向量小结与复习

向量小结与复习（精选7篇）

篇1：向量小结与复习

高中数学教案第五章平面向量（第23课时）课题：5.13向量小结与复习（2）

教学目的：

1.熟悉向量的性质及运算律；2.能根据向量性质特点构造向量；

3.熟练平面几何性质在解题中应用；4.熟练向量求解的坐标化思路.5.认识事物之间的内在联系；

6.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识

.教学重点：向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用.教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握

授课类型：复习课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学方法:启发引导式

针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力教学过程：

一、讲解范例：

例1利用向量知识证明下列各式

22(1)x＋y≥

2xy

22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y

分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系.(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证.证明：(1)设a＝（x，y），b＝（y，x）则a·b＝xy＋yx＝2

xy

222222｜a｜·｜b｜＝xyxyxy

又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ为a，b夹角)

≤｜a｜·｜b

｜

22∴x＋y≥2xy

(2)设x，y的夹角为θ，则x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤

22xy222 ∴｜x｜＋｜y｜≥2x·

y

22评述：(1)上述结论表明，重要不等式a＋b≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立.(2)在(2)题证明过程中，由于｜x｜，｜y｜是实数，故可以应用重要不等式求证.例2利用向量知识证明

22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量

.证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

则a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ为a，b夹角)

222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.例3已知ｆ（x）＝x2

求证：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）

分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证.下面给出两种证法.证法一：∵ｆ（a）＝a2，ｆ（b）＝

b2，∴要证明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b

｜ 只需证明｜a2－b2｜＜｜a－b｜

2222222即1＋a＋1＋b－2(1a)(1b)＜a＋b－2

ab

22即(1a)(1b)＞1＋

ab 2222只需证明（(1a)(1b)）＞（1＋ab）

即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab

22即a＋b＞2

ab

22∵a＋b≥2ab又a≠

b

22∴a＋b＞2

ab

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜

证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）

则｜a｜＝a2，｜b｜＝b2 222222

a－b＝（O，a－b）

｜a－b｜＝｜a－b

｜

由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中当｜a｜＝｜b｜即a＝b时，取“＝”，而a≠

b

∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b

｜ 即｜a2－b2｜＜｜a－b｜

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的认识.上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性.下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.例4已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证AC⊥BD.分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件.证法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝

O

∴⊥

证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）

222则由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c ∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），22 ＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c－a－b＝O 222

∴⊥即 AC⊥

BD

评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便.通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.例5 若非零向量a和b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜.证明：a⊥b

.分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法.证法一：(根据平面图形的几何性质)设＝a，＝b，由已知可得a与b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等

.所以平行四边形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥

b

证法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b

｜

22∴（a＋b）＝（a－b）

2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

∴a·b＝O，∴a⊥

b

证法三：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），22｜a＋b｜＝(x1x2)(y1y2)，22｜a－b｜＝(x1x2)(y1y2)，22∴(x1x2)(y1y2)22＝(x1x2)(y1y2)，化简得：x1x2＋y1y2＝O，∴a·b＝O，∴a⊥b.例6 已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程.解：设a的终点坐标为（ｍ，ｎ）

则a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

由题意3(m3)4(n1)0

22(m3)(n1)1 ①

②

由①得：ｎ＝

21（3ｍ－13）代入②得 425ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 1911m,m,1255或解得

n2.n8.1255

∴a的终点坐标是（192118,)或(,)555

5评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆.上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来.二、课堂练习：

1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），当λ为何值时，a＋λb与a垂直

.解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）

∵（a＋λb）⊥a∴（a＋λb）·a＝

O

∴（1＋λ）＋O·λ＝O∴λ＝－

1即当λ＝－1时，a＋λb与a垂直.2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角为3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜

.2222解：｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b

22＝｜a｜＋2·｜a｜·｜b｜cos3O°＋｜b｜

＝（）＋2×3×2×232＋2＝

32∴｜a＋b｜＝，∵｜a－b｜＝（a－b)＝a－2a·b＋b

22＝｜a｜－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b

＝（3）－2××2×222222＋2＝

∴｜a－b｜＝

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a与b的夹角为6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b.当ｍ为何值时，c与d是否垂直?

