平面几何中的向量方法

平面几何中的向量方法（精选十篇）

平面几何中的向量方法 篇1

热点一利用空间向量证明垂直关系

例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1,CD的中点.

(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面ADE.

分析:证明面面垂直通常有两种方法,一是几何方法:利用面面垂直的判断定理,转化为证明线面垂直、再转化为线线垂直的问题去证明;二是向量方法:证明两个平面的法向量互相垂直.

解:(1)建立如图1所示的空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A,(2,0,2),D,(0,0,2).设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1),则,,即2x1=0,2x1+2y1+z1=0.令y1=0,得n1=(0,1,-2).同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).因为n1·n2=0,所以平面AED⊥平面A1FD1.

(2)由于点M在直线AE上,设,可得M(2,2λ,λ),所以A1M=(0,2λ,λ-2).要使A1M⊥平面ADE,只要有A1M⊥AE,

所以A1E·AE=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0,解得.

故当时,A1M⊥平面ADE.

警示:平面的法向量是指向量所在直线与平面垂直,它在解决立体几何问题中有着非常重要的应用.一个平面的法向量有无穷多个,一般来说,我们只需求出其中较简洁的一个即可.求法向量的方法一般是用待定系数法,即设出平面法向量的坐标,然后根据其与平面内的两个不共线的向量都垂直,即数量积为0,建立方程组进行求解.

热点二利用空间向量求线面角

例2如图2,l、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,点C在l2上,AM=MB=MN.

(Ⅰ)证明AC⊥图2NB;

(Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

分析:直线与平面所成的角就是直线与其在平面内的射影所成的夹角,也可以是直线与平面的法向量所夹的锐角的余角,由此可建立空间直角坐标系来加以解决.

解:如图3,建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)因为MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,所以l1,⊥平面MNC,l2⊥平面ABN,l2平行于z轴.故可设C(0,1,m),于是,.而,所以AC⊥NB.

(Ⅱ)因为,,,所以.又已知∠ACB=60°,所以△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中,NB,可得,故C(0,1,).连结MC,作NH⊥MC于H,连结BH,则NH⊥平面ABC,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.设H(0,λ,λ)(λ>0),则,.由

,得,所以H(0,,),可得,.所以.警示:利用向量求直线与平面所成的角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,求线面角的问题,可以先找出角,再转化成线线角的问题加以求解,也可以找出平面的一个法向量,求出直线的方向向量与法向量所夹锐角,其余角就是所求的直线与平面所成的角.但要注意,直线与平面所成的夹角的范围是(0,],而向量与向量所成的夹角的范围是[0,π],所以要注意二者之间的联系与区别.热点三利用空间向量求二面角的平面角

警示:利用向量求直线与平面所成的角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,求线面角的问题,可以先找出角,再转化成线线角的问题加以求解,也可以找出平面的一个法向量,求出直线的方向向量与法向量所夹锐角,其余角就是所求的直线与平面所成的角.但要注意,直线与平面所成的夹角的范围是,而向量与向量所成的夹角的范围是[0,π],所以要注意二者之间的联系与区别.

热点三利用空间向量求二面角的平面角

例3如图4,已知ABCD是上、下底长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图5.

(Ⅰ)证明:AC⊥BO1;

(Ⅱ)求二面角O-AC-O1的余弦值.

分析:题干给出一个直二面角和一条对称轴OO1,易知OO1⊥OB1⊥OA,故有着明显的建系条件;另外给出梯形的边长、高,则各点坐标较易求得.用坐标法求解,可避开二面角的寻找、推理等困扰,只需先求面O1AC与面OAC的法向量,再用公式计算便可.第(Ⅰ)问的作用在于证明O1B⊥面OAC,也就找到了面的法向量.

面O1AC的法向量可用与n·O1C=0求得,只是解出x、y、z关系后,对z的取值要慎重,可先观察二面角的大小是锐角、直角,还是钝角.

