角平分线性质课堂实录

2022-12-27

第一篇：角平分线性质课堂实录

角平分线性质教学设计

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

教学设计思想

我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，本节学习这个性质的证明及其应用，以启发引导的方式，引导学生完成定理的证明。对于逆命题的书写，先回顾有关的知识，再书写，师生一起完成证明。对于用尺规作线段垂直平分线的过程，要学生说出每步作法的依据。

教学目标

知识目标

总结线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用;

经历用尺规作线段垂直平分线的过程，并能说明其依据。

能力目标

经历探索、猜测、证明过程，进一步发展推理、证明意识和能力。

情感目标

在探索活动中感受数学的严密性、严谨性;

在各种活动中获得猜想。

教学重点和难点

重点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理及它们的实际应用;

难点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用。

教学方法

启发引导、合作探究

课时安排

1课时

教具学具准备

投影仪或电脑、三角板

教学过程设计

我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢?

(一)线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

下面我们就来证明这个定理。

如图，已知线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点。

求证：PA=PB。

证明：∵EF⊥AB(已知)，

∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。

在△PAO和△PBO中，

AO=BO(已知)，

∠POA=∠POB(已证)，

PO=PO(公共边)，

∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴PA=PB。

(二)做一做

1、写出上面定理的逆命题。

2、填写下面命题证明过程的理由。

已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。

求证：点P在线段AB的垂直平分线上。

证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则

∠POA=∠POB=90°( )。

在Rt△PAO和Rt△PBO中，

PA=PB( )，

PO=PO( )，

∴Rt△PAO≌Rt△PBO ( )。

∴AO=BO( )。

∴EF是线段AB的垂直平分线( )。

∴点P在线段AB的垂直平分线上。

加深学生对逆命题和逆定理含义的理解，让学生独立正确地说出线段垂直平分线的性质定理的逆命题和证明过程的依据。

1、略

2、垂直的定义，已知，公共边，HL，全等三角形的对应边相等，线段垂直平分线的定义。

由此，我们得到：

线段垂直平分线性质定理的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

(三)观察与思考

观察下面用尺规作线段垂直平分线的步骤(图24-25)，思考这种作法的依据。

步骤一：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧分别交于点E，F。

步骤二：过点E，F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。

使学生明白尺规作线段垂直平分线的依据。依据是线段垂直平分线的性质定理的逆定理。

(四)练习

1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E。

求△ABE的周长。

2、已知：如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等。怎样才能找到这个位置呢?画出示意图，并说明理由。

1、8

2、分别作AB，BC的垂直平分线，两线相交于点O(如图)，则点O即为所求。可根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明。

(五)小结

引导学生总结本节的主要知识点，及解题时分析的思路。

(六)板书设计

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线性质定理的逆定理

观察与思考

练习

第二篇：角平分线的性质教案

《角平分线的性质》讲学稿

学习目标：

1、通过动手实践探究角平分线的性质

2、熟练应用角平分线性质

3、会进行文字命题的论证

重点：角平分线性质的理解和应用

难点：文字命题的论证、角平分线性质的应用。

一、情境引入：

同学们，上一节课，我们学习了用尺规做一个角平分线的方法。小明同学准备把一个角的模型纸片得到一个角的平分线，但是粗心的小明忘了带作图工具。你能不用作图工具帮他画出这个角的平分线吗?(教师示意自己的模型纸片)

请同学们拿出准备好的∠AOB模型纸片，自己动手试一试

二、初探新知：活动一：

学生活动：先独立尝试，再小组合作探索

教师活动：哪位同学上讲台展示你们组探究的成果? 学生活动：学生展示;

教师点评归纳：对折(提示：用彩笔将折出的角平分线折痕描出来)

三、再探新知：活动二：

你能在对折后的纸片模型上折出一个直角三角形，使直角三角形的斜边与角平分线所在射线重合。

学生活动：折直角三角形。教师活动：(点拨)注意直角三角形的条件：斜边所在的位置。教师活动：哪位同学上讲台展示你们组探究的成果?说说你的折法。并说明在折出的直角三角形中哪个角是直角?为什么? 学生活动：学生演示，并说明折法和道理。(重点在直角，说明后面的折痕垂直于角的两边)

教师活动：把有得到的两条折痕用彩笔描出来。

我们把折出的图形展开，看一看你得到的是怎样的一个图形? (1)有一个角∠AOB;

(2)有一条角平分线OC;

(3)在角平分线上取一个点P，想一想，哪两条线段表示点P到角∠AOB两边的距离?(教师板示，在模型上标注字母，画出垂直符号)PD、PE。 (4)根据刚才大家的动手实践，你能得到PD与PE有什么数量关系吗?为什么?

