《椭圆的简单几何性质》听课实录

《椭圆的简单几何性质》听课实录（精选8篇）

篇1：《椭圆的简单几何性质》听课实录

在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若 分别是椭圆 的左、右焦点，则椭圆上任一点 p ( )到焦点的距离(焦半径) ，同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何?(此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备)

本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。

本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习(兴趣是前提)。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。

在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。

但也有不足的地方：在对具体例子 的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。

感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。

篇2：《椭圆的简单几何性质》听课实录

山西省运城中学

赵彦明

一、教学分析：

（一）教学内容分析

椭圆是生活中常见的曲线，是学生学习第二章所接触到的第一个重要的圆锥曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有着重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

（二）教学对象分析

本节课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。

（三）教学环境分析

因为本节内容比较抽象，再者学校条件的有限所以利用电脑模拟动点运动,增强直观性,激励学生的学习动机,培养学生的观察能力、数学想像能力和抽象思维能力。

二、教学目标

（一）知识与技能

掌握椭圆的简单的几何性质，学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质的一般方法与步骤。

（二）过程与方法

通过实际活动培养学生发现、观察、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学能力的培养；经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。

（三）情感与态度

通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究椭圆的几何性质的积极性。

三、教学重难点及教具

（一）教学重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质

（二）教学难点：椭圆离心率几何意义的理解

（三）教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片，学生每人一个椭圆形纸板（同桌相同），直尺

四、教学方法过程及整合点

（一）教学方法：讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流

（二）教学过程： １.创设情境，欣赏倾听

这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识，在进入本节课的知识之前，我们先看一段视频短片：

（整合点：播放中央电视台新闻中关于国家大剧院外部景观介绍的视频短片）﹝设计意图:提高学生的学习兴趣﹞

提出问题：为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢？ ﹝设计意图:激发学生的求知欲，引入课题﹞

教师指出其根本原因是椭球形非常美观，这源于椭圆的美！那么椭圆到底美在何处？它又具有哪些特性？让我们一起来研究一下——椭圆的几何性质，以方程x2y21(ab0)为研究对象。a2b2（板书）12.1.2 椭圆的几何性质

2．探究问题，观察发现

从哪几方面研究研究椭圆的几何性质呢?学生纷纷讨论之后老师确定从椭圆的 2

对称性、顶点、范围、离心率来探究。探究一：椭圆的对称性

问题1：你能找到椭圆纸板的中心吗？

﹝设计意图:让学生直观感知，操作确认，更深入认识椭圆的对称性﹞

学生活动:用手中的纸板折纸——把椭圆纸板折叠，使两部分完全重合，两条折痕的交点，即为椭圆纸板的中心，两条折痕为对称轴。实物演示部分可以由学生同桌两两一组共同完成（整合点：学生通过实物投影仪展示活动成果，教师通过几何画板演示 “椭圆的对称性.gsp”）

得出结论：椭圆具有对称性。

①两条折痕为对称轴——椭圆是轴对称图形，它关于x轴和y轴对称； ②实物演示：椭圆绕中心旋转180后与原椭圆重合——椭圆也是中心对称图形，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

问题2：从方程看如何判断椭圆的对称性？

﹝设计意图:经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。﹞

学生讨论：设P（x，y），则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对称点也在曲线上，即（x，-y）满足方程。同理可以推出另外两种情况。问题3：通过上面研究同学们归纳出方程要满足什么条件曲线才具有这些对称性？

﹝设计意图: 为培养学生观察、分析、归纳问题的能力。为进一步的学习打下良好的基础。﹞

学生讨论得出：以-x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称；以-y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称；同时以-x代x、以-y代 y，方程不变，则曲线关于原点对称。

（板书）椭圆的对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点对称。探究二：椭圆的顶点

问题4：椭圆与它的对称轴有交点吗？若有，那么椭圆与它的对称轴有几个交点？你能求出交点的坐标吗?

