高考数学平面向量复习

第一篇：高考数学平面向量复习

高考二轮复习数学考点突破之数列+三角函数与平面向量

高考二轮数学复习：三角函数与平面向量

1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.

2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.

1.2011年高考试题预测

(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.

②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin

x+bcos

x的常考内容.

③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.

高考二轮复习数学考点突破之数列

1.本专题是高中数学的重要内容之一，在高考试题中一般有2～3个题

(1～2个选择、填空题，1个解答题)，共计20分左右，约占总分的13%.选择题、填空题的难度一般是中等，解答题时常会出现与函数、三角、不等式等知识交汇的问题，故多为中等偏上乃至较难的问题.

2.数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，有关数列的试题一般是综合题，经常把数列与不等式的知识综合起来考查，也常把数列与数学归纳法综合在一起考查.探索性问题是高考的热点，常有数列解答题中出现.

3.近两年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式.

(2)数列与其他知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，有一些地方用数列与几何的综合，或与函数、不等式的综合作为最后一题，难度较大.热点，常有数列解答题中出现.

第二篇：2014高考数学三轮冲刺 平面向量课时提升训练（6）

1、

2、设G是△ABC重心，且

3、给定两个长度为1的平面向量动，若

，它们的夹角为

，则

，如图所示，点C在

=___.

为圆心的圆弧上运

的取值范围是_____.

4、已知△ABC所在平面内一点P(P与A、B、C都不重合)，且满足面积之比为 .

5、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则

6、如下图，两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若

7、OA、OB(O为原点)是圆x2+y2=2的两条互相垂直的半径，C是该圆上任意一点，且则λ2+μ2= 。

8、已知是边延长线上一点，记在

9、已知

上恰有两解，则实数

是底面

. 若关于的方程

的取值范围是 的中心，

，

，

，则

=________.

，则△ACP与△BCP的是平行六面体.设 1

设

10、设点是线段，则的中点，点

在直线

的值为___▲_______. 外，若

，

，则

__________。

11、若则为的 心.

12、如图，在

中，，则

于

，

为

的中点，若

,

.

13、在中,若长度为，点，，

,则

分别在非负半轴和为坐标原点，则

.

非负半轴上滑动，以线段

为一边，在第一象

14、如图，线段限内作矩形

的取值范围是 .

15、设，

,，则

的值为_________

，则

的最大

16、如图，半径为1的圆O上有定点P和两动点A、B，AB=值为 ___________.

17、设V是全体平面向量构成的集合，若映射∈V，b=(x2，y2)∈V，以及任意

∈R，均有

满足：对任意向量a=(x1，y1)

则称映射f具有性质P。 现给出如下映射： ①②

③

其中，具有性质P的映射的序号为________。(写出所有具有性质P的映射的序号)

18、在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果=3，则△ABC的面积为 。

19、已知圆足. (I)求点G的轨迹C的方程;

，则内角A的大小为 ;若a上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满 (II)过点(2，0)作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直线的方程;若不存在，试说明理由.

20、如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于

点，点在单位圆上，且

(1)求的值;

(2)设，求

的最值及此时的值.

，四边形的面积为，

21、某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线线上任意画一个点(Ⅰ)拖动点(Ⅱ)设抛物线分别交准线于，度量点的坐标时，，焦点为

，如图. ，试求抛物线，构造直线、

的方程;

于不同两点

、

，构造直线

，恒有

，在抛物，发现当的顶点为

交抛物线、

.、两点，构造直线.经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点请你证明这一结论.

(Ⅲ)为进一步研究该抛物线点的性质，某同学进行了下面的尝试：在(Ⅱ)中，把“焦点

与

”改变为其它“定”，其余条件不变，发现“使得仍有“不再平行”.是否可以适当更改(Ⅱ)中的其它条件，”成立?如果可以，请写出相应的正确命题;否则，说明理由.

22、设，，若，， ，则A.

B. C.

D.

23、已知△ABC所在平面上的动点M满足

，则M点的轨迹过△ABC的( )

A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心

24、已知非零向量、满足

，那么向量

与向量

的夹角为( )

A. B.

C.

D.

25、已知点是重心,

,若

, 则的最小值是( )A. B. C. D.

26、如图，在中，，是上的一点，若，则实数

的值为(

)

27、对于非零向量个向量，定义运算“”：

，其中为

的夹角，有两两不共线的三，则，下列结论正确的是 ( ) A.若

，则

1 ,

取得最小值 B. C.