解:(Ⅰ)证明:由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.故可以O为原点,OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图6所示),则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,1)、C(0,1,)、O1(0,1,),从而,.所以,所以AC⊥BO1.(Ⅱ)因为,所以BO1⊥OC.由(Ⅰ)AC⊥BO1,所以BO1⊥平面O1AC,是平面OAC的一个法向量.设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量.由,取,得.

设二面角O-AC-O1的大小为θ,由n与的方向分别指向二面角O-AC-O1的外部与内部,可知.于是,即二面角O-AC-O1的余弦值为.

向量在立体几何中的应用方法 篇2

摘要：高中数学教材进行了改革,增加了向量的内容,这为高中学生对立体几何知识的学习提供了一个代数化的方法。学生学习了空间向量的方法之后,可以采用他们比较熟悉的代数方法来进行立体几何的运算和证明;能够帮助学生更加牢固地掌握几何图形的性质;同时,可提高学生利用数学知识解决问题的能力以及丰富思维结构。

关键词：高中数学 向量 立体几何

高中数学的教材改革,把直线的方向向量和平面的法向量引入了教学。这一改革,为立体几何中的空间问题的解决,提供了非常实用和方便的解题工具。运用“形到形”的学习方法去完成综合推理立体几何习题,对大部分学生们来说不能轻松地掌握。向量的运算方法与代数的运算方法十分相似。学习了向量方法后,学生就可以使用其比较熟知的代数推理运算方法,来分析空间图形的问题。

一、空间向量在解立体几何问题中的优势

立体几何是一门研究空间几何图形的数学学科,它主要依据一些公理和概念,借助各种几何图形的不同变换,利用逻辑推理对空间图形的性质进行研究。在运用图形的不同变换对垂直、平行、距离、夹角等空间图形中的问题进行处理时,需要很强的技巧性,难度比较大,学生们很难找到准确的切入点。在学习立体几何时利用向量的方法会有十分显著的效果。

向量的知识在高中阶段有着十分重要的价值和地位,它在解决立体几何问题时具有其传统的几何知识以及方法无法替代的优势。在解决立体几何问题中遇到的很多具有较大难度的问题,运用向量的有关知识进行简单的公式变形,就可以轻松地解决。空间向量的知识为学习立体几何中遇到的使用传统的纯几何方法比较费时费力,同时有着很强的随机性的问题,提供了比较便捷简单的常用方法,可以大大地降低解题的复杂程度。这为高中学生对立体几何的学习注入了新的活力。

例如,如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.

(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求MN的长;

(2)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.

利用空间向量方法的解题过程为:

通过这道例题的`解题分析可以发现,使用空间向量的方法求角,能够避免根据定义求角的方法必须添加大量的辅助线,找到所求的角这一解题难点。利用空间向量的方法,只需建立规范的直角坐标系,设出几个对应的向量单位,然后直接去求两个向量的夹角就能简单地解决这个问题,把题目的难度大大的降低了。

二、教学中“空间向量”内容的教学优化

在高中“空间向量”这一部分教学中,最为实用和简单的工具,就是空间向量的坐计算,可以在教学中适当地补充些内容,让学生充分了解到空间向量坐标运算方法在解决立体几何问题中的作用。

