第一篇：高数大学数学目录
2015考研数学高数真题解析
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2015考研数学高数真题解析
[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习!
2014年12月28日凯程考研数学教研组第一时间解析了2015考研数学(一)(二)(三)真题，今年的试题难度和去年相比差不多，出题的方向和题目的类型完全在预料之中。没有偏题怪题，也没有计算量特别大的题目，完全按照考试大纲的要求，只要考生有比较扎实的基本功，复习比较全面，是比较容易拿到高分的。相信同学们都能做的不错。
证明题是研究生考试几乎每年必考的内容，今年考研数学(一)(三)证明题与以往不同，之前经常考到的是有关中值等式的证明或不等式的证明等等，而今年的证明题是导数公式的证明，题目如下
以上是这道证明题的解题过程，这道题也是咱们同济大学第六版高等数学上册教材88页的原定理，所以同学们在预习课本的时候，一定要重视定理、公式、法则、性质等的证明，近几年考研真题都有考过原定理的证明，比如08年考了边上限函数导数的证明，09年考查了拉格朗日中值定理的证明。所以对于2016届考研的学子来说，一定要重视书中定理、公式、法则、性质等的证明。在此对准备2016年考试的考生来说，复习安排应注意以下方面：
首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位。象今年考查的导数的运算法则，就是教材上的一个定理，选择题和部分填空题也是考查基本概念和基本原理，基础知识的考查占有相当大的比例，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。
其次，注重公式的记忆，方法的掌握和应用。填空题部分和一部分大题难度不大，需要能够理解原理，熟悉公式，灵活运用方法。
基础复习阶段非常重要，只要掌握好基础，对于后期题型的训练和方法的掌握都有很大的帮助，只有打好基础才能做题达到游刃有余。
再次，注重综合问题、实际问题，这部分内容是强化阶段重点关注的问题和需要培养的能力，需要大家练习一定量的问题，以达到巩固概念方法和原理、提高所学知识解决问题能凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖! 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。 凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http://
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力的目的。
最后，凯程考研衷心地祝愿广大考生2016年考研成功! 2015考研刚刚结束，在这里首先祝福各位考生金榜题名!根据今年考研真题，凯程考研数学名师李擂为2016考研的学子介绍一下真题中线性代数的出题特点，以便大家在接下来的复习中能够更好的把握线性代数的复习方法。
从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。下面以真题中的几道题目为例，例如：数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)
针对以上特点，老师建议各位2016考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。
比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。
对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。一定要注意总结这些基本运算的运算方法。例如，复习行列式的计算时，就要将各种类型的行列式计算方法掌握清楚，如，行(列)和相等型、爪型、三对角线型，范德蒙行列式等等。
最后，凯程考研衷心地祝愿广大考生2016年考研成功!
凯程教育：
凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯;
凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里;
凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖! 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。 凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http://
考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可!
信念：让每个学员都有好最好的归宿;
使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构; 激情：永不言弃，乐观向上;
敬业：以专业的态度做非凡的事业;
服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。
如何选择考研辅导班：
在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。
师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由
一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。
对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。
建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年(2005年)，一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。
有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。
凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖! 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。
第二篇：2018考研数学冲刺：高数常考题型总结
http:///kaoyan/ 考研数学冲刺:高数常考题型总结
2018考研已经进入冲刺阶段，文都网校考研小编帮大家梳理了在考研数学高数中的常考题型。高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学
一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。希望大家不要盲目复习，加强巩固以下知识点。
函数、极限与连续
求分段函数的复合函数;
求极限或已知极限确定原式中的常数;
讨论函数的连续性，判断间断点的类型;
无穷小阶的比较;
讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，复习的关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。
一元函数微分学
求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;
利用洛比达法则求不定式极限;
讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;
利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;
http:///kaoyan/ 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;
利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
一元函数积分学
计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;
关于变上限积分的题：如求导、求极限等;
有关积分中值定理和积分性质的证明题;
定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;
综合性试题。
向量代数和空间解析几何
计算题：求向量的数量积，向量积及混合积;
求直线方程，平面方程;
判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;
建立旋转面的方程;
与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。
这一部分为数一同学考查，难度在考研数学中应该是相对简单的，找辅导书上的习题练习，需要做到快速正确的求解。
多元函数的微分学
http:///kaoyan/ 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续;
求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;
求二元、三元函数的方向导数和梯度;
求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习;
多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。
这部分应用题多要用到其他领域的知识，在复习时要引起注意，可以找一些题目做做，找找这类题目的感觉。
多元函数的积分学
二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;
第一型曲线积分、曲面积分计算;
第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用;
第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;
梯度、散度、旋度的综合计算;
重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。
无穷级数
http:///kaoyan/ 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;
求幂级数的收敛半径，收敛域;
求幂级数的和函数或求数项级数的和;
将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);
将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);
综合证明题。
微分方程
求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x与y对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型;
求解可降阶方程;
求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;
根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;
综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。
考研冲刺提分，考研英语、政治可以看看文都名师何凯文、蒋中挺老师的考前点睛班哦，祝同学们备考顺利!
