高等代数课程中“对角化问题”的教改探索

在国内普通院校的高等代数课程教学中, 不少院校采用的是张禾瑞、郝柄新编著的教材《高等代数》。在这套教材中, 对角化问题既是重点也是难点。对这一问题, 教材利用“不变子空间”这一较抽象的理论, 通过几何解析的手法加以处理。在以往的教学实践中, 学生普遍觉得学得比较费劲。这一部分体系的处理以及定理的证明显得抽象而难懂, 教学效果并不理想。

近几年来, 我们在严格遵循教学大纲的规范下, 在充分体现统一性和灵活性相结合的教育原则指导下, 将“对角化问题”作了一些教改尝试, 取得良好效果。我们的教材教学改革的基本思想是:在不增加新的较有难度的理论的前提下, 充分运用相对比较具体的矩阵方法解析对角化问题, 使学生能比较轻松地掌握其基本理论和思想方法。然后, 再应用“不变子空间”的理论来解析“对角化”的几何背景, 此时, 学生已不再感到困难了。

这种处理方式, 主要参考了屠伯埙等编著的《高等代数》 (上海科学技术出版社, 1987年) , 相对地降低了“不变子空间”的作用, 从而降低抽象度, 实际上也是走了一条从具体到抽象的路子。相应地, “欧氏空间”的个别内容也须重新处理。对此, 我们将作为补充说明简述。现将主要内容概述如下。

1 引言

如无特别说明, 总假设V是数域F上n维向量空间, V的维数记为dimV, L (V) 表示V上一切线性变换作成集。对于δ∈L (V) , δ关于V的不同的基的表示形式一般不同, 但其表示矩阵是相似的。我们希望选取V的一个基, 使δ的表示矩阵尽可能简单, 这相当于在一切彼此相似的矩阵中, 选取一个形式简单的矩阵出来。本文只考虑是否可以选取一个对角形阵的情形。

2 矩阵的对角化问题

2.1 特征值与特征向量

定义1设A∈Mn (F) 。若存在λ∈F, 0≠X∈Fn。使AX=λX, 则称λ为A的特征值, X为A的属于特征值λ的特征向量。特别, A在复数域C上的特征值称为A的特征根。

性质1 A∈Mn (F) 的相应于特征值λ的全部特征向量, 包括零向量, 构成Fn的—个子空间。称此子空间为A的属于特征值λ的特征子空间, 记为Vλ。

求法称为A的特征多项式。以下是A的特征值与特征向量的一般求解步骤。

1) 求出在F上的全部根。即是A的特征值。

2) 对每个, 求齐次线性方程组

的一个基础解系, 则基础解系是A的属于特征值的特征子空间中的—个极大线性无关向量组。称之为A的属于特征值的一个极大线性无关特征向量组。

定义2设A= (aij) ∈Mn (F) 。称为A的迹。记为Tr (A) 。

性质2若A∈Mn (F) 的全部特征根为。则

2.2 特征值与特征向量的性质

定理l若λ是A∈Mn (F) 的r重特征值, 则r≥dimVλ。

定理2相似方阵有相同的特征多项式, 因而有相同的特征值。

定理3方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。

定理4设为A的s个不同特征值, 是A的属于特征值的极大线性无关特征向量组, 则向量组

一定线性无关。

2.3 方阵可以对角化的条件

定义3若A∈Mn (F) 能与一个对角阵相似, 则说A可以对角化。

定义4若A∈Mn (F) 有n个线性无关的特征向量, 则说A有完全的特征向量系。

定理5 A∈Mn (F) 可以对角化当且仅当A有完全特征向量系。

推论1若A∈Mn (F) 有n个相异特征值, 则A可以对角化。

推论2设A∈Mn (F) , 则A可以对角化当且仅当

(1) A的特征根都在F内;

(2) 对A的每一特征值λ, λ的重数为s, 那么dimVλ=s。

注:应用定理1与定理5即可证得推论2。

方阵对角化的一般步骤:

1) 求A的全部特征根, 若A在F上共有n个特征根 (重根依重数计) , 则进入下一步, 否则A不可对角化;

2) 对A的每个特征值, 求齐次线性方程组 (I一A) X=0的—个基础解系, 若没有某个si重的使dim

3) A可对角化。

设A的全部特征值为λ1 (s1重) , λ2 (s2重) , …, λr (sr重) , 这里s1+s2+…+sr=n, 而相应的完全特向量系为

令T= () 。则T可逆且

3 线性变换的对角化问题

3.1 定义与等价条件

定义5设dimV=n, δ∈L (V) , 若存在V的一个基{}, 使δ关于此基的矩阵为对角形方阵, 则说δ是可以对角化的。定理6δ∈L (V) 可以对角化的充要条件是存在V的一个基{}, 使δ () =, 这里∈F, i=1, 2, …, n。

3.2 线性变换的本征值与本征向量

定义6设δ∈L (V) , 若有λ∈F, 0≠α∈V, 使δ (α) =λα, 则称λ为δ的本征值, α称为δ的属于本征值λ的本征向量。这里V未必是有限维的。

定理7设V为F上n维向量空间, δ∈L (V) 在V的一个基{}下的矩阵为A, 则

(1) λ∈F为δ的本征值当且仅当λ为A的特征值;

(2) 0≠α= () x为δ的属于本征值λ的本征向量, 当且仅当0≠x∈Fn是A的属于特征值λ的特征向量。

定义7设dimV=n, δ∈L (V) , δ关于V的任一基的矩阵A的特征多项式称为δ的特征多项式, 记为。

定义8设δ∈L (V) , λ∈F是δ的本征值, 称为δ的属于本征值λ的本征子空间。

3.3 线性变换与矩阵的可对角化的关系

定理8设dimV=n, δ∈L (V) , 是V的一个基, δ关于此基的矩阵为A, 则δ可以对角化当且仅当A可以对角化。

注:δ的对角化步骤由定理7、8及方阵的对角化步骤得到。

4 一点补充说明

在学完上述知识后, 我们再引进“不变子空间”与“线性变换在子空间上的限制”的概念, 而后或采用讨论课的方式, 或用启发自学等灵活多变的充分发挥学生思维的主观能动性和创造性的方式, 探求对角化理论的几何背景。

另外, “欧氏空间”中有关对称变换的对角化问题, 也可放弃“不变子空间”这一桥梁, 转而通过证明“实对称方阵正交相似于实对角形阵” (可依归纳法给出证明) 而给予解决。

在《高等代数》课程建设中, 积极进行教材与课堂教学的改革, 重视数学思想方法的教学 (学科素质教育的一个重要内容) , 以提高学生的数学素质, 突出“‘两个联系’的课程特色”, 充分体现统一性与灵活性相结合的原则, 是我们的一贯追求。

上文是我们在教学实践中的一个小例, 敬请行家批评教正。

摘要：对张禾瑞、郝柄新编著的高等代数教材中“对角化问题”提出一点教学改革设想:淡化“不变子空间”这一较抽象的理论在“对角化问题”中的作用, 充分运用相对比较具体的矩阵方法解析对角化问题, 使学生能比较轻松地掌握其基本理论和思想方法。

关键词：教学改革,矩阵,线性变换,对角化

参考文献

[1] 　张禾瑞, 郝柄新.高等代数[M] (等三版) .高等教育出版社, 2002, 3.

[2] 　北大数学系几何代数教研室.高等代数[M].高等教育出版社, 2002, 3.

[3] 　屠伯埙, 等.高等代数[M].上海科学技术出版社, 1987, 3.

[4] 　袁秉成.高等代数[M].东北师大出版社, 1992, 8.