圆与方程教学设计

第一篇：圆与方程教学设计

高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案

圆的标准方程

教学目标

(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题.

(2)理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线;从圆外一点引切线;已知切线斜率求切线等.

教学重点和难点

重点：圆的标准方程的理解、应用;圆的切线方程.(已知切点求切线;从圆外一点引切线;已知切线斜率求切线).

难 点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线.

教学过程设计

(一)导入新课，教师讲授.

同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题.

什么是“圆”.想想初中我们学过的圆的定义.

“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”.

定点就是圆心，定长就是半径.

根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程.(引导学生推导)

设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r.

则│CM│=r,

两边平方. (x-a)

2+(y-b)2

=r2

,

我们得到圆的标准方程，

这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程. 如果圆的圆心在原点.O(0,0).即a=0.b=0.

问题1.说出下列圆的方程：

(1)圆心在点C(3, -4), 半径为7. (2) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3). 问题2 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：

(1) (x + 7)2 + ( y  4)2

= 36 (2) x2 + y2  4x + 10y + 28 = 0 (3) (x  a)2 + y 2

= m2

例1.写出圆心为C(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点 m1(5.-7)，m2(-5,-1) 是否在这个圆上。

跟踪训练

已知两点M(3,8)和N(5,2). (1)求以MN为直径的圆C的方程;

(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外?

探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系? 点与圆的位置关系: (x2220-a)+(y0-b)>r时,点M在圆C外 (x2220-a)+(y0-b)=r时,点M在圆C上 (x2220-a)+(y0-b)

例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. (二)学生课堂练习

1.点(2a, 1  a)在圆x2

+ y2

= 4的内部,求实数 a 的取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程：

(1)求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程。(2)圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。 (3)求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的直线的方程。

1、课本练习题1.(1)x

2+y2

=9;(2)(x-3)2

+(y-4)2

=5;

(3)(x-8)2+(y+3)2

=25.

2、课本练习题2.x

2+y2

=196.

教师讲授，师生研究

下面我们来研究圆的切线问题：

(1)已知切点坐标，求过这切点的切线方程.

例1 已知圆的方程是x2

+y2

=r2

，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程.

[分析]切线是直线，已知切线过切点，因此应从点斜式考虑，连接圆心O与切点M，切线l⊥OM，OM的斜率可求出，则切线的斜率l也可求出，由点斜式可得到切线的方程.

解： 设切线l的斜率为K，切线l：y-y0=K(x-x0),

∴切线l的方程是

这个公式很重要，要熟记其特征与各个字母的含义.

(2)已知切线的斜率，求切线的方程.

4 (三) 小结.圆的切线的求法.

(1)已知切点求切线，把切点(x2

0，y0)坐标代入公式x0x+y0y=r即得到切线方程.但这种代法对同学们来讲，目前只适用于圆心在原点的圆.

(2)已知斜率求切线，可设切线的斜截式y=kx+b，代入圆的方程，由△=0，求出截距b.这种求法适用于圆心在原点的圆，计算量较小.

(3)过圆外一点作圆的切线，把切线高为点斜式，根据圆心到切线的距离等于半径这一基本性质，确定斜率，得到切线.这一求法较有普遍性，同学们要牢牢掌握，圆心不在原点时，用起来方便. (四)课时小结 1.圆的标准方程 2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法：

①待定系数法

②几何法

(五)作业.

习题7.6

1、

2、

4、5

5

第二篇：圆与圆的位置关系教学设计

圆与圆的位置关系

一、教学目标：

(一)知识目标

1、利用计算机制作动画(让学观察两圆相对运动的过程)培养学生以运动变化的观点来观察问题(观察出确定“两圆位置关系”的关键 两圆交点的个数)分析问题、解决问题的能力。

2、用计算机制作动画让学生从静止的角度探索出“两圆半径与圆心距之间的数量关系”与“两圆位置”的联系，培养学生认识事物都是相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点。

(二)过程与方法

在经历“观察 猜测 探索 验证 应用”的过程，渗透了从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、思维能力。实现了感性到理性的升华。

(三)情感目标

1、通过合作交流、自主评价，改进学生的学习方式，及学习质量，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动地去获取知识。

2、让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。

二、教学重难点

重点：圆与圆位置关系的发现及确定方法

难点：圆与圆位置关系的数量关系的发现。

三、教学设备：计算机课件

四、教学过程：

(一)复习提问

1、如何确定点与圆的位置关系?