解：若c⊥d，则c·d＝

O

∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜cos6O°－15｜b｜＝

O

即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝29.1

44.已知a＋b＝c，a－b＝

d

求证：｜a｜＝｜b｜c⊥

d

证明：(1)c⊥

d

22（a－b）＝O a－b＝

O （a＋b）

 a2＝b2 ｜a｜＝｜b

｜，(2)｜a｜＝｜b｜

（a－b）＝O c⊥d

. a2＝b2 a2－b2＝O（a＋b）

三、小结通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法

.四、课后作业：

五、课后记及备用资料：

1.三角形内角和性质

定理：在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，则A＋B＋C＝18O°

推论(1)B＝6O°2B＝A＋C

推论(2)若A＜9O°，则有

sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC

.推论(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.ABCABCcos,cossin,2222推论(4)ABCABCtancot,cottan.2222sin

2.三角形内角和性质应用举例

例1△ABC中，若tanBtanCac,求证：A、B、C成等差数列

.tanBtanCa

证明：由条件得sin(BC)sinAsinC，sin(BC)sinA

由推论(3)得sin（B＋C）＝sinA.∴sin（B－C）＝sinA－sinC

∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sin

C

∵sinC≠O，∴cosB＝1，∴B＝.2

3故由推论(1)得2B＝A＋C.所以A、B、C成等差数列

.例2在锐角△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

证明：∵△ABC是锐角三角形，∴A＜9O°，根据推论(2)有：sinB＞cosC ①

B＜9O°，根据推论(2)有：sinC＞cosA

②

C＜9O°，根据推论(2)有sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

.例3已知△ABC，求证(a－b)cotCAB＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝

O.222

证明：根据正弦定理和推论(4)，有

CABABAB＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，2222

C∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）2

A同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）； 2

B（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC).2

CAB三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O.222(a－b)cot

篇2：向量小结与复习

教学目标

重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用． 难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．

能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运

算能力和解决实际问题的能力．

教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．

自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．

易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；

(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；

(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；

(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．

学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．

二、【知识梳理】

1．平面向量的数量积

(1)数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量abcos叫做a与b的数量积(inner product)（或内积），记作ab，即ab=abcos，其中是a与b的夹角．

(2)数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影acos的乘积．

(3)数量积的性质

b0． ①aba

②当a与b同向时，ab=ab；当a与b反向时，ab=ab；特别地，aa=a，所以

2a记作a2． aa

③abab

(4)数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

bba； ①a

②(a)b(ab)a(b)； ③(ab)cacbc．(5)数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y2． 由此可得：

2①a

x1y1或a

②abx1x2y1y20； ③设为a、b的夹角，则cos

ab



|a||b|2．平面几何中的向量方法

用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．

3．向量法在物理中的应用

向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．

三、【范例导航】



例1（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 APAB，

CP2，则 AQ1AC,R.若BQ

2

2【分析】由题意可知ABAC0，根据BQCP(1)ACAB2，解方程可以求得的值.



c0，【解答】如图，设ABb，ACc，则b1，c2，b



又BQBAAQb(1)c，CPCAAPcb，由BQCP2得，[(1)]()(14(1)2，即32,所以

2.3【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.2

变式训练1(2011·江苏卷10)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2,bke1e2, 若







ab0，则k的值为

答案：

4

2解析：abe12e2keeke12kee2ek12kcos0，12212

13

解得k

.4

例2(2012·江苏9)如图，在矩形ABCD

中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD

上，若ABAFAEBF的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.



【解答】因为AFADDF，

ABAFABADDFABADABDFABDF







DF1CF1.所以，AEBFABBEBCCFABCFBEBC1)12 所以





【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP3且APAC=

答案：18



解析：设ACBDO，则AC2ABBO，

所以，2

APACAP2ABBO2APAB2APBO2APAB2APAPPB2AP18



例3.证明：对于任意的a1、a2、b1、b2R，恒有不等式a1b1a2b2a1a

2

b

12b2．

【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关

【解答】设a(a1,a2)，b

(b1,b2),222

则a，bb1b2 ba1b1a2b2，aa12a2

因为abab，ba所以a

b

所以a1b1a2b2a1a2



b

2b2.【点评】

变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A(cos,sin)，B(cos,sin)，试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.答案：cosAOBcoscossinsin

解析：因为A(cos,sin),B(cos,sin),

所以OA(cos,sin)，OB(cos,sin)

OAOB

那么，cosAOBcoscossinsin.OAOB

四、【解法小结】

1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设a(x1,y1)，b(x2,y2)

(1)aba b0x1x2y1y20，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；

a=a2a

与a(2)a

转化．

(3)cos

ab

a、b的夹角，也可用来求

|a||b|直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式

用于求参数的值或范围．

2．向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3．明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量mv是数乘向量；

(3)功即是力F与所产生的位移s的数量积.五、【布置作业】

必做题： 1．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四边形ABCD中，∠AAB、AD的长分别为2、1.若M、N

分别是边

→→|BM||CN|→→

BC、CD，则AM·AN的取值范围是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为__ __.DE·DC的最大值为________．

4．在边长为1的正三角形ABC中，则ABBCBCCACAAB________．.必做题答案：

1．因为|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，则DN＝(1－n)DC，在平行四边形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函数f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM·AN的取值范围是[2,5]． →→3．以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因为1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.