(1)通过计算线线所在的两个向量所满足的线性关系来证明线线的平行关系。

(2)通过计算两条直线所在的两个向量的数量积为零来证明线线的垂直关系。

(3)通过计算出一条直线所在的向量与两条相交直线所在的平面的所在的向量的数量积为零,来证明直线与平面相垂直。

(4)计算一个平面的法向量。

(5)通过证明直线与平面的法向量相垂直,来证明出直线与平面相平行。

(6)通过证明出一个平面的法向量与另一个平面相垂直,来证明出平面与平面的平行。

(7)通过计算出两个平面的法向量其数量积为零,来证明平面与平面的垂直。

(8)计算出两条直线所在的向量形成的锐角的值,来计算出异面直线角的值。

(9)斜线与平面的法向量形成的锐角同斜线与平面所成的角度能够互余。

(10)在计算直线与平面的距离、平面到平面的距离时,都可以转化为求点到平面的距离的问题上来,运用向量的方法来解决。

(11)利用向量法计算异面直线之间的距离。

虽然在教学中补充这些结论和让学生能够熟练地应用会耗费一定的课时,但补充的结论能够让学生在处理立体几何问题迅速地发现空间向量解决题的共通性,快速简洁地处理问题起到明显的实际应用效果。空间向量可以把抽象的立体几何问题转变为代数问题,充分地运用数形结合的解题思想,把立体几何也全部融入到高中数学的综合运用之中。

三、向量方法在立体几何中的应用策略

学习向量知识的重要目标,是“着重培养学生运用向量这一代数方法去处理立体几何中的问题能力”,把立体几何题中复杂的逻辑推理转化成空间向量的代数运算。加强几何与代数之间的联系,实现立体几何问题解题的程序化、模式化,尽量减少添加辅助线,从而把解题难度降低。

使用空间向量方法来处理立体几何中的问题,首先,必须根据遇到的立体几何问题的情况,采用恰当的方式,把点、线、面等问题中涉及到的所有元素利用空间向量的方法表示出来,把几何图形和空间向量之间的联系建立起来。然后,利用空间向量的方法进行运算,证明出所有相对应的元素之间的关系(夹角和距离等问题)。最后,把运算的结果进行几何意义的解释,实现对立体图形问题的解决。

如果几何图形中有较多的垂直关系,同时建立空间直角坐标系比较容易时,应该建立空间直角坐标系,利用相应的坐标把向量表示出来。如果几何图形中缺少垂直关系或者很难在几何图形上建立空间直角坐标系,可根据已知条件利用三个不在同一个平面的向量作为基向量,把空间向量利用基向量表示出来,并根据条件计算出这三个向量之间数量积和模数的关系。

使用空间向量的方法解决空间角和距离问题时,可以不建立出空间直角坐标系。根据空间向量的基本定理,选取出不在同一个平面的三个向量当作基向量。同时,为了方便向量内积的计算,所设的三个基向量的模以及三个向量之间的数量积,已知条件必须给出或者可以根据所给条件计算出。

立体几何中的向量方法（第1课时） 篇3

1.教材分析

1.1教材的地位与作用

《立体几何中的向量方法》是数学《选修2–1》第三章第二节内容，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。本节课主要学习用向量表示点、线、面的位置以及线线、线面、面面的位置关系如何用向量来表示，这为接下来用向量的方法处理立体几何问题做了铺垫。

1.2 教学目标

依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：

知识与技能：理解点的位置向量、直线的方向向量与平面的法向量的概念，能用向量语言表述线线、线面、面面的位置关系。

过程与方法：通过概念的理解和应用，可以提高学生感知和梳理知识的能力，发展独立获取数学知识的能力。

情感、态度与价值观：通过本节课的学习，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生良好的学习习惯和思维品质。

1.3 教学重难点

重点：直线的方向向量和平面的法向量概念的理解；

难点：直线的方向向量和平面的法向量的应用；

2.教法学法分析

2.1 学情分析

本节课的教学对象是高二学生。通过数学《必修2》中的立体几何和数学《选修2–1》空间向量及其运算的学习，学生已具备了一定的空间想象能力和代数运算能力，很自然就过渡到二者综合运用的层次；但是由于学生数学思维能力有所欠缺，认知结构不太健全，学生仍会对向量和几何的综合运用存在一定的困难。

