任意角教学设计

任意角教学设计（精选9篇）

篇1：任意角教学设计

任意角教学设计

一．内容和内容解析

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具。本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。本节课的教学重点是：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角、象限角的表示方法及判断。二．目标和目标解析

1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；

3．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示；

4．在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；

5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力； 6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法； 三．教学问题诊断分析

本节课的教学难点是：把终边相同的角、象限角用集合和数学符号语言正确地表示出来。1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；

2．学生在学习了教材例1后，做p6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在00～3600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法； 3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k·3600的运用特点。四．学习行为分析

1．初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于00～3600。结合实际生活中的例子，由教材的“思考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，借助信息技术工具（如：几何画板），让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。学习本节角的概念的推广困难不大。

2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。这里可以借助信息技术工具（如：几何画板），建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相集合。

五．教学支持条件分析

借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】

1．角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；

2．动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。六．教学过程设计 1．教学程序与环节设计

创设情境

↓ 组织探究

↓ 例题分析

↓ 尝试练习

↓ ——

——

——

——

实际问题出发，激起学生的求知欲望。角的概念的推广，象限角的定义、终边相同的角的表示方法。

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

象限角的判断、终边相同的角的表示方法。让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。

作业与反馈，关注学生的能力差异。在实际生活中体验数学的应用价值。小结与反思 ——

↓ 评价设计

↓ 课外活动

——

——

2．教学过程与操作设计：

环节 创 教学内容设计

设计意图 提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性

师生双边互动

学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表 快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了设

多少度？

情

境

教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于00～3600之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.1．任意角概念的引入

回顾已有知识 教师：提出问题

学生：回答问题

教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位

置旋转到另一个位置所成的图⑴.问题：过去我们是如何定义一 个角的？角的范围是什么？

组 ⑵.举出不在织

探

究

⑷.给出任意角的定义 例，并加以说明。

⑶.你认为刻画这些角的关键是什么？

让学生认识到的角的实

举例，再说明所举例的结合具体的实形.学生：

00角为什么不在0～360。例，感受角的概念推广的必要性

教师：提供教材中的几个例子。

学生：组织讨论

刻画这些角不教师：引导学生从旋转量、旋转仅要用旋转量，还要用旋转方向。

教师：引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角

利用新概念重和零角的概念。

新认识问题。

学生：观察图1.1－3，进一步认

方向这两个方面进行思考。

2．象限角

通过尝试探

识正角、负角。

教师：让学生利用任意角的定义，究，由学生感回答本节开始的“思考”中的表受没有统一标的校正问题。

学生：画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法。

（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210?/span>，－150?/span>，－660?/span>）

⑵.给出象限角的概念

3．终边相同的角

探究：将角按照上述的方法放在直

探究终边相同的角之间的关

⑴.问题：如果把角放在直角坐标准时，角的表系中，那么怎样放比较方便、合示不方便。理？

系，理解并掌教师：在总结分析合理放法的基握改关系。础上，给出象限角的概念，并说

从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。

然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念。

学生：思考每组角的数量关系。教师：引导学生用含有其中一个明在同一坐标系下讨论角的好处。

角坐标系中后，给定一个角，就有 唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线从具体到一ob（如图1.1—5），以它为终边的般，认识终边角的关系式表示另外的角。角是否唯一？如果不唯一，那么终相同的角的关边相同的角有什么关系？ ⑴.在直角坐标系内标出

系及其表示。由几何位置“终边相同”210?/span>，－150?/span>角的终探讨其代数特

教师：[展示课件]让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现

“终边相同”的角的关系，并利边，你有什么发现？它们有怎样的征的“统一”。数量关系？328?/span>、－32?/span>、－392?/span>角的终边呢？

⑵.直角坐标系内，角α对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角α终边相同的角？如果存在，如何表示？ 4．练习