CACAAB= 4．ABBCBC

311100

ABBCcos120BCCAcos120CAABcos1200

2222

点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起

00

点要重合，对于本题要特别注意：向量AB与BC,BC与CA,CA与AB的夹角不是60，而是120.选做题：



1．已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.2．如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于F，证明：CF2FD.选做题答案：

1.设a的终点坐标为(m,n),则a＝(m,n),



3(m3)4(n1)0由题意 2

2(m3)(n1)

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

41911m,m,192118152

5或解得∴a的终点坐标是（,)或(,)

5555n2.n8.1255

点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用．

篇3：浅谈平面向量的复习

平面向量是高中数学的重要内容之一, 也是近代数学中的重要概念之一.平面向量集数形于一身, 既有代数的抽象性, 又有几何的直观性, 它是沟通几何、代数、三角函数的一种工具, 成为高中数学中函数、几何、三角等知识的一个交汇点, 更是“在知识网络交汇处设计试题”的一个良好的载体, 是历年高考数学的一个必考内容.

要搞好平面向量的复习, 首先要研究历年高考, 尤其2013年高考对平面向量的考查的内容和考查的重点.纵观历年自主命题的地方卷和教育部考试中心命制的全国卷, 高考命题主要以选择题、填空题为主, 难度为中档左右, 个别地方卷, 也有考查向量与函数、三角函数、解析几何交汇在一起的交汇题, 属中等难度试题.试题从以下三个方面来考查平面向量, 一是考查平面向量的基础知识, 基本定理、基本运算;二是重点考查平面向量的数量积的基本运算及其应用, 这也是各地试题的热点;三是考查平面向量的工具性作用, 求解向量和代数中的函数、不等式、三角和解析几何的交汇整合型试题, 考查考生的转化化归、数形结合、函数与方程等数学思想和教学方法, 考查推理论证能力.对于上述的三类考查, 下面予以例说.

一、重基础, 出活题, 考基础, 考能力

分析:本题考查平面向量的坐标表示和向量共线的充要条件.

解:∵A (1, 3) , B (4, -1) ,

∴设单位向量e,

∴选A.

解:由题意及图1知,

分析:本题考查平面向量的加法运算、考查数形结合思想以及利用数学知识解决问题的能力.

解:由题意知, O是AC的中点.

分析:本题考查平面向量的线性运算, 考查平面向量的基本定理, 考查数形结合解决数学问题的能力.

解:建立平面直角坐标系如图3, 则点A, B, C的坐标分为 (-1, 1) , B (5, 3) , C (4, 0) .

∵c=λa+μb,

∴ (-1, -3) =λ (-1, 1) +μ (6, 2) = (-λ+6μ, λ+2μ) ,

说明:以上几例对平面向量的考查, 考的是基础, 考的是对概念和基本定理的理解, 对基本方法和运算的掌握.只要在复习中夯实基础, 熟练运算, 就能稳操胜券.

二、考重点, 重点考查平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积是平面向量的一个重点, 通过向量的数量积运算, 可以解决有关垂直、夹角、长度等诸多问题.

分析:本题考查平面的投影的概念, 从而深刻理解平面向量数量积的几何意义, 考查平面向量的坐标运算.

∴选A.

例6 (2013年湖南卷) 已知a, b为单位向量, 且a·b=0, 若向量c满足|c-a-b|=1, 则|c|的取值范围是 () .

分析:本题考查单位向量、向量模的概念、向量垂直的条件, 构建适当的坐标系用坐标表示向量, 通过向量的坐标运算, 化|c-a-b|=1为圆的方程, 将|c|转化为圆上的点到原点距离的取值范围.

把a, b, c的坐标代入|c-a-b|=1, 得

(x-1) 2+ (y-1) 2=1.

∴由圆形的几何性质, 得

∴选A.

例7 (2013年安徽卷) 若非零向量a, b满足|a|=3|b|=|a+2b|, 则a与b夹角的余弦值为_____.

分析:本题考查平面向量数量积的运算, 考查两向量夹角的求法等基础知识和基本运算.

(A) ∠ABC=90° (B) ∠BAC=90°

(C) AB=AC (D) AC=BC

分析:本题考查向量的模、数量积的概念、向量运算及向量运算的几何意义, 考查向量的工具性作用, 利用向量来解决平面几何的问题.由于从图形的角度解决问题的思路不明确, 那就要构建适当的坐标系, 以形解数, 数形结合来解决问题.

(2-x, 0) (a-x, b) ≥ (1, 0) (a-1, b) ,

即 (2-x) (a-x) ≥a-1恒成立.

∴x2- (2+a) x+a+1≥0恒成立.