先独立思考，再与同伴交流。

学生活动：利用折叠过的纸片模型探究。教师活动：(点拨)可以把展开的纸片模型重新折叠起来，比较一下折痕PD、PE。

学生活动：PD=PE，因为这两条折痕互相重合。

教师活动：根据以上的活动，你能得到角平分线的点有什么样的性质?

(学生归纳有困难，可以点拨：①点P在什么位置?②PD、PE表示什么?③PD、PE有什么数量关系?)

先自己用文字语言归纳一下，再与小组的同伴交流，看看你得到的结论是否和他们一样。学生活动：(小组点名回答)角平分线上的点到角两边的距离相等。

活动3：

若P点在运动，且PD⊥OA，PE ⊥OB，则PD与PE的数量关系会发生变化吗? 教师活动：(动画演示)通过动画说明，点P为∠AOB 的平分线OC上任意一点，PD与PE总保持相等。由此看来同学们的猜想是正确的。

板书：角平分线上的点到角两边的距离相等。教师活动：这个结论要用于几何证明命题推理的依据，还必须加以证明他的正确性。

ADCPOEB

活动4：教师活动：(1)在这个命题中，它的题设、结论分别是什么? (2)你能画出它的图形吗?

(3)结合图形写出已知、求证。

学生活动：学生尝试，教师点名提问，其他图形补充。教师活动：教师根据学生的回答，板书、画图：

已知：如图∠_____=∠______点P在OC上，____⊥____，____⊥____，垂足分别为点D，E 求证：___________ A教师活动：你能用前面学过的有关三角形全等的

D方法写出证明过程吗?试一试。 CP学生活动：学生独立完成，教师巡视点拨。再由一学生板示证明过程。

OEB

教师活动：

归纳：一般情况下：要证明一个几何命题时会按类似的步骤进行，即：

1、明确命题中的__________________和________________

2、根据题意，画出图形并用_____________表示_______和________

3、经过分析：找出由已知推出_________的途径，写出证明过程。教师活动：由此，我们把同学们发现的这个结论作为定理。(补充板书)：角平分线性质定理：________________________________ 教师活动：根据如图所示的角平分线的基本图形，常用的推理形式：

∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE ⊥OB ∴PD=PE

同学们注意观察，在推理的条件中，共并列了几个条件?

四、学会应用：

1、如图，P为∠AOB平分线上一点，PC⊥AO于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一组相等的线段。________________________________

2、如图在△ABC中，∠C=90°，BD为角平分线，AD=2.2cm AC=3.7cm，求点D到AB边距离.

方法小结： (1)

(2)

注意事项：

3、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=40cm，BD=到AB的距离?

53CD，求点D方法小结：

五、再进一步：

在△ABC中，AD为角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F求证：EB=FC 教师活动：结合图形先审题，明确你的证明思路是否能直接证出结论?

方法小结：______________________________________________________

变式训练：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF，求证：CF=BE

C方法引导：图形中有角平分线的基本图形吗?

AEDFB

六、小结：谈谈你本节课的收获?

七、作业：课本P23 4题、5题、6题

课后思考：点P在∠AOB平分线上，请你添加一个条件，使PA=PB，并证明。

APOB

第三篇：角平分线的性质教学反思

角平分线的性质一节内容原本只是关于角平分线上的点到角的两边的距离相等这个定理。但在人教版教材中则是先通过一个平分角的简单学具进行引入，再来学习角平分线的画法的尺规作图，而后是角平分线性质的内容。教材内容给人一种拼凑、零散的感觉。

在授完《角平分线的性质(1)》内容后，在回顾本节课的教学环节上，我深刻查觉到自己的不足，故作此反思。

1、在授课开始，没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用。并且没有在尺规作图后将平分角的学具与角平分线的画法的关系两相对照。

2、在授课过程中，我对学生的能力有些低估，表现在整个教学过程中始终大包大揽，没有放手让学生自主合作，在教学中总是以我在讲为主，没有培养学生的能力。

3、对课堂所用时间把握不够准确，由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间，当然这一环节时间的浪费与我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的，以至于在后面所准备的习题练习时间比较紧迫，感觉这节课不够完整。再就是课堂上安排的内容过多，也是导致前面所提问题的原因。这也使我注意到在授课内容的安排上不应死板教条，而应根据内容和学生情况进行更合理的配置。