学生易得：椭圆与对称轴有交点，有四个交点。问题5：从方程看如何求出椭圆的顶点？ ﹝设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程﹞ 令x=0则有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教师指出：其实，我们把椭圆x2y21(ab0)与坐标轴的交点

abA1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)就叫做椭圆的顶点。

其中线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长轴在x 轴上。（整合点：教师通过ppt演示 “椭圆的顶点”）

（板书）椭圆的顶点：A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)。探究三：椭圆的范围

问题6：请同学们拿起手中的作业纸，思考如果在一张矩形纸上作椭圆，要求所作椭圆尽可能最大，应如何做？

﹝设计意图: 让学生通过动手操作更深入认识椭圆的范围﹞

学生活动:分小组讨论，并动手解决本问题，尽量使回答准确、精练。得出结论：椭圆是有范围的。

教师引导学生动手动脑，将具体实例抽象成数学图形，数学问题，在平面直角坐标系内来研究：如下图，﹝设计意图:利用“椭圆的顶点.ppt”课件展示，使学生直观

感性认识椭圆范围所在区域﹞

学生得出：椭圆位于直线xa,yb所围成的矩形内。

问题7：如何从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论呢？

﹝设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程，体会数形结合的思想﹞

（整合点：用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。）学生可能有如下方法: 方法1：由且，则有

利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得

。那么它的范围就是直线所围成的区域。

方法2：从中解出，利用可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。

方法3：把和分别看作是一个函数，只需求范围。的定义域、值域即可，然后利用对称性可得(板书)教师指出椭圆的范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：椭圆的离心率

椭圆的简单的几何性质中，比较抽象的难于理解的就是椭圆的离心率问题。为了能将抽象的问题形象化，利于学生的理解与接受，设计如下的课堂活动，让全体学生参与到课堂中来，在自己的探究中获得学习的乐趣，学习的快乐，并且可以使不同程度的学生都有所收获。

问题8：请同学们举起手中的椭圆，大家观察它们的形状有何不同？圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？

﹝设计意图:在同学们参与到课堂活动中的时候，在自己举起自己手的椭圆的时候希望得到大家的关注想与大家交流，同时，在其他同学们举起手中的椭圆的时候，他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的形状，进而与自己手中的椭圆进行比较。在比较的过程中就会发现椭圆形状的变化，引起思考。﹞

有的同学手中的椭圆形纸板扁长，有的同学手中的椭圆形纸板稍圆，有的同学手中的椭圆更接近于圆形。

本过程中，由具体的同学们的手中的椭圆形状的变化到抽象的平面直角坐标系中椭圆形状的变化的过程中，几何画板的强大功能会发挥巨大的作用。在几何画板中展示椭圆的形状变化的同时，还可以让学生观察到椭圆中a,b,c三个参量的变化，进而对椭圆的离心率充分了解。观看课件演示，加深对离心率问题的直观认识。

(整合点：展示“椭圆的离心率.gsp”几何画板，取椭圆的长轴长不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭圆形状的变化。)

教师指出：在刚才的演示中，我们发现在椭圆长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度不一样，可以用离心率来描述

1）概念：椭圆焦距与长轴长之比。2）定义式：问题9：那么离心率与椭圆的扁圆程度有什么关系呢？

﹝设计意图:学生通过观察动画更容易找出椭圆图形随e的变化而变化的规律，他到突破难点的效果﹞

再一次演示几何画板。学生发现不变时，c变大，即离心率变大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。

从式子上看：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时

时的特例。，此时也可认为线段为椭圆也可认为圆为椭圆在椭圆变扁，直至成为极限位置线段在时的特例。

(板书)椭圆的离心率：3．反思构建，性质应用，1）求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长，离心率、交点和顶点的坐标。2）下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？

x2y2(1)4x9y36与12520x2y222(2)9x4y36与11216223）请你动手用尺子测量一下你手中的椭圆的长轴长和短轴长，写出该椭圆的标准方程。