∴Δ= (2+a) 2-4 (a+1) ≤0,

即a2≤0恒成立,

∴a=0, 即点C在线段AB的中垂线上.

∴AC=BC.∴选D.

说明:以上几例, 重点考查了平面向量的数量积的概念、性质和运算方法.平面向量的数量积根据不同的条件, 可以分别用坐标法和基底法来求解.这里要特别强调数形结合与转化化归的数学思想方法的运用, 对于一些几何或代数问题, 可以数形结合以数示形或以形解数把题目的条件结论, 分别用向量或坐标来表示, 通过向量的数量积运算, 使问题得到解决.

三、考应用, 考查平面向量的工具性作用

平面向量兼具代数和几何的双重特征, 是解决代数、三角和几何问题的有力工具, 高考中必然要考查平面向量的工具性作用.

分析:本题考查向量的概念、运算, 函数的最值等知识.函数的最值是高考中的高频考点.题中的函数是通过向量的运算, 去掉向量的外衣, 得到函数f (x, y) , 因此本题重在考查转化与化归、函数与方程等数学思想, 以及灵活运用知识分析问题、解决问题的能力.

分析:本题考查平面向量的运算、线性规划等知识.本题的终极目标是点集P所表示的区域面积, 从图形着手, 无法确定区域的范围.因此, 要数形结合, 以数助形, 建立适当的坐标, 把向量用坐标表示, 然后通过向量的坐标运算, 建立点集P的不等式组, 利用线性规划的知识, 求出区域的面积.

∵A, B为两定点,

例11 (2013年江苏卷) 已知向量a= (cosα, sinα) , b= (cosβ, sinβ) , O<β<α<π.

(Ⅱ) 设c= (0, 1) , 若a+b=c, 求α, β的值.

分析:本题考查平面向量的加法、减法、数量积的运算, 三角函数基本关系式等基础知识, 考查考生的运算、求解和推理论证能力, 本题也是简单的平面向量和三角函数的交汇题目.

(Ⅰ) 若|a|=|b|, 求x的值;

(Ⅱ) 设函数f (x) =a·b, 求f (x) 的最大值.

分析:这是平面向量与三角函数的交汇题目, 考查平面向量与三角函数的综合应用.向量只是一个工具, 用来描述题中的条件和结论, 通过向量的运算, 构造三角恒等式和三角函数式, 最后利用三角函数的性质解决问题.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

分析:本题是解析几何与向量的交汇题, 重点考查直线与圆锥曲线的位置关系, 这种关系用向量加以包装, 通过向量的运算, 释放出来, 从而得到k的方程, 解之即可.本题的考查要求较高, 除了考查椭圆的标准方程、几何性质、直线的方程和向量的运算等基础知识、考查用代数方法研究圆锥曲线的性质、考查考生的运算求解能力和用方程思想解决问题的能力.

(Ⅱ) 设过点F (-1, 0) 斜率为k的直线方程为y=k (x+1) , 它与椭圆的交点为C (x1, y1) , D (x2, y2) .

(2+3k2) x2+6k2 x+3k2-6=0.

由一元二次方程的根与系数的关系知,

考应用, 必将对新一届考生的复习备考产生有益的启迪.为此, 对于下一届考生对平面向量的复习提几点建议.

1.狠抓基础, 全面复习

高考命题的一个良好传统是重基础, 出活题, 不拔高, 全面考查基础知识、基本技能、基本方法.因此, 我们的复习要狠抓基础, 全面复习, 弄通弄懂平面向量的概念、性质, 平面向量的线性运算的方法、运算的技能及运算律, 掌握两向量共线的充要条件和平面向量的基本定理.掌握向量运算的两种方法, 基底法和坐标法, 熟练进行向量的各种运算, 解决向量中的各种问题.但脱离课本, 任意拔高, 加重负担, 于高考无益.

2.抓热点, 攻重点, 突出对重点知识的复习

平面向量的数量积是高考命题的热点, 向量对其他知识板块的渗透、融合, 向量与其他知识板块的整合、交汇大都通过平面向量的数量积来实现的, 因此要牢固掌握数量积的概念、性质、运算方法、运算律, 熟练进行数量积运算, 以期解决数量积中的化简、证明;解决平行、垂直、夹角等问题, 做好平面向量的综合应用.

3.用数学思想、数学方法指导解题是关键

平面向量解题的关键是要以数学思想、数学方法为指导, 向量兼具几何与代数的双重特征, 向量解题的工具性作用在于数形结合沟通形与数之间的关系, 题中的“数”太抽象, 那就构造向量图形, 用图形的直观性解决代数的抽象;题中的向量图形太复杂, 找不到解题的思路, 就构建适当的坐标系, 以坐标表示向量, 通过向量代数运算解决几何问题.所以数形结合、转化化归、函数与方程等数学思想, 是向量解题的指导思想, 以此为指导, 认真解题, 同时注重能力培养, 尤其是运算能力和推理论证能力的培养, 使我们的复习迎考立于不败之地, 取得优异的成绩.

