空间向量证明方法

第一篇：空间向量证明方法

高二数学3.2立体几何中的向量方法,第2课时,利用空间向量证明平行、垂直关系

立体几何中的向量方法(2)

2、利用空间向量证明平行、垂直关系

基础性练习：

1、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是()

A、平行B、相交C、在平面内D、不能确定

2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()

A、ACB、BDC、A1DD、A1A

3、已知三角形ABC在平面α内,∠A=900,DA⊥平面α,则直线CA与DB的位置关系是

4、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC和A1D的公

垂线，则EF和BD1的关系是()

A、垂直B、异面不垂直C、相交D、平行

巩固性练习：

5、如图，已知矩形ABCD，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在

BC上只有一个点满足PQ⊥QD，则a的值等于

6、已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，

求证：AD⊥BC

7、求证：若两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直。

8、已知直线l平面，平面平面，且l不在平面中，求证:l//

B

9、如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：

MN⊥平面PCD.(12分)

10、(12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图E、F分别是

BB1，CD的中点，

(1)求证：D1F平面ADE;

(

2综合性练习：

11、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.

(1)证明 PA∥平面EDB;

(2)证明PB平面EFD;

(3)求二面角C-PB-D的大小.

第二篇：向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中

2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;

3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;

4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可

只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法

2

解：

因为x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

2

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

3

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于p点

由三角形中位线定理有：

向量Ep=½向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量pF=½(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=½(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

4

先假设两条中线AD,BE交与p点

连接Cp,取AB中点F连接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共线，pF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点p

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一问结论

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第三篇：第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直

一、二面角

二面角l，若的一个法向量为m，的一个法向量为n，则cos,，二面角的大小为m,n或m,n

例1.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E为BB1的中点，AA1A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成锐角的大小。

例2.(05年全国)如图，在四棱锥V-ABCD

VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD. (1)证明AB⊥平面VAD;

(2)求面VAD与面VBD所成的二面角的大小.

练习：如图，棱长为1的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，

求二面角BB

1ED的余弦值。

1

2二.证面面垂直

若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则。

例3.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为23的菱形，

ADC600，M是PB的中点。

(1)求证：PACD

(2)求二面角PABD的度数; (3)求证：平面PAB平面CDM。

练习：(04年辽宁)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60,PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB的中点，点F为 PD的中点。

(1)证明平面PED⊥平面PAB;

(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.作业：

1.(04年广东)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，

已知AB4,AD3,AA12,E,F分别是线段AB,BC上的点，且EBFB1。 (Ⅰ)求二面角C-DE-C1的正切值;

(Ⅱ)求直线EC1与FD1所成角的余弦值。

1

32.(05年全国)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=

AB=1，M是PB的中点。 2

(1)证明：面PAD⊥面PCD; (2)求AC与PB所成的角;

(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

3.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=2，M、N分别是AD、BC的中点，MQPD于Q

(1)求证：平面PMN平面PAD;

(2)求PM与平面PCD所成角的正弦值; (3)求二面角PMNQ的余弦值。

4.(06年全国)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC， D、E分别为BB

1、AC1的中点.

(1)证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线; (2)设AA1=AC=2AB，求二面角A1-AD-C1的大小.

14

C

B1 D

E

C

A

B

5. (04年浙江)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互

相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

(1)求证：AM//平面BDE; (2)求二面角ADFB的大小;

(3)试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。

6.(05年湖南)如图1，已知ABCD是上.下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.

(1)证明：AC⊥BO1;

(2)求二面角O-AC-O1的大小。

7.(06年山东)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为 等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点 P在底面上的射影恰为点O，又BO=2,PO=,PB⊥PD. (1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值; (2)求二面角P-AB-C的大小; (3)设点M在棱PC上，且PC⊥平面BMD.