第三篇：考研数学：高数重要公式总结(基本积分表)
凯程考研
历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员!
考研数学：高数重要公式总结(基本积
分表)
考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。
其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖! 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。
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特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。
如何选择考研辅导班：
在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。
师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经
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验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由
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凯程考研历年战绩辉煌，成就显著!
在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，(他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布，随时可以查看播放。)对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。
考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。
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王少棠
本科学校：南开大学法学
录取学校：北大法学国际经济法方向第一名 总分：380+ 在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于少棠来说，无疑是无比高兴的是，圆梦北大法学院。在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。
王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说：“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天6点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读，8点开始单词与长难句测试，9点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室里学习了，夏天比较困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上自习、测试、答疑之类，晚上11点30熄灯睡觉。”
这样的生活，贯穿了我在辅导班的整个过程，王少棠对他的北大梦想是如此的坚持，无疑，让他忘记了在考研路上的辛苦，只有坚持的信念，只有对梦想的勇敢追求。
龚辉堂
本科西北工业大学物理
考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部) 作为跨地区跨校跨专业的三凯程生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。
在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常纯熟到位，也是每个学生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。在辅导班里，学习成绩显著上升。
在暑期，辅导班的课程排得非常满，公共课、专业课、晚自习、答疑、测试，一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真，在这个没有任何干扰的考研氛围里，充实地学习。
在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。
五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有
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凯程考研
历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员!
质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。
另外，在去年，石继华，本科安徽大学，成功考入五道口金融学院，也就是说，我们只要努力，方向正确，就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油，五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。
黄同学(女生) 本科院校：中国青年政治学院 报考院校：中国人民大学金融硕士 总分：跨专业380+ 初试成绩非常理想，离不开老师的辛勤辅导，离不开班主任的鼓励，离不开她的努力，离不开所有关心她的人，圆梦人大金融硕士，实现了跨专业跨校的金融梦。
黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。
初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主任老师没有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。
张博，从山东理工大学考入北京大学法律硕士，我复习的比较晚，很庆幸选择了凯程，法硕老师讲的很到位，我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功，也祝愿凯程越办越好。
张亚婷，海南师范大学小学数学专业，考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向，成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。
孙川川，西南大学考入中国传媒大学艺术硕士，播音主持专业。在考研辅导班，进步飞快，不受其他打扰，能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责，真的很感谢他们。
在凯程考研辅导班，他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说：考取人大，是我的梦想，我一直努力，肯定能够成功的，只要我们不放弃，不抛弃，并且一直在努力前进创造成功的条件，每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信，每个人都能够成功。
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第四篇：2016考研数学高数9月至考前的复习计划
10月30日以前——补充题量，见识题型
经过了暑期的强化复习，考生应该通过一些题量来提高自己对知识点的理解和计算能力的提高，从理解知识点到会做题的层次。
11月：考生结合考研真题进行复习
考研历年真题是数学复习最好的老师。这个阶段大家必须要做10到15年的真题，先做第一遍，每天上午利用3个小时的时间，完全模拟真正的考试，完整的做一套卷子，这样下午去总结和归纳，第二天做第二套，一直下午，基本半个月一遍结束，然后重新开始再做第二遍，也从第一套开始，下午总结的时候看看是不是第一遍错的地方第二遍纠正过来了，对于两遍都错的地方要特别留意。
无论哪一种做题目的，都要求在做完题后有归纳总结。一个是总结做题技巧，一个是总结自己基础知识上的欠缺，还有一个是深入挖掘题目拓展意义。技巧是训练的结果。
12月：考生结合模拟试题进行复习
这个阶段，考生最主要的目的还是查漏补缺，可以适当做些模拟题。必须至少保证5套模拟试卷的练习，模拟的成绩不是最重要的，关键是看自己还有哪些方面没有掌握，及时学习。
第五篇：大学高数下册试题及答案
《高等数学》(下册)测试题一
一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）
1.设有直线
及平面，则直线(
A
)
A.平行于平面;
B.在平面上;
C.垂直于平面;
D.与平面斜交.
