高等数学1试题范文

第一篇：高等数学1试题范文

考研.数学 高等数学总结1

中值定理及应用

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续yf(x)(xD)，其中x0D。若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极大点;若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理 设limf(x)A0(0)，则存在0，当0|xx0|时，xx0

f(x)0(0)，即函数极限大于零则邻域大于零;极限小于零则邻域小于零。

A0，因为limf(x)A，由极限的定义，xx0xx02

AA0。 存在0，当0|xx0|时，|f(x)A|，于是f(x)22【证明】设limf(x)A0，取0

3、极限保号性的应用

【例题1】设f(1)0,limf(x)2，讨论x1是否是极值点。 x1|x1|

【例题2】(1)设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点;

(2)设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点。

f(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，xaxa

f(x)f(a)0。 当0|xa|时，有xa【解答】(1)设f(a)0，即lim

当x(a,a)时，f(x)f(a);当x(a,a)时，f(x)f(a)。 显然xa不是f(x)的极值点。

(2)设f(a)0，即limf(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，当xaxa

f(x)f(a)0。 0|xa|时，有xa

当x(a,a)时，f(x)f(a);当x(a,a)时，f(x)f(a)。 显然xa不是f(x)的极值点。

【结论1】设连续函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0或f(a)不存在。

【结论2】设可导函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0。

二、一阶中值定理

定理1(罗尔中值定理)设函数f(x)满足：(1)f(x)C[a,b];(2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)f(b)，则存在(a,b)，使得f()0。

定理2(Lagrange中值定理)设f(x)满足：(1)f(x)C[a,b];(2)f(x)在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f()

【注解】

(1)中值定理的等价形式为： f(b)f(a)。 ba

f(b)f(a)f()(ba)，其中(a,b);

f(b)f(a)f[a(ba)](ba)，其中01。

(2)对端点a,b有依赖性。

(3)端点a,b可以是变量，如f(x)f(a)f()(xa)，其中是介于a与x之间的x的函数。

定理3(Cauchy中值定理)设f(x),g(x)满足：(1)f(x),g(x)C[a,b];(2)f(x),g(x)在(a,b)内可导;(3)g(x)0,x(a,b)，则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()。 g(b)g(a)g()

题型一：证明f(n)()0

【例题1】设f(x)C[0,3]，f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明：存在(0,3)使得f()0。

【例题2】设曲线L:yf(x)(x[a,b])，f(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，连接端点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线L交于内部一点C(c,f(c))(acb)，证明：存在(a,b)，使得f()0。

(a)f(b)0，证明：存在【例题3】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f

(a,b)，使得f()0。

题型二：结论中含一个中值，不含a,b，且导出之间差距为一阶

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()0。

【例题2】设f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()g()0。

【例题3】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内二阶可导，且f(0)f(1)，证明：存在(0,1)，使得f()2f()。 1

题型三：含中值,

情形一：含中值,的项复杂度不同

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，证明：存在,(a,b)，使得e[f()f()]1。

【例题2】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导(a0)，证明：存在,(a,b)，使得

f()(ab)f()。 2

情形二：含中值,的项复杂度相同

【例题1】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1。

(1)证明：存在c(0,1)，使得f(c)1c。

(2)证明：存在,(0,1)，使得f()f()1。

【例题2】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1，证明：存在,(0,1)，使得213。 f()f()

三、高阶中值定理—泰勒中值定理

背景：求极限limx0xsinx。 x3

定理4(泰勒中值定理)设函数f(x)在xx0的邻域内有直到n1阶导数，则有

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)， 2!n!

f(n1)()且Rn(x)(xx0)n，其中介于x0与x之间，称此种形式的余项为拉格(n1)!

郎日型余项，若Rn(x)o[(xx0)n]，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。 特别地，若x00，则称

f(0)f(n)(0)n2f(x)f(0)f(0)(xx0)xRn(x)， 2!n!

f(n1)(x)n1为马克劳林公式，其中Rn(x)x(01)。 (n1)!

【注解】常见函数的马克劳林公式

xn

o(xn)。

1、e1xn!x

x3(1)n

2n

12、sinxxxo(x2n1)。 3!(2n1)!

x2(1)n

2n

3、cosx1xo(x2n)。 2!(2n)!