篇4：向量小结与复习

教学目标：

（1） 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.

（2） 掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.

（3） 掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件.

（4） 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

（5） 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

（6） 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式.

教学重点：

通过题组训练，使学生对向量的相关概念和公式作进一步理解.

教学难点：

准确灵活地利用向量的概念和公式解题.

师：有吗？

注：此时的我已胸有成竹了，因为我想起了2000年北京春季高考试题．

生5：我肯定结论不成立．因为我记得一个结论：当抛物线方程是y2=2px时，满足条件的直线过定点（2p,0)，这时候，|OP|怎么可能是定值呢？

这一解释得到了同学的认可．

师：实践出真知，如果还有同学有疑惑，不妨课后你去推导一下，这里我突然想到了这样一个高考题，当我们今天研究到这种程度，这一题我想我们不少同学已能够到口答的水平了．

篇5：向量小结与复习

1.本专题是高中数学的重要内容之一，在高考试题中一般有2～3个题 (1～2个选择、填空题，1个解答题)，共计20分左右，约占总分的13%.选择题、填空题的难度一般是中等，解答题时常会出现与函数、三角、不等式等知识交汇的问题，故多为中等偏上乃至较难的问题.

2.数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，有关数列的试题一般是综合题，经常把数列与不等式的知识综合起来考查，也常把数列与数学归纳法综合在一起考查.探索性问题是高考的热点，常有数列解答题中出现.

3.近两年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式. (2)数列与其他知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，有一些地方用数列与几何的综合，或与函数、不等式的综合作为最后一题，难度较大.热点，常有数列解答题中出现.

篇6：推理与证明小结复习

一、基础知识

1．推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推理一般分为合情推理与演绎推理两类。2．合情推理

比，然后提出猜想的推理，把它们通称合情推理。

3．演绎推理

定义：从出发，推出某个下的结论的推理。特点：由到。模式：三段论——演绎推理的一般模式

“三段论”的结构：大前提——已知的；小前提——所研究的；

结论——根据一般原理，对做出的判断。“三段论”的表示：大前提：； 小前提：；结论：S是P。4．直接证明

定义：要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设（即Q的反

面非Q是正确的），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的的证明方法。证明步骤： 6．数学归纳法

证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤：

(1)证明当n取n0时命题成立；（归纳奠基）

(2)假设n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k＋1时命题也成立。（归纳递推）

完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法就是数学归纳法。习题精讲

1．已知函数f(x)=

x

21x。

(1)分别求f(2)＋f()、f(3)＋f()、f(4)＋f()的值；

4(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；

(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2012)＋f()＋f()＋„＋f（2112012)

2．设a、b、c为一个三角形的三边，且s2=2ab，这里s=

3．已知数列{an}满足a1=，an1=

2(a＋b＋c)，试证s<2a。

an＋n－4，其中为实数，n为正整数，求证：对

任意实数，数列{an}不可能是等比数列。

4.证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除

巩固练习

一 选择

1．下列推理是归纳推理的是()

A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆 B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x+y=r的面积πr,猜想出椭圆

xa



yb

1的面积S=πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

2.下面使用类比推理正确的是()

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

ab

acb

c（c≠0）”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

n

n

n

n

c

（ab）ab” 类推出“（ab）ab” D.“

nn

3.在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为()A.29B.254C.602D.2004 ππ

4．“三角函数是周期函数，y＝sinx，x∈－是三角函数，所以y＝sinx，x∈

22

－π，π是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是()． 22

A推理完全正确；B大前提不正确；C小前提不正确；D推理形式不正确．

5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A．①； B．①②； C．①②③； D．③。

6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数

符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

0123

AB A6EB72C5FDB0

201

17.观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，„，则5的末四位数字为A．3125B．5625C．0625D．812

58．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a，b，c中恰有一个偶数”,正确的假设为()A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

9．已知fx是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若fkk成立，则fk1k1成立，下列命题成立的是（）A、若f39成立，则对于任意k1，均有fkk成立；

B、若f416成立，则对于任意的k4，均有fkk成立；

C、若f749成立，则对于任意的k7，均有fkk成立；

D、若f425成立，则对于任意的k4，均有fkk成立。

二 填空

1．设n2,nN,(2x

12)(3x

n

将ak()a0a1xa2xanx，0kn)的,T40,T5

n2n

最小值记为Tn，则T20,T3其中Tn。





13,,Tn,

x2

2． 我们知道：过圆x＋y＝r上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r，2＋

a

2y

＝1上一点(x0，y0)的切线方程为________． b2

3．观察下列几个三角恒等式：

①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________．

4．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，AG

若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若GD

AO

M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD

OM

则

5．观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，第n个等式为。

6．若三角形内切圆的半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积等于S

r(abc)，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别是S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V

