手架，帮助学生建立新旧知识内在的联系，促进学生在“最近发展区”的发展[13].

3.4 变式训练的案例及简析

案例3 变式训练下的定理教学

本案例选自《中小学数学（高中版）》2008年第1期中《“方程的根与函数的零点”的教学设计》[14]一文，该文被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2008年第4期全文转载.其中“零点存在性定理”的变式内容如下：

零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

变1 “加强结论”：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，满足f（a）·f（b）<0，是否意味着函数y=f（x）在[a，b]上恰有一个零点？

变2 “加强条件”：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，满足f（a）·f（b）<0，且，则函数y=f（x）在[a，b]上恰有一个零点？

变3 “改变条件”：若函数y=f（x）在区间[a，b]的图象是连续不断的一条曲线，且满足f（a）·f（b）>0，则函数y=f（x）在[a，b]上有零点吗？

变4 “反过来”：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，在[a，b]上恰有一个零点，是否一定有f（a）·f（b）<0？

案例简析 案例中变式属于概念性变式，改变定理的某个条件得到变式，引导学生感知定理、借助图象、举出反例.教师改变定理条件的空间，培养学生学习的主动性和思辨性，帮助学生多角度地理解定理，更全面地掌握概念的本质.

4 文化浸润

4.1 文化浸潤的内涵

注重“文化浸润”的数学教学，一是挖掘蕴含在显性数学知识、教材资源中的文化（思想方法等），提炼并进行体现，与教学内容有机结合，学生经历知识“再创造”过程;二是对教材进行改编与设计，与相关的数学史料进行串联，介绍一定的数学史，学生了解知识的发生、发展过程，感受数学家的创新理念等，渗透数学文化;三是挖掘生活中有关数学文化的素材，欣赏数学文化中的“数学美”，展现数学文化的应用价值与美学价值.4.2 文化浸润的作用

数学文化融入数学教学，激发学生的数学学习兴趣，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养;引导学生了解数学的发展历程，开阔学生视野，培养数学核心素养.

4.3 文化浸润的教学

文化浸润的教学，可在数学知识、技能与思维深处中渗透数学文化，在教学中诠释知识的文化意义，促进学生理解数学;揭示数学对其他文化发展的影响，引导学生感受数学的价值;揭示其他文化对数学发展的影响，提高学生的创造性;揭示数学的精神智慧，培养良好的数学素养[15].4.4 文化浸润的案例及简析

案例4 文化浸润下的概念教学

本案例选自《中学数学教学参考（高中版）》2007年第6期中《复数概念的HPM教学案例》[16]一文，该文被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2007年第9期全文转载.虚数的产生源自三次方程求根，考虑到卡丹公式的复杂性及教学时间限制，选用莱布尼茨对复数的研究作为材料，揭示虚数引入的必要性.虚数引入的部分内容如下：

数的概念从实践中产生和发展起来，一种新数的引入往往需要数学家们付出艰辛的努力.数学家们发现边长为1的正方形对角线的长度不能用有理数表示！为解决这个问题，引进无理数.迄今为止，我们一直在实数中遨游.但实数外还有没有数呢？请大家探究以下问题：

问题1 已知x2+y2=2，xy=2，求（1）x+y=？;（2）x及y的值.

问题2 还原x和y，将x+y= 6代入xy=2得x和y是一个一元二次方程的根.但在实数范围内，方程无解，看来x和y存在，但都不是实数.要解决这个问题，须引入新数.问题的关键：当判别式小于零时，方程的根该如何表示？请同学们阅读课本的内容，并思考：

（1）什么叫虚数单位？它的四则运算是如何规定的？

（2）什么是虚数和复数？复数集和实数集的关系如何？

（3）复数相等的充要条件是什么？已知x2=-3，利用复数相等的充要条件求x.

（4）若a<0，则a的平方根是什么？

（5）利用求根公式，求出问题1中的x和y.

（6）当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0的根是什么？

问题3 阅读课后印发的材料《邦贝利与复数》以及《大数学家们眼中的虚数》，谈谈自己对虚数的理解.

案例简析 结合相关的数学史与例题引导学生意识到引入复数的必要性，通过自习课本内容获得复数知识并解决相应问题.阅读课外材料，了解知识的产生与发展，促进对数学系统的结构化理解，感受数学家的探索精神，渗透数学文化.

5 教学策略提升数学学习力

数学教学是数学思维活动的学与教，唯有教师讲活、讲懂、讲深，并引导高效思维，学生才能学会数学地思考，享受数学思考的乐趣[17].基于数学学习力的教学策略，培养学生的数学学习能力为基础，发展学生的数学能力为目标，进一步提升学生的数学创新能力.四个教学策略在实施过程中对提升学生的数学学习力各有侧重.

对于数学学习能力，学生的经验与旧知是基础和起点，观念与态度涉及数学观与数学学习观、学习数学的兴趣与动机等，四条教学策略的实施均应以学生的经验与旧知、观念与态度为前提.问题是学生学习的起始与载体，活动帮助学生发现和解决问题，任何教学策略都应引导学生独立思考、合作交流，拥有内在的思维活动.教师不仅要传授知识，也要渗透数学思想方法，强调核心思想，学生能在练习等形式中体验、感悟思想与方法.教学策略的开展帮助学生补充、修正原有的经验与旧知、观念与态度，促进学生进行反思、归因等元认知过程，而提升调控与反思能力保证学习的有效进行.教学策略与数学学习能力相互作用如图1所示.此外，就单个策略来讲，问题驱动与“问题与活动”紧密关联，思维引领与“思想与方法”“调控与反思”紧密关联，变式训练与“问题与活动”“思想与方法”紧密关联，文化浸润与“观念与态度”紧密关联.当然，四条策略与五大能力均关联，这里的“紧密”是相对而言.具体关联如图2所示（细线表示关联，粗线表示紧密关联，下同）.

对于数学能力，学生学习数学的终极目标是会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界.高中数学课程突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模和数学探究活动四条主线，运用不同教学策略针对不同类型、不同主题内容的教学，在一定程度上能提升五大数学能力中的一个或多个.问题驱动以问题与活动为主线，渗透思想与方法，学生在发现、提出、分析和解决问题过程中能提升抽象与概括、运算与推理、作图与想象、统计与分析、建模与解释能力;思维引领重在思维方法和思想方法的引导，重“启”重“发”，在思想方法的点拨中主要提升抽象与概括、运算与推理、作图与想象能力，建模与解释、统计与分析能力次之;变式训练通过有限变式，讲解核心概念与核心思想方法，学生抓住本质从变中找不变，主要提升运算与推理能力，其余四大数学能力次之;文化浸润，学生经历知识的再创造过程，感受数学文化的价值，主要提升运算与推理、建模与解释能力，其余能力次之.当然，应用四条策略教学均能提升五大数学能力，这里的“主次”是相对而言的.具体关系如图3所示.

对于数学创新能力，学生通过高中数学课程的学习，树立敢于质疑的科学精神、提高实践能力、提升创新意识.基于数学学习能力与数学能力，运用不同教学策略进一步发展数学创新能力.问题驱动通过设置问题情境、问题链，主要培养学生联系与贯通、推广与引申能力，因在特定情境中设问或教师呈现主干问题串，故质疑与批判能力培养次之;思维引领在学生“愤悱”处点拨、注重数学思想方法，发展学生质疑与批判、联系与贯通、推廣与引申能力;变式训练在有限变式中培养学生联系与贯通、推广与引申能力，学生在变式训练中多角度地理解概念、积累活动经验，跟着教师的设问与引导，则质疑与批判能力培养次之;文化浸润对知识再创造，渗透数学文化等，主要提升学生质疑与批判能力，联系与贯通、推广与引申能力次之.当然，运用四条策略均能培养三大数学创新能力，这里的“主次”是相对而言的.具体关系如图4所示.

数学是一种思维方式、思维体操，数学教学应以知识为载体、以思维为主线、以探究为手段、发展学生的思维能力和创新精神[18].基于学科学习力的数学教学超越知识教学和解题技能训练，采用适合的教学策略、多元的教学方式等，促进学生知识、思维和品性的和谐发展，培养学生的核心素养.