教科书p6练习第1～2题 例1.在00～3600范围内，找出与例-950012′角终边相同的角，并判定 题

分 它是第几象限角.例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y=x上的角

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

用集合表示出来。

学生：口答

教师：通过提问的形式向学生传递答案。

教师：分析、板书例1。

学生：自学例2。

教师：指出这两个集合求并集的关键是把2700改写成900+1800，然后重新组合。

师生：共同完成例3，注意k的正确取值是关键。析 的集合s,并把s中适合不等式-3600≤α≤7200的元素β写出来.1．教科书p6练习第3～5题 尝 2．补充：

学生：尝试独立完成练习

通过练习，掌试 ①时针经过3小时20分，则时针握象限角的判教师：巡视，个别辅导

断、终边相同转过的角度为，分针转过的练 的角的表示方学生：回答结果

角度为。

法。

习教师：给出评价

②若角α是第二象限角，则180啊?i>α是第 象限角。问题：1.你知道角是如何推广的小 吗？象限角是如何定义的呢？

让学生复习本学生：回答，讨论交流，补充

结 2.你掌握了与角α终边相同的角节主要内容，的集合的表示方法吗？

完善学生的认与

知结构，体会3.本节课你体会到哪些数学思想教师：归纳总结，突出重点知识；

数学思想方反 方法？

解决学生的疑惑点。法。

思 4．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？ 评 作业与反馈：

教科书p10习题1.1a组第1～3 1．题 价

2．选做题：

①.写出终边在坐标轴上的角的集设

②写出终边在y= 合。

3．【发展要求】

上的角的集能用集合和数

2．判断角是第几象限角；

1．终边相同角的表示； 关注学生的能力差异。

计 合s,并把s中适合不等式-3600≤学语言表示终α<7200的元素β写出来.边满足一定条

件的角；

③若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是。

在实际生活中1．你能举出一些日常生活中的“大于3600的角和负角”的例子吗？与课

同桌交流，并熟练掌握它们的表

体验数学的应用价值

外 示，进一步理解具有相同终边的角的特点． 活

2．【探究学习】如果角α是第二动

象限角，那么 在哪里？

探究学习，激

等角的终边落发学习兴趣。

篇2：任意角教学设计

设计教师 营迎

教学目标

1．结合实例体验角的概念推广的必要性；能建立适当的坐标系来论任意角，并能熟运用集合和数学符号表示终边相同的角。

2．培养学生的类比思维能力和形象思维能力。

3．通过任意角概念的学习，体验角的概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识，用数学知识认识世界，从而培养学生善于思考，勤于动手的良好品质。教学重难点

重点：将0～360的角的概念推广到任意角。难点：角的概念的推广，终边相同角的表示。教学方法

本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的 教学过程

00一.创设情境（引入）：（互动）请两名同学起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作，在这个过程中他们各转体了多少度？(引导学生关注旋转的方向和旋转的量着两个要点)。我们会发现角已不仅仅局限于0～360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容———任意角。

二．探究新知，建立概念(1)任意角概念的引入

问题1：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？

师生活动：教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.问题2：你能举出不在0～360的角的实例，并加以说明吗

学生：举例，再说明所举例的角为什么不在0～360。教师：提供教材中的几个例子。(2)概念讲解

1.角的概念的推广：

(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。2.正角、负角、零角概念（类比正负数的规定）

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射

00

0

四.练习

1．与-1778°的终边相同且绝对值最小的角是___________。2．A={小于90°的角}，B={第一象限的角}则A∩B等于（）A.{锐角} C.{第一象限的角} B.{小于90°的角} D.以上说法都不对 五.小结

1.任意角的概念 2.象限角 3.终边相同的角 4.象限角的判断

六．思考 终边在第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？

篇3：“任意角”教学设计的思考

(一) 情境设计片段

情境1:视频程菲招牌动作“程菲跳”, 踺子后手翻180°接前直空翻540°, 那么540°是一个怎样的角?

情境2:假如你的手表快了5分钟或1.5小时, 你又是怎样将它校准的, 当时间校准后, 分针各走了多少度?

情境3:提出问题:初中时, 我们所学0°~360°是如何定义的?

(二) 情境设置的思考

情境1和情境2从学生熟悉的实例出发, 应用生活化的浅显例子作思维引导, 从运动的角度, 用旋转方法得到一个角, 突破了学生已有角的范围, 导致学生的认知发生冲突, 说明角的概念需要推广。对于情境2教师可以让学生准备好手表实际操作, 从实验中体会。这样的设计将抽象的数学生活化, 也彰显了数学的独特魅力。相比之下, 情境3是通过复习角的定义, 使学生明白角可以有静态和动态两个方面定义, 体现用旋转来定义角的优越性, 从而为角的概念推广做好知识上的铺垫。如学生没能说出用旋转来定义角, 教师可以用实例加以引导, 如跳水运动员向内向外转体、工人师傅用扳手拧螺丝等。

二、概念建构与思考

(一) 概念建构设计

问题1:能根据旋转的定义, 列举生活中不在0°-360°的角?该怎样说明他们?

问题2:在今后的学习中, 我们常在直角坐标系中讨论角, 那么怎样把角放在坐标系中比较合理方便?

问题3:30°角的终边OB与390°角和-330°角的终边有什么关系?与30°角的终边相同的角有哪些?

(二) 概念建构思考

问题1通过生活中实例, 让学生直观了解角度的旋转量和方向都是刻画角度不可缺少的因素, 并且会有正角、负角和零角区分。同时教师可以引导学生把正角、负角和零角与正数、负数和零类比, 加深对角的概念理解。也可以借助课件, 认识正角、负角和零角与旋转方向的关系, 并回答前面的情境问题。问题2让学生自行尝试, 画图、探究、合作, 教师在分析总结的基础上给出概念, 并在坐标系中画出图形, 让学生感受到用终边区分象限角的必要性和合理性。问题3请学生回答, 并归纳出相互间关系, 体会从特殊到一般, 从具体到抽象的思想方法, 认识终边相同的角的关系及其表示, 也为后面学习周期做铺垫。

三、概念巩固与思考

(一) 巩固练习

(1) 锐角是第几象限角? (2) 第一象限角都是锐角吗?在分别用直角、钝角和小于90°的角来回答上述两个问题。

(二) 巩固练习思考

通过巩固练习, 让学生明白, 概念推广之后, 初中的有些概念也要发生改变, 进一步理解象限角的概念, 初步了解周期, 也巩固终边相同角概念。

四、数学应用设计与思考

(一) 数学应用设计

例1.在0°~360°度范围内, 找出与角-990°15′终边相同的角, 并判断它是哪个象限的角?

例2.终边落在y轴的角的集合怎么表示?

例3.已知角α与240°角的终边相同, 判断是第几象限角?

(二) 数学应用设计思考

教师层层设计问题, 有利于学生形成功能良好的认知结构。在问题探究过程中, 学生通过思考、操作、内化等学习过程, 深化知识和方法的建构。

五、课堂总结与思考

(一) 课堂总结

1. 你知道角是如何推广的吗?象限角是如何定义的呢?

2. 你掌握了与角α终边相同的角的集合的表示方法吗?

3. 本节课你体会到哪些数学思想方法?

(二) 课堂总结思考

以问题来总结, 又促进学生主动参与学习, 使课堂教学真正做到让学生“动起来”, 让课堂“活起来”。教师设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系, 挖掘书本背后的数学思想, 建构基于学生发展的知识体系, 教学生学会思考, 让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。

六、结语

数学本身是一个整体, 数学学科的知识体系是完整的, 学生进行数学学习的认知结构的发展历程也是完整的。但教学是以课时为单位的, 为了实施教学, 将教学内容设计成一个个课时, 一节课的层次和结构是“微型”的。因此, 每一节课的这种“微型框架”和基于数学知识体系、学生数学认知结构发展的“宏观视野”, 就要求我们在设计教学活动时从宏观和微观两个层面, 紧紧围绕数学核心概念。对一节课进行阐述和结构化设计, 从深层次体现课堂教学的效益, 使学生在掌握数学概念的同时, 领悟其蕴含的数学思想方法, 发展数学能力, 提高数学素养。

摘要：本节课从运动的观点重新定义角的概念, 克服静态的思维定式;终边相同角的概念引入, 产生角的集合概念, 体现了特殊到一般的思想;象限角概念引入, 为数形结合的思想打下了基础, 为后继任意角三角函数学习做了铺垫。本设计不仅关注教材的知识体系, 还引导学生深入到知识的发现和再创造。

篇4：《任意角》教学设计

初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出

与已知角终边相同的角的集合。

过程与方法：培养学生的类比思维能力，形象思维能力。

情感态度价值观：通过对任意角的概念的学习，体验角的

概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识

，用数学知识认识世界，从而培养学生善于思考、勤于动

手的良好品质。

重点与难点：重点：将0°～360°的角的概念推广到任意

角。难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示。

教学过程：1.创设情境：（互动）请两名同学起立，做由

“面向黑板转体背向黑板”的动作，在这个过程中他们各

转体了多少度？（引导学生关注旋转的方向和旋转的量这

两个要点）

在生活中我们已经遇到术语“转体720°”，“转体1080°

”等大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角，说明角

已不仅仅局限于0°～360°之间，这正是我们这节课要研

究的主要内容——任意角。

2.基础层次：问题1：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它

校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校

准？当时间校准后，分针旋转了多少度？学生答：手表慢

了5分钟，拨快5分钟，即分针顺时针方向旋转30°；手表

快了1.25小时，则拨慢1.25小时，即分针逆时针方向旋转

450°。问题2：初中所学的角是如何定义？答：平面内一

条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图

形。范围是0°～360°。（说明：三要素两条射线，一个

顶点。）问题3：按旋转方向角可以分成哪三类？总称任意

角。正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针

方向旋转形成的角；零角：一条射线没有做任何旋转。（

设置意图：给出任意角的概念，并引导学生通过类比数的

正、负和零角的概念。）

3.自主检测：①直角坐标系中作出30°，–120°，90°，

-270°并说明是第几象限角？②锐角是第几象限角？第一

象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个

问题。答：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角

；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不

一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝

角。设计意图：让学生明确角的概念推广以后，初中的有

些概念也要与时俱进发生改变，使学生进一步理解象限角

的概念，培养学生的数形结合能力。

4.探究层次。①在同一直角坐标系中作角（请学生用不同

颜色的笔画出图）30°、390°、-330°；–32°、﹣392

°、328°。②将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给

定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反之，对于直

角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？

如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（小组活动

，探究30°、390°、-330°的数量关系，–32°、﹣392

°、328°角的终边及数量关系。突破本节课难点）。

390°=30°+360°(k=1) -392°=-32°-360°(k=-

1)

-330°=30°-360°(k=-1)328°=-32°+ 360°(k=1)

750°=30°+2×360°(k=2)688°=-32°+2×360°

(k=2)

S={︱=30°+k·360°，k∈Z}S={︱=-32°+k·

360°，k∈Z}

设计意图：用集合和符号来表示终边相同的角，涉及任意

角、象限角、终边相同的角等新概念，所以这是本小节学

习的主要难点。体会特殊到一般，从具体到抽象的思想方

法，培养学生观察、归纳的能力，为后面周期的概念作铺

垫，并让学生理解终边相同的角不是唯一的，而是一个角

的集合。

③定义终边相同的角。所有与角终边相同的角，连同角

在内，可构成一个集合S={︱=+k·360°，k∈Z}

，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数

个周角的和。

强调：①k∈Z；②是任意角；③终边相同的角不一定相

等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。

探究问题：①终边在y轴非负半轴上的角的集合S={︱

=90°+k·360°，k∈Z}，终边在y轴非正半轴上的角的集

合S={︱=270°+k·360°，k∈Z}；②写出终边在y轴

上的角的集合，S1={︱=90°+k·360°，k∈Z}，S2={

︱=270°+k·360°，k∈Z}。终边在y轴上的角的集合

，S= S1∪S2={︱=90°+2k·180°，k∈Z}∪{︱

=90°+180°+2k·180°，k∈Z}

={︱=90°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=90°+

(2k+1)180°，k∈Z}

={︱=90°+n·180°，n∈Z}

{偶數}∪{奇数}={整数}

5.能力检测：①写出终边直线在y=x上的角的集合S。解：

在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°

，225°因此终边在直线y=x上的角的集合S= S1∪S2={︱

=45°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=45°+180°+2k·

180°，k∈Z}

={︱=45°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=45°+

(2k+1)180°，k∈Z}

={︱=45°+n·180°，n∈Z}

②并把S中适合不等式的元素写出来：45°-2×180°=-

315°；45°-1×180°=-135°；45°+0×180°=45°；45

°+1×180°=225°；45°+2×180°=405°；45°+3×180

°=585°

6.板书设计与课堂小结：①这节课你学到了哪些知识（让

学生自己总结）；②这节课你学到了哪些数学思想。总结

任意角：任意角包括：正角、负角、零角（按旋转方向）

；按终边所在的位置分类：象限角，轴线角；终边相同的

角S={︱=+k·360°，k∈Z}。

篇5：任意角的三角函数教学设计

一、教学内容分析

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标

知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角三角函数与它的终边上点的坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．

七、教学过程

（一）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图（课件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根据锐角三角函数的定义，锐角A的正弦、余弦和正切分别是什么？

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．

师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义

问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？ 以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论。

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角的三角函数呢？

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角θ的终边不在第I象限又该怎么办？

问题3：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．

问题4：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？ 设计意图：通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理． 例1：（题目在课件8中）

设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．

3．练习（在课件9中）

设计意图：通过应用三角函数的定义，加强对三角函数概念的理解． 4．小结

问题5：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．你能再回顾一下任意角三角函数的定义吗？

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．

八、作业设计：

教科书P106习题1.2题．

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．

九、教学反思：

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

篇6：《任意角的三角函数》教学反思

通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。

在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。

篇7：任意角教学设计

1.教学目标

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法

通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.3.教学用具

多媒体

4.标签

任意角

教学过程 【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应

当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】

1．初中时，我们已学习了

角的概念，它是如何定义的呢？

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第二象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.[展示投影]练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期几? 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果角的终边都是,而

.的终边是，那么设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.6.[展示投影]例题讲评

例1.在范围内，找出与角象限角.（注：是指例2.写出终边在轴上的角的集合.上的角的集合,并把

中适合不等式

终边相同的角，并判定它是第几）

例3.写出终边直线在的元素写出来.课堂小结

(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在上的角的集合.课后习题

轴、轴、直线

篇8：任意角教学设计

一、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学学情的分析

通常情况下, 学生在开始学习任意三角函数的概念前, 已经学习了弧度制.教师要在弧度制的教学过程中有目的、有意识地加入数学史的内容, 这样可以使学生从自己的思想意识中明确为什么要将弧度制引入到数学教学活动中, 同时也能够帮助学生加深对单位圆的理解[1].学生在初中已掌握了锐角三角函数的相关含义, , 比如正弦和余弦以及正切等概念有了一定程度的了解.因此本文认为教师可以在弧度制的教学讲解过程中对锐角三角函数的概念进行复习和回顾, 之所以这样做是因为从本质上来说, 弧度制是一种度量方式, 最早也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的.为了充分提高教学的质量, 在实际的教学过程中, 教师应当先不要讲述三角函数的定义, 而是要等到学生对任意三角函数的概念深入掌握后再将高中和初中的知识进行对比, 这样可以帮助学生建立一个清晰完整的三角函数知识体系.

二、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学情境设计

学生到了高中阶段, 其生活经验和联想能力都得到了发展和提高.所以教师要从生活的现象入手, 激发学生对任意角三角函数的学习兴趣[2].如引导学生对钟表指针的旋转以及自行车轮子的旋转进行观察, 因为在这些运动中都存在着180°以上的角度, 而且其运动的轨迹都和圆存在着十分直接的联系.因此从某种角度来说, 三角函数也叫圆函数[3].在这种情况下, 完全可以借助单位圆引入任意角三角函数的概念.

问题1:怎样从单位圆的角度出发去理解任意三角函数的定义?

如图1所示, 我们完全可以假设α是一个任意的角, 在此基础上进一步假设α 的终边和单位圆相交于一个点M (x, y) .在这种情况下, 首先y就是角α 的正弦, 即sinα=y;其次, x就是角α 的余弦, 即cosα=x;y/x就是角α 的正切, 即tanα=y/x.

问题二:点M (x, y) 的坐标和任意三角函数的正负存在着什么样的内部联系?

此时, 教师要利用这个问题导向, 积极引领学生对三角函数的定义进行深入分析, 利用该定义对三角函数符号和点M (x, y) 的坐标关系进行分析, 通常情况下, 只要r的值是正数, 那么横坐标和纵坐标的正负就可以直接决定三角函数值的符号.

问题三:在分析和学习三角函数的周期性时, 怎么实现对单位圆这一工具的有效利用?

此时, 对图1的单位圆进行深入的分析和实际的计算可以得出这样一个重要的结论, 那就是每当角度转动了360°或者是360°的整数倍的时候, 角的终边都能够回到原来的位置上.在这种情况下, 三角函数在转动前后的同名函数值应该是相等的.因此, 我们可以对这样一种现象进行深入的分析和有效的利用, 从而能够通过有效的转换, 变成求0到2π角的三角函数值.

三、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学效果的问卷调查

为了对HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学效果进行深入的了解和掌握, 本次研究做了充分的调查, 并在某学校进行了课堂教学的实践.该学校的文理科比例是1∶4, 从总体上来看, 理科生对本节课的兴趣高于文科班.部分学生认为本次课堂的感觉比较好, 比以前更加有趣, 还有的学生认识到单位圆具有周期性和对称性, 对用来研究三角函数具有很有效的帮助.总体来说, 三角函数历史悠久, 将几何知识、代数知识等融为一体, 教师在教学的过程中应当注意各个知识之间的联系.

综上所述, 三角函数是高中学习中非常重要的知识内容, 从周期性的角度来说, 三角函数是周期函数, 同时三角函数也为解决其他问题提供十分重要的工具, 与后续学习的很多内容有关联.HPM主要对数学史的教学设计等内容进行深入的研究.因此我们要进一步进行深入思考和研究, 采取有效措施, 加强HPM视角的数学教学研究, 让学生了解数学的来龙去脉, 这样既有利于提高学生学习数学的兴趣, 又能够加深学生对数学知识的理解.

摘要：三角函数是高中数学非常重要的内容, 从周期性的角度来说, 三角函数是周期函数, 同时三角函数也为解决其他问题提供十分重要的工具, 与后续学习的很多内容有关联.学生通过对三角函数的学习, 可以深入了解周期性思想, 提高解决数学问题的能力.通过大量的研究证实, HPM视角下的教学法可增强学生对“任意角三角函数概念”的理解, 学好三角函数具有十分重要的影响.本文基于HPM视角下对高中“任意角三角函数概念”的教学进行了深入的分析和研究.