7．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷 比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(选出 所有符合要求的组号)其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.8.问题“求方程345的解”有如下思路：方程345可变为()()1，x

x

x

x

x

x

x

x

考查函数f(x)()x()x,可知，f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减，所以原方程有唯

一的解x=2.类比上述解法，可得到不等式：

x(2x3)(2x3)

x的解集是

三 解答：

1通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假．

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝

23222

sin30°＋sin90°＋sin150°＝

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝

篇7：向量小结与复习

本章讨论方阵的特征值和特征向量，进而讨论方阵能与对角阵相似的充分必要条件以及实对称阵与对角阵相似的问题。

5.1　特征值与特征向量

5.1.1　特征值与特征向量的定义

定义5.1.1　设A是一个n阶方阵，λ是一个数。如果存在一个非零的n维列向量p，使得Ap=λp。

则称λ为方阵A的一个特征值，称p为A的属于特征值λ的特征向量。

由以上定义容易看出，p为A的属于特征值λ的特征向量p是齐次方程组（λE-A）=0的非零解。

由此可见，λ为方阵A的一个特征值

定义5.1.2　称带参数λ的方阵λE-A为方阵A的特征方阵，称为A的特征多项式，称为A的特征方程。

为什么称为A的特征多项式？看

为二次多项式。对n阶方阵

是一个n次多项式。

所以n阶方阵A的特征方程是一元n次方程，容易知道，n阶方阵A在复数范围内，有n个根（重根按重数进行计算）。

所以n阶方阵A在复数范围内必有n个特征值（重根按重数计算）。

而当λ是A的特征值时，齐次方程组（λE-A）X

=0的所有非零解都是A的属于特征值λ的特征向量。

例1　求n阶的所有特征值和所有特征向量。

【答疑编号12050101】

解

这说明，n阶O矩阵的n个特征值都是0。

对于任给的n维非零向量p，都有Ap=0=0p，所以p都是O矩阵的属于特征值0的特征向量。

例2　当时，2是A的特征值。当时，λ=　　　是A的特征值。

【答疑编号12050102】

例3　设A是一个n阶方阵，且满足证明：-1是矩阵A的特征值。

【答疑编号12050103】

例4　设A是一个n阶方阵，且A≠E。如果证明：-1是矩阵A的特征值。

【答疑编号12050104】

5.1.2　关于特征值和特征向量的若干结论

命题1　方阵的特征值未必是实数。

例5　设

显然，即特征值都是复数。

命题2　三角形矩阵的特征值就是它主对角线上的所有元素。

命题3　设是矩阵A的一个特征值，是矩阵A属于特征值的特征向量，是两个任意数，则当时，也是矩阵A属于特征值的特征向量。

定理5.1.1　n阶方阵A与它的转置有相同的特征值。

这只要看

值得注意的是与A未必有相同的特征向量。

例6

解　显然，λ=1是A的特征值，故属于特征值λ=1的特征向量。

但

所以不是的特征向量。（此题给出了判断向量是否是A的特征向量的方法）。

【答疑编号12050105】

定理5.1.2　设是n阶方阵的全体特征值。则

定理5.1.3

设A为n阶方阵，为对应的方阵多项式。如果非零向量p满足Ap=λp，则f(A)p=f(λ)p。

这表明，如果λ是A的特征值，则f(λ)就是方阵f(A)的特征值，且如果p是方阵A属于特征值λ的特征向量，则p也是方阵f(A)属于特征值f(λ)的特征向量。

例7

设的所有特征值。

【答疑编号12050201】

例8

已知n阶方阵求A的所有特征值。

【答疑编号12050202】

定理5.1.4

设A是可逆方阵，λ是A的一个特征值，p是方阵A属于特征值λ的特征向量，则λ≠0，且p是方阵属于特征值的特征向量。

定理5.1.5

设是矩阵A的k个两两不相同的特征值，且分别是关于的特征向量。则线性无关。

5.1.3　关于求特征值和特征向量的一般方法

例9

求出的特征值和线性无关的特征向量。

【答疑编号12050203】

解

（1）写出特征多项式

得为的全部特征值。

下面求A的特征向量。

当时,A的属于该特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组的基础解系。

对

取为自由未知数，得A的属于特征值2的线性无关的特征向量

当时，则A的属于特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组的基础解系。而

取自由未知数，得的属于特征值的线性无关的特征向量为

所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。

例10

求矩阵的特征值和特征向量。

【答疑编号12050204】

小结：

（1）求特征值特征向量的方法步骤。

（2）对于A的二重特征值，可能有两个线性无关的特征向量，也可能只有一个线性无关的特征向量。一般，若λ=a是A的k重特征值，A至多有k个属于λ=a的线性无关的特征向量。(可能少于k个!)

