第一篇：高等数学论文范文
从高等数学看数学之美
摘 要：本文从高等数学的角度，介绍了数学美的四个方面，说明数学是一门优美的学科，数学美的内涵和外延都是极其丰富的。
关键词：简洁美 对称美 统一美 奇异美
数学美蕴藏在数学学科的每一个分支里，高等数学也不例外。在高等数学中，它的概念、公式、理论、结构等，对称和谐，简单新奇，统一协调，构成美学的内容和形式，充满了美的色彩，给人以美的感受。同时，高等数学思维与方法的新颖性、独特性和奇异性等等，都是数学美的具体内容和表现形式。在数学解题过程中，运用数学美的基本形式———简洁美、统一美、对称美、奇异美，利用数学美的思想方法去发现问题的内在联系，使其与数学问题条件和结论的特点结合，能够取得事半功倍的效果。
1 简洁美。数学的简洁性，是数学美的重要特征之一。一方面，数学以高度抽象、简洁的形式表现了复杂的内容。在高等数学中，我们总能看到符号、定义、公式、定理的简明扼要的叙述。例如：极限定义有简洁美：用简洁的符号?坌ε>0，?埚δ>0，当0<|x-x |<δ时，恒有|f(x)-A|<δ成立，从而清楚地描述了极限这一概念;牛顿-莱布尼茨公式f(x)dx=F(b)-F(a)形式也很简单，却深刻揭示了微分与积分内在联系的。另一方面，数学又以简洁、清晰的方式处理和解决了复杂的问题。正如数学家荻德罗所说:“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题， 所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答。”在高等数学中，“化繁为简”的思想随处可见。例如：定积分概念的引入，采用了众所周知的“微元法”，其中，在计算曲边梯形面积时，在每个小区间内“以直代曲”;在处理变速直线运动时，在小的时间段内以匀速代替变速;在引入二重积分概念时，在曲顶柱体体积计算中，在每个小区域中以平面代替曲面;在三重积分、曲线积分、曲面积分等问题中都贯彻了“微元法”的运用，都以“线性”的线、面、体去代替非线性的线、面、体，从而使问题的求解变得简单了，可操作了，达到化繁为简的效果。再如，等价无穷小代换在求极限中的应用，也充分体现了化繁为简的理念。又如，在求极限、求积分(一元函数积分、多元函数积分)、求微分方程的解等运算中，常常利用作变量变换来简化运算。
从上面的解题中我们也可以看到简洁的方法带来的美感。
2 对称美。对称性是最能给人以美感的一种形式，从古希腊时代起，对称性就一直被数学家看成是数学美的一个基本内容。对称对于我们来说并不陌生，它是指整体事物中各部分之间的相称、平衡或相适应。同时，对称美在数学研究中有重要作用，它是数学创造与发现的美学方法之一。正如韦尔所说：“对称是一种思想，多少世纪以来，人们希望借助它来解释和创造秩序、美和完善。”在高等数学中，也处处渗透着圆满和自然的对称美。如：线性方程组的克莱姆法则x ;从运算关系角度看：微分与积分，矩阵与逆矩阵……这些互逆运算也可视为“对称”关系。对称美在高等数学里更多地体现在微分、积分、线性代数的运算中。下面将一一举例说明。
(1)在微分中
(2)在积分中
在高等数学中，一些函数图形关于某坐标轴或坐标面对称，求定积分、重积分及线面积分时，根据积分的几何意义，利用被积函数的对称性可简化积分运算。
如：利用函数图像的对称性，简化定积分的计算;
对于三重积分、第一型曲线和曲面积分也有类似结论。
(3)在线性代数中，行列式与它的转置行列式具有对称性，而某些行列式本身就是对称的。在行列式的计算中，利用对称性，也可以起到简化的作用。
3 统一美。数学中的统一性是指部分与部分、部分与整体之间的协调一致，这是一种美的重要特征。数学中一些表面看来不相同的概念、定理、法则，在一定的条件下可以处在一个统一体中。笛卡尔通过解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一起来;高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴契夫斯基几何和黎曼几何统一起来了;克莱因(C.F.Klein)用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学(该理论认为：不同的几何只不过是在相应的变换群下的一种不变量);拓扑学在分析学、代数学、几何学中的渗透，特别是在微分几何种种空间，产生了所谓拓扑空间的统一流形。统一美表现在数学结构上，成为数学美的基本源泉。