圆与方程教学设计

2024-04-21

圆与方程教学设计（精选9篇）

篇1：圆与方程教学设计

圆的一般方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(二)能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

二、教材分析

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．

(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)

三、活动设计

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．

四、教学过程(一)复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

(二)圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．

2．圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．例2小结：

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

(0，2)．

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．这时，教师指出：

(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；

(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结

1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

篇2：圆与方程教学设计

1.D

2.D 弦长为，

3.C ，相切时的斜率为

4.D 设圆心为

5.A 圆与轴的正半轴交于

6.D 得三角形的三边，得的角

二、填空题

1.相切或相交 ;

另法：直线恒过，而在圆上

2. 圆心为，令

三、解答题

1.解：显然为所求切线之一;另设而或为所求。

2.解：圆心为，则圆心到直线的距离为，半径为

得弦长的一半为，即弦长为。

3.解：令则可看作圆上的动点到点的连线的斜率

而相切时的斜率为，。

4.解：(1) ①; ②;

② ①得：为公共弦所在直线的方程;

篇3：圆与方程教学设计

例1.已知圆(x-a) 2+y2=a2 (a∈R)，双曲线2x2-y2=8.试问当a为何值时，圆与双曲线有2个公共点?

分析：由方程组

消去y得：3x2-2ax-8=0………(3)

由判别式可知，方程(3)对a∈R都有解，据此能否得出不论a为何值，圆与双曲线都有交点?考虑方程(2)，由y2=2 (x2-4)可知，并非x值存在，y就一定存在.只有当x2≥4即方程(3)的根大于等于2或小于-2时，圆与双曲线才有交点.当圆与双曲线仅有2个交点时，由方程(2)可知，方程(3)的根必须满足一根x1>2或<-2，另一根x2∈(-2, 2).

解：由以上分析，令f (x)=3x2-2ax-8，设方程(3)的两根为x1, x2.∵圆与双曲线有2个交点，∴方程(3)的根x1>2或x1<-2，而另一根x2∈(-2, 2)必须具备的条件为：

∴(4-4a) (4+4a)<0，解得a>1或a<-1.

所以当a>1或a<-1时，圆与双曲线有2个公共点.

注意：若仅由方程(3)的判别式总大于0就断定两曲线有交点，那就大错特错了，特别地取a=0，方程(3)有解，但原方程组无解.因此，必须参照方程(2)中根的范围确定a的取值.

例2.已知椭圆和圆x2+y2=a2 (a>0)，问：当a为何值时，椭圆与圆有交点?

是否方程(3)有解，则两曲线必有交点呢?答案是否定的这里必须考虑方程(3)的解的取值范围.

解得2≤a≤3.

例3.已知圆 (x-a) 2+y2=4, 椭圆.当a为何值时, 圆与椭圆有交点?并说明交点的个数.

很明显方程(3)总有解.能否据此判断a∈R，圆与椭圆恒有交点?

由方程(2)可知，x∈[-3, 3].所以要使圆与椭圆有交点，则方程(3)在区间[-3, 3]上必须有根.

解：由以上分析可知，方程(3)的判别式△=144a2.

若△=0，则a=0，方程(3)的解满足条件，圆与椭圆有交点.

若△≠0，则分两种情况：

(1) 方程(3)在区间[-3, 3]上仅有一根，则

解得-5≤a<-1或1

(2) 方程(3)在区间[-3, 3]上有两个不相同的根，则

解得-1≤a<0或0

综上可得:当a=5或a=-5时, 圆与椭圆有1个交点;

当a=0或1

当a=1或a=-1时, 圆与椭圆有3个交点;

当0

例4.已知圆：(x-1) 2+y2=m2 (m∈R)，双曲线：x2-3y2=9，当m为何值时，圆与双曲线的交点个数分别为1个，2个，3个，4个?

解：联立方程组：

消去y得到一个关于x的一元二次方程:

由方程 (2) 得, 要使圆与双曲线有交点, 则方程 (3) 的根必须大于等于3或小于大等于-3.令设方程 (3) 的两根为x1, x2.

(1) 若有1个交点，则方程(3)的一根x1=3或-3，而另一根x2∈(-3, 3)，又因为圆的圆心坐标为(1, 0)，所以圆与双曲线相切的情况不存在.

解得m=2或m=-2.

(2) 若有2个交点，则方程(3)的一个根x1>3或<-3，而另一根x2∈(-3, 3).

解得2

(3) 若有3个交点，则方程(3)的一根x1=3，而另一根x2<-3;或一根x1=-3，另一根x2>3,

解得m=4或m=-4.

(4) 若有4个交点，则方程(3)的一根x1>3，而另一根x2<-3，即，解得：m>4或m<-4.

∴当m=2或m=-2时，圆与双曲线有1个交点;当24或m<-4时，圆与双曲线有4个交点.

同样可求，当圆与双曲线没有交点时，则方程(3)的2根均在(-3, 3)内，

篇4：圆与方程教学设计

1问题的提出

我国的数学课程改革已实施了十余年，数学教材作为实现数学课程目标、实现数学教学的重要资源和数学教学内容的主要依据，在我国的数学课程改革中起着非常重要的作用.近二十年来，日本数学课程进行了多次颇有成效的改革，发展并形成了自己的特色和优势.在日本出版教材首先要拿给文部省审查，合格后才能出版.日本教材的共同点是比较强调掌握基本知识和技能，培养学生的数学素质.通过两国教材的比较，帮助我们客观的认识我国数学教材的不足和问题，有助于我国数学课程建设的健康发展.