例11

设n阶方阵的每一行中元素之和同为a，证明：a是矩阵的特征值，并求出它属于该特征值的一个特征向量。

【答疑编号12050205】

例12

求出k的值，使得的逆矩阵的特征向量。

【答疑编号12050206】

小结

1.特征值和特征向量的定义；

2.λ是n阶矩阵A的特征值的充分必要条件是，而齐次方程组的所有非零解都是A属于特征值λ的特征向量；

3.关于特征值和特征向量的若干重要结论；如

A属于不同特征值的特征向量线性无关等

4.求矩阵的特征值和特征向量的方法。

作业p135

习题5.1

2，3，4，5，6，7，8，9，10，11

5.2　方阵的相似变换

对于方阵A，要求一般来说，这是一个十分困难的问题。

有两种情况我们会处理。

而对一般的方阵A，要求十分困难。于是思考能否把求的问题转化为求一个对角阵的k次幂的问题呢？这首先希望找到A与对角阵的联系。

这一节就讨论这个问题。

5.2.1　相似矩阵的概念

一、定义

定义5.2.1　设A，B都是n阶方阵。如果存在一个可逆矩阵P，使得

则称A与B相似，记为A～B。

例1　取

故A与B相似。

【答疑编号12050301】

例2　设A，B都是n阶方阵。

A可逆，则AB与BA相似。

【答疑编号12050302】

证　因为故AB与BA相似。

例3　设B是n阶方阵，若n阶单位阵与B相似，则

【答疑编号12050303】

二、相似矩阵的性质：

（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性。

定理5.2.1　设n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值完全相同。从而有和

需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。

只要看例1中，取

故的一个属于特征值0的特征向量，但

所以不是矩阵属于特征值0的特征向量。

推论　若n阶方阵A与三角阵相似，则该三角阵的主对角元素就是A的所有特征值。

例4　设且A与B相似。求参数x，y。

【答疑编号12050304】

例5　设n阶方阵A与B相似，证明：方阵多项式f（A）与f（B）相似，其中

【答疑编号12050305】

5.2.2　方阵与对角阵相似

设三阶方阵A与对角阵相似存在可逆阵，使得

即

即

即是矩阵A的三个特征值，依次为矩阵A属于特征值的特征向量。

注意可逆的充分必要条件是线性无关。上面的讨论对n阶方阵可类似的进行。于是有下面的重要定理

定理5.2.2n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。设

是A的n个特征值，依次是A属于特征值的线性无关的特征向量，则令

有

推论

设n阶方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能和对角阵相似。（这是充分条件，不是必要条件）

分析矩阵不能与对角阵相似的原因。

例6

不能与对角阵相似。

【答疑编号12050401】

例7

判断能否与对角阵相似？若能，求出变换矩阵P。

【答疑编号12050402】

在上一节例9已求出A的全部特征值

当时，A有两个线性无关的特征向量:对，A有一个线性无关的特征向量

所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。

故A能与对角阵相似，取变换矩阵

必有

例8

判断矩阵

能否与对角阵相似，若相似，求出变换矩阵。

【答疑编号12050403】

解

在上一节例10

已求出A的全部特征值

得A的全部特征值为

对

A只有一个属于特征值的线性无关的特征向量

所以A没有三个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。

例9

设

问A是否相似于对角阵？若是，则求出其相似标准形。

【答疑编号12050404】

例10

已知三阶方阵A的三个特征值为

与它们对应的特征向量分别为：

求矩阵A。

【答疑编号12050405】

例11

设，求。

【答疑编号12050406】

小结

主要概念:

1.相似的定义和性质。

2.n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；及充分条件（特征方程无重根）。

主要习题类型:

