将数学实验与数学主干课程结合的方法与实践

2022-09-11

数学实验是当前高等院校数学教育课程中一门重要的新兴课程, 数学实验课程的开设, 改变了学生在教学过程中认识事物的过程, 改变了某些教学原则、教学内容和教材形式, 改变了教学过程中教师、学生、教材三者之间的关系, 使抽象的问题具体化、直观化, 缩短了教材内容和现实的距离, 使学生感到在现实中处处存在数学问题, 进而养成用数学的眼光观察问题、分析问题的习惯和能力[1]。目前, 我国部分高校开设数学实验课的教学安排大致有两种:一是作为独立课程开设, 往往作为数学建模课程的后继课程, 讲课和上机实验各占一半;二是结合在某一数学基础课内, 根据内容适当安排相应的数学实验[2]。

关于数学实验与数学类主干课程的关系, 李大潜院士认为, 应将数学建模思想融入数学类主干课程, 而不是用数学实验课的内容抢占各个数学类主干课程的阵地。数学类主干课程的原有体系, 是经过多年历史积累和考验的产物, 没有充分的根据不宜轻易彻底变动。数学建模思想的融入宜采用渐进的方式, 力争和已有的教学内容有机结合, 充分体现数学建模思想的引领作用[3]。这里, 数学类主干课程是指某专业设置的主干课程中所含数学类的系列课程。

作者认为, 既要独立开设数学实验课程, 也要在数学主干课程中同步地增设辅助性质的实验课。这些辅助性质的实验课主要是为主干课程服务, 帮助学生更加深刻地领会数学概念、数学模型和数学方法。但其原则是:要针对该门课程的核心概念和重要内容, 同步地精选数学实验内容。

本文主要论述在数学主干课程中同步增设实验课的必要性和可行性, 以及实验的设置方法。

1 将数学实验与数学主干课程结合的必要性

长期以来, 由于受传统教学思想的影响, 在数学主干课程的教学中, 以灌输为主的教学方法始终占有重要地位。如果数学建模思想不能融合到数学类主干课程, 仍然孤立于原有的课程体系之外, 就不能打破陈旧的教学模式。开设“数学实验”或“数学模型”课程, 正是对原有专业课程体系的补充或调整, 目的是优化课程结构, 体现时代特征, 提高人才培养质量, 是对传统教学手段和教学方法的一种补充, 是把数学建模思想有机融合到数学类主干课程的好途径, 值得深入探讨。

那么, 数学实验课的形式如何开展?我们认为, 既要独立开设数学实验课程, 也要在数学主干课程中同步地增设辅助性质的实验课。独立开设的数学实验课强调实验的综合性, 主要训练学生运用计算机和数学软件进行科学研究、解决数学问题和实际问题的能力, 实验内容可以是学生熟悉的内容, 如极限、积分、概率等, 也可以是学生从未接触过的内容, 比如分形、混沌、密码学等。学生在实验中学习, 在实验中探索, 在实验中获得真知, 也在实验中掌握一定的方法和工具。现在国内大部分高校的数学实验课程都是以这种形式开设的。而在数学主干课程中增设的实验课, 在教学内容上与主干课程紧密相关, 在时间上与主干课程同步, 通过学生自己动手, 生动形象地展现一些数学过程和结果, 从而帮助学生进一步掌握主干课程中的内容。这些实验不要求大而全、深而难, 而要少而精、浅而易, 达到理解掌握主干课程的教学目的即可。这两类实验课的教学目的不同, 教学内容也不同。它们互相不能代替, 都有存在的必要。

现代多媒体引入数学教学过程, 能够生动直观地展现一些抽象的数学对象。但经过多年的实践, 我们发现, 仅仅使用多媒体技术, 学生在课堂上看到的内容“只入眼, 不入脑”。工工整整的推导过程, 漂亮的数学公式, 似乎只是一道道美丽的风景线, 过眼烟云。公式之间的内在关系是什么?公式的本质内容又是什么?学生在快速切换的幻灯片下无所适从。久而久之, 学生容易产生“多媒体疲劳症”, 进而产生厌学情绪。与使用多媒体技术授课不同的是, 数学实验是让学生自己动手做, 过程是学生的, 结果也是学生的。教师只是设计好大体的实验步骤, 介绍一些用到的工具, 其他由学生自己去思考, 去尝试, 具有很大的开放性。通过实验, 学生所学习到的数学概念、数学公式和数学方法将会深深印在他们的脑海里。