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作者：朱哲 黄思婷

数学思维例析研究论文 篇3：

基于学情分析后的小学数学高效课堂构建

摘要：新课程标准中明确地指出，教师的教学活动组织与教学方法的选择、应用，要建立在充分了解学情基础之上，从学生的现阶段学习情况出发，优化教学设计，以提升教师教学的针对性、实效性。那么，小学数学教师的高效课堂构建，就需要立足于学情分析的视角之下，能够通过不同的方法了解学情，并根据学生的实际学习情况开展数学教学活动，可以有效地提升小学数学教学的效率与效益。基于此，本文首先介绍了学情分析的方法，并进一步阐述了学情分析下的小学数学高效课堂构建策略，以供参考。

关键词：小学数学;学情分析;高效课堂;构建

教育的主体是学生，教育的目的是促进学生的发展，为学生的成长与进步服务，因此，教师需要认识到一切的教育都是为了学生，教学活动的开展要站在尊重学生的视角，学生在“教”与“学”中所占据的重要地位决定了学情分析的必要性[1]。但是，在传统的小学数学教学中，大部分教师会依靠自身的教学经验制定教学计划，忽视了每一届学生都是不同的，每一个学习者都是一个独立的学习个体，从而导致了课堂教学效果停滞不前。而基于学情分析视角下的小学数学教学，对于教师提出了更高的要求，需要教师充分地了解每一个学生的学习情况，能够综合地分析学生学习问题出现的原因、学习兴趣点等等，以学情为凭证，创新与变革数学教学手段，以满足学生的学习与发展需求，促进高效课堂构建目标的实现。

一、学情分析的方法

（一）自然观察法

自然观察法是指教师在日常的课堂教学中通过学生的说话内容、举止动态以及面部表情等方面的观察，了解到学生的心理活动，在利用自然观察法分析学情时，需要教师做到有目的性地观察，能够通过对学生的言行举止观察做出准确的判断。

（二）书面材料诊断法

书面材料诊断法同样是教师分析学情的一种常见方法，其主要分为两种，一种为收集现有的材料，并通过对现有材料的整理、对比分析，了解学情，另一种是借助具备诊断性特点的材料了解学情，如习题的完成情况就是一种具备诊断性特点的学情分析材料[2]。

（三）谈话了解法

谈话了解法是学情分析中一种十分便捷的方法，其主要是通过教师主动向学生沟通、交流，以了解学生对数学知识理解情况的方法，在谈话了解之后，教师会根据学生的知识吸收与掌握情况，适当地调节教学进度，或选择是否对教学重难点内容重复讲述，这是基于学情分析后调整的教学方案。

（四）测试法

学情分析中，如何精准地了解到学生的现有知识水平以及学习能力是至关重要的，测验法是一种科学的学情分析方法，通过教师结合学科内容合理地设置测试项目，以促使教師通过学生的测试项目完成情况，进一步地获取学情信息，为后续的数学教学提供科学的依据。

二、基于学情分析后的小学数学高效课堂构建策略

（一）基于学情分析后的教学目标图谱勾勒

教学目标的设计是整体教学活动开展的核心，其决定着教师的教学行为，既是教学的出发点，又是一切教学活动的最终归属与教学评价的依据。在过去的小学数学教学中，部分教师只是依照教学大纲与教学内容制定教学目标，而忽视了学情，从而导致教学目标的设计与学情脱节，为了解决这一问题，需要教师在学情分析之后，设置贴合学生现阶段学习情况的教学目标，勾勒出可以为学生发展服务的教学目标图谱，为后续的教学活动开展起到导向的作用[3]。

如在“解决问题策略——列表”的这部分内容教学前，通过对学情的分析发现有很大一部分学生不需要列表就能够解决问题，但是数据整理与分析的能力有所欠缺，结合学情教师可以设置以下几个教学目标：

（1）引导学生在问题解决中，通过列表的方式梳理出数据，初步体会到列表解决问题的便捷性;

（2）能够在数量关系的分析中，找到解决问题的关键信息;

（3）帮助学生在列表解决问题中积累数学经验，强化问题解决意识。

这节课的教学目标设计，是建立在教师对学生的列表解决问题意识以及问题解决能力基础之上，与传统的教学目标设计相比，此课的教学目标设计不仅仅关注了学生的问题解决结果，同时还体现出了教师对学生学习体验以及学习过程的重视，如第一个教学目标的设计让学生体会到了列表解决问题的作用，从而认识到列表是解决问题的一种途径，有时候相较于不列表解决问题更加地直观、便利;第二、第三个教学目标的设计，是对学生学习过程的关注，要求教师指导学生在亲身参与中积累经验、强化能力。

（二）基于学情分析后的数学教学情境创设

通过对小学生的学习心理与情感调查分析，发现小学生的学习热情高低与学习质量好坏存在极为密切的关系，大多数数学学习好的学生都具备较高的学习热情，而学生之间的智力水平相差并不多。由此可见，结合小学生的学习兴趣点开展数学教学活动，是数学高效课堂构建的前提，情境创设作为小学生们比较喜爱的一种方式，可以促使学生怀着饱满的情绪参与到数学学习活动中，其思维活跃性、师生配合度更高。