“圆”教学内容设置于日本数研出版社出版的系列高中数学教材《新编数学Ⅱ》中（以下简称新编数学教材）的第三章的第二节，章节名称为“圆”，单元名称为“图形与方程”，与之相应，我国人民教育出版社出版的系列高中数学教材《必修2》（以下简称人教A版教材）的第四章也有相似内容，单元名称为“圆与方程”，二者存在一定的可比性.

2两种教材整体比较——编排方式比较

两种教材对此部分内容的处理方式存在着较大的差异，为了更好地说明这种差异，我们首先将新编数学教材第三章第二节，与我国人教版教材必修2第四章，以及他们的上行与下行单元的整体内容进行了对比，得出表1.

空间两点间的距离公式

下行单元第三节轨迹与领域第一章解三角形*

（注：参考现行浙江省普通高中授课次序，*为必修五的内容）

可以发现新编数学教材“圆”与人教A版教材“圆与方程”在教学内容编排方式上存在着以下差异：

首先，值得一提的是，人教A版教材对“圆”这一教学内容安排了一个完整的章节，即必修2第四章圆与方程.而新编数学教材仅仅安排在第三章图形与方程的一个小节，即第二小节圆.

其次，从前后联系上来看，新编数学教材“圆”的下行章节“轨迹与领域”涉及了点在坐标平面上的轨迹，是直线与圆上的点的轨迹的一般化.此外，在学习完几何圆与直线之后，引入不等式，进行不等式表示范围的探讨，实现了知识的综合运用；而人教A版教材“圆与方程”的下行单元与本单元无显著联系.

最后，从知识呈现的目的上看，新编数学教材安排此部分内容的用意，重在用方程式表示圆，用解析几何的方法考察直线和圆等平面图形的性质和关系.而人教A版教材的目的是通过圆的方程研究直线与圆，圆与圆的位置关系，让学生逐步形成数形结合的思想，掌握用坐标解决平面几何的方法.此外，人教A版教材增加了空间直角坐标系的内容，使学生掌握用解析方法研究空间几何对象的基础.3两种教材具体内容分析

3.1两种教材知识内容范围和编排顺序的比较

我们首先根据知识点对本节内容进行了划分，对两种教材在本节的内容和编排顺序进行比较.

我们发现，新编数学教材在“圆”这节设计了四个知识点：（1）圆的方程式.本节中只给出了圆的方程式，并没有给出圆的标准方程和一般方程的定义.（2）直线与圆的交点的坐标.这一知识点在人教A版该章教材中则是以例题的形式一笔带过.（3）圆与直线的位置关系.这一知识点在人教A版教材“圆、直线的位置关系”中有相关的内容.但新编数学教材采用表格的形式具体的呈现出判定圆与直线的位置关系的两种方法，人教A版教材则是在例题中给出两种相应的解法，让学生自己归纳总结.（4）圆的切线方程.这一知识点在人教A版教材中没有给出.最后还引入了通过圆和直线交点的圆这一拓展知识.

人教A版教材在“圆与方程”这一章节中涉及了较多的知识，分了三大类展开知识的教学：（1）圆的方程：在该类知识中，分别给出了圆的标准方程和一般方程的定义以及求法步骤，并进一步探讨了方程x2+y2+mx+ly+n=0表示圆所需满足的条件.（2）直线与圆的位置关系：通过例题的形式得出直线与圆位置关系，圆与圆位置关系的判定方法，更进一步的引入了直线与圆的方程的应用这一知识点，增加了知识的实际运用.（3）空间直角坐标系.这一知识点在新编数学教材“圆”这一章节中没有提及.随着空间直角坐标系的引入，可以将平面解析几何的基本思想方法推广到空间去解决空间几何问题.

新编数学教材各类知识点分类较细，我们还可以发现，两种教材虽然在内容的范围和编排上有一定的差异，但也不乏相似之处.整体内容编排设计的总体思路还是遵循知识点由浅入深，难度梯度逐级上升的安排方式.

32两种教材教学内容编写模式的比较

通过比较，我们发现两种教材“圆”与“圆与方程”教学内容编写模式主要存在以下差异：

（1）两种教材在知识引入模式上存在不同.新编数学教材：直接给出定义，或者根据例题直接给出知识，注重对概念本身的掌握；人教A版教材：通过思考、探究，得到定义以及相应的知识，注重对概念的理解.

（2）两种教材在知识延展模式上存在不同.新编数学教材运用了统一的呈现模式：定义——例题——练习.而人教A版教材则没有特定的规律，注重知识的探索和理解.

（3）两种教材在知识点联系上不同.新编数学教材：较少涉及相关知识，注重强化训练本节知识；人教A版教材：尽量多地涉及相关知识，重视点与坐标、曲线与方程之间的联系.

（4）两种教材在例题和习题呈现顺序上不同.新编数学教材：每一个例题后都会有相应的练习加以巩固.人教A版教材：先讲解一节内容中的所有例题，再统一给出练习题.4例题与习题比较分析

4.1习题综合难度的比较

借鉴[1]对习题综合难度的分析，本文主要从习题的类型及数量、习题的性质、习题背景及知识点含量四个维度进行考虑.为了对两种教材的习题难度在上述四个维度进行综合考虑做细致分析和全面比较，下面有必要对两种教材的习题数量与类型进行统计.