28、若 D.均为单位向量，且

的最小值为( )

A. 2 B.

29、①点在为是 C. 1 D. 所在的平面内，且内的一点，且使得所在平面内的一点，且

②点 ③点

， 上述三个点中是重心的有 ( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 30、定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系;在平面斜坐标系位向量，中，若中，若

(其中

、

分别是斜坐标系轴、

轴正方向上的单，为坐标原点)，则有序实数对，点，

称为点的斜坐标. 如图所示,在平面斜坐标系

，点

在平面斜坐标系中的坐标是

为单位圆上一点，且A. B. C. D.

，则

31、已知A、B是直线上任意两点，O是外一点，若上一点C满足的最大值是 ( )A. B. C.

D.

32、设向量满足，，

C.

，则的最大值等于 ( )

A.2 B.

33、设，，，

D.1

(λ∈R)，

(μ是平面直角坐标系中两两不同的四点，若∈R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上

(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

34、是所在平面内一点，动点P满足的A.内心 B.重心 C.外

，则动点P的轨迹一定通过心 D.垂心

35、已知向量,别为,则对任意,满足,,

,

.若对每一确定的

,

的最大值和最小值分的最小值是

( ) A. B. C. D.1

36、如图，在四边形ABCD中，则

的值为

， 6

A.2 B.2 D.

C.4

37、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心

38、已知三点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)C(cosα，sinα)，α≠的值.

39、设函数

.(Ⅰ)求函数

的最小正周期和单调递增区间;

，k∈Z，若

=-1，求(Ⅱ)当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程.

40、求函数f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.

1、 [-2,]

2、B=600

3、

4、2

5、

6、

过点D做连接BF，设AC=1，则

,

7、1

8、或

9、

10、2。

如图，向量、满足

以、未变的平行四边形是正方形，则。

11、 内

12、 ;

13、

14、

15、48

16、

17、①③

18、

19、解：(1)Q为PN的中点且GQ⊥PN GQ为PN的中垂线|PG|=|GN| ，半焦距

，∴ ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是边形

若存在l使得||=|

(2)因为，所以四边形OASB为平行四|，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在. 设l的方程为

①

② 把①、②代入线

使得四边形OASB的对角线相等.

∴存在直 8

20、解：(1)依题

(2)由已知点∴的坐标为

又

，

，∴四边形

，∴

为菱形

∵

∴∴

21、

22、C

23、D

24、C

25、.C

26、D

27、D

28、D

29、D 30、A

31、C

32、A

33、【答案】 D

【解析】由 (λ∈R)，(μ∈R)知:四点，，，在同一条直线上, 因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且

34、B

35、A.如图： 垂足为D，D为OA中点.的距离，的最大值和最小值

, 故选D. 作

，

即为点O到圆周上点 分别为

36、C

37、D

38、解：由=(cosα-3,sinα),

，当BD重合时最小.

=(cosα,sinα-3)得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1 ∴sinα+cosα= ①又=,2sinαcosα=-∴

由①式两边平方得1+2sinαcosα

39、(Ⅰ);(Ⅱ)，的对称轴方程为.

40

第三篇：07--12年浙江省高考数学平面向量题

2010(16)已知平面向量a,(a0,a)满足1,且a与a的夹角为120°则a

。

2009(7)设向量a,b满足︱a︱=3,︱b︱=4,ab=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为

(A)3(B)4(C)5(D)6

2008(9)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)

的最大值是

(A)1 (B)2 (C)0,则|c| 2 (D)22

2007(7)若非零向量a，b满足abb，则() A.2aab B.2a2abC.2babD. 2ba2b

2012(5).设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b

B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|

2012( 15).在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则

=________.

第四篇：平面向量复习题

平 面 向 量

向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，数量为1-2题，均属容易题，但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。近年考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题进一步要求我们具备多角度、多方向地分析，去探索、去发现、去研究、去创新，而不是去做大量的模仿式的解题。一个问题解决后，不能匆匆而过，回顾与反思是非常有必要的，以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外，更要重视一题多变，主动探索：条件和结论换一种说法如何?变换一个条件如何?反过来又会怎么样?等等。只有这样才能做到举一反三，以不变应万变。

一、高考考纲要求

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.

2.掌握向量的加法与减法.

