平面向量的解题技巧

第一篇：平面向量的解题技巧

平面向量的应用

平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。

一、用向量证明平面几何定理

例1. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图1，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A、B重合)，求证：∠APB=90°。

证明：联结OP，设向量OAa，OPb，则OBa且PAOAOPab，

PBOBOPab PAPBb2a2|b|2|a|20

PAPB，即∠APB=90°。

二、用向量求三角函数值

例2. 求值：cos图

1解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO放进直角坐标系中，则OA(1，0)，



224466AB(cos，sin)，BC(cos，sin)，CD(cos，sin)，777777 8810101212DE(cos，sin)，EF(cos，sin)，FO(cos，sin)777777246coscos 777

又OAABBCCDDEEFFO0

图

21cos24681012coscoscoscoscos0 777777

86104122cos，coscos，coscos又cos 777777

24612(coscoscos)0777 2461coscoscos7772

三、用向量证明不等式

222例3. 证明不等式(a1b1a2b2)2(a1a2)(bb212)

证明：设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，则|a|

与b的夹角为θ，cos

又|cos|

1222则(a1b1a2b2)2(a1a

22)(b1b2) 22a1a2|b|b1b22，2，设aab|a||b|a1b1a2b2aa2122bb2122

当且仅当a、b共线时取等号。

四、用向量解物理题 例4. 如图3所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一点P，求五个力的合力。

解：所求五个力的合力为PAPBPCPDPE，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则POPAPE，由正六边形的性质可知|PO||PA|b，且O点在

PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则PFPBPD，由正六边形的性质可知|PF|3b，且F点在PC的延长线上。

由正六边形的性质还可求得|PC|2b

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b2b3b6b，方向与PC的方向

相同。

图3

第二篇：平面向量的概念教案

平面向量基本概念

【教学目标】

知识目标：

(1)了解向量的概念;

(2)理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. 能力目标：

(1)能将生活中的一些简单问题抽象为向量问题;

(2)理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量. (3)从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点. (4)通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标：

(1)经历利用有向线段研究向量的过程，发展“数形结合”的思维习惯. (2)经历合作学习的过程，树立团队合作意识. 【教学重点】

向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 【教学难点】

向量的含义. 【教学过程】

(一)情境创设

1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马!”

结果 原因

2.如图1，在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫由B向正东方向的D处追去，猫能否抓到老鼠?

结果 原因 思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量? 咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗? 这些量的共同特征是什么?

(二)概念形成

观察：如图2中的三个量有什么区别?

1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量. 2.向量的表示方法

思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，

记作AB.(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB为a. 练习. 如图4，小船由A地向西北方向航行15海里到达 B地，小船的位移如何表示?(用1cm表示5海里)

(三)理性提升 3.向量的模

向量AB的大小——向量AB长度称为向量的模. 记作：|AB|. 强调：数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小; 向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的. 4.两个特殊的向量 (1) 零向量——长度为零的向量，记作0. (2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量. 5.向量间的关系

观察如图5，你认为向量之间有那些关系?

(1)平行向量——方向相同或相反的非零向量，记作a∥b∥c. 规定： 0与任一向量平行. (2)相等向量——长度相等且方向相同的向量， 记作ab. 规定：00. 注意： 1°零向量与零向量相等.

2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

思考：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系?这时它们是不是平行向量?

(3)共线向量——平行向量又叫做共线向量.

(四)拓展应用

例1.下列命题中，正确的是( ) A.|a|=|b|a=b

B.|a|=|b|且a∥ba=b C. a=ba∥b

D.a∥0|a|=0 例2.如图6，设O是正六边形ABCDEF的中心，

分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量. 思考：

(1)与向量OA长度相等的向量有多少个? (2)是否有与向量OA长度相等，方向相反的向量? (3)与向量OA共线的向量有哪些?

例3.如图7，在45的方格图中，有一个向量AB， 分别以图中的格点为起点和终点作向量. (1) 与向量AB相等的向量有多少个?

(2) 与向量AB长度相等的向量有多少个? 练习巩固：P77. 1～4

(五)归纳小结

1.描述一个向量有两个指标——模、方向. 2.平行向量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，与长度无关. 3.共线向量是指平行向量,与是否真的画在同一条直线上无关.

2 4.向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性.

第三篇：平面向量的坐标表示教案范文

平面向量共线的坐标表示

教学目的：

(1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算;

(3)会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入： 1.平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj

把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 2.平面向量的坐标运算 若a(x1,y1)，b(x2,y2)， 则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y). 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

二、讲解新课：

a∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

设a=(x1， y1) ，b=(x2， y2) 其中ba. x1x2由a=λb得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0

yy21探究：(1)消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0，∵b0∴x2， y2中至少有一个不为0 (2)充要条件不能写成

y1y2∵x1， x2有可能为0 x1x2(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b0)ab

x1y2x2y10

三、讲解范例：

例1已知a=(4，2)，b=(6， y)，且a∥b，求y. 例2已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.

例3设点P是线段P1P2上的一点， P

1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). (1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标; (2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

例4若向量a=(-1，x)与b=(-x， 2)共线且方向相同，求x

解：∵a=(-1，x)与b=(-x， 2)共线∴(-1)×2- x•(-x)=0 a∴x=±2∵与b方向相同∴x=2

例5已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗?直线AB与平行于直线CD吗?

解：∵AB=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，CD=(2-1，7-5)=(1，2) 又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2， 4)，2×4-2×60 ∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD

四、课堂练习：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=( ) A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为( )

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j， DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为( ) A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=. 5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为. 6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.

五、小结

第四篇：法向量在立体几何解题中的应用

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法向量在立体几何解题中的应用

作者：魏庆鼎

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.

空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.

4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量;则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.

