高等数学不等式证明

第一篇：高等数学不等式证明

高二数学不等式的证明(二)

[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：

1. 换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。

2. 放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

3. 反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，

证明格式

[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得 到假设不正确，原命题正确。

4. 数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。

证明格式：

(1)当n=n0时，命题成立;

(2)假设当n=k时命题成立;

则当n=k+1时，证明出命题也成立。

由(1)(2)知：原命题都成立。

[本周教学例题]

一、换元法：

1. 三角换元：

例1. 求证：

证一：(综合法)

即：

证二：(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,

[0,π]

则

∵-1≤sin2≤1

例2. 已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。

证一：

证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设

则

例3. 若x2+y2≤1，求证：

证：设

则

例4. 若x>1，y>1，求证：

证：设

则

例5. 已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：

证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

则

小结：若0≤x≤1，则可令

若x2+y2=1，则可令x=cos， y=sin (0≤θ<2π)

若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan (0≤θ<2π)

若x≥1，则可令

2. 代数换元：

，若xR，则可令

例6：证明：若a>0，则

证：设

则

即

∴原式成立

小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。

二、放缩法：

例7. 若a,b,c,dR+，求证：

证：记

∵a,b,c,dR+

∴1

例8. 当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1

证：∵n>2 ∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9. 求证：

证：

三. 反证法

例10. 设0

证：设

则三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

与①矛盾

例11. 已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

证：设a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，则b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 与题设矛盾

又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0

四. 构造法：

1. 构造函数法

例12. 已知x>0，求证：

证：构造函数

由

显然

∴上式>0

∴f(x)在 上单调递增，∴左边

例13. 求证：

证：设

用定义法可证：f(t)在

上单调递增，

令：3≤t1

2. 构造方程法：

例14. 已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。

证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0

则有两个实根。

例15. 求证：

证：设

当y=1时，命题显然成立，

当y≠1时， △=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)

例16. 已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd

证一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数

∴要证：(xy)≥ac+bd

只需证

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，显然成立

∴xy≥ac+bd

证二：(综合法)

证三：(三角代换法)

∵x2=a2+b2， ∴不妨设

y2=c2+d

2五. 数学归纳法：

例17. 求证：设nN，n≥2，求证：

分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。

证：当n=2时，左边，易得：左边>右边。

当n=k时，命题成立，即：成立。

当n=k+1时，左边

又

;且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1);

于是可得：

即当n=k+1时，命题也成立;

综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。

[本周参考练习]

证明下列不等式：

1.

提示：令

，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情况讨论。

2. 已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，对任意实数x恒成立，求证：

提示：分

3. 若x>0，y>0，x+y=1，则

提示：左边

令t=xy，则

在 上单调递减

4. 已知|a|≤1，|b|≤1，求证：

，提示：用三角换元。

5. 设x>0，y>0，，求证：a

放缩法

6. 若a>b>c，则

10.

左边

11. 求证：高二数学不等式的应用

三. 关于不等式的应用：

不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：

1. 会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。

(求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。

2. 会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。

3. 通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。

四、不等式的应用问题举例：

例10. 已知a、b为正数，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。

解：由可得；

小结：如果本题采用

两式相加而得：号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。

；则出现了错误：“=”

例11. 求函数的最小值。

分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。

解：

即f(x)最小值为-1

此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。

例12. 若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。

的某一个

分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。

解：

当且仅当：4a2+2=3b2+6，即

时取等号，y的最大值为8。

小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号)

例13. 已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。

分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，

也即：；当且仅当时取等号。

也即；时，取等号。

例14. 设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：

的最小值。

分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。

2. 另一个途径是直接进行1的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用1的构造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。

小结：本题如果采用三式类加，得到：

，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。

例15. 已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较 a，b，c的大小。

分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，结合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，

综上所述，可得：b>c>a

小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。

例16. 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。

解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800

蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时，

=648(m2)

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.