值得一提的是世界上公认的最优美的公式e +1=0，这个式子将算术中的“1”、“0”，代数中的“i”，几何中的“π”，分析中的“e”神奇地统一在了一起，即它们相会于天桥：e =cosθ+isinθ(在该式中令θ=π就可得到上式)，它沟通了三角函数与指数函数之间的内在联系，充分体现了数学的统一美。同时，高等数学中的统一美也随处可见。比如：牛顿—莱布尼兹公式就具有统一美：将微分、不定积分和定积分之间建立了联系;矩阵乘积求逆与转置，则是数学运算所表现的统一的“脱衣规则”;行列式 表示了平面上过点 的直线方程，也体现点、直线方程与行列式的统一美。 在一元积分中，不定积分、变上限积分、定积分这三个数学量之间是对立统一的：变上限积分是不定积分所表示的原函数中的一个，而定积分则是变上限积分中的上限x在给定区间中的某一点的函数值。多元函数的二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分，尽管这些积分运算由于其积分域不同，但可以将其统一表示为∫f(M)dΩ，其表示f(M)在Ω上的黎曼积分;而格林公式建立了平面曲线积分与二重积分的联系，高斯公式建立了曲面积分与三重积分的联系，斯托克斯公式建立了空间曲线积分与曲面积分的联系，它们体现了各种积分运算之间的统一美。
在解决数学问题时，最关键的是把原问题转化为一个更易解决的问题，而实现转化的依据就在于原问题及其转化后的问题在本质上的统一，数学美的统一与和谐能透露出这方面的信息，为实现这种统一指引方向， 为发现解题方法奠定基础。在不定积分的计算题中，凑微分法就是还原思想的运用，也是数学统一性的体现;在证明“在某个区间上，至少存在一点使某式成立”的命题中，对学生来说往往感到比较困难，解此类题的难点在于如何构造辅助函数， 应用微分中值定理求解，当学生学习了积分以后，从微分与积分的关系上来设计辅助函数，即通过寻求原函数来构造辅助函数就显得比较简单。通过做题，学生能体会到微分与积分之间隐蔽而深刻的内在联系，使两个截然对立的概念达到和谐统一，从而感受到数学的统一美。
4 奇异美。数学中的奇异美是指数学研究的形式、表述的结果，无法用任何现有理论给予解释，它表现了数学形式、数学结论的奇异，同样也表现了人们对数学成果所感到的奇异。在高等数学中，曲线上的奇点，微分方程的奇解，线性代数中的奇异矩阵，分析中的奇异积分等所带给我们的美学思考，很值得研究，其中不少奇异之处恰好是最值得注意的地方。数学的奇异性还常常与数学的反例紧密地联系在一起。例如18世纪后期的一些数学家认为，连续函数至少在某些点处可以微分，然而德国数学家魏尔斯特拉斯却在1874年找到了一个处处连续而又处处不可微的函数f(x 其中a是奇数，0
把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和，问题就迎刃而解了。
因此，在数学解题教学中注入数学美的观点，通过数学问题的解决来点拨深蕴于其中的美的因素和美的思想，可以增强学生学习数学的情趣;同时，在教学中注重美学思想的渗透，能够帮助学生形成正确的思想方法，为解决数学问题提供依据和指导。
参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2005.
[2]课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.数学文化[M].北京:人民教育出版社，2003.
[3]王宪昌.数学思维方法[M].北京：人民教育出版社，2002.
[4]张玉峰，孟爱红.数学美的本质[J].数学教育学报，2006，(8).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
作者：汪冶华
第二篇：拓展大学生高等数学竞赛优化高等数学教学
【摘要】拓展大学生高等数学竞赛作为优化高等数学教育质量的关键点，以当前高校高等数学教学工作开展情况为基础，结合近年来高等数学课程教学经验，对拓展大学生高等数学竞赛优化高等数学教学进行分析，以期起到提升高等数学课程教学质量的效果.
【关键词】拓展;大学生;高等数学;竞赛;教学
高等数学竞赛作为面向本科生的全国性水平测验，能够有效提升学生的数学思维与创新能力.通过有效拓展大学生高等数学竞赛，作为高等数学课程的补充，有助于优化高等数学教学工作.借助数学竞赛充分激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题能力的基础上，为学生提供一个展示自我的机会.