(注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行;如两平面的法向量垂直，即两平面垂直)从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.

第五篇：平面几何中常见结论的向量证法

例1.证明直径所对的圆周角是直角.如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点.求证∠ACB=90°. 证明：设AOa,OCb,由已知得|a|=|b|, 则ACBC(ab)(ab)ab0, ∴AC⊥BC,即 ∠ACB=900.22B

例2.(任意三角形中的射影定理)：在三角形ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，

求证：b=a·cosC+c·cosA①

c=a·cosB+b·cosA② a

a=c·cosB+b·cosC③ A

证明：如图：设，，.

则 ,  (),,

 ||||cosA||||cosC||2,||cosA||cosC||,

 b=a·cosC+c·cosA .①

类似地可得c=a·cosB+b·cosA.②a=c·cosB+b·cosC.③

说明：此问题的证明方法较多，比喻可用正弦定理，也可以用余弦定理，还可以用直角三角 形中三角函数的定义来证明.

例3.(直角三角形中的射影定理)：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 求证：AC2=AD·AB①BC2=BD·AB ②证明：∵ - ,(1) . (2) 22图2 图3又∵∠ACB=90°，CD⊥AB  0,0,

2∴ 由(1),(2)得：(-)()()-=BCAC-|BA||AD|cos|BA||AD|.

即：AC2=AD·AB . ①类似地可得: BC2=BD·AB .②

想一想①：用向量方法证明勾股定理.

例4.已知PT是圆O的切线，PAB是圆的割线，求证：PT2=PA·PB.(圆幂定理) 证明：设圆O的半径为R，P是平面上任意一点，

过P引射线交圆O于A、B，为上的单位向量，

1,2分别表示

B

、的长度，则 1，2.1 P 图4 O

设M是PB上的一动点，||为x，则x.

∵ 点M在圆O上的充要条件是R2 , 即(x)2R2. ∴ x22(OPe)x|OP|2R20.(1)

当点M与A重合时，得到的长度1是方程(1)的根， 当点M与B重合时，得到P的长度也2是方程(1)的根. 由一元二次方程根与系数的关系知：12||2—R2.

当P在圆外时，过P引切线PT(T为切点),则由勾股定理易得：PT2||2—R2 ∴ PT212PAPB.

说明：换一个角度看：如果A与B重合，PA即切线，此时PA2也应等于||2—R2，从而得到圆幂定理;随即由勾股定理之逆便可得到：过切点的半径垂直于切线这一结论. 想一想②：你能否用例4证明相交弦及垂径定理.

例5.设P、Q、R分别是三角形ABC三边(异于顶点)上的点，若AR=xRB,BP=yPC,CQ=zQA,求证:AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：xyz=1. 证明:1°必要性:设AP、BQ、CR交于点G,∵ A、G、P三点共线，

∴ (1-)(1-) 又∵B、G、Q三点共线,



1y

(0<α<1). B

P

图

5C

z

∴ CG(1-)CBCQ(1-)CBCA(0<β<1).1z

另外可令:

rr()r(

=

11)r(()) 1x1x

xrxr

CACB. 1x1x

rxr

, 且1

1z1x1y1x

y1,z1,xr11,

111r

1

由平面向量基本定理知：1

z

由关于x的两个等式r(r2)0,r2,

x1 xyz=1.

1

2°充分性:设xyz=1 ,设AP与BQ交于G,连CG并延长交AB于R1, 又设AR1=x1R1B.

由必要性知x1yz=1,  x=x1 , R与R1重合. ∴AP、BQ、CR三线共点. 由1°、2°知命题成立.

想一想③：由例5的结论，你能否给出三角形的三中线、三内角的平分线都是交于一点的.例6.在锐角三角形P1P2P3内找一点P，使P1P+P2P+P2P的长度最短.

解：设在锐角三角形P1P2P3内有一点P使得：∠P1P P2=∠P3P P2=∠P3P P1=1200.

令：iii,i是单位向量,i是i的长度(i=1，2，3)易知1230，又设Q是任意一点，

P3

2图6

|QPi||QPPPi||QPii||i||QPii|≥i(QPii)，三式相加得：|QP1||QP2||QP3|(123)112233=123=|P1P|+|P2P|+|P2P|.

由此可知点P是使P1P+P2P+P2P的长度最短的点.

为了找到这样的点P，可在三角形P1P2P3外分别以P1P2与P2P3为边作两个正三角形P1P2A，P2P3B，再分别作正三角形P1P2A，P2P3B的外接圆，两圆除P2外的另一个交点即为所求的点P，这是因为∠P1P P2=∠P3P P2=120°. 【练习】 F

1.证明三角形ABC三边的中垂线交于一点.

2.如图：以AB、AC为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，D

M是BC的中点，求证：AM⊥EF.图7 【参考答案】

想一想①：设∠ACB=90.由()22因为 ∠ACB=90.所以 0.则可得 a+b=c.

22

22222

想一想②:当P在圆内时，由例4的结论知：12R2|OP|2易得相交弦定理;

当P是弦AB的中点时，12=PA2(或PB2)也易得结论成立.

想一想③:对于三中线易知x=y=z=1;对于三内角平分线,可利用内角平分线的性质得到

x.y.z=1.

【练习】

1. 证明：如图：设边BC、AC的中垂线交于点O，

则 OA=OB=OC，以OA、OB为邻边作平行四边形 OAFB，由向量加法的平行四边形法则知OFOAOB.

图8

又∵ ||||，∴四边形OAFB是菱形，则OF垂直平分AB.即边AB的中垂线也过点O.∴三角形ABC三边的中垂线交于一点.

2. 证明：∵ 1()()=1()

22=1()1[-||||cos(900BAC)||||cos(900BAC)]

=0 ,∴AM⊥EF.