由于每个同学手里的椭圆长轴与短轴长度不一样，因此在这个过程中学生都热情非常高的参与到这个测量的活动中来，进而写出其手中的椭圆的标准方程。

本过程两个方面考察学生对于椭圆及其几何性质的掌握,应用2)更是突出了对学生的实际动手能力和观察能力的培养。4．课堂小结，竞争合作

请你谈谈通过这节课的学习,你学习到了什么?并且请各组成员互相评价。5．首尾呼应, 解决问题

我们对于椭圆的几何性质的探索由来已久，现在椭圆的几何性质也正在被广泛的应用于各种设计中，国家大剧院是其中最典型的代表之一。当然,国家大剧 7

院之所以会选择了椭球形的设计，还有其他方面的考虑，例如很多科技方面的因素,感兴趣的同学可以自己课下查找一些资料,对这个问题全面了解。6．课后作业，巩固提高

1）求出你的椭圆的焦点、顶点的坐标，离心率，并通过测量将焦点坐标标在你的椭圆上；

2）完成焦点在y轴上的椭圆的几何性质的研究。

篇3：《椭圆的简单几何性质》听课实录

1在数学思想方法的渗透中开展探究

问题是数学的心脏, 知识是数学的躯体, 数学思想方法则是数学的灵魂, 数学思想方法的掌握和运用对培养能力、发展智力、提高数学素养有十分重要的作用, 然而数学思想方法的教学不能空洞说教、讲大道理, 而要结合具体的教学内容慢慢渗透、潜移默化.因此, 在日常教学中, 可以围绕教材中富有内涵的主题, 开动脑筋, 设计探究问题, 开展探究活动, 使学生在探究结论的具体过程中体验、感受数学思想方法, 从而帮助学生深化理解数学思想方法, 培养学生自觉使用数学思想方法分析问题、解决问题的能力.

案例1椭圆范围推导的教学片断.

教师先在黑板上画出椭圆, 引导学生观察发现椭圆的范围, 然后教师提问:我们还可从哪些方面理解椭圆的范围?

学生:可以从椭圆的标准方程入手, 得到它的范围.

教师:你的想法有道理, 说说看.

上述教学设计中, 教师引导学生从“数”和“形”两个方面得到椭圆的范围, 形的直观和数的严谨紧密结合, 有理有据, 学生能够理解把握, 基本上达到了教学的目的.但教学如果就此罢手, 我们就会错失探究的良机, 此时应围绕深层次探究椭圆的范围, 挖掘其背后隐含的数学思想方法这一主题, 设计成如下探究问题:“我们还可以从哪些方面, 采取哪些方法推导椭圆的范围?”教师把这个问题抛给学生, 让学生充分地自主探究、合作讨论、再全班交流, 不难得到如下思路.

上述教学设计表明, 我们不仅可以通过变量x, y之间的相互制约的关系获得x, y的范围, 也可以通过构造函数、构造方程、引入三角函数来推导椭圆的范围, 上述各种思路处于学生思维的“最近发展区”内, 只要够一够, 都能摘得到.更重要的是, 通过这样的数学探究, 学生不仅开阔了思路, 发散了思维, 而且实实在在地体会了函数的思想、方程的思想和换元法等重要的数学思想方法, 在解决问题过程中, “等”与“不等”“和平共处”, 相互转化, 展现了数学的统一美, 也使学生经受了一次辨证思维的历练.

2在数学结论的形成过程中融入探究

新的课程标准特别强调要重视数学知识形成、发展的过程, 让学生在“经历这个过程”的过程中, 获得知识, 提升能力.也就是说, 数学教学不能只重视结论的机械记忆、模仿运用, 而要弄清结论的来龙去脉, 体会其中蕴含的数学思想方法.教学中, 我们不能把结论硬塞给学生, 要变接受为发现, 变告诉为探究;要对教材进行“再加工”, 让学生对数学结论、规律作自主探究, 充分满足其主动探索的心理需要和情感体验, 使数学结论、规律的出现自然而然, 精彩生成, 符合学生的认知特点.

案例2探讨椭圆对称性的教学片断.

教师:请同学们观察黑板上的椭圆, 它是对称图形吗?

学生:是, 椭圆关于x轴, y轴对称, 也关于原点对称.

教师:为什么呢, 说说你的理由.

学生:因为在椭圆方程中, 以-x代x, 方程不变, 椭圆关于y轴对称;以-y代y, 方程不变, 椭圆关于x轴对称;以-x, -y分别代x, y, 方程不变, 椭圆关于原点对称.

接着教师表扬了学生, 板书了结论, 开始了下一个几何性质的学习.