11xxno(xn)。 1x

11x(1)nxno(xn)。

5、1x

4、

x2(1)n1

nxo(xn)。

6、ln(1x)x2n

专题一：泰勒公式在极限中的应用 【例题】求极限limx0xsinx。 x3

专题二：二阶保号性问题

设函数f(x)的二阶导数f(x)0(0)，这类问题主要有两个思路：

思路一：设f(x)0，则f(x)单调增加

【例题1】设f(x)在[0,)上满足f(x)0且f(0)0，证明：对任意的a0,b0有f(a)f(b)f(ab)。

【例题2】设f(x)在[a,)上满足f(x)0且f(a)2,f(a)1，证明：f(x)在(a,)内有且仅有一个零点。

思路二：重要不等式

设f(x)0，因为f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

所以有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，

其中等号成立当且仅当xx0。

【例题1】设f(x)C(,)，f(x)0，且limx0f()(xx0)2， 2!f(x)1，证明：f(x)x。 x

【例题2】设f(x)0(axb)，证明：对任意的xi[a,b](i1,2,,n)及ki0(i1,2,,n)且k1k2kn1，证明：

f(k1x1k2x2knxn)k1f(x1)k2f(x2)knf(xn)。

【例题3】设f(x)C[0,1]且f(x)0，证明：

101f(x2)dxf()。 3

第二篇：大学 高等数学 竞赛训练 试题

一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）

1)

解：因为

所以，原式

2)设，求。

解：因为

……

……

所以。

3)求，其中。

解：

4)求幂级数的和函数，并求级数的和。

解：设，则有

上式两边关于求导得。

二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证：

1)如果，则

2)如果存在正整数，使得，则。

证明：1)因为所以存在有。

对任意的，存在整数，当时有

又因为存在整数当有，所以取

当时有

这就证明。

2)设，则有

。

三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且。

求证：在开区间内至少存在一点，使得。

证明：因为，在之间，

所以，

其中，

又因为在上连续在之间，由介值定理可得，存在使得。

四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。

在点处(其中)有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。

解：用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为

五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。

求证：和。

证明：此题是错题。

六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。

记第一型曲面积分为。求证：

证明：当时，。

当不全为零时，用微元法证明。

用平面去

切球面，其中

设平面切球面所得半弦长，则

所切小环带展开后长为，宽为

。

第三篇：高等数学自我检查试题集

第一部分 高等数学上册

自我检查试题一

一、填空(每小题3分，满分15分)

1. 设f(x)的定义域为[1，5)，则f(1x)的定义域为_________________。 2. limarccos(

x2x1x)_____________。

__。 3. f(3)a,则limf(32t)f(3)

t__________

t0

c都是单位向量，b、__4. (不做)已知a、且abc0，则abbcac_

1。

5. 设f(0)0,f(1)a，则f(x)f(x)dx__________

0_。

二、单项选择(每小题3分，满分15分)

1.当x0时，变量1cosx是x的()无穷小。

(A)等价(B)同阶但不等价(C)高阶(D)低阶

2.设f(x)二阶可导，且limf(x)

ln(1xsinx)3，则f(0)是f(x)的()。 2

x0

(A)极大值(B)极小值(C)驻点(D)拐点

13.设f(x)x3

a,0xsinttdt,x0x03，当a取()时，函数f(x)是连续函数。

(A)2(B)1(C)-1(D)0

4.已知曲线yf(x)在x1处有水平切线，且f(1)2，则曲线yf(x)在(1,f(1))处的曲率k为()。

(A)0(B)1(C)2(D)2

5.下列广义积分发散的是()。

(A)dx1

sinx1(B)1dxx2(C)e

0x2dx(D)2dxxln2x

三、计算题(每小题7分，满分49分)

1. 求lim(

x01x1

ex1)。

2y2. 设yy(x)是由xyesiny所确定的隐函数，求dy

dx。

3. 设F(x)xxf(t)dt，其中f(x)在[1,)内具有一阶连续导数，求F(x)。

4. 求不定积分

sinxcosx1sin

x

dx。

12x

45. 已知f(x)ln(1x)，且f(1)

，计算f(x)dx。

6. (不做)求过点(1,2,3)垂直于直线

线方程。

7. 设f(x)



y5



z6

且平行于平面7x8y9z100的直



x

e

t

costdt，试求f(x)在[0,]上的最大值和最小值。

四、应用题(每小题8分，满分16分) 1. 设平面图形D由曲线yx,yx所围成，

(1) 求D的面积;

(2) 求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积Vx。

2. 将长为a的铁丝分成两段，一段围成正方形，一段围成圆形。问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小。

五、证明题(5分)

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)1，证明：2x



x

f(t)dt1在[0，1]上有且仅有一根。

自我检查试题二

一、填空(每小题3分，满分15分)