如在《长方形和正方形的面积》一课教学中，教师首先可以选择当前比较热点的话题或人物，创设出具有吸引力的数学教学情境，譬如，在2022年女足亚洲杯的决赛中，女足以3：2绝杀韩国队，最终获得了亚洲杯冠军，创造了中国有史以来的记录。女足队长王珊珊在赛后获赠了一套房。接下来，教师利用媒体设备展示王珊珊获赠的房屋架构图，学生观察发现这间屋子的面积很大，那么究竟有多大呢？教师借此情境提出问题，并引出本节课的教学主题：“王姗姗队长，想要让同学们帮助她来计算一下客厅、卧室、厨房、餐厅以及卫生间等屋子的面积分别是多少？整个屋子的面积是多少？看看谁能够帮助我们的女足英雄解决这个问题吧！”这样的情境创设不仅利用了社会热点事件，还融合了先进的信息化教学技术，能够快速地吸引学生的眼球，对接下来即将学习的新知产生无限的期待，这是高效课堂构建中必不可少的因素。

（三）基于学情分析后的学生与数学知识沟通

德国著名的教育学家第斯多惠认为，教育的艺术并不在于传授本领，而是让学生在鼓舞、激励下能够与知识互动，进入到知识的世界中，学会学习。通过对小学数学教材的分析，发现课程改革后的小学数学教材编写，更加关注数学知识与学生生活的链接，其中纳入的内容更加贴近学生的现实生活，其目的在于引领学生利用生活经验构建新知，能够将所学运用于生活。经过调查，发现小学生普遍缺乏与书本知识主动沟通的能力， 无法对所学知识做到深入地理解，知识运用也非常地少[4]。

如“搭配的规律”一课教学，是让小学生在积累探索简单规律的基础山，引导学生进一步地掌握搭配的规律并学会简单的搭配事物，教材在这一节课中给出了一个问题，要求学生解决一个木偶娃娃可以搭配多少顶帽子的问题，借助食物搭配的方式，引领学生过渡到图形搭配问题的分析上，最终帮助学生在搭配规律的探索中建立了数量关系。考虑到小学生的学习兴趣以及生活经验，教师在教材案例的基础之上，又组织了“找朋友”的游戏活动，随机选择出8名学生，让参与游戏的学生说一说自己可能找到的“朋友”都有谁？他们分别会穿着什么颜色的衣服，如果你只能选择其中一人做朋友，你有几种选择？利用游戏活动的组织，帮助学生从书本中的抽象知识过渡到现实问题的解决中，可以促使学生对问题的思考，在思考、尝试与总结中，实现与数学知识的沟通，从而实现数学学习中的主动建构。

（四）基于学情分析后的合作探究活动组织

儿童的思维方式与接受能力与成年人是不同的，若是在数学教学中教师一味地用成人的思维试图将自己理解的内容直接告诉给学生，那么，其教学结果必然是徒劳的。从心理学的视角，对小学生的理解方式、认知过程分析，发现其与成年人存在较大的区别，其具体表现为教师觉得很简单，学生应该会十分容易理解的内容，学生们理解起来并没有想象中的那么容易，教师得心应手的教学，对于学生来说是无感的。

究其原因主要有两点，其一，学生的学习方式单一，其二，学习活动没有引发学生的思维碰撞，因此导致学生在枯燥的数学课堂中，无法获得思维品质与学习能力的锻炼。基于这种情况，需要教师开展合作探究性学习活动，以促使小学数学教学面向全体学生，在合作探究中引发思维的碰撞。如在四则混合运算的教学中，教师在课前给学生布置了“20+5×3”的学习任务，要求学生先计算，在说一说这样计算的理由，许多学生都能够计算正确，但是却说不出计算原理，为了培养学生的数学语言能力，教师可以在课堂中建立合作学习小组，要求组内的成员相互交流计算理由，能够有条理性地说出为什么这样做，以强化学生的数学语言表达能力，促使学生们在合作学习中实现思维的交流与碰撞。

结语：总之，建立在学情分析基础上的小学数学教学，是提升教学实效性的必经之路，需要教师尊重学生的现阶段发展情况，能够全面地分析与掌握学情，并立足于学情优化数学教学模式，以提升“教”与“学”的配合度，满足学生的学习需求，為小学数学高效课堂的构建提供助力。

参考文献：

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作者：冯晓明