上述教学设计中, 教师引导学生观察图形及方程的特征, 得到了椭圆的对称性, 但有一个细节被忽略了, 那就是:为什么以-x代x, -y代y, -x与-y分别代x与y方程不变, 就能说明椭圆关于y轴、x轴、原点对称呢?应该说有为数不少的学生对此问题不是遗忘就是有些模糊, 不弄清楚, 学生肯定把握不住问题的本质, 不经意间, 一次很好的微型探究机会就从我们身边白白地滑过了, 因此教学中若能引导学生对这个问题进行探究, 加上这精彩的一笔, 岂不更妙!事实上, 曲线的对称性本质上是点的对称性, 可将椭圆的对称性转化为其上任一点的对称性来考虑.设点P (x0, y0) 为椭圆上任一点, 则点P关于x轴、y轴、原点的对称点分别为 (x0, y0) , (-x0, y0) , (-x0, -y0) , 其坐标均适合椭圆的标准方程, 它们均在椭圆上, 再由点P的任意性, 自然就说明椭圆关于x轴、y轴、原点对称.

探究虽小, 却很有价值, 因为是探究帮助我们弄清了问题的本质, 学生不仅明白了个中原由, 而且今后遇到曲线对称性的问题, 他就可能转化为点的对称性来考虑, 这是思维策略上的突破, 真是“小处着眼, 大处收获”啊!俗话说“细节决定成败”, 是教学的无数个细节决定了课堂生活的质量, 决定了教学过程的丰富程度, 教学中, 我们忽略的往往是那些富有教学魅力的细节, 所以我们要关注课堂中那些不起眼的细节, 从中提炼出有价值的探究来, 让课堂在探究的驱动下充满生命的活力.

3在数学概念的教学中引入探究

概念是数学的精髓与灵魂, 是对数学现象的高度抽象和概括, 只有理解了概念, 才能正确的运用概念, 数学概念的学习不能靠教师强行灌输、学生死记硬背, 必须基于个人对经验的操作、交流, 通过反省来主动构建.因此在学习一个新的数学概念时, 有必要引导学生对概念的形成过程和本质进行探究, 养成对每一个概念定义进行深刻理解、反思类比的良好习惯, 这样才有助于学生真正地掌握数学概念.

案例3对椭圆离心率概念的形成, 教者设计成下面5个环节:

1经历作图:教师让学生利用椭圆的对称性、范围、顶点作椭圆与的图形;

2观察比较:学生观察两个椭圆, 进而发现两个椭圆“扁”的程度不同;

3计算数值:教师让学生计算c/a的值, 学生发现椭圆形状不同, c/a的值也不同;

4提出问题:用一个什么量来刻画椭圆“扁”的程度呢?

5给出定义:把e=c/a叫椭圆的离心率, 用来刻画椭圆“扁”的程度.

离心率是学生第一次接触的数学概念, 而且椭圆的离心率是学习双曲线与抛物线的离心率、圆锥曲线统一定义的知识基础, 因此在离心率教学的初始课上, 理解引入离心率的必要性, 建立离心率公式的合理性, 也就是弄清离心率概念的来龙去脉, 体验知识的发生发展过程就显得尤为重要.而上述教学设计中, 忽略的恰恰就是这个关键点, 为什么要引入离心率e=c/a?为什么e=c/a而不是e=a·c呢?对此学生并不知晓, 于是教学中, 可就离心率的抽象概括的过程开展一次探究教学.

第1步:提出问题, 明确目标

教师:我们知道圆的形状都是相同的, 那么椭圆的形状完全相同吗?

学生:不完全相同.

教师:椭圆的形状不同表现在哪些方面呢?

学生:有的椭圆看上去比较“扁”, 有的椭圆看上去比较“圆”.

教师:很好, 观察得很仔细, 从“形”的方面看, 椭圆“扁”的程度的确不同, 那么能从“数”的方面刻画其“扁”的程度吗?也就是说我们能否找到一个量来刻画椭圆“扁”的程度呢?

第2步:回到定义, 观察思考

教师:要找到这个量, 应该从哪里入手呢?

学生:应该从最原始的椭圆定义入手比较好.

教师:对, 追根溯源, 路子正确.椭圆定义中涉及哪些基本量?

学生:椭圆定义中含有焦距2c, 距离之和常数2a等基本量.

教师:椭圆“扁”的程度与a, c这两个量有关吗?

学生思考, 一时难以发现结论, 教师让两学生上黑板演示下列两个实验 (教具事先准备好) .

实验1将绳子两端按在焦点处, 用粉笔尖拉紧绳子, 在黑板上画一个椭圆, 然后调整绳子的长度 (分别加长、缩短) , 再画椭圆, 观察椭圆“扁”的程度的变化规律.