4.2习题的类型及数量

通过对两种教材文本的分析，可以得到：新编数学教材习题类型为：练习、补充问题、章末问题.人教A版教材习题类型为：随堂练习、单元练习A、B组、复习参考A、B组题.

由于习题有大题与小题之分，不同数量的习题之间，其分量不同.故

（1）含有关联密切的多问的习题，算作1道题，按照最难的一问，判断其深度级别.，

（2）包含多道小题的题目，每道小题均算作1道题.

通过对两种教材随堂练习、单元练习统计，得出两种教材习题的数量和各自所占的百分比如下：

4.3习题的性质

借鉴[1]，本文对两种教材习题性质做了详细的统计，具体如下表.（习题性质分为3个级别，即模仿、迁移与应用、探究，分别赋值1、2、3.）

4.4习题背景

借鉴[1]，本文对两种教材习题背景做了详细的统计，详见下表.（习题背景分为3个级别，即无背景、生活与常识、科学背景，分别赋值1、2、3）

4.5知识点含量

借鉴[1]，本文对两种教材习题知识点含量做了详细的统计，详见下表.（知识点含量分为3个级别，即1个知识点，2～3个知识点、4个及以上知识点，分别赋值1、2、3.）

4.6习题综合难度的计算

本文中，习题综合难度计算所采用的的模型为：

φ=α1·X+α2·B+α3·H

其中，X表示习题性质，B表示习题背景，H表示习题的知识点含量，α1、α2、α3分别表示习题性质、背景、知识点含量的权重，分别为05，03，02.

根据上文对习题难度三个维度的统计，利用该习题难度模型，可以计算出每道习题的难度，再求和即可得到习题的综合难度.根据以上模型，本文利用MATLAB软件对数据进行计算，得到了三个维度对习题综合难度的影响，见下表：

5结论与启示

5.1从教材的编排方式上来看：新编数学教材重视知识结构的连续性和系统性，人教A版教材重视数学思想和方法的掌握.

新编数学教材在圆这一节内容后，进一步学习轨迹与领域，这两节知识具有一定的连续性，并通过下一节“轨迹与领域”中讲解轨迹、区域等内容的联系，加深对圆及相关知识的理解，形成较为系统的知识结构.而人教A版教材在圆与方程的学习中，引入空间直角坐标系，强调用坐标法解决平面以及空间几何问题的思想和方法.此外，在圆与方程这章内容的学习后，直接学习解三角形.可见人教A版教材中知识点的连贯性不强.

5.2从教材的内容上来看：新编数学教材的知识点少且简单，体现了较强的基础性；而人教A版教材更加注重数学思想的渗透和数学知识的实际背景和应用.

新编数学教材关于“圆”这一知识点只是“图形与方程”这一章节中的一节内容.而人教A版教材安排了一章的内容.人教A版教材所讲授的知识点不仅多于新编数学教材，而且在知识点的难度上也明显高于新编数学教材.人教A版教材注重数学思想方法的渗透.比如：对于圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，新编数学教材仅限于满足圆的方程一种形式的讲解.而人教A版教材则引入分类思想，对圆的一般方程进行研究：（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（-D2，-E2）为圆心，以12D2+E2-4F为半径的圆；（2）当D2+E2-4F=0，表示一个点（-D2，-E2）；（3）当D2+E2-4F<0，方程没有实数解，不表示任何图形.此外，新编数学教材中专门设置了“圆的切线方程”这一知识点，虽然人教A版教材没有设置专门的内容讲解，但由于圆的切线方程这一概念在初中就已经提及，人教A版教材还是要求掌握用解析几何的方法求解圆的切线方程的.由此可以看出，人教A版教材注重对数学思想方法的掌握.在教学中注意渗透数形结合思想，培养学生将代数结果与几何意义相互转化的能力，让学生掌握借助坐标系研究几何问题的代数方法，体会这种方法所体现的数形结合思想.人教A版教材在“圆的方程”这一小节内容结束后，设置了《阅读与思考》这一内容，并在“圆与方程”这章内容中，专门设置了“直线与圆的方程的应用”这一小节，可见人教A版教材对数学知识的实际背景和应用的重视.

5.3从知识呈现的方式上看，新编数学教材注重对知识的应用，人教A版教材注重知识发生发展的过程.

新编数学教材在各节内容的一开始便采用符合学生心理水平的图形和表格等直观说明方式将各种概念定义直接给出，在定义中穿插典型事例加以具体说明，并在每一知识点后会设置相应的例题和习题加以巩固，增强知识的应用.而人教A版教材普遍采用探究性学习的方法，在提出某一概念和定义前会提出具体的问题让学生思考、回答，启发引导学生运用类比等数学思想学习新的概念和知识，调动学生学习的积极性和主动性.通过例题的形式，逐步启发、帮助学生主动探索问题的求解过程，展示知识形成的过程，让学生自己归纳方法，从而促进学生主动去建构和获取新知识.有助于学生深化对知识的理解，领悟思想方法，强化情感体验.但是由于许多结论没有直接给出，是由学生在教师的引导下讨论，找到正确答案，自行归纳整理得出的，可能会造成学生对这些知识的忽视，甚至遗漏.因此，人教A版教材在发扬、继承其优势的基础上，可适当借鉴新编教材的简洁明了.人教A版教材注重信息技术的引入，因此在教学中，可以借助信息技术工具，通过观察、操作、实验，发现数学规律，形成猜想，并对猜想进行证明，加深对问题的理解，帮助学生简洁、直观的研究几何图形以及位置关系.