例17. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为

(Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；

(Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。

解：(Ⅰ)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因为函数上为增函数，

当1≤n≤3时，

当n≥4时，

∴仅当n≥4时，Bn>An。

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。

小结：如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行分析，通过文字说明转化为等量关系或者是相互关系，再把文字关系处理为数学关系。

五、本周参考练习

1. 已知a>0 ,b>0,a+b=1，证明：

2. 如果△ABC的三内角满足关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证：

3. 已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：

4. 已知x，y是正数，a，b是正常数，且满足：，求证：

5. 已知a，b，c∈R+，求证：

6. 已知a>0，求的最值。(答最小值为)

7. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

8. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？

(答：当x为2.34m，y为2.828m时，用料最省。) 高二数学练习三

1. xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一个充分不必要条件是(

)

A. |x|<1

B. x<1

C. |x|>1

D. x<-1或|x|<1

2. 已知实数a，b，c满足：a+b+c=0，abc>0，则：的值(

)

A. 一定是正数

B. 一定是负数

C. 可能是0

D. 无法确定

3. 已知a,b,c是△ABC的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0(

)

A. 有两个不相等的实根

B. 有两个相等的实根

C. 没有实数根

D. 要依a，b，c的具体取值确定

4. 设0

)

A.

C.

5. 设a,bR+，

，则A，B的大小关系是(

)

B.

D.

A. A≥B

B. A≤B

C. A>B

D. A

6. 若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是(

)

A.

B.

C.

D.

7. 设a，b，cR+，则三个数

A. 都大于2

B. 都小于2

(

)

C. 至少有一个不大于2

D. 至少有一个不小于2

8. 若a，bR+，满足a+b+3=ab，则

9. 设a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，则

的取值范围是_____

的最大值为_____

10. 使不等式

答案：

1. A 2. B 3. C 4. D 5. C 6. B

7. D 8. 9.

10. a>b>0且a-b>1

都成立的a与b的关系是_____

第二篇：二用数学归纳法证明不等式

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.

教学难点：理解经典不等式的证明思路.

教学过程：

一、复习回顾：

1、数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位;

2、复习数学归纳法的定义和数学归纳法证题的基本步骤;

二、本节主要内容是用数学归纳法证明不等式;

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

(1)在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)的变化，要认清不等式的结构

特征;

(2)瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析;

(3)活用起点的位置;

(4)有的题目需要先作等价变换。

三、例题

例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：将n1,2,3,4,5,6代入比较后猜想结论，而后用数学归纳法加以证明

证明：见书P50 ;要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….

例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).

证明：(1)当n=1时，不等式显然成立;

(2)假设当n=k时不等式成立，即有：|sink|k|sin|，则当n=k+1时，

|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||cos||cosk||sin||sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|即当n=k+1时，原不等式也成立;

由(1)(2)知，不等式对一切正整数n均成立;

例3：证明贝努利(Bernoulli)不等式： (1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

22证明：(1)当n=2时，由x0得(1x)12xx12x，即不等式成立;

(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即有(1x)1kx：，则当n=k+1时，

(1x)k1k(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，

所以当n=k+1时，原不等式也成立;

由(1)(2)知，贝努利不等式成立;

注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.

当是实数,且或0时,有(1x)≥1x(x1)

当是实数,且01时,有(1x)≤1x(x1) 

例

4、证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和

a1a2a3ann;

证明：(1)当n=1时，a1=1，命题显然成立;

(2)假设当n=k时命题成立，即若k个正数a1,a2,a3,ak的乘积a1a2a3ak1，那么他们的和

a1a2a3akk，

则当n=k+1时，有k+1个正数a1,a2,a3,ak,ak1满足乘积a1a2a3akak11， 若这k+1个正数相等，则它们都是1，其和为k+1，命题成立;

若这k+1个正数不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数，不妨设a1>1，a2<1, 则由归纳假设可得：a1a2a3akak1k(*)，又由a1>1，a2<1可得： (a11)(a21)0a1a2a1a210a1a2a1a21与(*)式相加即得：

a1a2a3akak1k1，即当n=k+1时，命题也成立;

由(1)(2)知，如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和

a1a2a3ann;

思考：课本P53的探究

课堂练习：当n≥2时,求证

:1

1

2



证明：(1)当n2时，左式1

1

22

1.7

2右式，当n2时，不等式成立

(2)假设当nk(

2)时，不等式成立，即1



则当nk

1时，左式1











右式

当nk1时，不等式成立。

由(1)(2)可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

四、作业：课本P53 习题4.1中1，2，3，4，5，6

第三篇：用数学归纳法证明不等式

在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用.