所以, 我们认为, 在数学主干课程中同步地增设辅助性质的实验课是必要的, 独立开设的数学实验课程和使用多媒体技术都不能代替它的作用。

2 将数学实验与数学主干课程结合的可行性

数学软件的飞速发展, 使得运用计算机进行数学科学研究、求解数学问题和快速高效产生数学对象的图形成为可能。当今的数学软件涉及了几乎所有的数学领域, 如初等数学、微积分、代数、几何、数论、概率统计、微分方程、运筹优化以及计算方法等等。不仅能做数值计算, 还能做符号运算;不仅能求解方程, 还能推导公式;不仅能进行大数计算和高精度计算, 还能作出精美的三维图形和动画, 并且实现这些看起来非常复杂的工作实际上只需要数学软件的一些简单命令。能够实现这些功能的软件主要有Matlab、Mathematica、M a p l e等。另外, 还有一些专用的数学软件, 在解决数学中的某一学科方面有它的特长, 如专门解决统计分析问题的S P S S, 专门解决运筹学问题的Lindo/Lingo。这些数学软件在数学领域取得了成功的应用, 也为数学实验课的开设提供了技术支持。

在师资方面, 由于近几年数学软件的普及, 使得一大批数学类专业的本科生、硕士研究生、博士研究生在进行科学研究过程中掌握了相关数学软件的应用, 毕业后他们进入高校, 成为既有深厚数学功底, 又有较丰富的编程经验的数学教师, 也有部分教师通过自学掌握了相关数学软件的运用。这为数学实验课的教学提供了师资保证。

在教学设备方面, 数学实验所需要的实验设备不同于物理、化学实验, 它只需要为每位学生配备一台计算机和相关的软件, 并且实验过程对实验设备损耗率低, 实验成本低。近年来, 大部分高校通过教育部的评估, 加强了计算机实验室等硬件设施建设, 许多学生还自已购买了电脑。这对数学实验的硬件支持十分有利。

因此, 将数学实验与数学主干课程相结合, 在数学主干课程中同步地增设实验课是可行的, 一般高校都具备必要的基础条件。

3 实验的设置方法与实践

主干课程一般是依据该学科专业的核心课程以及形成大学生基本素质而确定的最主要课程。因此, 不同的学科专业其数学主干课程也不同。比如, 数学与应用数学专业, 其主要课程通常包括数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、复变函数、实变函数、概率论与数理统计、近世代数、泛函分析、微分几何、拓扑学、运筹学等。

由于做数学实验一般需要用到数学软件, 所以在实验之前应介绍数学软件的使用方法。不同的实验可能用到的数学软件不同。为减轻学生的学习负担, 不宜使用太多种数学软件。考虑到软件的通用性和易用性, 作者推荐使用M a p l e。

将数学实验与数学主干课程结合的方法是, 在开设数学主干课程的同时, 为主干课程的关键内容增设一些实验课, 学生学完某个重要的数学内容之后马上安排实验课, 以加深学生的理解和记忆。在设置实验内容时应注意如下几个原则。

(1) 精选原则。针对该门课程的核心概念和重要内容, 同步地精选数学实验内容。

(2) 难度控制原则。实验内容应注意难度的控制, 特别是编程不宜过于复杂。

(3) 开放性原则。实验步骤要有一定的灵活性, 做到循序渐进。实验方法由熟悉到陌生, 最后让学生尝试自己设计实验方法。

在实验过程中, 教师的角色是:介绍实验目的、方法、基本步骤;观察学生实验过程、解答学生的提问;提出一些猜想及验证思路。最后, 要求学生撰写实验报告。

为节省篇幅, 下面仅以数学分析、高等代数和概率论与数理统计作为例子说明。

以上实验内容仅供参考, 在实践过程中各学校应根据自己的教材及学生特点重新设计。

当前, 许多高校担任数学主干课教师与实验指导教师严格分开, 是制约数学实验课发挥其功效的主要障碍, 我们应采取有效措施加以解决。比如, 加强主干课教师与实验指导教师的沟通合作, 或培训提高主干课教师的计算机应用能力包括数学软件的应用能力, 都是较好的措施。另外, 针对本校实际组织相关教师编写数学实验指导书也是有益的实验建设过程。

4 结语

在数学主干课程中增设辅助性数学实验课, 在当前仍属探索阶段, 没有太多的经验可循, 在实践过程中必须结合学校各自的特点, 与哪些数学主干课程结合、分配课时多少、实验内容如何选取、实验方式怎样设计等, 都有待深入探讨, 并通过长期的教学实践去逐步完善。

改革创新是提高人才培养质量的必由之路, 我们旨在通过数学实验与数学主干课程相结合的研究, 培养出既有深厚数学功底又能熟练使用数学软件的“多功能”新型数学人才。

摘要：数学主干课程是指某专业设置的主干课程中所含数学类的系列课程。本文主要讨论在数学主干课程中增设数学实验课的必要性、可行性及具体方法。将数学实验引入数学主干课程, 是对传统教学手段和教学方法的一种补充, 是一种新的尝试, 目的是让学生能够通过自己动手体验数学的学习过程、探索过程和发现过程, 进一步领悟数学概念, 培养兴趣, 掌握学习和科学研究方法。

关键词：数学实验,数学主干课程,数学软件