2.2 学法分析

通过逐步设问让学生动手实践、讨论、比较，抽象概括出概念，让学生体会特殊到一般的思维方法，发展学生的理性思维能力。

2.3 教法分析

通过分析教材和学生认知规律，创造性地使用教材，做到既重视教材，更重视学生，用启发引导法和自主探究法进行教学。

3.课堂实录

3.1创设情境，引入课题

问题情境：已知正方体 中，

（1）求证：直线

（2）求异面直线 所成角的余弦值。

（PPT投影）

教师：同学们，这是立体几何中比较常见的两个问题，你们会解吗？

（学生思考片刻后）

学生1：第一小题的解题思路：连接线段AC，通过证明 ，得到 .同理可得， ，从而得到结论。

学生2：第二小题的解题思路：把BD平移到 ， 为所求角且 是正三角形，容易得到结论。

教师：两位同学都回答得非常好，通过前面一节内容的学习，我们还能用其它方法来处理吗？

（学生开始七嘴八舌的提出自己的见解）

教师：对！我们还能用前面学习的空间向量的知识来处理，空间向量不仅可以求异面直线所成角，还能证明线面垂直，面面垂直等立体几何问题。

设计意图：从我们熟悉的空间几何体引入今天的课题，让学生有一种亲切感，也激发了学生的求知欲望。

3.2探究新知，形成概念

教师：阅读课本第102～103页内容，回答以下几个问题：

1.位置向量的定义。

2.直线的位置如何确定？

3.平面的位置如何确定？

4.法向量的定义。

（多媒体展示问题，学生带着问题阅读课本，阅读完后思考、讨论、回答，教师板书概念）

点的位置向量：在空间中，取一定点O作为基点，空间任一点P的位置可用向量 表示，故向量 为点P的位置向量。

直线的方向向量：直线 上取 ，那么对于直线 上任意一点P，存在实数t使得 。

平面的法向量：如果直线 ，取直线 的方向向量 ，则向量 叫做平面 的向量。

教师：我们还能从刚才的三个概念中提炼出三个结论：

1.法向量一定是非零向量；

2.一个平面的所有法向量都互相平行；

3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 。

设计意图：为了更好地理解概念，突出重点。

教师：经过刚才的学习，我们现在能用空间向量解决问题情境中的两个问题了吗？

（问题情境重现，引发学生思考）

学生3：可以用直线的方向向量来表示直线，平面的法向量来表示平面。但具体怎么做还不是很清楚。

教师：这位同学对所学知识掌握的很好，能现学现用。为了解决以上问题，我们先来思考以下两个问题：

（1）线线、线面、面面平行和垂直的位置关系如何用向量来表示？

（2）线线、线面、面面的夹角如何用向量来表示？

（学生认真思考，但一下子无从下手）

教师：我先以线面垂直为例，我们一起来探究。请同学们画出线面垂直的情况，同时标出直线的方向向量和平面的方向量。（请学生板演）

学生4：

教师：同学们，你们看这样画对吗？

学生5：可以的！但是还有三种种情况，这两个箭头可以都向上，也可以都向下，还可以一上一下或一下一上。

学生6：我觉得应该是两种情况：两个向量方向相同或相反。

教师：很好！向量与线段的不同在于它是既有大小又有方向的量。所以在画直线的方向向量和平面的方向量时要考虑到方向，但是我们在做题时还要考虑到题目的需要。两个向量的方向都向上或都向下是同一种情况，所以我们最终得到以下两种情况。

教师：那么我们根据图形可以得到什么结论？

（学生思考片刻后）

学生7：不管是第一种情况还是第二种情况，这两个向量都是共线的，所以 。

教师：总结得很好，这样我们就可以用直线的方向向量和平面的法向量来证明线面垂直。接下来请同学们仿照线面垂直的探究过程，来研究线线、线面、面面平行与垂直的其他情况。

学生经过讨论和作图研究后，得到以下结论：

设直线 l，m的方向向量分别为 ，平面 的方向量为 ，则

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

注意：这里线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。

教师：第一个问题我们已经解决了，下面我们来研究第二个问题。我们仍以其中一个为例，那我们先来解决我们最熟悉的问题——两条异面直线所成角。请同学们先来画出线面垂直的情况。