3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.

4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用;掌握平移公式.

二、高考热点分析

在高考试题中，对平面向量的考查主要有三个方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算。 其二考查向量坐标表示，向量的线性运算。

其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力。

数学高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点设计试题.由于向量具有代数和几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介.因此，平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势，同时它仍将是近几年高考的热点内容.

附Ⅰ、平面向量知识结构表

1. 考查平面向量的基本概念和运算律

1此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1.(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

()

2.(江西卷)已知向量

A.30°

(1,2),(2,4),||

B.60°

,若()

C.120°

,则与的夹角为

2()

D.150°

3.(重庆卷)已知A(3，1)，B(6，1)，C(4，3)，D为线段BC的中点，则

A.

与的夹角为()

444

4B.arccos C.arccos() D.-arccos()

2555

5

4.(浙江卷)已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则

arccos



()

A.a⊥e B.a⊥(a-e)



C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)



5 .(上海卷)在△ABC中，若C90，ACBC4，则BABC 2. 考查向量的坐标运算

1.(湖北卷)已知向量a=(-2，2)，b=(5，k).若|a+b|不超过5，则k的取值范围是

A.[-4，6]

2.(重庆卷)设向量a=(-1，2)，b=(2，-1)，则(a·b)(a+b)等于

A.(1，1)

B.(-4，-4)

C.-4

D.(-2，-2)

()

()

B.[-6，4]

C.[-6，2]

D.[-2，6]

()



3.(浙江卷)已知向量a=(x-5，3)，b=(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是

A.{2，3}

B.{-1，6}

C.{2}

D.{6}

例4.(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则OC=。



5.(全国卷)已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10)，且A、B、C三点共线，则k=.6.(湖北卷)已知向量a7.(广东卷)已知向量a

(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5，则k的取值范围是

(2,3),b(x,6),且a//b,则x.

3. 平面向量在平面几何中的应用



ABAC

),[0,),则1.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(|AB||AC|

P的轨迹一定通过△ABC

A.外心

的 () B.内心

C.重心

D.垂心



2.(辽宁卷)已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A,C)，则AP等于()

A.(ABAD),(0,1)

B. (ABBC),(0,

C. (ABAD),(0,1)

D. (ABBC),(0,



3.已知有公共端点的向量a，b不共线，|a|=1，|b|=2,则与向量a，b的夹角平分线平行的单位向量是.



4.已知直角坐标系内有三个定点A(2,1)、B(0,10)、C(8,0)，若动点P满足：OPOAt(ABAC),tR，

则点P的轨迹方程。

4. 平面向量与三角函数、函数等知识的结合

当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：

①利用向量平行或垂直的充要条件， ②利用向量数量积的公式和性质. 1.(江西卷)已知向量(2cos

xxxx

,tan()),(2sin(),tan()),令f(x). 224242

4求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.2.(山东卷)已知向量



m(cos,sin)

和

n

sin,cos,,2



，

且

mn求



cos的值.

28

3.(上海卷)已知函数

f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点

A、B，

22(,分别是与x,y轴正半

轴同方向的单位向量)，函数g(x)

x2x6.f(x)g(x)时，求函数

(1)求k,b的值; (2)当x满足

g(x)

1的最小值.

f(x)

【反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

5. 平面向量与解析几何的交汇与融合

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。

平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：

1、 运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问

题要简捷的多。

2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题

运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。

3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。

1.(江西卷)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA||PB|k，则动点P的轨迹为双曲线;



(),则动点P的轨迹为椭圆; 2

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若③方程2x

5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

x2y2x2

1与椭圆y21有相同的焦点. ④双曲线

25935

其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号)



2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1),B(1,3)，若点C满足OC0AOB，其中,R，

且

1，则点C的轨迹方程为()

A. C.

3x2y110B. (x1)2(y2)25 2xy0D. x2y50

2.已知平面上一个定点C(-1，0)和一条定直线l：x=-4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，



(PQ+2PC)(PQ-2PC)=0.

(1)求点P的轨迹方程;



PC的取值范围. (2)求PQ·

第五篇：高中数学竞赛讲义(八)平面向量

高中数学竞赛讲义

(八) ──平面向量

一、基础知识

定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量)，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数

0，使得a=

f

定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则(x, y)叫做c坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影(注：投影可能为负值)。 定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，

3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=4. a//bx1y2=x2y1, a

b

x1x2+y1y2=0.