5.4从习题分析上看，新编数学教材习题量小，难度低，注重本节基础知识的掌握，体现“对知识点深度要求较低的”特点.

两种教材习题的分类均具有层次性，符合循序渐进的认知特点且有利于学生分不同程度掌握内容.

新编数学教材：（1）总题量少，各例、习题都是对所学知识点的直接巩固，加深对基本概念和基本定理的理解.（2）习题和例题极为相似，注重对学生自信心的培养.（3）与生活实际相联系的习题数较少，数学在实际生活中的应用程度较低.（4）拓展类习题数较少，只注重本节知识的巩固，但不利于学生数学思维的拓展.

人教A版教材：（1）总习题量相对较多，提供学生反复巩固知识点的素材.（2）例题是对上述所讲知识点的进一步扩充与延伸，甚至有些知识点是通过习题的方式呈现，让学生通过例题自行归纳.（3）习题类型多样化，有利于从多方面考查学生的能力.（4）相当一部分的习题会涉及到其他知识点，有助于加强各数学学科知识点的联系，但不利于知识系统性的构建.

参考文献

篇5：《圆与复习》教学反思

练习巩固环节，从奥运奖牌引出圆的相关知识后，采用任务驱动法让学生逐一完成相关的任务，紧贴生活实际，让学生自己总结出设计图纸的注意事项，将学校教学与社会实践紧密结合。并在评价中再一次认识到是对哪些知识的运用。同时也关注学生的练习情况，及时发现有问题的学生并予以个别指导，对学生存在的问题进行分析，使学生意识到出现问题并不可怕，只要及时改正就好。尽管有着这样的意识，在组织学生进行错例分析上同样存在一定的问题：比如还应放手让学生多说一说，出错的`学生谈谈自己的体会等等，以此充分发挥学生的主体性。

拓展延伸环节，因为有平常练习的经验，学生已知道周长相同的情况下，圆的面积最大，因些多数小组拿到棉线后将其围成了首尾相连的闭合图形――图。之所以考虑18厘米长的棉线，是避免学生能用其将A4纸沿宽划分为两部分，突出本课探究的重点。在教学实践中也证实了这一考虑是非常正确的，我巡视中发现就有一小组的学生试图将纸沿宽划分为两部分，但长度不够，最后将棉线拉直，以纸的两边为界围出一个直角三角形，这一课堂生成已经达到我预设的效果：突破传统思维，有效利用已有边界，获取更多面积。其相邻小组受此启发，便出现了围半圆及扇形的方案。整个环节还是比较成功的。

篇6：圆与圆的位置关系教学设计

一、教学目标

1、经历圆与圆的各种位置关系的探究过程，最终能总结出圆与圆的五种不同的位置关系。

2、掌握用圆心距与两圆半径之间的关系来判断两圆的位置关系的具体方法。

3、通过对圆与圆的各种位置关系的探究，渗透“数形结合”的数学思想。

4、掌握圆与圆的位置关系的应用。

5、在具体的探究过程中，让学生体验到数学探究的乐趣，不断增强他们的学习兴趣。

二、教学准备：

圆规，一枚硬币（学生：圆规、一枚硬币）

三、教学过程

师说：在上课之前大家一起来观看一段视频。（大约2分钟）师问：在刚才的视频中，我们看到了什么现象？生答：日全食。

师说：那接下来我们一起再来看一个日全食的模拟动画。(PPT2)我们站在下面，朝天空看，那我们看到的太阳和月亮的影像其实是两个圆，在这个过程中这两个圆的位置也在变化，今天我们一起来研究一下圆与圆的位置关系.(ppt3,板书)师问：圆与圆的位置关系有几种呢？带着这个问题我们来观察日环食的模拟过程。（ppt4）学生观看

师问：大家也可以演示一下，把考卷上的圆o代表太阳，手里的硬币代表月亮，然后移动硬币，在这个过程中，两圆的位置关系有几种呢？（学生思考）师说：请把它们的示意图画出来。

选三张左右放在实物投影仪上观看。

先看第一张（让该同学说说这几种有什么不同，是根据什么来区分它们的，有没有与这个同学不一样的？或者说有没有补充的？大家来看一下，有没有重复的？）

师问：还有没有与这5种不一样的位置关系了？

所以说，圆与圆的位置关系有5种，请大家把示意图补充完整，然后再观察一下两圆的公共点有几个？（教师黑板上画图，画好后，学生看黑板回答公共点个数）。

师问：接下来，请大家仿照直线与圆的位置关系为这五种圆与圆的五位置关系取一下名称。

师说：比如说第一张图，两圆什么位置关系？其中内切和外切统称为相切

师说：我们生活中也有许多圆与圆的位置关系，接下来请大家判断下面图片中有哪几种位置关系?(ppt5)生答：（四张图片，在同心圆的地方解释一下两圆同心也是内含的一种）

师说：这些图片可以从图形上很容易地判断两圆的位置关系，那么从数量上怎样来判断两圆的位置关系呢？

首先来回顾一下（ppt8）

直线和圆的位置关系怎样来判断的？生答：根据交点个数。师问：拿根据公共点个数能不能判断呢？如果能请说明怎样来判断？如果不能说一下理由。

生答：发现外切与内切，外离与内含是无法根据公共点个数来判断的。师问：那直线与圆的位置关系还与什么有关？

生答：圆心到直线的距离与半径的大小数量关系来判断的师问：那圆与圆的位置关系与什么有关呢？

师说：我们再回到刚才日环食的模拟过程中来观察一下，圆与圆的位置关系到底与什么数量有关呢？（播放动画）

师说：两圆的位置在发生改变，两圆之间的什么数量也在改变？生答：距离

师说：两圆之间的距离其实就是两圆圆心的距离。我们把两圆心之间的距离称为圆心距。从左往右，圆心距在越来越小，最后变成0.所以圆和圆的位置关系与圆心距、两圆半径有关。