1.判断n阶方阵能否与角阵相似，相似时，求出变换矩阵。

2.已知方阵的全部特征值和n个线性无关的特征向量，求矩阵A

3.利用相似矩阵的性质求矩阵中的未知参数。

作业

p144

习题5.2

1.（1），（2），（5），2，3，4（2），5

5.3　向量内积和正交矩阵

5.3.1　向量的内积

一、定义

定义5.3.1设都是n维实向量。

定义为α与β的内积。

显然，α与β的内积的内积是一个实数，所以内积也称数量积。

例1

设求它们的内积。

【答疑编号12050501】

解

二、性质

（1）交换律（α,β）=（β,α）

（1）线性性质

正定性

对任意的α，总有（α,α）≥0，且（α,α）=0的充分必要条件是α=0。

只要看

（4）许瓦兹不等式（*）

而且式

（*）中等式成立的充分必要条件是α与β线性相关。（证明从略）

三、向量的长度

定义5.3.2

设为向量α的长度。

当时，称向量α为单位向量。

显然，α为单位向量

向量长度的性质：

（1）非负性：

（2）齐次性：

只要看

（3）三角形不等式

可见，n维向量长度的性质与三维向量长度的性质相同。

显然，基本单位向量为单位向量。

对于任意的非零向量为单位向量，称它为α的单位化向量。

因为

容易看出，当k≠0时，kα的单位化向量与α的单位化向量相同。

例2

对于α=（1,2,3）。求它的单位化向量。

【答疑编号12050502】

解，所以，它的单位化向量为

请自已读例3（p147），目的搞清楚每个式子是否有意义。

四、向量的正交与正交向量组

定义5.3.3

若（α,β）=0，则称向量α与β正交。显然零向量与任何向量都正交。

定义5.3.4

如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。

例3

在中，一个正交向量组。且为一个标准正交向量组。（还是一个标准正交基）。

【答疑编号12050503】

例4

求一个单位向量x,使得

即垂直于α=（1,1,1）又垂直于β=（1.-2,1）。

【答疑编号12050504】

定理5.3.1

正交向量组必线性无关。

5.3.2　施密特正交化手续

能否根据给定的一个线性无关向量组，构造出与它等价的正交向量组。

例5

将标准正交化。

【答疑编号12050505】

5.3.3　正交矩阵

一、定义

定义5.3.5

如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。

例6

证明下列矩阵为正交矩阵

（1）因为　所以为正交阵。

【答疑编号12050601】

（2）

【答疑编号12050602】

（3）

【答疑编号12050603】

二、正交矩阵的性质

1.如果A是正交阵，则

2.如果A是正交阵，则A必可逆，且；

3.正交阵的逆，转置和伴随阵都是正交阵；

4.设A，B都是正交阵，则它们的乘积仍为正交阵；

5.设A是n阶正交阵，α,β都是n维向量，则。

特别，时。

定理5.3.2

n阶方阵是正交阵的充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组。

例7

判断下列矩阵是否为正交阵

（1）

【答疑编号12050604】

（2）

【答疑编号12050605】

例8

设x为n维单位列向量。证明:是对称正交阵。且有Hx=-x

【答疑编号12050606】

例9

设A是n阶正交阵。λ是A的一个特征值。证明λ≠0，且也是A的一个特征值。

【答疑编号12050607】

小结

1.向量α与β内积的定义与性质；

2.向量长度的定义，如何将向量单位化；

3.两向量正交与正交向量组的定义，正交向量组必线性无关；

4.施密特正交化手续；

5.正交矩阵的定义和性质。

作业

p153

习题5。3

1，5（1），6，7，8

5.4　实对称矩阵的相似标准形

5.4.1　实对称矩阵的性质

定理5.4.1

实对称矩阵的特征值必为实数。

定理5.4.2

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定义5.4.1

设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。

定理5.4.3

(实对称矩阵的基本定理)设A为n阶实对称阵，则A必能与对角阵正交相似，即存在正交阵P，使得

其中，是方阵A的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角阵的实方阵一定是实对称阵。

我们证明定理的后半部分。

设A是n阶方阵，存在正交阵P使得

则，即A为对称阵。

5.4.2　求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形

设A是实对称阵。要求正交阵P,使得为对角形。

下面看例题。

例1

设,求正交阵

和对角阵，使得。

【答疑编号12050701】

解

(1)求A的特征值

故

（2）求特征向量

当时,得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时,，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

(3)将特征向量单位化

因为三个特征值都是单根，故它们对应的特征向量两两正交.故只需单位化。

得。

于是得正交阵。

则

例2

设，求正交阵P和对角阵，使得。

【答疑编号12050702】

解

（1）求A的特征值

得特征值。

（2）求特征向量，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

（3）将正交化

注意，但相互不正交，故需正交化。

取

（4）将特征向量单位化。

于是得正交阵

则

例3

设三阶实对称矩阵A的特征值为。已知A的属于的特征向量为，求出矩阵A属于特征值的特征向量，并求出矩阵A。

【答疑编号12050703】

小结

1.实对称阵的性质；

2.正交相似的定义；

3.用正交变换将实对称矩阵化为对角阵的方法。

作业

p160

习题5.4

1,2,4(2),6,7

第五章总结

1方阵特征值和特征向量的定义和求法；

2.关于特征值特征向量的若干重要结论；

3.矩阵相似的定义和性质；

4.n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；

5.向量内积的定义和性质；

6.向量长度的定义，单位向量，向量的单位化；

7.正交与正交向量组的概念和性质；施密特正交化手续；