一堂创新的教学实验课——椭圆的定义

1 设计思路

本节课是中职数学第三册第十四章圆锥曲线的第一部分内容该节内容是建立在学生对圆的认识和学习上, 是典型的解析几何的知识模块, 对于后面的双曲线和抛物线起着一定的类比和综合作用。

引入椭圆的定义, 教师一般紧扣教材, 利用两个图钉, 一条一定长的细线, , 一支粉笔, 在小黑板上演示一个椭圆的形成过程。这种方法虽揭示了椭圆的本质, 但过于显性, 直接, 简单。缺少探究的空间和距离, 几乎是教师直接地, 生硬地把概念“抛”给学生, 学生只能被动地, 机械地学习。现在新的课程理念倡导“积极主动, 勇于探索的学习方式;发展学生的数学应用意识”。所以笔者做了大胆尝试。首先, 从生活中发现椭圆, 拉进椭圆与学生之间的距离, 接着用熟悉的圆映射得椭圆, 揭开椭圆的神秘面纱。本课的重点放在椭圆定义探索过程, 引入了折纸活动, 让学生自己动手, 发现, 概括椭圆的定义, 然后用几何画板辅助验证学生的猜想。把圆的定义与椭圆的定义进行类比, 使原本单调, 枯燥的教学变得生动, 有趣。既锻炼了学生的动手操作能力, 也培养了学生猜想归纳的思想。通过让学生参与教学, 学生真正变成课堂的主人, 调动了他们内在的学习动力, 激发了他们探索研究的兴趣。学生急于想知道为什么的时候, 还需要老师去强调什么吗?教学目标在不知不觉中自然而然的完成了。

在椭圆主要参数的关系学习中, 紧扣椭圆定义, 结合椭圆的图形 (图3) , 数形结合, 由三角形中两边之和大于第三边得焦距必定小于长轴。在直角三角形中由勾股定理得到, 体现了由特殊到一般的解题策略。用多媒体演示, 通过观察, 比较得出描述椭圆形状的离心率, 让学生明白离心率产生的根源和存在的必要性。例题与练习的选择切合教学内容, 符合学生实际。例题1让学生加深对椭圆图形的了解, 知道椭圆中几个参数的几何意义和相互关系, 培养学生的数形结合的能力。例题2回归椭圆的定义, 用数学语言来描述椭圆的定义, 在求解离心率的同时也为下一课椭圆的标准方程埋下伏笔, 也为学生开启了伟大的解析几何的大门。

整节课围绕有哪些方法得到椭圆这一问题, 通过老师的引导, 学生自己的实践探索, 发现概括椭圆的定义, 同时得到不同的产生椭圆的方法。真可谓“条条大路通罗马”。每一步探索, 每一次发现, 学生参与其中, 不断体验着创新的快乐。每一个问题有一定探究的空间和距离, 切合学生的“最近发展区”, 而且即不枯燥, 也非“空中楼阁”。

2 教学目标

1) 知识目标:从生活中认识椭圆, 学生通过动手实验生成椭圆。理解椭圆的几何特性及椭圆的一些主要参数

2) 能力目标:对椭圆进行进一步发掘, 培养学生发现, 归纳问题的能力;类比和图形分析能力;培养数形结合的能力。

3) 情感目标:经历椭圆的生成过程, 加深对椭圆定义的深刻理解;激发学生对数学的兴趣;培养学生不断探索, 发现的精神, 体验创新的快乐。

3 重点和难点

重点:椭圆的定义及主要参数。

难点:椭圆的生成及定义的理解。

4 课前准备

1) 阅读教材, 预习椭圆。

2) 每人准备一张半径为6厘米的圆形纸片。

5 学习过程

5.1 新课引入

1) 大家看到的卫星是嫦娥一号, 她绕月球运行的轨道是椭圆。

在生活中的椭圆有鸡蛋, 羽毛球拍面等。

2) 无论是探测月球, 还是平时的生活我们都离不开椭圆。今天我们来学习椭圆。那么椭圆从何而来?它和圆有什么关系?

3) 实验1:把圆形纸片平行于桌面放置, 然后绕它的一条直径旋转6 0度,

观察它在桌面上的投影是一个什么图形?

观察, 猜想该投影是椭圆—圆通过某种映射变成椭圆。

实验2:在圆形纸片内部设置一个不同于圆心的一点, 折叠纸片, 使圆的周界上有一点与该点重合。如图1, 然后重复这个过程数次, 形成一系列折叠, 它们整体地勾画出一条曲线的轮廓。

观察, 猜想:众多折痕围出一个椭圆。

问题:探究折纸过程, 发现椭圆上的点满足什么性质。

观察并证明: (如图2) ∵M.O关于直线A B对称,

探究本质特征:椭圆上的点到圆心C与另一个定点O的距离和等于圆的半径。

5.2 新授内容

5.2.1 椭圆的定义

椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹。

5.2.2 椭圆的主要参数

如图3, 椭圆中定点F1, F2叫做焦点, A, B, C, D称为顶点, O叫做椭圆的中心。记OA=a, OC=b, OF2=C

其中AB (长为2a) 叫长轴, CD (长为2b) 叫短轴, FF (长为2c) 叫焦距。

由椭1圆2定义知PF1+PF2=2a, 且2a>2c, 焦距必定小于长轴, 。

当P在顶点C时, CF1+CF2=2a,

在RT△CF1O中, CF12=CO2+F1O2, 即a2=b2+c2

5.2.3 离心率的定义

椭圆是由焦距和定长决定的, 所以我们用焦距与长轴的比值来表示离心率e

由多媒体演示得出结论:

1) 离心率e越接近1, 椭圆越扁, e越接近0, 椭圆越圆。

2) 离心率相同的椭圆形状相似。

5.3 例题讲解

例2.椭圆的两焦点F1, F2, 短轴的一个顶点为B, 已知∠BF1F2=4 5°, 求椭圆的离心率;若短轴长2, 求VBF1F2的周长。

解:

例3.中心在原点的椭圆上有一点P (4, 2) , 其焦点坐标为F1 (-4, 0) , F2 (4, 0) , 求该椭圆的离心率。

解:由椭圆的定义知:

5.4 课外思考

1) P是圆O:x2+y2=4上任意一点, 过P作X轴的垂线交点为Q, 画出P Q中点M的轨迹, 并猜想它是什么图形。

2) P (x, y) 满足方程

摘要：用实验与多媒体教育方式来实施椭圆的定义的创新教学, 阐明圆与椭圆函数映射关系, 演示椭圆生成, 揭示椭圆的定义, 了解椭圆主要参数的几何意义, 掌握有关椭圆参数的计算。

关键词：椭圆的定义,椭圆的长轴,短轴,焦距,离心率