师问：那你能不能用圆心距和半径之间具体的数量关系来描述这五种位置关系呢？

比如说两圆外离，那一段是圆心距？我们用d来表示，大圆半径R，小圆半径r所以两圆外离，d>R+r，反过来,如果d>R+r，那我们就可以判断出两圆的位置关系是外离。类似的，两圆外切？什么数量关系？（学生画图看看

师说：请大家在纸上标明相应的数量关系。

接下来请大家完成基础练习：

1、基础练习

⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，设（1）O1O2=7厘米；；（2）O1O2=1厘米

（3）O1O2=5厘米；（4）O1O2=8厘米（5）O1O2=0.5厘米；

⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？

学生单独回答，做对的同学请举手，错的比较多的话让学生并说明理由。

2、巩固提高

⑴、⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm，若两圆外切，则d＝.若两圆内切，则d＝____．（学生回答，做对的同学请举手，错的不多就不说理由了）

⑵、⊙O1和⊙O2的半径分别为2 和6，若两圆相交，则d的范围为；若两圆内含，则d的范围为（方法和上面一样）

⑶、两圆半径分别为10 cm和R,圆心距为13cm，若这两圆相切，则R的值是___.（先找做出一个答案的同学说，再问有没有不同意见，然后让学生说明理由）

例题

定圆⊙O半径为3cm，动圆⊙P半径为1cm.（1）当两圆相切时,OP为 cm，生答：4cm或2cm（2）当两圆外切时，点P在怎样的图形上运动?

师说：大家手里不是有硬币吗？把硬币当做⊙P，看看点P在什么样的图形上运动？

生答：当两圆外切时，点P在以点O为圆心，4cm为半径的圆上运动师问：当两圆内切呢？点P在什么样的图形上运动？

生答：当两圆内切时，点P在以点O为圆心，2cm 为半径的圆上运动。师说：请大家把答案整理一下。

篇7：圆与方程教学设计

海南华侨中学张克艳

一、教学目标：

知识目标

1．本节课使学生掌握圆和圆的几种位置关系的概念及相切两圆连心线的性质．

2．使学生能够根据两圆不同的位置关系，写出两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式；反过来，由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判定两圆的位置关系．

能力目标

1、结合本节课的教学内容培养学生亲自动手实验，学会观察图形，主动获得知识的能力．

2、继续培养学生运用旧知识探求新知识的能力．情感目标：培养学生对圆的知识的兴趣

二、重点：圆和圆的五种位置关系的概念及相切两圆的连心线的性质．

三、难点：理解相切两圆连心线性质的证明．

四、教具准备：多媒体、常用画图工具等

五、教学过程：

一、新课引入：

同学们，前面我们学习了点和圆及直线和圆的位置关系，在原有知识的基础上本节课我们学习两圆的位置关系的有关知识，那么圆和圆有几种位置关系呢？教师板书课题：“7．13圆和圆的位置关系(一)”．根据学生已有的知识水平及本节课的特点，从引导学生回顾点和圆三种位置关系到直线和圆的三种位置关系出发，激发学生通过类比探求圆和圆的位置关系有几种情况，这样可一下子抓住学生的注意力．

为了使学生真正体会到数学理论来源于实践，反过来又作用于实践的这一理论．在学生复习了点和圆及直线和圆的位置关系的基础上，教师引导学生把课前准备好的两个不等圆的纸版拿出来，同桌两人动手实验，发现圆和圆的位置关系有五种情况的过程，由学生上黑板公布自已发现的五种情况，教师适当补充．这样做的目的．是鼓励学生亲自动手来参与探索新知识过程．可充分调动学生的学习积极性．

让学生把自己得到的结论告诉同学们，对此问题不是所有同学都能理解，这时教师可以进一步引导，把得到的位置关系从投影上打出来．

这样做的好处是体现学生动手动脑的全过程，特别是通过自己实验总结出来的知识，更突出它的实际性．不是学生被动地接受知识，而是学生积极主动获得知识，更能培养学生发散思维的能力．

二、新课讲解：

学生得到的圆和圆的位置关系有五种情况，也就等于学生自己的科研成果公布于众．请两名同学上黑板讲解得到五种位置关系的方法．全班同学参与评议，同时观察图形具有的特点．

找一名同学以两圆公共点的个数为依据，摆放出两圆各种不同的位置：

找一名同学利用运动变化的观点来得到两圆的位置．设⊙O1为动圆，⊙O2为定圆，当⊙O1向⊙O2运动时，两圆的位置关系的变化如下：

由学生实验得到结论，教师引导学生回答，教师概括总结：圆和圆的位置关系五种情况及各自的概念．(1)两圆外离：略(2)两圆外切(3)两圆相交(4)两圆内切(5)两圆内含

教师一边讲解每一种情况的定义，同时要求学生理解重点词语“内”、“外”、“内部”、“外部”．这五种情况也可以归纳为三类：

(2)相交

接着教师引导学生思考这样问题：

除根据公共点的个数可以判定两个圆的位置关系外，还有没有其它方法呢？由于圆和圆的位置关系是学生自己得到的，前两名同学发言的激发下，不少同学都想拿出自己的作品，这时教师让学生议论五分钟，然后由学生总结出又一种方法判定两圆的位置关系．教师板书：设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离 d＞R+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切 d=R-r(R＞r)(5)两圆内含 d＜R-r(R＞r)同心圆 d=0 接下来为了巩固所讲的知识点，投影放出一组练习题： ⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，设