1. 若f(x)的定义域为(0，1)，则f(e)的定义域为____________________。 2. 设f(a)1，则lim

x

f(a3h)f(a2h)

h

_____________。

h0

3. 曲线y(x1)1的拐点是______________。 4. 曲线yx4x3在点(2,1)处的曲率k_________

y

。

5. (不做)位于yOz平面上的曲线ze(y0)绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是____________________。

二、单项选择(每小题3分，满分15分) 1.函数f(x)xx在x0处()。

(A)连续且可导(B)连续但不可导(C)可导但不连续(D)不连续也不可导 2.设f(0)0，且lim

f(x)1cosx

3，则f(x)在x0处()。

x0

(A)不可导(B)可导，且f(0)0(C)取极大(D)取极小

3.设f(x)f(x)对一切x恒成立，且当x(0,)时，有f(x)0,f(x)0，则f(x)在(,0)内一定有()。

(A)f(x)0,f(x)0(B)f(x)0,f(x)0(C)f(x)0,f(x)0(D)f(x)0,f(x)0 4.双纽线(xy)xy所围成的区域面积可用定积分表示为()。

40

0

(A)2cos2d(B)44cos2d



(C)2

cos2d(D)

x52

y32

z

4340

2

(cos2)d

5.(不做)设直线L为：，平面为：x2y5z110，则直线L

与平面的相互关系是()。

(A)L∥π，但L不在π上(B)L在π上(C)L⊥π(D)L与π斜交

三、计算题(每小题7分，满分49分) 1. 求极限lim

x0

xsinxxtanx

。

2. 设f(x)x(x1)(x2)(x2004)，求f(0)f(2004)。

xln(1t2)dydy

,3. 设，求。 2dxdxytarctant

4. 求不定积分xlnxdx。

5. 求定积分

x1

x

dx。

x4

y33

z22

6. 求过点(1,2,3)的直线L，使L与z轴相交且与已知直线l1：

垂直。

7. 曲线yx与yx所围图形绕y轴旋转，求旋转体的体积。

四、应用题(每小题8分，满分16分)

1. 求曲线ylnx在区间(2，6)内的一条切线，使得该切线与直线x2,x6和曲线ylnx所围成的图形面积最小。

2. 一正圆锥的半径以5cm/s的速率增加，而它的高以24cm/s的速率减少，求该圆锥在半径

为30cm，高为70cm时的体积变化率。

五、证明题(5分)

设在[a,b]上，f(x)0且可导，证明存在(a,b)，设

f(b)f(a)

f()f()

ln(ba)。

自我检查试题三

一、填空(每小题3分，满分18分) 1. 函数yln(

x3

5x)的定义域为__________________。

2. 若limxn2，则lim

n

12

n

(xnxn1)__________

_____。

3. 如果连续函数在区间的内部只有一个极大值点，没有极小值点，那么函数的最______值与

极______值相同。 4.

ddx(log

a

x)

_____________。 ______

5. 

1cosxxsinx

2-2

dx__________

x

。

6. (xx)e

dx_______________。

二、单项选择(每小题2分，满分12分) 1.(不做)下列陈述中错误的是()。(A)xy2z1图形是椭球面

(B)(x1)(y1)4的图形是母线平行于z轴的圆柱面(C)(xy)(yz)0的图形是直线(D)在空间直角坐标系中，xy

0的图形是原点

2.下列各极限中极限值为e的是()。(A)lim(1x)

x0

11x

(B)lim((1

x

1x

)

x

(C)lim(1x)

x0

x

(D)lim(1x)

x0

x

1

sinx,

3.设函数f(x)x

a,

x0x0

在(,)处处连续，则a()。

(A)0(B)1(C)1(D)

1

24.在区间[1,1]上满足拉格朗日中值定理条件的函数是()。

(A)yln(x1)(B)y

sinxx

(C)yx

1(D)yx

5.设在区间I上g(x)G(x)，则在I上g(x)dx()。

(A)G(x)(B)G(Cx)(C)G(x)C(D)CG(x)

sinx

6.设f(x)是连续函数，且



f(t)dtx,x(0,

2

)，则f(

22

)()。

(A)1(B)

22

(C)2(D)22

三、计算题(每小题7分，满分49分) 1. 求lim

e

x

e

x

x0

xsinxxx

1。

1lnx

2. 求lim(

x1



)。

3. 设x1t,ytt，求

x

dydx

。

4. 求曲线yxe在其拐点处的曲率。

xex,



5. 设函数f(x)1

,

1cosx

x01x0

z1

，计算f(x2)dx。

6. 求过两平行直线7. 设f(x)

x33



y22

10

和

x33



y42



z11

的平面方程。



x

11t

dt，求f(x)dx。

四、应用题(每小题8分，满分16分)

1. 一位飞机观察员观察到一架飞机正在1143m的高度向他飞来，仰角为30，并以3/s的速

度增加，问飞机的地面速度是多少?