学生8：（上台板演）

教师：同学们觉得怎么样？（大部分同学点头表示赞同，有同学有异议）

学生9：直线所成的角是小的那个角，怎么会有两种情况呢？

教师：谁能来帮我们的学生9解决心中的疑问呢？

学生10：我觉得他有点混淆了，异面直线所成的角是唯一的，但两个方向向量所成角是有两种情况的。

教师：这位同学的回答得很好，前面同学的提问也有想象力。这就是我下面要问的问题：异面直线所成角与两个方向向量所成角之间有什么关系呢？

学生11：相等或互补。

教师：那么我们又能得到什么结论呢？

（也许受到刚才的激励，学生们思考的积极性明显高涨，很快就有了结果）

学生12：

相等时 ，互补时

教师：非常正确！我们也可以合到一起写成：

教师：剩下的线面和面面的夹角问题作为课后思考题，请同学们课后自行完成。

设计意图：在教师的启发引导下，学生自主探究、自由想象、合作交流的过程中，突破本节课的难点。体现了学生的主体地位和教师的主导作用。

3.3及时训练，巩固新知

例1：（PPT投影）判断下列线线、线面、面面的位置关系

（1）设 分别是直线 的方向向量，且

（2）设 分别是平面 的法向量，且

（3）设 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，且

（请三位同学板演，其余同学独立完成）

题目难度不大，所以同学们都做得非常好。

设计意图：三种不同的情况，三种不同的位置关系，不仅巩固了所学的知识而且让学生充分体会空间向量在解立体几何问题中的作用。同时也体现了“向量是躯体，运算时灵魂”这句话的真正含义。

4.总结反思，提高认识

教师：通过努力，我们会用向量的方法来解决一些立体几何问题，我们本节课主要探讨了哪些？

学生13：探讨了线线、线面、面面的平行与垂直问题以及异面直线所成角的问题。

平面几何中的向量方法 篇4

1. 向量方法在几何命题证明中的应用

用传统的综合推理法,借助图形的各种变换来解决空间几何命题,往往需较强的技巧,一旦思路受阻,则难以求证; 而利用向量法则有较好的效果.

例1证明: 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.

2. 向量方法在常用几何量计算中的应用

例2已知四面体ABCD的顶点坐标A( 2,3,1) ,B( 4,1,- 2) ,C( 6,3,7) ,D( - 5,4,8) ,求该四面体的体积.

分析直接用立体几何的方法求四面体的体积,需要首先计算出四面体其中的一个面的面积和顶点到该平面的距离,这样运算量相当大. 但利用三向量混合积的几何意义,就可以求空间四面体的体积. 方法直接运算过程简单.

解设所求体积为V,

3. 向量方法在动点轨迹求解中的应用

例3已知两个半径均为r的圆C1和圆C2外切于P点. 设圆C1不动,将圆C2沿着圆C1的圆周无滑动地滚动一周,这时圆C2上的点P也随圆C2的运动而运动,P点的轨迹叫心脏线,求该心脏线的方程.

分析求动点轨迹方程的方法是不唯一的. 如果直接求动点P轨迹的普通方程是难度比较大的,但采用向量法求动点P轨迹方程,容易入手且推导过程简单直接,极大降低了问题的难度.

4. 结 论

平面几何中的向量方法 篇5

1.教学目标

（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。

（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势。

2.教学重点/难点

【教学重点】：平面的法向量.【教学难点】：用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.3.教学用具

多媒体

4.标签

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

教学过程

课堂小结

例谈平面向量在解析几何中的应用 篇6

关键词：平面向量；解析几何；应用；数量积

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-174-02

一、平面向量在解析几何中的运用概述

平面向量是高中数学的重要组成部分，也是高考的考点，向量知识在数学界以及大学物理中都有着广泛的应用。平面向量不仅能够清晰地展示图形的特征，还具有数学运算的功能，它有助于学生进行数形结合的学习，使得几何图形的解题更加方便快捷。然而随着高考制度的不断改革以及知识的不断发展，将平面向量与几何图形相结合也成为高考的命题趋势，因此，这就要求学生必须学会用平面向量解几何题，不仅方便快捷，而且思路清晰，简单明了。这也说明了解题方法的重要性，在学习过程中要学会稳中求变，学会变通，正确运用向量知识可以减少运算量，使学习更加轻松快乐。