实验2细绳的长度固定不变, 将焦距分别增大和缩小, 观察椭圆“扁”的程度的变化规律.

教师:从实验1与实验2中我们分别发现什么结论?

学生:从实验1中发现:a越大, 椭圆越圆, a越小, 椭圆越扁;c越小, 椭圆越圆, c越大, 椭圆越扁.

第3步:比较分析、抽象概念

教师:上述结论说明什么问题呢?

学生:说明椭圆由圆向扁的变化与a是“反比”的关系, 而与c是“正比”的关系.

教师:既然椭圆“扁”的程度与a, c均有关, 所以不能把a与c分开, 那么一个什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度比较合理呢?

学生:由于其与a成“反比”, 与c成“正比”, 所以应该用c/a来刻画比较好.

教师:很好, 我们把e=c/a叫椭圆的离心率, 用它来描绘椭圆形状的变化.

上述教学设计中, 教师并没有把离心率的概念直接抛给学生, 而是与学生一起讨论、交流, 使学生认识到仅仅从“形”的方面刻画椭圆的形状是不够的, 必须从“数”的方面加以描述, 有引入新概念的必要.然后让学生动手做实验, 亲自体验椭圆形状变化的过程, 分析引起其变化的因素, 通过探究, 由学生自己提出该怎样定义这个概念才是合理的, 让学生感受概念发生、发展的过程, 感受数学的本质.案例启发我们, 数学教学不仅要讲什么, 更要讲为什么.要重视概念形成过程的探究, 挖掘其背后的内涵, 再现其“火热”的思考过程, 让学生感受到数学是自然的, 不是被迫接受的、强加于人的.

篇4：《椭圆的简单几何性质》听课实录

如果先以中心在原点，焦点在x轴上的标准椭圆为载体进行研究，可以得到如下结论：

图1

性质1 如图1，若P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，如果两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，设过P（x0，y0）的椭圆的切线l的斜率为k，则1k（1k1+1k2）为定值，且定值为-2λ.

为了证明上面结论，先不妨证明以下结论.

结论1 若P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上异于长轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，设两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，则（1k1+1k2）=2x0y0.

证明 设椭圆的两焦点F1（-c，0），F2（c，0）（其中c=a2-b2），

则1k1=x0+cy0，1k2=x0-cy0，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0.

得到这个结果的过程比较容易，从这个结果可以看出，过焦点在x轴上的标准椭圆上异于长轴端点外的任意一点所得两条焦半径（斜率都存在）的斜率的倒数和与点的横纵坐标有关.

结论2 设P（x0，y0）为椭圆x2λb2+y2b2=1（b>0，λ>1）上异于长轴端点外的任意一点，l为过P（x0，y0）的椭圆的切线，则其斜率k与点P坐标有关，且k=-x0λy0.

证明 λ>1，曲线表示以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上的椭圆，

设过P（x0，y0）的直线斜率为k，则l的方程为y-y0=k（x-x0）.

联立方程组：x2λb2+y2b2=1，

y-y0=k（x-x0），

消去y得：

（1+λk2）x2+2（λky0-λk2x0）x+（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0. （1）

因为l为过P（x0，y0）的椭圆的切线，

所以有Δ=4（λky0-λk2x0）2-4（1+λk2）（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0

整理得：

λ（λb2-x20）k2+2λx0y0k+

λ（b2-y20）=0.（2）

又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以x20λb2+y20b2=1.

所以λb2-x20=λy20，b2-y20=x20λ.

将结果代入（2）式，得到λ2y20k2+2λx0y0k+x20=0，

也即（λy0k+x0）2=0，所以k=-x0λy0.

可以看出：过焦点在x轴上的标准椭圆上异于长轴端点外的任意一点所做椭圆的切线的斜率与坐标有关，也与a2，b2的比值有关系.

在结论1和结论2的支持下，我们来证明性质1就不难了.

因为a>b>0，a2b2=λ，所以椭圆方程即x2λb2+y2b2=1，

P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，

所以由结论2，过P所做椭圆的切线的斜率k=-x0λy0，所以1k=-λy0x0.