15

PM

,问为何值时， MC

第四篇：3.2.用向量方法证明平行关系(小卷)

高二当堂检测卷(数学3试卷)

命题人：备课组长签字：试卷总分20分

班级学生姓名检测时间：月日 星期第节 课题：3.2.1用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 检测重点：直线与平面平行的证明

1、(5分)空间直角坐标系中，A(1，2，3),B(1，0，5),C(3，0，4),D(4，1，3),则直线AB与CD的位置关系是()

A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判定

2、(10分)已知矩形ABCD和矩形ADEF,AD为公共边，但它们不在同一平面上，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM证明：直线MN//平面CDE.3、(5分)(选做)已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外任一点O，点M满足11BD,ANAE. 33

111填“共面”或“不共面”). ,则点M与点A,B,C333

聪明出于勤奋，天才在于积累 --华罗庚

第五篇：§8.7 立体几何中的向量方法Ⅰ——证明

平行与垂直

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1. 已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)若a

a分别与AB,AC垂

直，则向量a为

A.1，1，1

B.-1，-1，-1

C.1，1，1或-1，-1，-1

D.1，-1，1或-1，1，-1,

2.已知a=1，1，1，b=0，2，-1，c=ma+nb+4，-4，1.若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为,

A.-1，2B.1，-2C.1，2D.-1，-

23.已知a=1,,，b=3,,

A352215满足a∥b，则λ等于 22992.B.C.-D.- 32234.已知AB=1，5，-2，BC=3，1，z，若AB⊥BC，BP=x-1，y，-3，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为A.33154015，-，4B.，-，4 77774040，-2，4D.4，，-15 77C.5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是,

A.a=1，0，0，n=-2，0，0

B.a=1，3，5，n=1，0，1

C.a=0，2，1，n=-1，0，-1

D.a=1，-1，3，n=0，3，1

二、填空题每小题7分，共21分

6.设a=1，2，0，b=1，0，1，则“c=(,,

的条件.7.若|a|

，b=1，2，-2，c=2，3，6，且a⊥b，a⊥c，则a=.,

8.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为

三、解答题共44分

9.14分已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为BB

1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，

求平面AMN的一个法向量

10.(15分)如图，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA

1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面;

2(2)若点G在BC上，BG=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：

3EM⊥面BCC1B1.

11.(15分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF

=1，M是线段EF的中点.

求证：(1)AM∥平面BDE;

(2)AM⊥平面BDF.

答案

1. C2. A3. B4. B5. D

6.充分不必要7. 23132)”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”3118118,2,或，2,8. 1 555

5.9. 解 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示.,设

正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则A1，0，0，M (1，1，11)，N (0，，1)).∴2

211AM1,0,,AN0,,1设平面AMN的一个法向量为22

n=x，y，z,

1nAMyz02 nANx1yz02

令y=2，∴x=-3，z=-4.∴n=(-3,2，-4).

∴(-3,2，-4)为平面AMN的一个法向量.

10. 证明 建立如图所示的坐标系，则BE=(3,0,1)，

→BF=(0,3,2)，BD1=(3,3,3).

→→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面.

又它们有公共点B，

所以E、B、F、D1四点共面.

(2)如图，设M(0,0，z)，

2→0，-z，而BF=(0，3，2)， GM=3

得z=1. →2由题设得GMBF=3z20，

3因为M(0,0，1)，E(3,0,1)，所以ME=(3,0,0).

→→又BB1=(0,0,3)，BC=(0,3,0)，

→→→→所以ME·BB1=0，ME·BC=0，

从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC=B，

故ME⊥平面BCC1B1.

11. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，

设AC∩BD=N，连接NE.

则点N、E的坐标分别为 22，0、(0,0,1). 22

22∴NE=-1. 22

又点A、M的坐标分别是，，0)、2222→，AM=-，1. ，，1，2222→∴NE=AM且NE与AM不共线.∴NE∥AM.

又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

22→(2)由(1)知AM=1，∵D(2，0,0)，F22，1)，DF=(0，2，22

1).

→→→→AM·DF=0.∴AM⊥DF.

→→同理AM⊥BF，又DF∩BF

=

F，∴AM⊥平面BDF.