平面向量在解析几何中的运用，主要有平行、夹角、垂直、轨迹等几种问题，解决这几种问题的基本方法就是把几何问题和坐标、符号、数量联系起来，也就是引入平面向量，把推理演变成为运算。本文通过几个例题来展示平面向量在解析几何中的应用，希望可以加强对平面向量相关知识的理解。

三、结束语

平面向量在平面几何中的应用体现了重要的数学思想，即“数形结合”，可以增强学生解决问题与分析问题的能力，将平面几何与数学数量结合也从某种程度上体现了一定的灵活性，能够增强学生灵活处理问题的能力。通过以上的例题可以得出，合理的构造出向量之间的关系，利用向量的基本性质，灵活运用向量的充分必要条件，熟练掌握向量坐标之间的数量运算，利用垂直的性质解决平面几何中的平行、共线等等问题，通过运用数量积公式解决夹角、垂直以及轨迹等一系列几何问题。

参考文献：

[1] 余华安.例谈平面向量在解析几何问题中的应用[J].中小学数学（高中版），2008（Z1）.

[2] 周明勇.例谈平面向量在解析几何中的应用[J].郧阳师范高等专科学校学报，2006（06）.

[3] 储一平.例谈向量的数量积在解析几何中的应用[J].高中数学教与学，2005（03）.

用空间向量方法解立体几何题 篇7

而空间向量的学习对一些空间几何难题的解答有很大的帮助, 使题目向简单化方向转化。下面举几个例子, 可以发现用空间向量知识解题的好处是显而易见的。

例1:三棱锥三条侧棱两两垂直, 底面上一点到三个侧面的距离分别为2, 3, 6cm则这个点到棱锥顶点的距离是多少?

解:若以顶点为坐标原点, 三条侧棱为空间直角系的三个坐标轴, 三个侧面就成了三个坐标面。该点到侧面的距离就成了到三个坐标平面的距离, 故可以认为该点的坐标 (2, 3, 6) , 问题转化到点到原点的距离, 所以所求距离。

例2:如图, 在60°二面角的棱上有两个点A、B, AC、BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段, 已知AB=4cm, AC=6cm, BD=8cm, 求CD的长。

例3:已知平行四面体ABCD-A1B1C1D1, 底面ABCD是正方形, ∠BAA1=∠DAA1=60°, 求棱AA1与底面ABCD所成的角。

解:设棱AA1与底面ABCD所成的角为θ

设底面正方形边长为a,

例4:已知正方体ABCD-A'B'C'D', 如图所示, 求异面直线BD, 和CB, 所成的角。

解:设正方体的棱长为1,

∴BD'和CB'的夹角为90°。

例5:如图, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB=4, 点E在C1C上且C1E=3EC。 (1) 证明:A1C⊥平面BED; (2) 求二面角A1-DE-B的大小。

如此用向量的方法来解题, 理应大力提倡。但对于向量方法, 它更多的是借用代数运算, 对于发展空间想象能力和立体几何中思维灵活性的训练有一定削落。

因此, 过分强调任何一种方法都不恰当。我们因应分清两种方法各自的作用与功能。它们可以并存, 也可以互相促进和发展, 更重要的是可以取长补短。

摘要：空间向量与立体几何是数学学科的两个重要分支, 它们都承担着锻炼学生思维的作用。在解几何难题时, 一是用传统的几何方法求解, 二是利用空间向量方法。

平面几何中的向量方法 篇8

(1)a与b的夹角;

(2)a-b与a+b的夹角.

解析本题涉及平面向量中关于数量积和运算律的有关知识.

解(1)设a与b的夹角为α.

又因为|a|=1,

(2)设a-b与a+b的夹角为β.

解析本题主要考查向量的线性运算性质以及其几何意义.

解如图所示,过点A作AD⊥BC,垂足为D点.

参考文献

[1]齐民友.中学数学教学中的向量[J].数学通报,2007,46(4).

[2]曹一鸣.现代数学与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社,2010.

速求立体几何中的平面法向量 篇9

一、观察验证法

先观察所涉及的平面是否有与之相交的直线, 再验证该直线垂直于平面内的两条相交直线, 写出法向量.

【例1】 (2005年全国卷Ⅰ第20题) 如图1, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形, PD⊥底面ABCD, AD=PD, E、F分别为CD、PB的中点.

(Ⅰ ) 求证:EF⊥平面PAB.

(Ⅱ) 设 AB=21/2BC, 求AC与平面AEF所成的角的大小.

分析: (Ⅰ) 略; (Ⅱ) 如图2, 建立空间 直角坐标 系, 由 (Ⅰ) 知PB⊥EF, 观察发现PB可能垂直AF, 易证AB=AP, 中线AF⊥PB, 所以→PB为平面AEF的一个法向量.

二、交点法

1.若平面α与三条 坐标轴的交点分别为A (a, 0, 0) , B (0, b, 0) , C (0, 0, c) (a≠0, b≠0, c≠0) , 则平面α的法向量为n=λ (1/a, 1/b, 1/c) (λ≠0) .

【例2】 (2006年全国卷Ⅰ第19题) 如图3, l1、l2是互相垂直的 异面直线, MN是它们的公 垂线段, 点A、B在l1上, C在l2上, AM =MB = MN.

(Ⅰ) 证明:AC⊥NB;

(Ⅱ ) 若∠ACB = 60°, 求NB与平面ABC所成角的余弦值.

分析:如图4, 建立空间直角坐标系.

设AN =BN =1, 则AC=CB = AB =21/2, CN =1, 平面ABC与三条坐标轴的交点 分别为A (1, 0, 0) , B (0, 1, 0) , C (0, 0, 1) .所以平面ABC的一个法 向量为n= (1, 1, 1) .

2.若平面α与 某坐标轴 无交点或经过某坐标轴, 则该平面法向量的对应坐标为0.

(1) 若平面α⊥x轴, 则平面α的一个法向量n= (1, 0, 0) ;

类似可得:

(2) 若平面α⊥y轴, 则平面α的一个法向量n= (0, 1, 0) ;

(3) 若平面α⊥z轴, 则平面α的一个法向量n= (0, 0, 1) .

【例3】 (2007年全国卷Ⅰ第19题) 如图5, 四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC⊥底面ABCD, 已知∠ABC=45°, BC=21/22, SA=SB=31/2.

(Ⅰ) 证明:SA⊥BC;

(Ⅱ) 求直线SD与平面SBC所成角的大小.

分析:如图6, 建立空间直角坐标系O-xyz, 平面SBC的一个法 向量为n= (1, 0, 0) .

【例4】 (2008年全国卷Ⅰ第18题) 如图7的四棱锥A -BCDE中, 底面BCDE为矩形, 侧面ABC⊥底面BCDE, BC=2, CD=槡2, AB=AC.

(Ⅰ) 证明:AD⊥CE;

(Ⅱ) 设侧面ABC为等边三角形, 求二面角C-AD-E的大小.

分析:如图8, 建立空间直角坐标系, 面ACD与x轴的交点为C (1, 0, 0) , 与y轴无交点, 与z轴的交点 为A (0, 0, 31/2) , 面ACD的法向量, 取λ=31/2, 得n= (31/2, 0, 1) .