一、拓展大学生高等数学竞赛的必要性
通过有效开展大学生高等数学竞赛，可以满足一些日常学习生活中“吃不饱”的学生，为学生提供一个展示自我才能的机会，以此来充分调动学生的学习积极性.当前，高数课堂中经常出现一些学生“吃不饱”的现象，主要因为课堂讲述的知识倾向基础，而轻视对所学知识的训练，不能很好满足学生的学习需求[1].而数学竞赛的出现则可以有效弥补这一不足，数学竞赛作为全国性的知识竞赛，对一些课堂中“吃不饱”的学生而言具有较大吸引力.数学竞赛中设置的问题通常都是学生学习生活没有遇到过的，在解答问题时不仅需要学生具备专业知识，还要具备灵活使用其概念方法解题的能力.因此，竞赛对于学生而言是具备挑战性的，吸引学生进行知识探究，在探究知识过程中学生会亲身体验成功与失败，也会发现自己的不足，此种学习体验会使学生十分满足，为日后的学习发展奠定扎实的物质基础.
二、拓展大学生高等数学竞赛优化高等数学教学
(一)激发学生学习兴趣
众所周知，数学竞赛对于培养学生学习兴趣有许多帮助.兴趣作为最好的教师，一旦学生对高数课程产生浓厚的学习兴趣，就会主动参与到学习活动中，一门课程优异，就会树立学生的学习信心，对其他课程的学习具有一定作用，无形中提高学生解决实际问题的能力.因此，在课堂教学中教师需要鼓励学生积极参与数学竞赛，争取考取好成绩.以某高校为例，班级中共有5名学生参赛，有3名学生考取了十分优异的成绩，一时之间班级学生的学习热情被充分调动，整体学习能力也产生质的飞跃.
(二)借助数学竞赛，培养学生实践应用能力
高等数学作为理工科专业基础课程，相关的经济数学也是专业体系中的基础课程.高等数学是数学建模的理论基础，开展数学竞赛对于学生而言，可以有效强化自我解决问题的能力，帮助自己成为更符合社会岗位需求的人才.以机械类专业为例，部分大学生在毕业后只会制作一种零件，一旦某种条件出现变化，将很难进行创新.因此，教师需要在教学中，针对学生参赛表现总结学习问题，帮助学生总结解决方法.在参赛过程中学生虽然作图能力很强，但是数据分析能力相对较弱.基于此，教师需要对学生开展专项数据分析训练活动，为学生提供一些启发性的问题，激发学生的实践潜能.
(三)借助数学竞赛，培养学生创新思维
实践操作能力的高低往往取决于创新的能力，學生创新思维能力越强，实践操作能力也会随之增强，对学生日后的学习发展具有正面影响.一项发明若是所有人都能够熟练掌握，就不再具备独有优势，因此，要想使学生掌握更多的数学知识，就必须要注重实践创新.通过有效开展高等数学竞赛，激发学生的数学创新思维[2].通常情况，竞赛问题具有多种解法，对学生而言有助于强化自己的创新能力.高等数学竞赛中的选题多半是可以转变成教材知识的，如不等式，数列，函数题都是明确答案后再解答，会节省许多时间.对于校方而言，借助对竞赛成绩的统计可以得出科学检验教学成果，选取数学方面的潜在人才，对于参赛并获奖学生而言，增加个人荣誉的同时，对日后工作发展具有帮助.
(四)科学利用开放性，树立学习信心
事实上，全国性公开数学竞赛自身对学生具备较强的吸引力，竞赛为学生提供了一个展示自我的平台，参赛过程中学生会主动回顾所学知识，积累学习方法，发现他人长处与劣势时反思自己的行为.因此，学校方面需要积极开展数学竞赛，利用好竞赛试卷中的开放题.一般情况下，开放性试题是没有统一答案的，有助于学生在遇到问题时灵活选取方法应对问题.在教学中，教师需要为学生提供大量的竞赛开放题，吸引学生的注意力，这对于培养学生创新思维而言具有诸多帮助[3].数学竞赛问题相对训练题而言难度要更高一些，而开放题则是其中最难的部分，通过有效训练学生解答开放题的能力，从而不断提升学生解决问题的能力.在教学中教师可以鼓励学生自己出题，以小组为单位进行学习交流.通过开展专项训练，要求学生总结解题技巧与规律，进一步加深学生的学习印象.
三、结束语
综上所述，开展高等数学课程不仅是为了帮助学生掌握知识，更为关键的是培养学生的数学思维.通过拓展大学生数学竞赛活动，利用问题引导学生解析相关条件，学生可以从中发现自己的不足.针对学习不足制订学习方案，从而不断提升高等数学课程教学质量.
【参考文献】
[1]贾晓峰，杨晋，张明学.大学生数学模型竞赛与高等学校数学教学改革[J].工科数学，2000(2)：79-82.