(1)O1O2=8厘米；(2)O1O2=7厘米；(3)O1O5=5厘米；(4)O1O2=1厘米；(5)O1O2=0.5厘米；(6)O1和O2重合．请回答⊙O1与⊙O2的位置关系怎样？

这组练习题，学生思考回答，学生参与评价，老师不代替学生，知识点消化靠学生自己思维解决．如果有困难的话由其它同学帮忙解决．

接下来教师结合图7-96讲解“把经过两圆心的直线叫做连心线”．那么两圆外切、内切的切点与连心线有怎样的关系呢？

本题由教师分析证明思路，在学生表示认可的情况下，由学生总结出相切两圆的性质：

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．

教师这样做的目的是培养学生亲自动手操作实验，发现规律，总结出结论．一方面培养学生自己探求新知识的探索精神，另一方面给学生一种自信，让他们感觉自己能行．

接着幻灯打出例1 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？

学生回答，教师板书：

解：(1)设⊙O与⊙P外切于点A． ∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．

(2)设⊙O与⊙p内切于点B． ∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．

练习题由学生自己完成，教师不讲，学生之间互相评价．

三、课堂小结：

课后小结由学生进行，教师概括：(一)本节所学的知识点：

1．圆和圆的位置关系的概念．

3．相切两圆连心线的性质．(二)本节课所学的方法：

1．会利用公共点的个数和定义判定两圆的位置关系． 2．会用两圆半径和圆心距的关系判定两圆的位置关系． 3．学会两圆相切连心线必过这两圆的切点．

六、板书设计：见教学过程

七、布置作业：

篇8：圆与圆的位置关系教学设计

人教版数学九年级(上)内容分析:本节是在学生学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系的基础上,进一步学习圆与圆的位置关系。它是在学生已获得一些相关知识基础上的进一步深化。从解决问题的方法来看,有助于对学生进行辩证唯物主义观点的教育。这一节内容无论是从知识性还是从数学思想性,在圆的几何教学中都占有一定的地位。

教学重点:讨论圆与圆的位置关系。

教学难点:圆与圆在不同位置关系时对应的不同数量关系。

二、教学目标设计

知识目标:①了解圆与圆的几种位置关系。②圆和圆的位置关系的性质或判定并运用它们解题。

能力目标:①通过多媒体直观地探索圆和圆的位置关系,培养学生的观察、比较、概括的能力。②经历探索两个圆之间位置关系中圆心距与两圆半径的数量关系的过程,培养学生的解题能力。

数学思想:分类的思想、数形结合思想。

三、教学对象分析

针对我们西藏学生来说,有关圆的相关知识知之甚少,学习中知识的转化、迁移能力较差,因此教学中要注重对学生的引导、启发、鼓励,在合作、交流中充分调动学生学习的兴趣和积极性。

四、教学策略与教法设计

教学策略:为学生提供学习时间和空间,鼓励学生自主探究、合作交流、勇于创新、大胆表述。

教法设计:经过操作、观察等数学活动,让学生从探索圆与圆的位置关系的过程中,体会、感受运动变化的观点,帮助学生从实际生活中发现数学问题,运用所学知识解决问题。

五、教学过程设计与分析

活动1:复习。

点与圆、直线与圆的位置关系。师生行为:学生独立解答,教师利用多媒体演示,要特别关注学困生。设计意图:通过复习,让静的知识“动”起来,使学生再次感知已学知识,目的“温故而知新”,为新课作铺垫。

活动2:导入新课。

观察轮滑鞋的图片,你能从鞋中找出我们曾经学过的什么图形?师生行为:学生思考教师的提问,给学生足够的观察和思考空间。教师应关注:学生能否理解教师提出的问题,并迅速回答出问题的核心。设计意图:引导学生对图进行观察,激发学生的好奇心和求知欲,从而带领学生走进今天的课堂。

活动3:新课。

多媒体演示生活中涉及到的圆与圆位置关系的实物(传送带、齿轮、奥运五环、自行车内的滚珠四幅图)。师生行为:通过观看,学生独立思考,然后以小组为单位讨论并画出所能想象到的两个圆之间所有的位置摆放。设计意图:让学生动手操作、自主探索、合作、交流的方式解决问题,也充分体现“生活是数学知识的源泉”。

活动4:新课。

展示并归纳学生所画的两圆之间位置摆放的图形,引导学生类比直线与圆的位置关系,探究从公共点的个数和数量特征两方面来探圆与圆的位置关系。师生行为:①将学生的发现展示给同学们看,教师与学生一起分析点评。②教师用多媒体演示。③通过分类,引导学生类比直线与圆的位置关系分析出两圆位置关系的关键(交点个数)。④学生与教师一起探索出两圆位置关系的性质或判定(数量关系)。设计意图:利用资源引导学生观察、类比、归纳出圆与圆的位置关系,让学生积极思维,勇于探索,从中体验到成功的快乐与喜悦,通过数形结合思想解答问题,提高学生分析、解决问题的能力。