2.二元函数在点处(
C
)
A.连续、偏导数存在;
B.连续、偏导数不存在;
C.不连续、偏导数存在;
D.不连续、偏导数不存在.
3.设为连续函数，，则=(
B
)
A.;
B.;
C.
D..
4.设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分
=(
D
)
A.7;
B.;
C.;
D..
5.微分方程的一个特解应具有形式(
B
)
A.;
B.;
C.;
D..
二、填空题（每小题3分，本大题共15分）
1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为;
2.设，则=;
3.设为正向一周，则
0
;
4.设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数
;
5.设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有
1
.
三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.
解：方程两边取全微分，则
解出
从而
四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.
解：
，
从而
五、（本题8分）计算累次积分
).
解：依据上下限知，即分区域为
作图可知，该区域也可以表示为
从而
六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.
解：先二后一比较方便，
七.(本题8分)计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.
解：由对称性
从而
八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.
解：在上半平面上
且连续，
从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取
九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.
解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧
十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．
解：
由已知
即
十一、（本题4分）求方程的通解.
解：解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式
比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为
代入方程得
十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.
解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由
推出，的坐标为
附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)
1.判别级数是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?
解：由于，该级数不会绝对收敛，
显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛
2.求幂级数的收敛区间及和函数.
解：
从而收敛区间为，
3.将展成以为周期的傅立叶级数.
解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
《高等数学》(下册)测试题二
一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）
1.设，且可导，则为(
D
)
A.;;
B.;
C.;
D..
2.从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方
程是(
B
)
A.;
B.;
C.;
D..
3.微分方程的通解是(
D
)
A.;
B.;
C.;
D..
4.设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于(
A
)
A.;
B.;
C.;
D..
5.累次积分=(
A
)
A.;
B.;
C.;
D..
二.填空题(每小题5分，本大题共15分)
1.曲面在点处的切平面方程是;.
2.微分方程的待定特解形式是;
3.设是球面的外测，则曲面积分
=.
三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）
解：先求两已知直线与平面的交点，由
由
由两点式方程得该直线：
四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）
解：
沿梯度方向上函数的方向导数
五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）
解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。
由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省
六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）
解：观察得知该用极坐标，
七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）
解：解：观察得知该用先二后一的方法
八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）
解：在上半平面上
且连续，
从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，
取折线
九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）
解：由于，故
为上半球面，则
原式
十、求微分方程
的解.(本题8分)
解：
由，得
十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）
解：沿着直线，
依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。
而
十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）
解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为
因此
为非齐次方程的另一个特解，
故，，通解为
附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)
1.求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数.
解：
由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为
看，
则
从而
2.求函数在处的幂级数展开式.
解：
3.将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围.
解：作周期延拓，
从而
《高等数学》(下册)测试题三
一、填空题
1.若函数在点处取得极值，则常数.
2.设，则.
3.设S是立方体的边界外侧，则曲面积分
3
.
4.设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为.
5.微分方程用待定系数法确定的特解(系数值不求)的形式为.
二、选择题
1.函数在点处(
D
).
(A)无定义;
(B)无极限;
(C)有极限但不连续;
(D)连续.
2.设，则(
B
).
(A);
(B);
(C);
(D).
3.两个圆柱体，公共部分的体积为(
B
).
(A);
(B);
(C);
(D).
4.若，，则数列有界是级数收敛的(
A
).
(A)充分必要条件;
(B)充分条件，但非必要条件;
(C)必要条件，但非充分条件;
(D)既非充分条件，又非必要条件.
5.函数(为任意常数)是微分方程的(
C
).
(A)通解;
(B)特解;
(C)是解，但既非通解也非特解;
(D)不是解.
三、求曲面上点处的切平面和法线方程．
解：
切平面为
法线为
四、求通过直线
的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线.
解：设过直线的平面束为
即
第一个平面平行于直线，
即有
从而第一个平面为
第二个平面要与第一个平面垂直，
也即
从而第二个平面为
五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切．
解：直线为，从而有定解条件，
特征方程为
方程通解为，由定解的初值条件
，由定解的初值条件
从而，特解为
六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程
试求出函数.
解：因为
特征方程为
七、计算曲面积分
，
其中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向余弦.
解：两表面的交线为
原式，投影域为，
用柱坐标
原式
另解：用球坐标
原式
八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．
解：
九、判断级数的敛散性．
解：
当，级数收敛;当，级数发散;
当时级数收敛;当时级数发散
十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧．
解：再取，围成半圆的正向边界
则
原式
十一、求曲面：到平面：的最短距离．
解：问题即求在约束下的最小值
可先求在约束下的最小值点
取
时，
这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。