2、确定直线与圆的位置关系的方法是什么?

(二)创 设 情 景

1、欣赏生活中圆与圆位置关系的图片，同时学生举例。

2、用微机制作出有“日食”现象的动画，提问这种现象是怎么产生的呢?

3、当学生说出其现象的成因后，动画演示“日食”形成的过成。

(三)探 求 新 知

1、如果把月亮与太阳看成两个圆，那么两个圆在作相对运动的过程中有几种位置关系产生呢?请同学们在练习本中画出并将其命名。

探 究 发 现

1、将学生的发现展示给大家后，教师让学生相互分析点评。老师进行点拔。

2、老师用微机将两圆位置关系的动画与学生的发现进行对比。(教师给予恰当的点评)

3、用微机将两圆的五种位置关系进行分类，并让学生思考分类标准。从而引导学生确定两圆位置关系的一种方法(交点个数)。

4、提问：两圆“相切、相离”所指的图形是什么?

5、在给出图形的前提下可识别出两圆的位置关系，如果没有图形能识别出两圆的位置关系么?(让学生分小组讨论)

6、学生讨论完后教师给予点评，并利用微机动画与学生一起探索确定两圆位置关系的另一种方法。(对学生讨论结果教师给予适当点拨或点评)

7、例1:如图,⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm，若⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径是多少?(见课件)

8、例

2、如图，等圆⊙M和⊙N相交于A、B两点，⊙M经过⊙N的圆心N，求∠MAB的度?(见课件)

9、当堂达标：填空题：1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm、4cm，设d=O1O2 ： (1)当d=8cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. (2)当d=7cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. (3)当d=5cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. (4)当d=1cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. (5) 当d=0.5cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________. (6)当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________.

五、课堂小结

六、教学反思

第三篇：圆与圆的位置关系教学设计

《圆和圆的位置关系》教学设计

一、教学目标 (一)教学知识点

1.了解圆与圆之间的几种位置关系.

2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.

(二)能力训练要求

1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力. 2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力. (三)情感与价值观要求

1.通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维.

二、教学重点、难点

重点：探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.

难点：探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程.

三、教学方法

教师讲解与学生合作交流探索法

四、教学过程

1.创设问题情境，引入新课

[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨. 2.自学探究 想一想：

[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?

[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等. [师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么. 探索

(一)、圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?

[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流. [生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么

2 特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.

[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;

(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;

(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部;

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部;

(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部. [师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?

[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.

[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种. 经过大家的讨论我们可知： 出示幻灯片：

如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含. 探究

(二)、两圆的位置关系与两圆的半径、圆心距的关系 设两圆的半径分别为R和r.

3 (1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?

(2)当两圆内切时(R>r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗? [师]如图，请大家互相交流.

[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A.因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2=O1A+O2A=R+r，即d=R+r;反之，当d=R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O

1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切.

在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2上，所以O1O2=O1B-O2B，即d=R-r;反之，当d=R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O

1、O

2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切. [师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d=R+r.

当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d=R-r时，两圆相内切，即两圆相内切 d=R-r.3 思考：外离、相交、内含时两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系? (出示幻灯片演示) 3.课堂练习：

1、2

4 4.课时小结

本节课学习了如下内容： 1).探索圆和圆的五种位置关系;

2).讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系;

3).探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系. 5.课后作业

巩固作业：习题

1、

2、 拓展作业：习题3 6.板书设计 教学反思

本节课在教学上采用了探究性的学习方法，通过学生动手实践等手段使学生在做中学，充分体现出“先学后教，当堂训练”的理念。 为了调动学生学习的积极性和对本节课的兴趣，我利用多媒体播放日食的形成过程引入新课，极大的刺激了学生的感官，学生热情高涨都跃跃欲试，积极参与。让学生自主学，探究学，而不是放任学。学生掌握了恰当的学习方法，这样的自学才有效。同时以图形运动的手段向学生直观展现知识发生过程，化静态为动态，强化了学生对知识的记忆，再通过两等圆的位置关系的判断，教会学生从不同角度思考问题，来拓展学生思维，培养学生全面思考问题的能力。