活动5:回探。

根据活动4得出的结论,再次回到活动3中的图形,让学生辨析所出现的圆与圆之间的位置关系。师生行为:教师提出问题之后,学生根据两圆位置关系的性质和判定独立思考或互相交流。最后,师生共同归纳。设计意图:为学生提供充分的观察、思考时间,从而激发学生学习的积极性,体会前后知识的联系。

活动6:信息反馈。

课后练习1题。师生行为:学生独立思考,然后由学生快速回答。教师应关注:学生能否够根据圆与圆位置关系的性质解决问题。设计意图:考查学生对所学知识的理解和应用。此外,教师通过对学生练习的检查,及时发现问题,并适时补充完善,以培养学生对知识的应用意识。

活动7:小结。

本节课我们学习了哪些知识?你有哪些收获?师生行为:学生独立思考,然后教师引导学生从知识、方法、数学思想等方面进行小结。教师应关注:课堂小结不仅是知识点的罗列,而应是使知识条理化、系统化,上升到数学思想、数学方法的总结与运用的高度。设计意图:通过小结培养学生归纳、梳理学习知识的技能、方法。

活动8:课后作业。

课本P.101习题24.2第6、第7题。师生行为:学生课后独立完成,教师及时批改讲评,做好课后反思。教师应关注:不同层次学生对知识的掌握程度,并及时查漏补缺。设计意图:对学生课堂学习情况进行检测,检查知识、技能的掌握情况,对学生学习中存在问题及时解决。

六、板书

七、课后反思

本节课最突出的特点是一开始就充分考虑了各层次的学生,教学中注重激发学生学习兴趣。其次,本节课与前面所学前后呼应,使学生较容易理解圆与圆的位置关系,从而突出了重点,也突破了难点。此外,在活动4中教师重点引导学生进行分析,找出解决思路,“授之以渔”而不是“授之以鱼”,切实培养了学生的数学能力。

篇9：直线与方程、圆与方程易错点剖析

1.忽视斜率不存在

例1 求经过点[A(2,-1)]，且到点[B(-1,1)]的距离为3的直线方程.

错解由点斜式，设所求直线方程为[y+1=k(x-2)]，即[kx-y-2k-1=0]，由题设，点[B(-1,1)]到此直线的距离为3，即[-k-1-2k-1k2+1=3]，解得[k=512]，于是所求直线的方程为[y+1=512(x-2)]，即[5x-12y-22=0].

剖析求直线方程时，容易认为所求直线的斜率存在，而忽视斜率不存在的情况，从而造成漏解，避免失解的办法首先要有分类讨论的思想，养成严密思考的习惯，其次是数形结合，通过作图分析判断斜率不存在的直线有无可能. 本例中，当直线斜率不存在时，直线方程为[x=2]，也符合题意. 故本题所求直线方程为[x=2]或[5x-12y-22=0].

2. 忽略倾斜角的范围

例2 若[α∈R]，求直线[xcosα+y-1=0]的倾斜角的取值范围.

错解[y=-xcosα+1]，设倾斜角为[θ]，则[tanθ=-cosα]，由[cosα≤1]知[-1≤tanθ≤1]，故[θ∈π4,3π4].

剖析把[x]轴绕着与直线交点逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，其取值范围是[[0,π)]. 倾斜角不是[π2]时，它的正切值叫做直线的斜率. 已知正切值范围求倾斜角范围，容易忽略正切函数在[[0,π)]不是单调的而出错. 事实上，[y=tanx]在[[0,π2)]，[(π2,π]]上单调递增，[x=π2]为其一条渐近线，故上题中倾斜角为[θ∈0,π4⋃3π4,π].

3. 忽视截距为[0]

例3 求过点[P(2,-1)]，在[x]轴和[y]轴的截距分别为[a]、[b]且满足[a=3b]的直线方程.

错解由题意，可设直线方程为[xa+yb=1][(a、b≠0)]即[x3b+yb=1]. 又因为直线过点[P(2,-1)]，所以[23b+-1b=1]，解得[b=-13]. 所求直线方程为[x-1+y-13=1]，即[x+3y+1=0].

剖析在截距相等（或是倍数关系时），容易漏掉截距为0的情况.

当[a=3b=0]时，直线过原点，也满足题意. 即所求直线方程为[x+3y+1=0]或[y=-12x].

4. 混淆截距与距离

例4 求过点[P(2,-1)]且与两坐标轴围成的三角形的面积是[4]的直线方程.

错解设直线方程为[xa+yb=1]（[ab≠0]），将点[P(2,-1)]代入，有[2a+1b=1]，又[12ab=4]，解得[a=4、b=2]，故所求直线方程是[x+2y-4=0].

剖析错解中混淆了截距与距离的概念，在[x]轴上的截距指的是直线与[x]轴交点的横坐标，在[y]轴上的截距指的是直线与[y]轴交点的纵坐标，截距可以取任意实数，而距离只能是非负数. 直线与坐标轴所围成的三角形面积应是[12][ab]，而不是[12ab]. 由[12][ab]＝4，得[ab]=8或[ab]=-8. 当[ab]=-8时，解得[a=-4-42]，[b=-2+22]或[a=-4+42]，[b=-2-22]. 故所求直线的方程为[x+2y-4=0]或[(2+1)x-2(2-1)y][-4=0]或[(2-1)x-2(2+1)y][+4=0].

5.位置关系考虑不全

例5已知直线[l]过点[P(0,1)]且和点[A(4,0)]、[B(8,-3)]等距离，求直线[l]的方程.

错解由题意，所求直线过点[P(0,1)]且与直线[AB]平行. 而[kAB=-34]，故所求直线方程为[y=-34x+1]，即[3x+4y-4=0].