例1 已知x>-1，且x≠0，n∈N，n≥2.求证：(1+x)n>1+nx.

证：(1)当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2>0，则原不等式成立.

(在这里，一定要强调之所以左边>右边，关键在于x2>0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)

(2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1+x)k>1+kx.

师：现在要证的目标是(1+x)k1>1+(k+1)x，请同学考虑.

+

师：现将命题转化成如何证明不等式

(1+kx)(1+x)≥1+(k+1)x.显然，上式中“=”不成立.故只需证：(1+kx)(1+x)>1+(k+1)x.

提问：证明不等式的基本方法有哪些?

(学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结)

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式?学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写.

当n=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0，于是

左边=(1+x)k1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2; 右边=1+(k+1)x. +

因为kx2>0，所以左边>右边，即(1+x)k1>1+(k+1)x.这就是说，原不等式当n=k

++1时也成立.

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.

(通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)

例2 证明：2n+2>n2，n∈N+.

证：(1)当n=1时，左边=21+2=4;右边=1，左边>右边.所以原不等式成立.

(2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k+2>k2.

现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k1+2>(k+1)2成立.

+

师：将不等式2k2-2>(k+1)2，右边展开后得：k2+2k+1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2+2k+1方向进行转化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3.

由此不难看出，只需证明k2-2k-3≥0，不等式2k2-2>k2+2k+1即成立.

师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证?

师：(补充板书)当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，所以左>右;当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，所以左>右.因此当n=1，2，3时，不等式成立.(以下请学生板书)

(2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立.即2k+2>k2.因为2k1+2=2·2k+2=2(2k

++2)-2>2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因k≥3，则k-3≥0，k+1>0)

≥k2+2k+1=(k+1)2. 所以2k1+2>(k+1)2.故当n=k+1时，原不等式也成立.根

+据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立.

师：通过例2可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证

n=1.扩大到验证n=1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.

例3 求证：当n≥2时，

(在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点.)

问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：

题的转化途径是：

师：设S(n)表示原式左边，f(n)表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命

要注意：这里S'(k)不一定是一项，应根据题目情况确定.

第四篇：数学归纳法证明不等式学案

§2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.验证n取时命题( 即n=n时命题成立) (归纳奠基)

20.假设当时命题成立，证明当n=k+1时命题(归纳递推).30. 由

10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题!(结论)

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：

例1. 用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.(nN)

例2证明贝努力(Bernoulli)不等式:

已知xR,且x> 1，且x0，nN*，n≥2.求证：(1+x)n>1+nx.1;

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1,那么它们的和a1a2an≥n.

三、当堂检测

1、(1)不等式2nn4对哪些正整数n成立?证明你的结论。

(2)求满足不等式(11n

n

)n的正整数n的范围。

2、用数学归纳法证明

2n2n2(nN*).

§2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名

1、用数学归纳法证明3≥n(n≥3,n∈N)第一步应验证()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4

2、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn?证明你的结论。

{an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……{bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… k

2n

3、用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式1221321n1n

n都成立。

4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d0，自然数n2，求证：ancn2bn

。

第五篇：大学数学中不等式的证明方法

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大学数学中不等式的证明方法

作者：吴莹

来源：《学园》2013年第01期

【摘 要】不等式在科学研究中的地位很重要，但对不等式的证明有些同学无从下手，用什么方法是个难题，所以本文对大学数学中遇到的不等式的各种证明方法进行归纳总结，并给出了相应的例子。

【关键词】数学归纳法 导数 单调性 中值定理 最值 积分

【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2013)01-0076-02