(a, b0),

定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使

，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则

讲义八

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定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形

，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。

定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=

-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2)对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向与例题

1.向量定义和运算法则的运用。

例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：

【证明】 记后与原正n边形重合，所以

，若

不变，这不可能，所以

，则将正n边形绕中心O旋转

例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则

又因为BC与GP互相平分， 所以BPCG为平行四边形，所以BG所以

PC，所以

讲义八

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充分性。若因为

，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则，则

，所以GB

CP，所以AG平分BC。

同理BG平分CA。

所以G为重心。

例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

【证明】 如图所示，结结BQ，QD。

因为所以==又因为同理

， ② ， ③

由①，②，③可得

。得证。

2.证利用定理2证明共线。

例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。

，

·

①

【证明】 首先

=

其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。 AB，CH

AB，所以AHCE为平行四边形。

讲义八

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所以所以所以所以与

，

，

共线，所以O，G，H共线。

所以OG：GH=1：2。

3.利用数量积证明垂直。

例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a【证明】|a+b|=|a-b|

(a+b)2=(a-b)

2b.

a·b=0

a

b.

a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。

【证明】 设

，

则，

又，

所以

a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)

又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。 所以a·(b-c)=0. 所以OE

CD。

4.向量的坐标运算。

例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。

讲义八

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【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为(-1，1)和(0，1)，设E点的坐标为(x, y)，则y-1), 又因为，因为

，所以-x-(y-1)=0.

=(x,

，所以x2+y2=2.

由①，②解得

所以

设所以所以，则

，即F=4+

。由和，

共线得

，所以AF=AE。

三、基础训练题

1.以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③若a·b=a·c，则b=c;④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n;⑤若在b=(-3, 4)上的投影为-4。

2.已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①③ ;④

与

，相等的有__________.

;②

;

，且a, b共线，则A，B，C，D共线;⑥a=(8, 1)3.已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________. 4.设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________. 5.已知a, b不共线，条件.

6.在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且于D，若7.已知__________.

8.已知

=b, a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.

讲义八

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=a+kb, =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________

，BM与CN交，则λ=__________. 不共线，点C分

所成的比为2，

，则9.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1), 若c·b=4，则b的坐标为__________.

，10.将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.

与11.在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问的夹角取何值时

的值最大?并求出这个最大值。

12.在四边形ABCD中，，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题

1.点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足

则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。

2.在△ABC中，3.非零向量=__________.

4.若O为△ABC 的内心，且为__________.

5.设O点在△ABC 内部，且__________.

6.P是△ABC所在平面上一点，若__________心.

7.已知

，则|

|的取值范

，则P是△ABC 的

，则△AOB与△AOC的面积比为

，则△ABC 的形状

，且a·b<0，则△ABC的形状是__________. ，若点B关于

所在直线对称的点为B1，则围是__________.

8.已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.

9.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则值为__________.

10.已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.

讲义八

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的最小11.设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知

，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，

(1)求y=f(x)的解析式及定义域;(2)求的取值范围。

12.已知两点M(-1，0)，N(1，0)，有一点P使得成公差小于零的等差数列。

(1)试问点P的轨迹是什么?(2)若点P坐标为(x0, y0), 求tan.五、联赛一试水平训练题

1.在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为(1，0)，(0，2)，当实数p, q

为

与

的夹角，满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.

2.p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c. O为平面内任意一点，

则

=___________(用a, b, c, x, y, z表示).

3.已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.

4.平面内四点A，B，C，D满足

，则的取值有___________个.

5.已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则

取值的集合是___________.

6.O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA·+sinC·，则点O为△ABC 的___________心.

(a-b)”的___________条件.

，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ABC

+sinB·7.对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8.在△ABC 中，三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.

9.已知P为△ABC内一点，且

，CP交AB于D，求证：

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10.已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令

，求证：(1)2p=b+c-a;(2)H为△O1O2O3的外心。

11.设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，

(1)对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y;

(2)对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x; (3)设u=(1, 0);

，若

，求a.

六、联赛二试水平训练题

1.已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何?证明你的结论。

2.已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.

3.在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。

4.在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。

5.是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?

6.已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。

7.如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：(1)OB

DF，OC

DE，(2)OH

MN。

8.平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作

，求证△ABC为正三角形。

9.在平面上给出和为

的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

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