[2]曾玖红.高校高等数学教学培养学生数学应用能力的研究和实践[D].长沙：湖南师范大学，2014.
[3]施俊，金亚东，谢正卫，蒋卫军.高等数学竞赛培训模式的探讨——以江苏技术师范学院为例[J].江苏技术师范学院学报，2012(2)：120-124.
作者：张浩驰 戴龙辉
第三篇：高中数学与高等数学的对比研究
【摘要】通过将《普通高中数学课程标准(实验)》与《高等数学》国家级精品课程网站上的教学大纲进行比较研究，从数学课程的性质、目标、内容、评价等方面进行了差异分析，有针对性地提出了高中数学与高等数学教学衔接的策略.
【关键词】大学数学;高中数学;课程改革;教学衔接
数学既是一门基础学科，又是一门工具学科，为以后其他学科的学习打基础，学好数学可以锻炼学生的逻辑思维能力、空间想象能力、逻辑分析能力等能力.高中数学是高中课程非常重要的组成部分，提供了作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要.高等数学是理工类高等院校非数学专业学生必修的一门重要基础理论课，一般在大一开设，为后续专业课程的学习打基础，对提高学生的素质能力方面具有不可替代的作用.
进入21世纪以来，由于计算机科学、数学、心理学的迅猛发展，引起了全世界范围内的数学课程改革，我国自2000年6月在《基础教育课程改革指导纲要》的指导下，对国外的课程改革进行了认真研究，并对国内的现状做了详细调查，征求社会各界意见后，于2003年4月出版了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《高中课标》).高等数学的教学大纲虽然会根据学校的不同要求而略有差异，但总体上还是能保持较好的一致性.本次比较研究参看的是同济大学、上海交通大学、兰州理工大学、华北电力大学、中国农业大学、安徽工程科技学院等近十所高校的《高等数学国家级精品课程教学大纲》(以下简称《高数大纲》)，笔者在研学《高数大纲》的同时，与《高中课标》进行了比较分析，以期对我们共同研究高中数学与高等数学的教学衔接有所帮助.
一、课程目标的变化
从四个方面对《高中课标》与《高数大纲》的课程目标作对比，具体如下所述：
1. “双基”仍然是课程的主要目标
重视基础知识教学、基本能力的培养是我国的优良传统，所以从高中数学到高等数学中“双基”仍然是课程的主要目标.新时期《高中课标》中的数学课程“双基”并不是不变的，计算机与信息技术的发展也影响着数学课程的发展，算法、数据处理、统计等内容逐渐加入“双基”.在《高数大纲》中主要是对一些内容的难度及要求的调整，没有加入计算机与信息技术方面的内容.
2.对过程性目标的态度不同
高中数学课程改革以后对数学本质的认识发生了变化，人们更多地把学生的数学学习看作一个经验、理解与反思的过程，所以《高中课标》更加强调过程性、体验性目标.高等数学课程没有跟随基础教育新课程的改革而进行课程改革，还是延续了以前的教学要求，所以学生容易对课程中的概念、结论等产生的背景及应用困惑.因此对上述衔接问题有必要在高等数学的重要知识(微积分)教学中，贯穿一些有趣的数学史故事，让学生了解相关知识产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法.
3.对数学的人文价值重视程度不同
世纪之初，科学的理性与人文精神的对立引起了一些思想家的担忧，甚至一些人把它视为现代文明的严重威胁，因此倡导把科学精神与人文精神统一于现代课程之中，作为理性精神代表的数学课程，因为人文精神的融入而表现出浓厚的时代特征.《高中课标》把对数学的认识延伸到科技、文化哲学及美学，以帮助学生形成一个正确的数学观和世界观.《高数大纲》并没有对数学的人文价值给予充分的重视，不能体现数学美学的意义，难以帮助学生形成正确的数学观和世界观.因此对上述衔接问题，可以开展活动，组织学生自己利用计算机或图书影像资源自主发现、总结、讨论数学美学的意义，开展辩论赛以帮助学生形成批判性的思维习惯，把人文精神融入到数学课程中.
4.数学课程的教学方式不同
通过《高中课标》总目标可以看出，《高中课标》把“个人发展的需要”放在首位，理念第七条主张要“强调本质，注意适度形式化”，“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”，将数学教育的价值置于数学课程本身的价值之上，将“学生发展为本”的思想放在中心位置.《高数大纲》没有涉及以“学生发展为本”，基本上延续了以前的数学教学观念，以教师为主，教材为本.因此对上述教学方式的衔接问题，教师可以组织学生形成学习小组，以小组为单位互帮互助、互相讨论进行学习，说出他们所理解的数学知识，发展数学应用意识和创新意识，强调数学的本质.