2. 设图形由yx3x3与y1围成，求面积S，并求其绕y轴旋转一周所形成的封闭立体的体积。

五、证明题(5分)

设f(x)在[0，1]上连续，且f(0)0,使得f(x)dxf()。







f(x)dx0。证明在(0，1)内至少存在一点，



第四篇：高等数学(一)网络作业1

sin2x1.求limx1cos3x

ln(12x)x0tan2x

sin(sinx)3.求lim x0x2.求lim

1.原式=lim2cos2x/(-3sin3x)→∞

2.原式=limx 0ln(1+2x)/2x*2x/tan2x +

= lne*1*cos0

=1

3. 原式= limx

= limx

=1

0sin(x-x3/3!+x5/5!-x7/7!…)/x 0sinx/x,当x 0时，X与 x-x3/3!+x5/5!- x7/7!…等价

第五篇：《高等数学Ⅰ》08级半期测试题(极限

《高等数学Ⅰ》半期练习题

一.填空：(本题共10小题，每题2分，总分20分)

cosx1)在x0处连续，应补充定义f(0) .x22x，则其反函数f1(x)的导数[f1(x)] .

2、设　yf(x)1x

1、要使f(x)arccos(sinxe2ax1，当x0

3、设f(x)在x0处连续，则a . xa ，当x0

4、若x0时yf(x0x)f(x0)与x(tanxcos2x)为等价无穷小,则f(x0) .

5、设在01，上f(x)0，则f(0)，f(1)，f(1)f(0)的大小顺序为 .1(x2)arctan，x2，

6、设　f(x)则左导数f(2) . x20 ，x2， 2x

27、f(x)ln(x2x)定义域为 .

x

8、设(x)x33x2,(x)c(x1)n,且x1时(x)~(x),则c ,n .f(1sinx)f(

19、设f(x可导，则)limx0xtxan) .10、设f(arctanx)1x2,则 f(x) .

二.选择：(本题共5小题，每题2分，总分10分) 1.要使f(x)(2x2)22x2在x0处连续，应补充定义f(0)( ).41

(A).0 (B).e (C).e (D).e2.设F(x)(xx)(exx1)(　x),则F(x)( ). (A)是奇函数而不是偶函数 (B)是偶函数而不是奇函数 (C)是奇函数又是偶函数 (D)非奇函数又非偶函数n2n1(1)n3.设数列的通项为xnn (A)无穷大量 (B)无穷小量，则当n时，xn是( ).

(C)有界变量，但不是无穷小 (D)无界变量，但不是无穷大4.设yf(x)具有连续的一阶导数,已知f(0)0,f(0)2,f(1)2,f(1)1,1|( ).1f(2)1,f(2)1,f(3)3,f(3),则f(x)x1211 (A). (B). (C).1 (D).132

5. 设f(x)的定义域为[0,1],则f(x21)的定义域为( ). (A) [1,0] (B) [2,1][1,2] (C) [2,1][1,2] (D) [1,1]

三.计算：(本题共9小题.前4题各5分,后5题各6分,共50分)

1、 lim(12n12(n1))

n

2、求极限lim(4x28x52x1).x3x2

23、设 lim(axb)1，求a，b.

xx

14、求极限lim(cosx). x01xx22(x1)

5、设　f(x)3xx,用对数求导法计算f(x).arctanx

6、求由方程 x3y33axy0(a0)确定隐函数yy(x)的微分dy及y.

1xcos　，x0

7、设f(x)，讨论当为何值时f(x)连续. x0 ，x0

8、设f(x)满足f(x)af3(x),求f(n)(x). 9. 设2f(x)f(1)x2,求f(x). x

四、应用：(本题共2小题，每题5分，总分10分) 1. 设yax2与ylnx相切,求a及切线方程.

xetxcost

12、设一质点运动方程为求质点在x0处的速度. 2ytt

五、证明：(本题共2小题，每题5分，总分10分)

1.证明方程x57x4在区间(1，内至少有一个实根.2)2.若limf(x)0，且limxx0xx0f(x)A0，证明：limg(x)0.

xx0g(x)