焦半径PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，所以由结论1得：1k1+1k2=2x0y0，

由上面的结果，容易得到：1k1k1+1k2=-λy0x02x0y0=-2λ，性质1得到证明.

有些与直线和圆锥曲线的位置关系有关的题目中，经常进行一些类似的定量计算，如2013年高考山东卷理科数学试题22题第三问，就考查了如下问题：

椭圆C：x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，P（x0，y0）为其上异于长轴端点外的任意一点，过点P做斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个交点.设PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明：1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

可以看出，这是以上性质的特殊情形，单从结论的角度，不难得到：a2=4，b2=1，λ=a2b2=4，所以1k（1k1+1k2）=-2λ=-8.计算过程参照定理的证明，不难得到结果.

如果椭圆是中心在原点，焦点在y轴上的标准椭圆，模仿以上结论，进行以上步骤的计算研究，不难得到上面定理的另一种形式下的结论： 图2

性质2 如图2，若P（x0，y0）为椭圆y2a2+x2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，如果两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，设过P（x0，y0）的椭圆的切线l的斜率为k，则k（k1+k2）为定值，且定值为-2λ.

定理2的算式部分形式与定理1稍有区别，但最后的结果完全一样.证明过程与定理1的证明类似，从略.

综合性质1和性质2，可以看出，它们的共同特点是：结果形式简单，关系直接明确，易于理解掌握，便于实践应用.

圆锥曲线的学习过程中，老师们经常会遇到大量的涉及直线和圆锥曲线的定量运算的题目，解答这些题目的过程中，多加用心反思和对比，也许就会发现一些隐藏其中的有用的规律，规律的探索过程和成就感也是数学美的重要方面吧.

参考文献

[1] 杨云显，孟艳双.直线和椭圆相交状态下的一个通用性质[J].中国数学教育，2012（6）：21-22.

篇5：《椭圆的简单几何性质》听课实录

(一)、对性质的考查：

1、范围：要注意方程与函数的区别与联系;与椭圆有关的求最值是变量的取值范围;作椭圆的草图。

2、对称性：椭圆的中心及其对称性;判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据;如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性;注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。

3、顶点：椭圆的顶点坐标;一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点;椭圆中a、b、c的几何意义(椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示)。

4、离心率：离心率的定义;椭圆离心率的取值范围：(0，1);椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平;当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆;当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。

(二)、课本例题的变形考查：

1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p(x，y)到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标;

2、椭圆的第二定义及其应用;椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。

3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。

4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：

篇6：《椭圆的简单几何性质》听课实录

教学目标: 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点(截距.重点难点分析

教学重点:椭圆的简单几何性质.教学难点:椭圆的简单几何性质.教学设计: 【复习引入】

1.椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ,短轴长为 6 ,半焦距为 26 ,离心率为 3 2 2 ,焦点坐标为26,0(± ,顶点坐标为9,0(±,0,3(±.【讲授新课】

例1 如图,设M(x ,y 与定点F(4,0的距离和它到直线l :425=x 的距离的比是常数 5 4 , 求点M 的轨迹方程.练习1 1.求下列椭圆焦点坐标和准线方程:

16421 16 251222 2=+=+y x y x((2.椭圆 116 252 2=+y x 上的点M 到左准线的距离是5,求M 到右焦点的距离..15 25.32 2的连线互相垂直,使这点与椭圆两焦点上求一点在椭圆P y x =+

例2.1,(22 2200=+b y a x y x P 是椭圆设.0(1为其左焦点上任意一点,F b a >>求|PF 1| 的最小值和最大值.练习2 1.点P 与定点F(2,0的距离与它到定直线x=8的距离之比为1:2,求点P 的轨迹方程.2.点P 与定点F(2,0的距离与它到定直线x=2的距离之比为1:2,求点P 的轨迹方程.例3 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对称的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上,片门位于另一个焦点F 2上,由椭圆一个焦点F 1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F 2.已知,21F F BC ⊥

cm F F cm B F 5.4||8.2||211==,.建立适当的坐标系,求截口BAC 所在椭圆的方程.例4如图所示,我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心F 2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点距地面439km ,远地点B(离地面最远的点距地面2384km ,并且F

2、A、B 在同一直线上,地球半径约为6371km ,求卫星运行的轨道方程(精确到1km.例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.(1 从短轴端点看两个焦点,所成视角为直角;