第四篇：《圆与圆的位置关系》教学反思

汪明静

这节课的内容与 “直线和圆的位置关系”有密切的联系，但这节课的两圆位置关系远比直线与圆的位置关系复杂。 因此，为了调动学生对本节课的学习兴趣，我在黑板上举了日月食的形成过程引入新课。让学生类比直线与圆的位置关系，猜测两圆可能存在的位置关系，然后讨论，归纳确定两圆位置关系的各种情况。学生热情高涨都积极参与。

在与两圆位置关系相应的数量关系的研究中，鉴于学生已有直线与圆的位置关系中两量(半径、圆心到直线的距离)的数量关系的认知基础，就只运用了类比迁移的方法。这些方法的运用，都是为了充分发挥学生在探求新知过程中的主体作用。 其次，与五种位置关系相应的数量关系的研究中，我采用“先易后难，突破关键”的教学策略。先让学生解决易于解决的“外离”、“外切”、“内切”时的三量的数量关系，再解决“内含”时的三量的数量关系，最后突破相交时三量的数量关系：R-r

通过这节课的教学，我觉得课堂就应该交给学生，而不是一味的填鸭式灌输给学生，这样反而达不到预期的效果出来。 而判断圆与圆的位置关系，体现的是解析几何的思想：用方程处理几何问题，用几何方法研究方程性质。所以我在教材处理上，两种方法贯穿始终，使学生对解析几何的本质有所了解。

下面是我在设计这掌课时的一点想法。

第

一、学生学习新知识必须在学生已有知识和经验的基础上自主建构与形成。所以，我一开始复习此节相关的知识点，通过问题解决，以旧引新，提出新的问题，以类比的方法研究圆与圆的位置关系。启发学生思考当初是怎样研究判断直线与圆的位置关系的方法?这种方法是否同样可以运用到研究圆与圆的位置关系上来?能否用来判断圆与圆的位置关系?使学生很自然的从直线与圆的位置关系的判断方法类比到圆与圆的位置关系的判断方法。

第二、教学的过程就是在教师控制下的学生自主学习和探究合作学习的过程，这个过程中的关键点是怎么样有效的控制学生自主学习和合作探究学习的时间和空间，在教学的过程中，我较好的处理了学生学习的空间与时间，既留给学生充分思考与探索的时间与空间，又严格限定时间。

第三、把解决问题步骤算法化，提前介入算法的思想，有利于后续学习，也有利于学生理清解决问题的思路和规化解决问题的程序。

对于问题探究的题型选择的一些思考：第一，侧重点之一是必须注意到相切的两种位置关系：内切与外切;侧重点之二在于如何找到这两个圆的圆心，是为了让学生回顾两相切圆心与切点在同一直线上这一性质，由此得到圆心坐标。第二研究一个半径变化的圆与定圆相切，求题中参数变化的问题，同样要注意是相切的两种情况。

上完这掌课有几个值得反思的问题：

1.设计思路。圆与圆的位置关系在教材中不如之前直线与圆位置关系的应用性广，有关它的题型受教学要求的局限，使教学设计增加了难度，但是运用已学的直线与圆的位置关系，用类比的方法去处理圆与圆的位置关系又是一个很好的材料，所以我采用了类比的思想，让学生自主探讨出圆与圆位置关系的判断方法，这也比再次独立研究圆与圆位置关系大大的缩短了时间，为后面节省了时间，这种思路是否可行? 2.时间把握。课前复习是有必要的，是为了学生类比旧知识，联想新知识，但复习旧知的时间应该限定在三分钟以内，复习时间长导致巩固练习的时间不足和问题展开不够充分。 3.限时训练。为了让学生更有效率的做题，限定时间过长或是过短都是不利于学生提高数学能力.这点还有待研究。