通过这节课的反思我深刻的意识到：自己在利用学案教学的教学模式的教学中还有太多的不足，以后要在实际教学中多注意和多反思，更好地培养学生的合作精神与个人能力。

第四篇：角平分线的性质教学设计

人教版数学八年级上12.3.1角平分线的性质教学设计

一、教学分析：

1.教学内容：

本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12章3节第一课时的内容，是七年级学习角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的，内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径。因此，本节内容在数学科体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深，则易到难，知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。 2.教学对象分析：

刚进入八年的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较弱，思维的广阔性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。 3.教学环境分析：

利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索数学环境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。选择根据本节课的实际需要，我选择电脑及投影仪多媒体教学系统辅助教学，借助几何画板将有关教学内容用动态的方式表示出来，发现变化中的不变，吸引学生的注意力。

二、教学目标：

1.知识与技能

通过作图直观地理解角平分线的性质. 2.过程与方法

经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法. 3.情感、态度与价值观

激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.

三、重、难点

1.重点：领会角的平分线的性质.

2.难点：角平分线的性质的实际应用.

教具准备投影仪、制作如课本图12.3─1的教具(几何画板).

四、教学策略与手段

教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会角平分线的性质.

五、教学过程

1.创设情境，导入新课活动1(投影显示)

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法? 学生分组讨论测量方法

A O

老师总结：可以用对折的方法把∠ABC平分

活动2如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢? 学生仍讨论：对折的方法不可以，应当考虑使用工具了。

如课本图12.3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 画板演示

小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图12.3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理.证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB(已知)

DC=BC(已知)

CA=CA(公共边)

∴ △ACD≌ △ACB(SSS)

∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等)

∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)

活动3：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器) 做出三条边相等

图12.3-1

如何用尺规作角的平分线?

作法：1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N.

2.分别以M，N为圆心.大于

1MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C. 23.作射线OC.

则射线OC即为所求.

活动4：实践应用(1) 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系? 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

(图形在课件上)

活动5：探究角平分线的性质

(1)实验：任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE，比较PD，PE的长度。 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 学生实际测量，老师几何画板验证，确定命题的已知和求证

角的平分线的性质的数学符号表示：

已知：如右图，OC平分∠AOB，点P在OC上，

PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB (已知)

∴ ∠1= ∠2(角平分线的定义)

∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB(已知)

∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义)

在△PDO和△PEO中

∠PDO= ∠PEO(已证)

∠1= ∠2 (已证)

OP=OP (公共边)

∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)

证明几何命题的一般步骤

1.明确命题中的已知和求证;

2.根据题意画出图形，并用数学符

号表示已知和求证;

3.经过分析，找出由已知推出要证

的结论的途径，写出证明过程. 例：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)

活动6：实践应用(2)

如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF; 求证：CF=EB

A F

D B

分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明. 随堂练习

1.教材50页第1题

2.已知：在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB，AB=7㎝，AC=3㎝，求BE的长。

3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢? ⑵哪条线段与DE相等?为什么?

⑶若AB=10，BC=8，AC=6，

求BE，AE的长和△AED的周长。

小结：

1：画一个已知角的角平分线

(注意作图痕迹和几何语言的表达) 2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3：角平分线的性质的应用作业：教科书51页第2题板书设计：

12.3.1角的平分线的性质

1.作已知的角的平分线

2.角平分线的性质

课后反思：

第五篇：《角平分线的性质》教学设计

(一) 创设情境导入新课

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?

如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢?

设计目的：能聚拢学生的思维为新课的开展创造了良好的教学氛围。

(二) 合作探究，理解教材

(活动一)探究角平分仪的原理。具体过程如下：播放奥巴马访问我国的录像资料------引出雨伞-----观察它的截面图，使学生认清其中的边角关系-----引出角平分线;并且运用几何画板对伞的开合进行动态演示，让学生直观感受伞面形成的角与主杆的关系-----让学生设计制作角平分仪;并利用以前所学的知识寻找理论上的依据，说明这个仪器的制作原理。

设计目的：用生活中的实例感知。以最近大事作引入点，以最常见的事物为载体，让学生感受到生活中处处都有数学，认识到数学的价值。其中设计制作角平分仪，可培养学生的创造力和成就感以及学习数学的兴趣。使学生很轻松的完成活动二。

(活动二)通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.

分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性。

（三）师生互动，讲解教材

讨论结果展示：教师根据学生的叙述，利用多媒体课件演示作已知角的平分线的方法：

已知：∠AO B.

求作：∠AOB的平分线.

作法：

(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.

(2)分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.

(3)作射线OC，射线OC即为所求.

设计目的：使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣。