高中椭圆知识点

2024-04-22

高中椭圆知识点（通用12篇）

篇1：高中椭圆知识点

高中数学椭圆知识点

椭圆的标准方程

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0);

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0);

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)

椭圆的对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：(-a，0)，(a，0)

短轴顶点：(0，b)，(0，-b)

焦点在Y轴时：长轴顶点：(0,-a)，(0,a)

短轴顶点：(b,0)，(-b,0)

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1(-c,0)F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1(0，-c)F2(0,c)

距离问题习题

习题

一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米?

答案

先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米(即甲、乙两地距离)。火车每小时行多少千米：150÷2.5=60(千米)火车共行了多少小时：2.5+3=5.5(小时)甲乙两地相距多少千米：60×5.5=330(千米)

综合算式： 150÷2.5×(2.5+3)=150÷2.5×5.5=60×5.5=330(千米)

常见运算符号

如加号(+)，减号(-)，乘号(×或·)，除号(÷或/)，两个集合的并集(∪)，交集(∩)，根号(√￣)，对数(log，lg，ln，lb，lim)，比(:)，绝对值符号| |，微分(d)，积分(∫)，闭合曲面(曲线)积分(∮)等。

篇2：高中椭圆知识点

椭圆知识点

1.利用待定系数法求标准方程：

(1)求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性、后定型、再定参)。

椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准”，就是椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦点F1、F2的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件;参数a、b 决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。对于方程x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0若m>n ，则椭圆的焦点在x轴上;若m

(2)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设Ax^2+By^2=1(A>0,B>0) ，这种形式在解题中更简便。

2.椭圆定义的应用：

平面内一动点与两个定点F1 、F2 的距离之和等于常数2a ，当2a >|F1F2 |时，动点的轨迹是椭圆;当 2a=|F1F2 |时，动点的轨迹是线段F1F2 ;当 2a<|F1F2 |时，轨迹为存在。

椭圆的几何性质：

(1)设椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一点为P ，则OP^2=x^2+y^2 ，当x=-a,a时有最大值，这时P在长轴端点A1或A2处。

(2)椭圆上任意一点P 与两焦点F1F2 ，构成三角形称之为焦点三角形，周长为2a+2c 。

(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长，有a^2=b^2+c^2 。

直线与椭圆的相交问题

在解决有关椭圆的问题时，要先画出图形，解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用，将对几何图形的研究转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。数形结合的思想方法是解析几何中基本的思想方法。解析几何的本质是用代数研究几何，如求轨迹方程、范围问题等，几乎都与函数有关，实质即将几何条件(性质)表示为动点坐标(x,y) 的方程或函数关系。因此，自觉地运用函数方程的观点是解此类问题的关键。

椭圆解题技巧

一、设点或直线

做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为 ,等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式 ,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。

二、转化条件

有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。

有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。

三、代数运算

转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式

，设参数方程时，弦长公式可以简化为

解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为

和

，AB与x轴交于D，则

(d是点O到AB的距离;第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。

解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。

在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。

四、能力要求

做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。

五、理论拓展

这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容

关于直线：

1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程:

。据此可以直接写出过

和

两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。

2、直线一般式Ax+By+C=0表示的这条直线和向量(A,B)垂直;过定点

的直线的一般式可以写为

。根据这两条推论可以快速地写出两点的垂直平分线的方程。

关于椭圆：

3、椭圆

的焦点弦弦长为

(其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率)。右焦点的焦点弦中点坐标为

，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。

篇3：巧用圆的知识妙解椭圆问题

圆是中学数学中最基本、最重要的概念之一, 也是近几年各类考试中的热点内容之一.解题时, 若能充分利用题设条件, 利用圆的定义, 圆的方程, 圆的圆心、直径 (或半径) , 圆与曲线的位置关系等性质, 常能收到事半功倍的作用, 达到化繁为简, 化难为易之目的.下面举例说明圆的知识在解椭圆问题中的运用, 供大家参考.

1 借助圆求椭圆中轨迹方程

例1F1, F2分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点, A为椭圆上任意一点, 过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线, 垂足为D, 求点D的轨迹方程.

分析设F1D的延长线交F2A的延长线于C, 易证D为F1C的中点, 在△CF1F2中, O, D为中点, 且O为定点 (原点) , 若求出中位线OD的长, 即可解决问题.

解设F1D的延长线交F2A的延长线于C, 因为AD是∠CAF1的角平分线, 且AD⊥CF1, 所以|AF1|=|AC|, D为CF1的中点.又O是F1F2的中点, OD是△CF1F2的中位线, 所以

$\begin{array}{l} | Ο D | = \frac{1}{2} | C F_{2} | = \frac{1}{2} (| A F_{2} | + | A C |) \\ = \frac{1}{2} (| A F_{2} | + | A F_{1} |) = 2 . \end{array}$

由圆的定义可知, 点D的轨迹是以O为圆心, 2为半径的圆.

所以点D的轨迹方程为x2+y2=4.

2 借助圆求椭圆中参量的取值

2.1 求椭圆上点的坐标范围

例2 (2002年全国卷) 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点为F1, F2, 点P为其上的动点, 当∠F1PF2为钝角时, 求点P的横坐标的取值范围.

分析本题常规解法可通过设P点坐标 (x0, y0) , 借助向量 $\vec{Ρ F_{1}}$ 与 $\vec{Ρ F_{2}}$ 的夹角为钝角, 则 $\vec{Ρ F_{1}} \cdot \vec{Ρ F_{2}} ＜ 0$ , 得不等式通过消元进行求解.但本题可由椭圆的性质知, 当0≤x0≤3上变化时, x0的值越小∠F1PF2越大, 当x0=0时, ∠F1PF2有最大值, 所以要想使∠F1PF2为钝角先求出∠F1PF2为直角时P的坐标, 再由椭圆的对称性求得x0的取值范围.

解如图1, 设P (x0, y0) , 由题意知 $F_{1} F_{2} = 2 \sqrt{5}$ , 当PF1⊥PF2时, P在以F1F2为直径的圆上, 即满足解得 $x_{0} = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .又同圆中同弧所对的顶点在圆内的角大于顶点在圆周上的角, 大于顶点在圆外的角, 当P在椭圆和圆的交点上时, ∠F1PF2为直角, 当P在圆外部的椭圆弧上时, ∠F1P3F2为锐角, 故当P在椭圆和圆的交点间的上下两段椭圆弧上时, ∠F1P1F2为钝角, 所以 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5} ＜ x ＜ \frac{3 \sqrt{5}}{5} .$

2.2 求椭圆中参数的值

例3 (2002江苏高考题) 直线y=mx+1 (m>0) 与椭圆2x2+y2=2相交于A, B两点, 若AB的长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ , 求m的值.

分析本题可通过联列方程组, 消元得二元一次方程, 通过韦达定理由弦长公式进行求解, 若对方程组分别进行消x和消y处理会得到两个一元二次方程, 将两方程相加会得到意想不到的结果, 进而转化为圆的知识进行求解.

解由

消去y得

(2+m2) x2+2mx-1=0, (1)

消去x得

(2+m2) y2-4y+2-2m2=0. (2)

将 (1) (2) 两式相加得方程

$\begin{array}{l} (x + \frac{m}{2 + m^{2}})^{2} + (y - \frac{2}{2 + m^{2}})^{2} \\ = \frac{2 m^{2} - 1}{2 + m^{2}} + \frac{m^{2} + 4}{(2 + m^{2})^{2}} . (3) \end{array}$

易验证圆心 $(- \frac{m}{2 + m^{2}} ‚ \frac{2}{2 + m^{2}})$ 在直线AB上, 所以 (3) 式是以AB为直径的圆的方程, 所以圆的直径等于弦AB的长, 即

$\sqrt{\frac{2 m^{2} - 1}{2 + m^{2}} + \frac{m^{2} + 4}{(2 + m^{2})^{2}}} = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ,

化简得

16m4+14m2-11=0,

解之得 $m^{2} = \frac{1}{2}$ , 又m>0, 故 $m = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

2.3 求椭圆中参数的范围

例4 椭圆a2x2+y2=a2 (0<a<1) 上离顶点A (0, a) 距离最远的点恰好是另一顶点B (0, -a) , 则a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (\frac{\sqrt{2}}{2} ‚ 1) (B) [\frac{\sqrt{2}}{2} ‚ 1) \\ (C) (0 ‚ \frac{\sqrt{2}}{2}) (D) (0 ‚ \frac{\sqrt{2}}{2}] \end{array}$

分析从常规入手, 设椭圆上任一点坐标P (x0, y0) (-a≤y0≤a) , 则

$\begin{array}{l} | Ρ A | = \sqrt{x_{0}^{2} + (y_{0} - a)^{2}} \\ = \sqrt{1 - \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}} + (y_{0} - a)^{2}} \\ = \sqrt{\frac{a^{2} - 1}{a^{2}} (y_{0} - \frac{a^{3}}{a^{2} - 1})^{2} + a^{2} + 1 - \frac{a^{4}}{a^{2} - 1}} . \end{array}$

因为0<a<1, 所以 $\frac{a^{2} - 1}{a^{2}} ＜ 0$ , 由题意知, 要在B (0, -a) 处取最大值, 即当 $\frac{a^{3}}{a^{2} - 1} = - a$ 时, 那么只需 $\frac{a^{3}}{a^{2} - 1} \leq - a$ , 所以 $a^{2} \geq \frac{1}{2}$ , 即 $a \in [\frac{\sqrt{2}}{2} ‚ 1) .$

另外若设椭圆上任一点P的坐标为参数 (cos θ, asin θ) 形式, 同理可得, 都是通过函数思想求范围.如果设想以点A为圆心, 2a为半径作一圆, 则此圆与已知椭圆位置关系如何?显然是相切, 如图2, 若半径发生变化时, 则圆与椭圆的位置关系随之变化, 故可用圆与椭圆的位置关系解题.

解以点A为圆心, 2a为半径作一圆的方程为x2+ (y-a) 2= (2a) 2, 由

${\begin{cases} x^{2} + (y - a)^{2} = 4 a^{2} ‚ \\ a^{2} x^{2} + y^{2} = a^{2} ‚ \end{cases}$

消去x并化简得

(a2-1) y2-2a3y+a2-3a4=0.

令Δ=0, 得 $a^{2} = \frac{1}{2} (0 ＜ a ＜ 1) ‚ a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .此时a表示短半轴长, 观察可知选B.

3 借助圆求椭圆离心率范围

例5 (2008年江西高考) 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的左右焦点分别为F1, F2, 若椭圆内部存在一点M, 使得MF1⊥MF2, 求椭圆离心率的取值范围.

分析求椭圆离心率或离心率的取值范围, 关键是要找好a和c等量关系与不等量关系, 将条件转化为关于 $\frac{c}{a}$ 的方程或不等式, 即得离心率e的值或范围.本题由MF1⊥MF2, 可巧妙地借助圆与椭圆的关系建立a和c的不等式, 即可解决问题.

解如图3, 设椭圆的半焦距为c, 因为椭圆上存在一点M, 使得MF1⊥MF2, 则以F1F2为直径的圆与椭圆无交点, 即c<b, 所以c2<a2-c2, 所 $以 e^{2} ＜ \frac{1}{2} .$ 又0<e<1, 故 $e \in (0 ‚ \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

变式椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的左右焦点分别为F1, F2, 若椭圆上存在一点M, 使得MF1⊥MF2, 求椭圆离心率的取值范围.

解以F1F2为直径的圆与椭圆有交点, 即c≥b, 所以c2≥a2-c2, 所以 $e \geq \frac{1}{2}$ , 又0<e<1, 故 $e \in [\frac{\sqrt{2}}{2} ‚ 1) .$

4 借助圆求椭圆中有关最值问题

例6 (2005年上海高考) 已知点A, B分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 长轴的左右端点, 点F是椭圆的右焦点, 点P在椭圆上, 位于x轴的上方, 且PA⊥PF.

(Ⅰ) 求点P的坐标;

(Ⅱ) 设M是椭圆长轴AB上的一点, 且点M到直线PA的距离等于MB, 求椭圆上的点到点M的距离的最小值.

分析本题由于PA⊥PF, 用前面例题的处理方法求出P的坐标.再根据题意知M应为AB轴上的定点, 所以利用M到定直线与定点距离相等确定M位置, 要求椭圆上的点到M点的距离的最小值, 可以以M点为圆心作圆, 当圆M与椭圆相切时, 圆的半径就是椭圆上的点到M距离的最小值.

解由题意得A (-6, 0) , B (6, 0) , F (4, 0) .

(Ⅰ) 如图4, 设P (x0, y0) , 因为PA⊥PF, 所以P在以AF为直径的圆上, 即

${\begin{cases} \frac{x_{0}^{2}}{36} + \frac{y_{0}^{2}}{20} = 1 ‚ \\ (x_{0} + 1)^{2} + y_{0}^{2} = 25 . \end{cases}$

解得 $x_{0} = \frac{3}{2}$ 或-6 (舍去) , 因为点P在椭圆上, 位于x轴的上方, 所以 $Ρ (\frac{3}{2} ‚ \frac{5 \sqrt{3}}{2}) .$

(Ⅱ) 设M (m, 0) , 直线AP方程为

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x + 6)$ , 即 $x - \sqrt{3} y + 6 = 0$ ,

由点M到直线AP的距离等于MB, 得

$\frac{| m + 6 |}{\sqrt{1 + 3}} = | m - 6 | (- 6 ＜ m ＜ 6)$ ,

解之得m=2, 即M (2, 0) .则以M为圆心, d为半径的圆方程是

(x-2) 2+y2=d2 (d>0) .

联立椭圆方程消元得

$\frac{4}{9} x^{2} - 4 x + 24 - d^{2} = 0 .$

因为当圆M与椭圆相切时, 圆的半径就是椭圆上的点到M距离的最小值.所以令Δ=0, 得 $d = \sqrt{15}$ , 即椭圆上的点到点M的距离的最小值为 $\sqrt{15} .$

通过上述问题的解决可以看到, 巧妙借助圆的相关性质, 优化了解题过程, 给人耳目一新的感觉, 同时我们也要注意数形结合思想的渗透, 数形结合法是解析几何中的重要方法, 一旦运用成功, 它呈现的是问题的本质规律和数学的内在美, 因此在平时练习时要注意方法的渗透与解题方法的优化, 有助于培养思维的敏捷性和创造性.

篇4：高中椭圆知识点

纵观近几年高考试题，圆锥曲线的内

容在试卷中所占比例又一直稳定在14％左

右，即占21分左右，两小一大，小题侧重于

定义、性质，大题着重考查逻辑推理能力、

运算能力、分析解决问题能力，并且大题综

合性较强，有一定难度，常与函数、方程、向

量、数列、极限和导数相结合命题，对学生

的数形结合能力，数学语言转化能力，函数

思想和方程思想有较高的要求．

椭圆又是圆锥曲线部分重点之一，07

高考试题中，椭圆18道，双曲线14道，抛物

线7道；08年中，椭圆18道，双曲线25道，抛

物线13道；09年椭圆13道，双曲线10道，抛

物线14道。直线和圆锥曲线的位置关系，

07、08、09分别为11、7和8道；圆锥曲线间的

位置关系07、08分别为7道和4道。大道所处

的位置在20、21题处居多，在压轴题22题位

置较少。

二、复习备考建议

1．要重视基础知识的强化训练

基础知识是命制试题的灵魂，只有牢

固掌握基础知识，深刻理解各个概念的实

质，才能做到运用自如。更何况随着高考的

逐步大众化，试题的设计也需要一定数量

的基础性试题作为支撑，所以在高考总复

习中，我们一定要重视基础知识的强化训

练，力争在高考中做到不丢分数。

2．加强热点题型的强化训练

纵观近几年的高考试题以及对课改地

区的高考试题的研究，发现高考对平面解

析几何的考查主要集中在直线与圆锥曲线

的位置关系上，考查形式主要是轨迹方程

的计算、参数的范围、最值问题、圆锥曲线

相关几何性质的证明等。这类试题主要以

解答题的形式出现，试题综合性较强，思路

比较复杂，计算量相对较大，因此，在总复

习过程中，考生一定要熟练掌握各种类型

题的基本原理和基本方法，做到灵活、准确

地选择解题方法，准确地完成计算。

3．重视向量的应用

纵观近几年的高考试题以及对课改地

区的高考试题的研究，发现平面向量在平

面解析几何中的应用，主要体现在向量的

“工具”性上，即用向量的语言来叙述一个

解析几何的背景，只要把平面向量的坐标运

算的基础打牢固，就自能顺利解决这类问题。

在总复习过程中，我们要重视向量的

“工具”性训练，训练应用向量的意识和习

惯，尤其是在处理长度、角度、平行、垂直等

问题时，用向量的方法求解，能起到事半功

篇5：椭圆知识点总结

1.椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆;

(2)若a=c，则集合P为线段;

(3)若a

2.椭圆的标准方程和几何性质

一条规律

椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

两种方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程.

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴.

椭圆方程的第一定义：

⑴①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：.

②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于

⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径：

i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

篇6：椭圆的行星轨道科普知识

如果我们问一个中国小孩：“你知道的著名天文学家都有谁？”答案可能少不了张衡（公元78年-139年）。如果在全球范围内问这个问题，排名第一的则多半是哥白尼（公元1473-1543年）。他的不朽名著《天体运行论》，为人类揭示了“日心说”的真谛，掀起了一场“哥白尼革命”。

不过，鲜为人知的是，还有一个比日心说更难突破的观念，即便是哥白尼也没能再进一步。这就是行星的椭圆轨道。

一、从正圆到椭圆

对偏爱几何学的古希腊人来说，圆是最完美的形状。和它同样完美的，还有宇宙本身。以亚里士多德为代表的古希腊先哲们认为，日月是圆的，大地是圆的，星辰的轨道当然也是完美的圆形。托勒密（约公元90年-168年）的地心说体系，把圆轨道的几何发展到了极致。他用几十个小圆套大圆的方法，相当准确地计算出了行星的运动轨迹。1400多年后，哥白尼横空出世，提出了惊世骇俗的日心说，但他依然沿用圆轨道来描述行星运动，这使得计算仍然比较繁琐。

最先突破圆轨道桎梏的，是一对黄金搭档——开普勒（1571-1630）和第谷（1546-1601）。第谷是那个时代最勤奋、最精确的.观星者。他孜孜不倦地观测了，积累了大量日、月和行星运动数据，准确性几乎达到了肉眼观测的极限。开普勒根据老师第谷的数据，发现无论是托勒密还是哥白尼体系都无法精确给出行星的位置。火星的资料最多，偏差很明显。他为此花费了8年的心血，终于发现，只要抛弃圆轨道，让行星以变化的速度沿椭圆轨道围绕太阳运动，就可以完美地解释火星的数据。在此基础上，他得到了开普勒第一定律：“行星围绕太阳沿椭圆形轨道运动，太阳在椭圆的一个焦点上。”

椭圆运动可以完美地预言和解释经验事实，而且也远比托勒密或哥白尼体系简单，所以人们称开普勒为“天空立法者”。

二、从椭圆到近圆

开普勒发现了椭圆轨道，不过当时并没有人能给出解释，直到牛顿时代才揭开了其中的奥秘。根据牛顿的万有引力定律可以计算出，两个天体组成的系统，它们绕质心运行的轨道只可能有三种情况：椭圆、抛物线、双曲线，其中圆轨道是椭圆轨道的一种特例。

在太阳系这样的系统中，行星轨道是难以维持圆形的。圆轨道要求行星的公转速率保持恒定，如果太阳系只有一颗行星，这个条件不难满足。但事实上行星不止一颗，它们相互之间也有引力扰动，会直接影响轨道的形状。以火星为例，就算它的初始轨道是正圆，但每当它和木星绕到太阳的同一侧时，木星引力就会“拉”它一把，使它变速。很快，火星轨道就会偏离正圆，最终变成一个基本稳定的椭圆。

有意思的是，行星轨道也不会是非常扁的椭圆，而是更接近于正圆。这也许可以看作是一种“自然选择”。首先，一颗轨道很扁的行星，会有更大的概率和其他行星靠得很近，从而受到更强的引力扰动，使轨道不再稳定。其次，如果多颗行星的轨道都很扁，这些轨道就很容易形成交叉，行星碰撞的概率也会大大增加。碰撞之后，要么散成碎片，要么合并成更大的星体。在太阳系40多亿年的历史中，各种频繁的碰撞曾持续了将近10亿年。最终的行星“幸存者”都具有了近圆形的轨道，其中水星的轨道最扁，偏心率达到了0.206，其他行星都不到0.1。有研究表明，现在的太阳系是稳定的，在接下来的5000万年里任何行星都不会失控。但水星确实是个“隐患”，会有大约1%的概率失控，并可能导致地球和火星碰撞。不过这即便真的发生，那也是很多亿年以后的事了。

三、什么时候才真的圆

完美的圆轨道只是理想情况，可望而不可及。不过宇宙之大，无奇不有，十分接近圆轨道的情况也不在少数。土星光环就是一个例子。土星环在形成的过程中，无数碎片不停地碰撞、分解，它们最终形成了一圈圈相当标准的圆轨道，就像唱片一样里外排开。内环和外环之间还有圆形的缝隙，例如著名的“卡西尼”缝和“恩克”缝等。这表明，频繁的随机碰撞的确会使天体的轨道变圆。

除了碰撞以外，在一些双星系统中，潮汐摩擦也会使得两星的轨道最终都趋向圆形（称为“轨道圆化”）并相互“潮汐锁定”。我们的太阳系中就有这样的例子，即冥王星和它的卫星喀戎（冥卫一）。它俩的质量相差不大，在不长的时间内就互相“锁定”了，也就是都以同一面对准对方，就像月亮总是以同一面对着地球一样。在这种情况下，它们绕着二者质心旋转的轨道几乎就是正圆。

篇7：《椭圆标准方程》高中数学说课稿

=1，其中b2=a2-c2(b>0);

选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出=1，同样也有a2-c2=b2(b>0)。

教师指出：我们所得的两个方程=1和=1()都是椭圆的标准方程。

(四)归纳概括，方程特征

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

(1)椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴;

(2)椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;

(3)椭圆标准方程中三个参数a，b，c关系：;

(4)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;

(5)求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a，b的值。

2、在归纳总结的基础上，填下表

标准方程

图形a，b，c关系焦点坐标焦点位置

在x轴上

在y轴上

(五)例题研讨，变式精析

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。

(2)两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点。

例2、(1)若椭圆标准方程为及焦点坐标。

(2)若椭圆经过两点求椭圆标准方程。

(3)若椭圆的一个焦点是，则k的值为。

(A)(B)8(C)(D)32

例3、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。

(六)变式训练，探索创新

1、写出适合下列条件的椭圆标准方程

(1)，焦点在x轴上;

(2)焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P;

2、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的范围。

3、已知B，C是两个定点，周长为16，求顶点A的轨迹方程。

4、已知椭圆的焦距相等，求实数m的值。

5、在椭圆上上求一点，使它与两个焦点连线互相垂直。

6、已知P是椭圆上一点，其中为其焦点且，求三解形面积。

(七)小结归纳，提高认识

师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。

(八)作业训练，巩固提高

课本第96页习题§8。1第3题、第5题、第6题。

课后思考题：

1、知是椭圆的两个焦点，AB是过的弦，则周长是。

(A)2a(B)4a(C)8a(D)2a2b

2、的两个顶点A，B的坐标分别是边AC，BC所在直线的斜

率之积等于，求顶点C的轨迹方程。

2、与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线?

教学设计说明

椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣;在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。

篇8：从圆、椭圆到卵形

这个结论和画法不足为奇。

美籍华裔数学家陈省身教授说过:“数学好玩。”数学的一个玩法就是从不同角度、不同观点去看同一个问题, 那么对于“圆的定义”这个问题还可以有什么不同观点呢?

观点1:如果我们在画板上定点F处固定一枚钉子, 一根没有弹性但柔软的绳圈把钉子围在里面, 用铅笔笔尖把绳圈拉紧并缓慢移动, 则铅笔笔尖M划过所形成的轨迹当然还是一个圆 (如图二所示) 。

观点2:如果观点1中的定点F实际上是某两个点F1和F2重合形成的, 我们现在把它们重新分开, 那么上面的画法过程就变成这样:如图三所示, 在画板上有2枚固定的钉子F1和F2, 一根没有弹性但柔软的绳圈把钉子F1和F2围在里面用铅笔笔尖把绳圈拉紧并缓慢移动, 则铅笔笔尖M划过所形成的轨迹就是同学们曾经学过的椭圆。

观点3:如果观点1中的定点F实际上是某三个点F1、F2和F3重合形成的, 我们现在把它们重新分开 (为了能说明问题, 我们让这三个点满足那么上面的画法过程就变成这样:如图四所示, 在画板上有3枚固定的钉子F1、F2和F3, 一根没有弹性但柔软的绳圈把三枚钉子围在里面 (绳圈周长略大于ΔF1F2F3的周长) , 用铅笔笔尖M拉紧圈绳并缓慢移动, 则铅笔笔尖M在画板上划过的轨迹又是什么呢?

建议同学们先思考一下, 然后动手操作一番, 你有什么发现?哦, 是一个两头大小不一的“卵形” (如图五所示) !

反思观点2, 实际上就是说明:“平面上有两个定点F1和F2, 动点M满足则点M的轨迹是一个椭圆。”现在把观点2改一下, 就又有了下面的观点。

如果想通过具体操作把轨迹画出来, 我们可以这么处理:如图六所示, 取一根没有弹性但柔软的绳子, 在画板上, 把绳子的一端固定在钉子F1处, 另一端固定在铅笔的笔尖上, 让笔尖M牵引绳子绕过钉子F2, 并拉紧绳子缓慢移动, 则铅笔笔尖划过形成的轨迹就是我们所要的图形, 它也是一个卵形!怎么样, 很奇妙吧!

进一步的任务:

1.分析观点3所画的卵形, 说明它由哪些曲线段组成?

2.试用几何画板画出观点4所描述的轨迹, 让两点F1和F2之间的距离不断改变, 观察轨迹有什么变化?

篇9：高中椭圆知识点

关键词：高中数学；直线与椭圆；交点分析；位置关系

G633.6

一、椭圆的基本介绍

1.椭圆的定义

平面内的点与两个定点距离之和等于常数，该常数大于两定点之间的距离，这样的常数形成的点的轨迹叫做椭圆。而这两个定点叫做椭圆的焦点，其之间的距离叫做椭圆的焦距。

2.椭圆的标准方程式

共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0）；其中a^2-c^2=b^2。

3.椭圆的几何性质

关于椭圆的一些几何性质，有几个方面。当焦点在X轴时 -a≤x≤a，-b≤y≤b，当焦点在Y轴时 -b≤x≤b，-a≤y≤a；椭圆的对称性，其对称中心其实就是椭圆的中心；椭圆的顶点，就是椭圆对称轴的四个交点；长轴与短轴，指的就是对称轴上两对顶点之间的线段；椭圆的离心率，指的是焦距与长轴之比，记作e，范围在0和1之间，e越接近于1，椭圆就越扁，反之越圆。

二、直线和椭圆的交点问题

直线和椭圆可以是没有交点、一个交点或两个交点，其分别体现的是直线与椭圆的相离、相切和相交。当直线和椭圆相离时，两者之间没有交点；当直线和椭圆相切时，存在一个交点，就是切点；当直线和椭圆相交时，会有两个交点，那么我们如何才能判定直线和椭圆的位置关系呢。

在探索直线和椭圆的位置问题时，主要是靠研究两者之间的交点个数进行判断，因此可以用代数的方法联立方程组求解，从而进行判定。首先，把直线方程和椭圆方程联立为方程组。其次，消去y或x得到一元二次方程。最后，计算△=b^2-4ac，当△>0，即表示直线和椭圆相交；当△=0，直线和椭圆相离；当△<0，直线和椭圆相离。当然，假如求得y或x有两个解时，说明有两个交点；只有一个解时，说明只有一个交点；无解的话，说明相互之间是没有交点的。主要通过根和系数的关系和求根公式来解决这个问题，学会使用数形结合的方式可以更直观、更清晰的表达出内容。

三、直线和椭圆交点问题的基本运算

直线和椭圆之间涉及到很多考点，要解决两者之间的问题无非是要注意这几个方面：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在；（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程；（4）一元二次方程的判别式；（5）韦达定理，同类坐标变换；（6）同点纵横坐标变换；（7）x，y，k（斜率）的取值范围；（8）目标：弦长、中点、垂直、角度、向量、面积及范围等。接下来列举几个常见的题型，进而进行分析和解答。

1.求取值范围的问题

例如，直线和椭圆始终有交点，求椭圆方程中a或b的取值范围。

一般遇到这种情况，可以先看直线方程，找出其特点，看该直线是否过定点，同时观察椭圆的定点，初步确定所求变量的取值范围。该题的解题关键是直线和椭圆恒有公共点，从而确定题目的答案。

2.形成几何面积问题

例如，椭圆方程已知，求两焦点与椭圆y轴上的一个顶点所形成的面积。

做这种题目时，首先第一件事就是把图画出来，把需要的点都标出来。这个题目其实很简单，因为椭圆的方程式是已知的，就可以知道两个焦点的坐标，以及四个顶点的坐标，只需要进行简单的等腰三角形的求和公式的运算就可以得出答案。

3.求最小距离的问题

例如，椭圆方程已知，直线方程已知，求椭圆上是否存在一点到直线的距离最小以及最小距离为多少。

同样，第一件事是画图，将已知的内容全部画上去。假设存在一点与直线的距离最小，得出距离d的一个方程，与椭圆的方程进行联立求解，从而得出答案。从这个题目中，我们也可以得出，假如存在一个这样的点，距离d等于零的话，说明直线与椭圆相切；距离大于零，则说明直线与椭圆相离。假如存在两个点，距离d都等于零的话，说明直线与椭圆相交。

除此以外，还有其他很多关于直线和椭圆的题型，如椭圆上一点到两焦点连线的垂直问题、直线被椭圆所截得的弦长问题、求椭圆方程的问题等。但不管怎样，只要理清楚椭圆和直线所涉及的各个变量的运算方式和相关公式，要解决整个问题就不难，所谓万变不离其宗，其道理是一樣的。

四、结语

直线和椭圆之间的相关联系，一直都是高中数学教学中备受关注的，能够理清两者之间的交点问题，还是能够解决大部分的直线和椭圆之间的问题。不管是于直线和椭圆，直线和抛物线和其他曲线的解答思路都是差不多的，无非都是围绕相交、相切和相离几个因素转。因此，同学们应该重视这一方面的学习，不能在自己解决不了的问题面前止步不前，需要有耐心和坚定的信念一直走下去，那时候就会发现，其实并不是想象中的那么难走。

参考文献：

[1]张永楼.直线与椭圆位置关系判定的几何方法[J].中学数学研究，2013（10）

[2]刘绍学，章建跃.几何中的向量方法[J]. 数学通报，2004（03）

[3]王建明，张思明，王鹏远，赵大悌.高中几何课程标准之我见[J].数学教育学报，2001（04）

篇10：高中椭圆知识点

◆ 知识与技能目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

◆ 过程与方法目标

（1）复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii）椭圆的简单几何性质

①范围：由椭圆的标准方程可得，yb221xa220，进一步得：axa，同理可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e，b当e1时，ca，圆图形越扁椭0ca叫做椭圆的离心率（0e1），．

；当e0时，c0，ba椭圆越接近于圆（iii）例题讲解与引申、扩展

例4 求椭圆16x25y400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．

扩展：已知椭圆mx5y5mm0的离心率为

2222

的距离和它到定直线l：xa2c的距离比是常数ecaac0，则点M的轨迹方程是椭圆．其中定点Fc,0是焦点，定直线l：xa2ca2相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点Fc,0，相应于F的准线l：x◆ 情感、态度与价值观目标

c．

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．

（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：

篇11：CAD讲稿3绘制椭圆椭圆弧

一、圆的绘制：

1、复习绘制圆的六种方式

2、能根据不用的条件判断应该选择何种方式

二、圆弧的绘制

1、复习上节课所讲的绘制圆弧的六种方式

2、能根据已知条件，判断该采用何种方式

三、圆环

1、复习圆环的画法：是否填充

2、圆环内径为0时，是实心圆

四、点

1、点的样式设置

2、定数等分

3、定距等分

新课：

第二章

绘制基本二维图形

2.4 绘制椭圆和椭圆弧

2.4.1绘制椭圆

命令用于绘制椭圆或椭圆弧，在工程图中常用来绘制小的物品，如洗手盆、坐便器、装饰图案及圆的透视图等。(讲授法)

1、一共有三种方式（操作法、演示法、练习法）：

（1）轴端点：即指定长轴与短轴的端点。

①指定椭圆的轴端点

②指定椭圆的另一端点

③指定另一条半轴长度

（2）椭圆中心方式：该方式用来定义椭圆中心和椭圆与两轴的各一个交点（即两半轴长）画一个椭圆。

①指定椭圆轴端点，此时输入C切换到中心点的方式

②指定椭圆中心点

③指定轴端点或者输入半轴长度

④指定另一半轴的长度

（3）旋转方式：该方式是先定义椭圆长轴的两个端点，然后使以这两个端点之间的距离为直径的圆绕该长轴旋转一定角度，该圆在水平面上的投影就是要画的椭圆。

①指定椭圆的轴端点 ②指定轴的另一端点

③指定另一半轴长度或【旋转R】，输入R切换到旋转的方式 ④指定饶长轴旋转角度

（4）绘制椭圆弧：按照以上三种方式画椭圆，最后切换到角度的方式，进行绘制椭圆弧。（操作法、演示法、练习法）

①按照轴端点的方式画椭圆 ②按照椭圆的中心方式画椭圆弧 ③按照旋转方式画椭圆

第二章

绘制基本二维图形

2.5 多段线

2.5多段线

由若干不等宽（或等宽）的直线段或圆弧连接而成的单一对象。按照命令行提示，逐一进行讲解。（讲授法）

1、绘制直线段相关选项说明（操作法、演示法、练习法）（1）指定下一点：确认出多段线的另一端点，为默认选项。（2）圆弧（A）：将绘制直线方式切换为绘制圆弧方式。（3）半宽（H）：设置多段线的一半线宽。（4）长度（L）：设置直线段长度。（5）放弃（U）：放弃刚才进行的操作。

（6）宽度（W）：设定多段线宽度，可以将起点和端点设定不同的值。

（7）闭合（C）：用直线段连接多段线的起点形成闭合的线段，同时结束命令。

2、绘制弧线段相关选项说明（操作法、演示法、练习法）（1）指定圆弧的端点：默认选项。

（2）角度（A）：指定弧线段从起始点至端点的包含角。（3）圆心（CE）：指定圆弧的圆心。（4）半径（R）：指定弧线段的半径。

（5）闭合（C）：用弧线段连接多段线的起点形成闭合的线段，同时结束，命令。

（6）方向（D）：指定弧线段的起始方向。

（7）直线（L）：将绘制圆弧方式切换至直线段方式。

3、绘制P84例题。

篇12：高中椭圆知识点

学反思

认识椭圆形

活动目标：

1.说出椭圆形的名称，感知椭圆形的基本特征。

2.能从生活中找出椭圆形的物体。

活动准备:

椭圆形的卡纸~用卡纸做~，人手一份的圆形，椭圆形，测量用的小纸条，生活中的实物图片。

活动过程：

1.出示椭圆卡纸，认识椭圆形。

老师今天带来了一个新的图形朋

友，你们知道它的名字叫什么吗？它呀，叫做椭圆形，来，跟我一起说一遍，椭圆形。2比较圆形和椭圆形，认识椭圆形的基本特征。⑴比较图形，寻找相同点。

你们看这个是什图形？对啦，是圆形，你们看看它们有什么一样呢？摸摸它们边看看？然后再把它们对折看看？

椭圆形是对称图形，并且是光滑没有棱角的。

⑵测量发现椭圆形的对称轴长度不同。

你们看，这个是什么？今天老师给你们准备画好粉红色线的圆形和椭圆形，等下请小朋友用小纸条量一量，看看会发现什么？你们知道要怎么样用小纸条来量吗？用小纸条的一边跟线的一端对齐，然后用手压住这边，另外一边手轻轻把纸条拉平，看看纸条比线长，还是比线短，还是一样长。

小朋友们都量好了吗量好的小朋友拿着椅子坐到中间来。我请一个小朋

友来说一说他发现了什么？

3，思考生活中有哪些椭圆形。

我们今天新认识了一个图形，它的名字叫做？椭圆形，它是什么样的吖？那我们来想一想，我们平时看到的哪些东西是椭圆形的呢？我请举手的小朋友来说。小朋友说得真棒，老师还准备了一些图片，大家一起来找一找里面的椭圆藏在哪里吧。

今天我们一起学习了新的图形，椭圆形，等回家以后，小朋友们可以和爸爸妈妈一起找一找，生活中还有哪些东西是椭圆形的。4，拓展延伸，试着拓画出椭圆形。认识椭圆形

认识椭圆形

作者：天津市市辖区和平区天津幼师附属幼儿园大一班郝建营

活动领域：科学领域

【活动前评析】

升入中班上学期的幼儿对图形产生了越来越浓的兴趣，已不满足于已经认识的长方形、正方形、三角形、圆形

等基本图形。幼儿有认识新图形的愿望和兴趣。

【活动目标】

1.通过比较椭圆形，感知椭圆形的基本特征。

2.能区分椭圆形与其他图形的不同。

【活动准备】

1.电脑课件；教学挂图；幼儿操作卡片等。

2.认识正方形、三角形、长方形、圆形、梯形的经验。

【活动过程实录】

1.以电脑课件的方式，引出课题。

边出示课件边讲述故事：今天老师要带小朋友们去一个神奇、好玩的地方，你们猜一猜这是什么地方啊？今天我们要去的这个地方是一座神奇的城堡，这座城堡里住着许多许多可爱的图形宝宝，所以这座城堡有一个好听的名字，叫做图形王国。图形王国里的图形宝宝可多可多了，有我们小朋友已经认识的

正方形宝宝、长方形宝宝、三角形宝宝、圆形宝宝，还有很多我们小朋友叫不上名字的宝宝。今天有几个图形宝宝来到了城堡中的一片草地上来聚会，你们猜一猜都有哪些图形宝宝来参加聚会了？那我们一起来看一看都有谁来了。这是谁呀？这是谁呢？这又是谁呢？圆形宝宝说：“今天我要给大家介绍一位新朋友，它是我的好朋友，和我长的有一点像，但是又不大一样，你们想不想知道它是谁呀？那我们快把它请出来吧！它就是椭圆形宝宝。

2.通过圆形与椭圆形进行比较，直观感受椭圆形的特征。

师：老师这里有一个圆形宝宝和一个椭圆形宝宝。刚才圆形宝宝说了，它这个好朋友和它长的有一点儿像，可又不太一样？现在我们就来看看他们哪不一样？

师：我们先把这两个图形宝宝重叠，你们发现了什么？

师：你们找的很对，椭圆形比圆形

要长、要扁。

师：现在，老师再给你们变一个魔术，仔细看一看它们两个图形又有什么不

同？

师：我先把圆形和椭圆形分别对折，用工具来测量折印。

教师小结：椭圆形宝宝与圆形宝宝有两点不同，椭圆形宝宝比圆形宝宝要长一些、扁一些。椭圆形宝宝上下折印和左右折印不一样长，而圆形宝宝的上下折印和左右折印一样长。

3.游戏“走迷宫”。

⑴集体游戏“走迷宫”。

师：椭圆形宝宝非常高兴认识你们，它决定带你们去图形王国里的图形迷宫去玩。在这座迷宫中，藏着许多椭圆形宝宝，下面就请你们来把这些椭圆形找出来。

引导幼儿描述椭圆形的外形特点，使其找出所有的椭圆形。

⑵幼儿操作游戏“走迷宫”，教师给

予指导。

鼓励幼儿仔细观察，根据需要适时地给予指导。对不能做出正确判断的幼儿，引导其从椭圆形的两个特点出发进行判断。

4.交流与分享。

引导幼儿说一说自己在判断过程中是怎样做的？帮助幼儿梳理经验，学会区分椭圆形和其他图形的不同。

5.结合生活，寻找椭圆形。

来源：安康家园首届幼师大赛作品集教学反思—圆的认识

教学反思——《圆的认识》

《圆的认识》一课是九年义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册第四单元第一教时的内容。这部分知识是在学生认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的基础上展开，也是小学阶段认识的最后一种常见的平面图形。这节教材的内容有：画圆的步骤和方法，圆心、半径和直径的认识，圆的特征。圆形物体在日常生活中极常见，学生在学习《圆的认识》前，对圆有极其丰富的感性认识。圆的相关知识与特征，学生通过自己的操作、探索都能获得，“学”数学就是“做”数学；而学生的心理特点，决定了应当重视引导学生运用多种感官，参与知识的形成过程；因此学生通过认识圆、画圆过程，可以体验数学的乐趣。学习难度方面站在小学生的角度，使其能够尽快理解圆的半径及归纳圆的特征，突破本课难点。上课伊始，我先复习了以前学过的图形为学习新知做好铺垫，接着以

借助操作过程与已学过的半径、直径对圆可能有哪些特征,进行了合理的猜想；通过小组讨论交流、相互补充,提高了学生分析推理能力；然后让学生自己想办法验证,使学生的求异思维得到发展；再通过多媒体的演示,最后让学生自己归纳概括出圆的特征,便是水到渠成了。画圆是这节课的非重点内容,则通过学生自我实践便可掌握。教学时间分配强略得当。在学完新知后又为学生设计

了不同层次的练习，使学生巩固了新知提高了能力。并且借助多媒体课件，提供学生更多选择学习方式的机会，为自己的探索所得提供科学验证和知识深化、运用的机会。

总之，教学过程中，充分放手让学生参与知识的形成过程，让他们自己去发现、去猜想、去验证、去讨论、去合作„„从而实现了自主探究圆的认识教学反思1

圆的认识教学反思

教学设计

“圆的认识”是在学生直观认识圆和已经较系统地认识了平面上直线图形的基础上进行教学的，为引导学生动手、动脑，主动参与知识的形成过程，本课时教学设计主要突出以下几点：

1、从学生熟悉的情况和已有的知识出发，激发学生兴趣，开展教学活动，在导入新课和教学新课的过程中，都充分地体现了这一点。

2、重视学生动手、动脑，主动参

与知识的形成过程。无论是认识圆心、半径、直径，还是学习圆的画法，都安排了学生充分参与的实践活动，给学生提供了大量的观察、操作、猜测、讨论、交流、归纳、分析和整理的机会。

3、注意使学生初步体验数学知识之间的联系，感受数学与现实生活的密切联系，培养学生初步的探索和解决问题的能力。从创设情境认识圆，到初步运用有关圆的知识解决实际问题，例如测量没有标出圆心的圆的直径，找出圆形物体的圆心，车轮为什么要作成圆形等都突出这一点。

教学设计：

本节课从学生已有的知识出发，创设情境，激发学生兴趣，引导学生结合实际事例进行猜想，并通过实践检验猜想，在具体情境中逐步认识圆的特征。教学突出了学生动手、动脑、主动参与知识形成过程的教学理念，给学生提供了大量观察、操作、猜测、讨论、交流、归纳、分析和整理的机会，使学生冲费

感受到学生与现实生活的密切

联系，培养学生初步的探索和解决问题的能力。

教学存在不足：

1、关于圆的概念没有板书，导致学生对圆的概念掌握不牢，含糊不清。

2、没有辅导到学习上有困难的学生。

整改措施：

1、加强课堂调控能力的培养，平时多与学生交流，增长师生之间的感情。

2、加强多与有经验的教师交流，了解六年级的知识结构，多看有关书籍资料，充实知识内容。

3、加强与后进生的交往，关爱、了解后进生的学习与生活，培养他们对学习的兴趣。“圆的认识”教学反思

“圆的认识”一课选自小学数学教材第11册，是在学生认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的基础上展开，也是小学阶段认识的最后一种常见的平面图形。教材的编排思路是先借

助实物揭示出“圆”，让学生感受到圆与现实的密切联系，再引导学生借助“实物”、“圆规”等多种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法，在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、量一量等活动，帮助学生认识直径、半径、圆心等概念，同时掌握圆的基本特征。这样的编排，学生对于圆的相关概念及特征的理解和把握一般都是建立在教师的明确指引和调控之下，学生相对独立的探索空间不够，而与此同时，学生对于圆所内涵的文化特性也无从感受、体验，对于圆在历史、文化、数学发展过程中与人类结下的不解之缘感受不深。

基于这样的认识，我试图对本课的教学思路进行重新调整：一方面，通过拓展空间，将学生进一步置身于探索者、发现者的角色，引导学生在认识完圆的一些基本概念后，自主展开对于圆的特征的发现，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，我又借助媒体，将自然、社会、历史、数学等各个领域中的“圆”有效整合进本课教学，充分放大圆所内涵的文化特性，努力折射“冰冷”图形背后所散发的独特魅力。《圆的认识》的教学反思

夔塾煎星

《圆的认识》的教学反思

文／广州市花都区新华第六小学

麦肖霞

通过动手实践活动．启发学生

用眼观察，动脑思考，动ＩＺｌ参加讨

论，用耳去辨析同学的答案．收到

了较好的教学效果。

三、利用所学知识．解决生活

中的实际问题

数学教学是数学活动的教学．

是师生互动、生生互动、共同发展的过程。学生是数学学习的主体。

教师是数学学习的组织者、引导者

参与知识的形成过程

数学来源于生活．生活中处处

心理学实验证明。思维往往从

动作开始．切断活动与思维的联

系，思维就不能得到发展。要解决

数学知识的抽象性与学生思维形象

充满着数学，新课标指出：

“ 教师

应充分利用学生已有的生活经验．

引导学生把所学的数学知识应用到

与合作者。现以《圆的认识》教学

为例，论述如何在教学中体现数学

教学生活化。如何在教学过程中创

设问题情境为学生提供动手操作．

现实中去．以体会数学在现实生活

中的应用价值。”

因此我教学《圆的认识》的最后一个环节就是让学

生试着用圆的知识去解释以下的一

些生活情况：

性之间的矛盾。关键是依靠动手操

作。基于上面的认识，我在引导学

生认识圆的各部分名称．理解圆的特征，以及教学圆的画法时，采用

学生小组合作自主探究的教学方

法，让学生在实践活动中．利用已

自主探索与合作交流的学习机会。

一、感受生活。激发学生的学

１．为什么车轮是圆的，车轴

应安装在哪里？

２．如果

同学们要在操场上做

习兴趣

新《课程标准》指出： “ 数学

有的经验用折一折、画一画、量一

教学要紧密联系学生的生活环境．

从学生熟悉的生活情境出发。选择

量等方法对圆的特征进行研究．自

已发现总结出圆的各部分的名称及

其内在联系．以及概括出画圆的三

个步骤。

游戏。老师要画一个标准的大圆。

你能帮老师想方法画出来吗？

３．怎样测量没有标出圆心的

学生身边的感兴趣的事

物．提出有

关的数学问题，使学生体

验数学与

Ｅｔ常生活的密切联系。”因此．我从

圆的直径？小组合作量出你们周围

圆形物体的直径．看哪组量得最

多，填写调查表。

四、重视直观教学．充分发挥

多媒体计算机辅助教学的功能

小学生对动态的新鲜的事物很

例如教学圆心的通常做法是：

教师让学生拿出圆形纸片，按照老

学生所熟悉的生活情境出发．选择

学生身边具有一定数学价值的、生

动有趣的有利于学生探索的事物作

师提出的要求多次对折。打开，再

观察折痕，从中发现规律。这样的设计固定了学生的思维。我在教学

时一反常规．提出一个既具探索性

又具趣味性更具挑战性的问题：请

为学习的素材．以激发学生学习的兴趣与动机。调动他们学习的机智．

从中感受到数学就在自己的身边．

感兴趣，喜欢探究。教学过程中．

我充分发挥多媒体计算机的辅助教

就存在于自己熟悉的现实世界里。

例如新课开始，可创设一个精

同学拿出圆形纸片开展一次比赛。

比一比，看谁能最快找到这个圆的

学功能，以直观、动态形象化的演

示效果，创设启迪学生积极思维和

创造的视听学习环境，让学生饶有

兴趣地观看生动画面的同时．享受

彩的动物赛车表演的情境，在比赛

之前提问：

“ 你猜谁最快到达目的地？ ” 学生根据已有的生活体验回

答：车轮是圆的那辆车最快。接着

中心。然后老师告诉学生这个中心

叫做圆心。这就立即使课堂气氛活

跃起来了，学生思维放开了．学得

更轻松愉快。

数学思维的快乐。

例如：１．新课开始利用多媒体

演示一场精彩的动物赛车表演。学

生被生动的画面吸引住自然兴趣浓

厚。２．解释球不是圆的时候．通过

追问：

“ 为什么车轮要做成圆的

呢？ ”这一问题为学生创设了 “ 心

又如提出问题：比赛在１０秒

内谁画的半径最多．然后再量一量

每条半径的长度。你发现了什么？

让学生通过折一折、画一画、量一

量等方法自主地探究出圆半径的特

求意而未得” “ 口欲言而不能 ” 的这样一个 “ 愤悱

”境界。激发了学

生学习兴趣和学习动机。

媒体机演示把一个球切开．得出一

个圆形的横截面，画面形象具体。

又如，让学生举例说出日常生

活中常见的一些圆形物体．教师再

用多媒体演示，引出圆在生活中的应用广泛。“ 为什么它们都要做成圆形的呢？ ”再次激发学生的求知

欲望，并且使学生具体地感知数学

应用的广泛性

二、重视引导学生用多种感官

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征，接着引导学生小组合作，根据

自学提纲用量一量、画一画、比一

比的方法自学直径的特征及直径半

径之间的关系，自学圆的画法。等

等。这样整节课无论在时间上还是

空间上学生始终是课堂教学的主

３．在学习圆的各部分

名称及特征

时、圆的画法，以及解释为什么车

轮要做成圆等，都用多媒体演示。

生动形象的画面深深地印在学生的脑海里，学生在不知不觉中掌握了

教学重点。

责任编辑罗峰

体，课堂成了学生的活动室．实验

室，而教师犹如足球场外的教练。

师道・教研

２０１４年第７期圆柱和圆锥的认识教学反思

圆柱和圆锥的认识教学反思

一、对圆柱的认识进行重点引导

认识圆柱时，由于学生对圆柱已有了一些直观的认识，教学中我先让学生从情境图中找出圆柱，让孩子明白生活中的圆柱和圆锥，在此基础上，结合圆

柱的直观图，介绍圆柱的底面、侧面和高的含义。并对圆柱的侧面教学作了重点说明。

二、注意学习方法的迁移:圆锥的认识和圆柱的认识在研究内容上有其相似之处。认识圆柱后我及时地引导学生进行回顾。通过交流学生对学习的方法进行了有效地迁移，学习的积极性得到有效地激发。兴趣盎然地投入到观察、研究之中。对于圆锥，不同的同学有了不同的认识。然后，通过适时地交流和组织阅读课本，学生对于圆锥有了较好的认识。

三、注意对比:圆柱和圆锥认识以后，我让学生对于圆柱和圆锥的特征进行了有效的对比。从而使学生对于圆柱和圆锥的面、高有了更深的认识，完善了学生的知识系统。

通过本课的教学，我认识到在我们的教学中要注意有层次地发挥教师的主导作用，体现学生的主体作用。虽然课前钻研教材，准备学具、教具花的时间

多些，但看到孩子们那一张张可爱脸蛋，我心里和孩子一样乐滋滋的。

圆柱的侧面积教学反思

在以住的教学中，我发现学生概念建立地非常快，而又容易忘记。我想，概念的建立重点应该放在学生自主地探究概念的本质属性，让学生多种感官参与，自由地对提供的实例进行观察、比较，去发现，去揭示。这样着眼于让学生经过自主探究，主动地建构概念，同时也有利于培养学生的思维力和探究精神。在认识圆柱的特征时，让学生拿出圆柱体形的实物，同桌合作，观察讨论，再反馈。学习侧面积时，让学生卷一张长方形的纸片，发现原来长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，从而得出圆柱的侧面积=底面周长×高。又如，在推导侧面积公式时，教师要求学生每人拿出一张长方形的纸，并把这张纸卷成一个圆柱。打开，又卷一次。思考：原来长方形的长和宽分别是现在卷成圆柱的什么？生：原来长方

形的长是圆柱的周长，宽是圆柱的高。师：真好，那如果要计算你卷成圆柱的侧面积，该怎样算呢？生：长乘以宽。师：也就是圆柱的什么乘什么呢？生：圆柱的底面周长乘高。师：好的。刚才同学们通过自己动手思考，认识了圆柱，还知道了它侧面积的计算方法。最后教师板书：圆柱的侧面积=底面周长×高。

在这一过程中，让学生观察研究生活中实物，教师讲解示范和学生模仿记忆就少了；学生自主探索与合作交流就多了。如此，学生就有机会用自己的知识经验来表达自己对知识的理解和体验，感悟到数学的奇妙，使每位学生在数学都得到不同的发

《圆柱的表面积》教学反思

“圆柱的表面积”这部分教学内容包括：圆柱的侧面积、表面积的计算，我是将侧面积计算方法的推导作为教学的难点来突破；将表面积的计算作为重点来教学；将表面积的实际应用作为重点来练习；将用进一法取近似值作为一

个知识点在练习中理解和掌握。

我认为这节课只要解决了圆柱的侧面积计算，圆柱的表面积计算就会水到渠成，于是我首先安排了侧面积的计算。学生以小组为单位，用圆柱形纸筒进行实际操作，最后探究出侧面积的计算方法。教学圆柱的表面积计算后，就安排了表面积在实际生活中的应用例题。生活中圆柱体比较多见,应用广泛,如圆柱形油桶、花坛、通风管等，解决问题时，就要联系生活实际，是求哪些部分的面积。在保留小数时，要引导学生认识理解，所要用的原料都要比实际计算的结果稍微多一些，要考虑到接口等实际问题，所以要采取进一法。

从课后作业中，我得到反馈，学生出现了典型的错误，我认真反思，觉得有些方面做的不够。

1、圆的周长和圆的面积是两个截然不同的概念，计算公式也肯定不同。但计算之前没有进行适当的复习，导致在计算侧面积时用了底面积乘高，而在

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计算底面积时又用了周长公式，个别学生搞混淆了。

2、圆柱的表面积计算，大多数学生列了综合算式，其中有一步计算错误导致全题错误。刚学时最好要求学生列分步式计算，不但理清思路，更能减少失误。我会坚持课后进行反思，发扬优点，找出不足，做得不够的方面在下次想办法弥补！

圆锥的体积教学反思

“实践出真知”，我觉得这句话讲得非常的好。对于学生的学习，我觉得也是这样。让学生真正成为活动的主动者，才能让学生真正的感受自己是学习的主人。在教学圆锥的体积时，我感悟特深刻。推导公式时，我没有代替学生的操作，始终只以组织者、引导者与合作者的身份参与其中，使学生与学生之间，教师与学生之间互动起来，在这种形式下，学生运用独立思考、合作讨论、动手操作等多种方式进行了探索。另外，为了突出“等底、等高”这个条件的重要

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性，我巧置陷阱，我还特意安排了一组等底不等高，一组不等底也不等高的圆柱和圆锥，结果学生的实验结论和其他组的不一致，这时候就出现了争论，这时，我时机引导学生与上次演示比较，1比3的关系是在什么基础上建立的？学生恍然大悟，明白圆锥体和圆柱体等底、等高，圆锥体体积才是圆柱体体积的三分之一。相信今天通过同学们自己的动手体验，对圆锥的体积计算方法印象深刻，只有自己经历了才会牢牢记住！椭圆简单几何性质教学反思

椭圆简单几何性质教学反思

2016年12月，我在江苏连云港新海高中上了一节《椭圆的几何性质》公开课。这节课从准备，到与组内老师探讨、交流，并修改、上课，直至最后聆听各位老师和专家的指导，都让我受益非浅。

本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1—1第二章第二节的内容，它是在学完椭圆的标准

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方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进行的。因此，依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课的重点；又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我将之确定为本节课的难点。

然而，课后的反思过程中我发现了几个问题：第一，在讲解”顶点”定义时，单纯定义为椭圆与坐标轴的交点，没把握住顶点的重要特征，即”顶点是椭圆与其对称轴的交点”，如果把握住这一点，在讲解时就应先讲”对称性”，再讲”顶点”；二是本节课对几何性质的导入，是

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由学生回顾上节所讲特征三角形的三边与的大小关系开始的，而多数人对特征三角形的记忆是很模糊的，上节课在这个知识点上学生吸收的并不好，如果把它放在本节课”顶点”之后再讲解，会显得更自然一些；三是”对称性”的讲解过于单薄，学生既然很快就观察出了这个性质，何不趁热打铁，再从代数的角度证明一下呢？过于避重就轻的做法不利于对学生数学思维能力的培养。以上的几点不足都提醒我今后要在研究教材上下更多的功夫。

还有在讲解完”对称性”、准备讲”离心率”之前，我穿插了一道”画椭圆的简图”的题目。并提圆相似吗？椭圆呢？引起了同学们注意。这道题起到了较好的承上启下的作用：既巩固了刚学的性质，又引发了一个问题：椭圆的”扁”的程度与哪些要素有关。大多数学生通过所画的两个椭圆长轴相同、短轴不同，从而”扁”的程度不同，很自然地回答这与有关，圆的形状是完全相同的，而椭

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圆的形状是否完全相同？如何刻画椭圆的“圆扁”度呢？

学生自主探究（预设：可以创造错误认识，a越大越扁？b越大越圆?联想椭圆定义当2a定时，焦点逐渐靠近顶点，椭圆会怎么样？焦点逐渐靠近中心，又会怎么样?)

切入事先准备好的几何画板展示，固定长轴，移动交点，看变化。教师通过多媒体展示椭圆随着离心率逐渐接近0越圆而越接近1而越扁的动画

过程。e越大,椭圆越扁，越小越圆。讲清楚e是一个比值圆扁度用什么刻画？为什么不b用。a此外，在以下几个方面我还需要进一步改进：一是课堂的节奏还要稍微慢一点，比如对焦点在轴时椭圆的几个性质的给出，都是师提问生齐答，在这个过程中不少反应慢一点的同学没有足够的时间去思考，被忽略掉了，而如果把这个环节换成小组合作学习、讨论交流的方式来进行，放手把主动权交给学生，效果可能会更好，~ 31 ~

也更符合新课改的理念。二是教学语言还需要不断锤炼，因为数学老师的语言是否准确、精炼，会对学生的逻辑思维产生潜移默化的影响，要力图用清晰优美的语言艺术去感染学生。

比较过去自己曾经历过的刻板、严肃的灌输式教学，现在更提倡多给学生一点爱，让学生积极地参与到课堂活动中来；同时老师要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探索过程中去，是否能够达到掌握知识，提高能力的目的是否收到了理想的教学效果。教学过程中要尊重学生的自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。

我会以此为契机，在平日的教学实践中不断思考和创新，不断成长和进步！

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