第五篇：《圆与圆的位置关系》教学设计与反思

乐山七中

王东英

教学目标：

1、使学生掌握两圆的五种位置关系的定义、性质、判断。

2、使学生初步掌握相切两圆和相交两圆的性质。

3、通过两圆位置关系的探究，培养学生用运动变化的观点来发现问题、分析问题、解决问题的能力;让学生体验数学活动充满探索和创造;让学生体验探索的乐趣。

4、通过教学和应用，让学生充分体验分类讨论思想。 教学重难点：

五种位置及其对应数量关系的探究和应用 教学过程：

一、复习

我们已经学习了与圆有关的位置关系有哪些?对应的数量关系怎样?(生答，师重点强调直线与圆的位置关系有两种判定，其中一种判定是直线与圆的公共点个数来确定位置关系)那么两个圆的公共点的情况怎样呢?我们一起动手来观察

二、探究两圆的位置关系

1、师用多媒体演示运动中的两个圆(其中一个稍大的圆固定不动，小圆在过大圆圆心的直线上运动)，让学生观察两圆的公共点的个数。师：显然在运动过程中，两圆的位置关系不同，这就是我们今天所要探究的内容：圆与圆的位置关系，板书课题。师问：两圆的公共点个数有几种情况?你能给这三种情况命名吗?(类似的，命名为相离、相切、相交)师板书两圆的三种位置关系。

2、再演示，注意观察，都是相离(或相切)，两种图形有什么区别?学生回答后师总结相离分为外离和内含，相切分为外切和内切。(这里提醒学生解题时注意分类讨论)板书两圆的5种位置关系

3、由前面的学习我们知道，位置关系都有对应的数量关系，而且都是圆的半径与“距离”的关系，那么两圆的位置关系对应的数量关系是谁与谁的关系呢?在这里，有两个圆，当然“半径”是两圆半径R和r，而圆的位置由圆心来确定的，故“距离”是两圆心的距离，即圆心距d。那现在我们一起来探究两圆半径与圆心距的关系，三种关系中哪一种最特殊呢?那我们就从相切来研究。通过演示，学生很容易观察得出结论：两圆外切d=R+r，两圆内切d=|R-r|。从运动中一目了然得出：两圆相交|R-r|R+r;两圆内含0d<|R-r|。

4、为了方便记忆，可把5种位置关系在数轴上表示出来。(注意两个关键点R+r和R-r)

三、探究性质

1、相切两圆的性质

2、相交两圆的性质

3、由此常见的辅助线

4、两圆的位置关系中的分类讨论：相切分为外切和内切;相离分为外离和内含;已知相交两圆的半径和公共弦长求圆心距分为圆心在公共弦的同侧和异

1

侧。

5、复习总结已学的与圆有关的分类讨论

四、应用

例

1、线段OP=8㎝，⊙O半径为5㎝，若⊙P与⊙O相切，则⊙P半径为多少?

例

2、已知两圆的半径分别为R，r，且R>r，R、r是方程x25x20的两根，设两圆的圆心距为d. 11(1) 若d，判定两圆的位置关系;

2(2) 若d=3，判定两圆的位置关系;

(3) 若d=4.5，判定两圆的位置关系; (4) 若两圆相切，求d的值。

五、小结全课

六、教材中的练习和习题

七、作业(略) 分析：用直线与圆的位置关系类比教学圆与圆的位置关系学生易理解新旧知识的联系和区别;用运动的观点进行教学，学生不易忘记知识，可以在脑袋里呈现运动过程，一切相关知识也得以呈现;从特殊到一般进行教学，符合学生认知特点，而且更容易探究出不特殊时候的情况;在教学中时常总结分类讨论情况，学生解题时不易漏解;例题设置注意分类讨论和一题多解;练习的呈现注意变化性和由易到难。 反思：引入新课时可以用实际生活中的两圆的一些位置情况;探究时可以让学生课前准备好两个大小不同的圆，先在桌上自己固定一个圆，作平移运动，观察、分析，师再用多媒体演示两圆的相对运动。