二、课程内容的变化
1.课程内容的比较
《高中课标》是为进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要，所以高中数学课程内容的选定遵循“最需要、最基础、可接受”原则.《高数大纲》是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的，通过对比可发现高中强调的是数学中基础的、内容容易接受的、知识范围比较广的，而高等数学是根据专业不同有所侧重的，为其他学科的学习打基础.两部分内容要求如表1所示.
三、课程评价的比较
《高中课标》与《高数大纲》具有一定的连续性，它们都注重对学生基础知识、基础技能和各种能力的评价，认为数学课程的评价目的是在全面了解学生数学学习情况、改进教学的基础上，促进学生下一步的发展.《高中课标》中对过程性、体验性目标的提出，评价部分也重视学生数学学习过程的评价，并给出具体评价要求，把多元化的思想扩展到评价主体、方式、内容、目标多元化上，渗透了评价改革的新思路.《高数大纲》通过平时的表现和最后的考试来评价高等数学的学习情况，平时表现包括对学生观察、课堂提问、平时作业.因此如何更好地衔接，大学课堂可以学习高中先进的评价理念，重视对学生数学学习过程的评价，并制定明确的评价标准.
四、小结
从以上比较可以看出，《高中课标》正朝以人文本的方向发展，注重把课程与学生现实生活和知识背景联系起来，鼓励学生自主学习、积极思考、互相合作，使他们获得数学学习的方法，扩宽了数学的知识面，注重数学知识背景的学习，加深了学生对数学的理解与应用.首先明白《高数大纲》课程的性质发生了变化，应该在注重“双基”的同时，强调过程性、体验性目标，提高对数学的人文价值重视程度，加强学生的中心地位，引导学生自主思考并规划人生.
另外，《高中课标》与《高数大纲》相比，在结构体系上不同，具体表现在：在《高中课标》前言中涉及课程性质、课程的基本理念和课程设计思路，而《高数大纲》前言只有课程性质、目的与任务;《高中课标》中的课程标准在《高数大纲》中称为教学目的;《高中课标》的内容分为五个模块(必修课)与四个系列(选修课)及数学探究、数学建模、数学文化，《高数大纲》中根据内容要求分为要求掌握和阅读部分(带*号);《高中课标》的实施建议部分包括教学建议、评价建议与教材编写建议，《高数大纲》中对应的内容为教学应注意问题与教学评估.
【参考文献】
[1]孙名符，谢海燕.新高中数学课程标准与原教学大纲的比较研究[J].数学教育学报，2004(2)：63-64.
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[3]教育部《基础教育课程》编辑部组织编写.中学新课标资源库数学卷[M]北京：北京工业大学出版社，2004：14-32.
[4]郭镜明.同济大学高等数学国家级精品课程.高等数学课程专区，2003：[2013.6.18].http：//resource.jingpinke.com/details?uuid=ff808081-284d0365-0128-4d06ed12-6eff&objectId=oid：ff808081-284d0365-0128-4d06ed12-6f00.
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[6]田振际.兰州理工大学高等数学省级精品课程.高等数学课程专区，2004：[2013.7.29].http：//resource.jingpinke.com/details?uuid=ff808081-21e7ff8b-0121-e80051af-2bb3&objectId=oid：ff808081-21e7ff8b-0121-e80051af-2bb4.
[7]杨玉华.华北电力大学校级精品课程.高等数学课程专区，2005：[2013.7.29].http：//resource.jingpinke.com/details?uuid=ff808081-230c42a6-0123-0c4338d8-77c4&objectId=oid：ff808081-230c42a6-0123-0c4338d8-77c5.
[8]周志坚.中国农业大学校级精品课程.高等数学课程专区，2004：[2013.7.29].http：//resource.jingpinke.com/details?uuid=ff808081-2354456b-0123-54467495-665a&objectId=oid：ff808081-2354456b-0123-54467495-665b.
[9]费为银.安徽工程科技学院省级精品课程.高等数学课程专区，2005：[2013.7.29].http：//resource.jingpinke.com/details?uuid=ff808081-233055f6-0123-30572fbb-0d2e&objectId=oid：ff808081-233055f6-0123-30572fbb-0d2f.
作者：杨国全 唐翠芳