剖析解析几何是一门关于几何的科学，要重视题目的几何特征，一定注意把所有可能的情况想完整、准确，才能正确地解决问题. 由图可知，过[AB]的中点[M(6,-32)]和点[P(0,1)]的直线也适合题意，其方程为[5x+12y-12=0]，故满足题意的直线方程为[3x+4y-4=0]或[5x+12y-12=0].

6. 将直线位置关系的充分条件、必要条件、充要条件混淆

例6 [a=3]是直线[ax-2y-1=0]与直线[6x-4y+c=0]平行的条件.

错解充要条件.

剖析忽略了斜率存在的两直线平行时，充要条件是斜率相等且截距不等. [a=3]是两直线斜率相等，但[c]的值不确定，两直线可能重合. 当两直线平行且斜率存在时，斜率必须相等，可得到[a=3]，所以应是必要不充分条件.

7. 到角和夹角概念理解不清导致错误

例7等腰三角形一腰所在直线[l1]：[x-2y-2=0]，底边所在直线[l2]：[x+y-1=0]，点(-2,0)在另一腰上，求这腰所在直线[l3]的方程.

解析1利用到角公式. 设直线[l3]的斜率为[k3]，[l1]、[l2]的斜率分别为[k1=12]，[k2=-1].

由题意知[l2]到[l1]的角[α]等于[l3]到[l2]的角[β]，即

[tanα=k1-k21+k1k2=tanβ=k2-k31+k2k3]，

代入解得[k3=2.]

所以直线[l3]的方程为[2x-y+4=0. ]

解析2利用夹角公式.设直线[l3]的斜率为[k3]，[l1]、[l2]的斜率分别为[k1=12]、[k2=-1.]

由题意知[l2]与[l1]的夹角等于[l3]与[l2]的夹角，即

[|k1-k21+k1k2|=|k2-k31+k2k3|]，解得[k3=12]或[k3=2].当[k3=12]时[l3]平行于[l1]，不满足题意，舍去.

故直线[l3]的方程为[2x-y+4=0. ]

剖析直线[l1]到[l2]的角[α]，即直线[l1]绕着与[l2]的交点逆时针方向旋转到同[l2]重合时所转过的最小的正角，[tanα=k2-k11+k1k2](其中[k1]，[k2]是直线[l1]，[l2]的斜率，下同).分子是[k2-k1]，即所到的终边直线斜率减始边直线斜率. 忽略“方向性”是同学们易犯的错误.

直线[l1]与[l2]的夹角[β]，即直线[l1]与[l2]相交所成的四个角中最小的角，[tanβ=|k2-k11+k1k2|].

当已知两条直线之间的夹角和其中一条直线的方程，要求另外一条直线的方程时，常常利用这两类角来处理.如果所求直线不惟一，就利用夹角公式，但有可能利用夹角公式求出也只有一条，那么必然有一条斜率不存在；如果所求直线惟一，就利用到角公式，当然也可利用夹角公式，不过求出的两条直线要舍去一条.所以解答这类问题时，一定要注意结合图形，分析结果的可能个数，再决定取舍.同时还要注意考虑斜率不存在的情况.

二、圆与方程中易错点分析

1. 忽视半径[r>0]，写错圆心坐标

例8已知[λ>0]且[λ≠1]，写出方程[λ2-1x2+][λ2-1y2-4λ2x+4λ2+1=0]所表示的圆的圆心坐标和半径.

错解因为[λ2-1x2+λ2-1y2-4λ2x+4λ2][+1=0]，[λ>0]且[λ≠1]，

所以[x2+y2-4λ2λ2-1x+4λ2+1λ2-1=0]，

[(x-2λ2λ2-1)2+y2=3λ2+1λ2-12].

所以圆心坐标为[(2λ2λ2-1,0)]，半径为[3λ2+1λ2-1].

剖析前面的步骤通过配方把圆的方程化为标准方程，其思路过程完全正确，但半径表示不对. 在圆的方程[(x+a)2+(y+b)2=m2]中，圆心应为[(-a,-b)]，半径为[m]且[m≠0]. 在实际做题中，经常有同学把圆心写成[(a,b)]，半径写成[m]，因此在学习中，要注重细节. 本题中[λ>0]且[λ≠1]，不能确定[λ2-1]的符号，也就不能确定表示半径的式子一定大于0，故半径应写为[3λ2+1|λ2-1|].

2. 忽视圆的方程成立的条件

例9若点[O(0,0)]在圆[x2+y2+kx+2ky+2k2][+k-1][=0]外，求[k]的取值范围.

错解因为点[O(0,0)]在圆外，所以[2k2+k-1>0]，解得[k>12]或[k<-1], （1）

所以[k]的取值范围是[-∞,-1⋃12,+∞].

剖析方程是否满足表示圆的条件，这是二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题. 本题忽视了圆的一般方程[x2+y2+Dx+Ey+F=0]表示圆的条件[D2+E2-4F>0]，而导致错误.

因为方程表示圆，所以[k2+(2k)2-4(2k2+][k-1)>0]，即[3k2+4k-4<0].

解得[-2

由（1）（2）得[-2

故[k]的取值范围是[-2,-1⋃12,23].

3. 忽视隐含条件

例10 若动点[(x,y)]在圆[(x-2)2+y2=4]上，求[3x2+4y2]的最大值.

错解由[(x-2)2+y2=4]得，[y2=4x-x2]，