关键词：HPM视角,三角函数,教学探究

参考文献

[1]龚亮亮.“任意角的三角函数”教学设计[J].中国教育技术装备, 2011 (4) .

[2]曾荣.高中数学教材“推广型”内容的教学策略[J].教学与管理, 2015 (7) .

篇9：“任意角”教学设计的思考

关键词：任意角；探究；数学思想；思考

一、情境创设与思考

（一）情境设计片段

情境1：视频程菲招牌动作“程菲跳”，踺子后手翻180°接前直空翻540°，那么540°是一个怎样的角？

情境2：假如你的手表快了5分钟或1.5小时，你又是怎样将它校准的，当时间校准后，分针各走了多少度？

情境3：提出问题：初中时，我们所学0°~360°是如何定义的？

（二）情境设置的思考

情境1和情境2从学生熟悉的实例出发，应用生活化的浅显例子作思维引导，从运动的角度，用旋转方法得到一个角，突破了学生已有角的范围，导致学生的认知发生冲突，说明角的概念需要推广。对于情境2教师可以让学生准备好手表实际操作，从实验中体会。这样的设计将抽象的数学生活化，也彰显了数学的独特魅力。相比之下，情境3是通过复习角的定义，使学生明白角可以有静态和动态两个方面定义，体现用旋转来定义角的优越性，从而为角的概念推广做好知识上的铺垫。如学生没能说出用旋转来定义角，教师可以用实例加以引导，如跳水运动员向内向外转体、工人师傅用扳手拧螺丝等。

二、概念建构与思考

（一）概念建构设计

问题1：能根据旋转的定义，列举生活中不在0°-360°的角？该怎样说明他们？

问题2：在今后的学习中，我们常在直角坐标系中讨论角，那么怎样把角放在坐标系中比较合理方便？

问题3：30°角的终边OB与390°角和-330°角的终边有什么关系？与30°角的终边相同的角有哪些？

（二）概念建构思考

问题1通过生活中实例，让学生直观了解角度的旋转量和方向都是刻画角度不可缺少的因素，并且会有正角、负角和零角区分。同时教师可以引导学生把正角、负角和零角与正数、负数和零类比，加深对角的概念理解。也可以借助课件，认识正角、负角和零角与旋转方向的关系，并回答前面的情境问题。问题2让学生自行尝试，画图、探究、合作，教师在分析总结的基础上给出概念，并在坐标系中画出图形，让学生感受到用终边区分象限角的必要性和合理性。问题3请学生回答，并归纳出相互间关系，体会从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法，认识终边相同的角的关系及其表示，也为后面学习周期做铺垫。

三、概念巩固与思考

（一）巩固练习

（1）锐角是第几象限角？（2）第一象限角都是锐角吗？在分别用直角、钝角和小于90°的角来回答上述两个问题。

（二）巩固练习思考

通过巩固练习，让学生明白，概念推广之后，初中的有些概念也要发生改变，进一步理解象限角的概念，初步了解周期，也巩固终边相同角概念。

四、数学应用设计与思考

（一）数学应用设计

例1.在0°~360°度范围内，找出与角-990°15′终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？

例2.终边落在y轴的角的集合怎么表示？

例3.已知角α与240°角的终边相同，判断■是第几象限角？

（二）数学应用设计思考

教师层层设计问题，有利于学生形成功能良好的认知结构。在问题探究过程中，学生通过思考、操作、内化等学习过程，深化知识和方法的建构。

五、课堂总结与思考

（一）课堂总结

1.你知道角是如何推广的吗？象限角是如何定义的呢？

2.你掌握了与角α终边相同的角的集合的表示方法吗？

3.本节课你体会到哪些数学思想方法？

（二）课堂总结思考

以问题来总结，又促进学生主动参与学习，使课堂教学真正做到让学生“动起来”，讓课堂“活起来”。教师设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系，挖掘书本背后的数学思想，建构基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。

六、结语