(2 两个焦点间的距离等于长轴的端点与短轴的端点间的距离.练习3 1.已知椭圆mx 2+5y 2=5m 的离心率.5 10

m e ,求= ,求其标准方程。且,椭圆经过点(2 3 324.2= e 思考 F

1、F 2 为椭圆的两个焦点,过F 2的直线交椭圆于P、Q 两点,PF 1⊥PQ ,且|PF 1|=|PQ |,求椭圆的离心率.【课后作业】

《习案》学案十一,习案十二1、2.备讲题 例6 已知点M 为椭圆 116 252 2=+y x 的上任意一点,F

篇7：《椭圆的几何性质》教学反思

本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1―1第二章第二节的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。 通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛

物线的性质做好了铺垫。本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进行的。因此，依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课的重点;又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我将之确定为本节课的难点。

然而，课后的反思过程中我发现了几个问题：第一，在讲解“顶点”定义时，单纯定义为椭圆与坐标轴的交点，没把握住顶点的重要特征，即“顶点是椭圆与其对称轴的交点”，如果把握住这一点，在讲解时就应先讲“对称性”，再讲“顶点”;二是本节课对几何性质的导入，是由学生回顾上节所讲特征三角形的三边与的大小关系开始的，而多数人对特征三角形的记忆是很模糊的，上节课在这个知识点上学生吸收的并不好，如果把它放在本节课“顶点”之后再讲解，会显得更自然一些;三是“对称性”的讲解过于单薄，学生既然很快就观察出了这个性质，何不趁热打铁，再从代数的角度证明一下呢?过于避重就轻的做法不利于对学生数学思维能力的培养。以上的几点不足都提醒我今后要在研究教材上下更多的功夫。

还有在讲解完“对称性”、准备讲“离心率”之前，我穿插了一道“画椭圆的简图”的题目。并提圆相似吗?椭圆呢?引起了同学们注意。这道题起到了较好的承上启下的作用：既巩固了刚学的性质，又引发了一个问题：椭圆的“扁”的程度与哪些要素有关。大多数学生通过所画的两个椭圆长轴相同、短轴不同，从而“扁”的程度不同，很自然地回答这与有关，圆的形状是完全相同的，而椭圆的形状是否完全相同?如何刻画椭圆的“圆扁”度呢?

学生自主探究(预设：可以创造错误认识，a越大越扁?b越大越圆?联想椭圆定义 当2a定时，焦点逐渐靠近顶点，椭圆会怎么样?焦点逐渐靠近中心，又会怎么样?)

切入事先准备好的几何画板展示，固定长轴，移动交点，看变化。 教师通过多媒体展示椭圆随着离心率逐渐接近0越圆而越接近1而越扁的动画

过程。 e越大，椭圆越扁，越小越圆。讲清楚e是一个比值圆扁度用什么刻画? 为什么不b用。 a此外，在以下几个方面我还需要进一步改进：一是课堂的节奏还要稍微慢一点，比如对焦点在轴时椭圆的几个性质的给出，都是师提问生齐答，在这个过程中不少反应慢一点的同学没有足够的时间去思考，被忽略掉了，而如果把这个环节换成小组合作学习、讨论交流的方式来进行，放手把主动权交给学生，效果可能会更好，也更符合新课改的理念。二是教学语言还需要不断锤炼，因为数学老师的语言是否准确、精炼，会对学生的逻辑思维产生潜移默化的影响，要力图用清晰优美的语言艺术去感染学生。

比较过去自己曾经历过的刻板、严肃的灌输式教学，现在更提倡多给学生一点爱，让学生积极地参与到课堂活动中来;同时老师要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探索过程中去，是否能够达到掌握知识，提高能力的目的是否收到了理想的教学效果。教学过程中要尊重学生的自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。

篇8：双曲空间中椭圆的一些几何性质

关于双曲空间中椭圆的一些几何性质

在双曲空间中,考察椭圆的包含关系,对弧长元素、测地曲率、曲率、面积及全曲率等几何量做出细致考察.

作 者：王幼宁 吴英丽 Wang Youning Wu Yingli 作者单位：北京师范大学数学科学学院,100875,北京刊 名：北京师范大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF BEIJING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：43(4)分类号：O1关键词：双曲空间 椭圆 测地曲率 全曲率