同理, 平面ADE的法向量

【例4】 (2012全国卷大纲版第18题) 如图9, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为菱形, PA⊥底面ABCD, AC=21/22, PA=2, E是PC上的一点, PE=2EC.

(Ⅰ ) 证明:PC⊥平面BED;

(Ⅱ) 设二面角A-PBC为90°, 求PD与平面PBC所成角的大小.

分析:如图10, 建立空间直角坐标系,

设|OB|=a (a>0) ,

平面PAB的一个法 向量) , 平面PBC的一个法向量

所以

取平面PBC的一个法向量图10

三、巧设参数法

1.若平面只经过 (或平行) x轴, 则平面α的一法向量可设为n= (0, 1, c) 或n= (0, b, 1) , 再用数量积可求c或b.类似得到平面只经过 (或平行) y轴、z轴时, 平面α的法向量.

2.若平面α与两条坐标轴的交点分别为A (a, 0, 0) , B (0, b, 0) (a≠0, b≠0) , 则平面α的一个法向量为n=ab (1/a, 1/b, z/ab) = (b, a, z) .

【例5】 (2010全国卷Ⅰ第20题) 如图11, 四棱锥S- ABCD中, SD⊥底面ABCD, AB∥DC, AD⊥DC, AB=AD=1, DC=SD=2, E为棱SB上的一点, 平面EDC⊥平面SBC .

(Ⅰ) 证明:SE=2EB;

(Ⅱ) 求二面角A-DEC的大小 .

分析:如图12, 建立空间直角坐标系.

(Ⅰ) A (1, 0, 0) , B (1, 1, 0) , C (0, 2, 0) , S (0, 0, 2) , 设平面SBC的法向量 为n= (a, b, c) , 由n⊥SC, n⊥BC, 得n·SC=0, n·BC=0, 故2b-2c=0, -a+b=0, 令a=1, 则b=1, c=1, n= (1, 1, 1) .又设SE=λEB (λ>0) , 则) .设平面CDE的法向量t= (x, y, z) , 由.令x=2, 则t= (2, 0, -λ) , 由平面DEC⊥平面SBC, 得m⊥n, m·n=0, 2-λ=0, ∴λ=2, ∴SE=2EB, t= (2, 0, -2) .

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得, 平面DEC的一个法向量为n= (1, 0, -1) .

设平面ADE的一个法 向量为m = (0, 1, c) , m⊥DE, m·DE=0,

又DE= (2/3, 2/3, 2/3) , ∴c=-1, m= (0, 1, -1) , 法向量求出, 问题得以解决.

向量在几何中的应用 篇10

1. 平面向量在平面几何中的应用

例如：在平行四边形ABCD中，EF在对角线BD上，并且BE=FD，求证四边形AECF是平行四边形。

在初中学习平面几何时，大家可能证明过这道题，那时的证明要用到平行四边形的性质和三角形全等的判定定理。这里用向量证明，仅仅用到向量加法运算及交换律，比平面几何的“从一个图形的一个性质推出另一个性质”简单多了，在这个例题中，我们还要进一步总结用向量解决平面几何问题的步骤：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转换为向量问题;

(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系;

(3)把运算结果转化为几何关系。

本题中要想证l四边形AECF为平行四边形，只需证明向量AE与向量FC相等即可，而题中给定我们四边形ABCD为平行四边形，对角线BD上，有BE=FD，我们可转化为向量BE与向量FD相等，想到用基底表示向量AE和向量FC。当通过向量加法运算可交换律得到向量AE=向量FC后，我们可以推出AE、FC边平行且相等。因此，四边形AECF是平行四边行。

2. 空间向量在立体几何中的应用

高中立体几何历来是学生学习道路上的“拦路虎”，因为它需要学生具有较强的空间想象力、逻辑思维能力和准确的数学语言表达能力。新课标中，空间向量的引入降低了高强度的逻辑思维量，避开了构造空间辅助线的难度，将空间元素的位置关系转化为数量关系，将艰涩繁杂的逻辑证明转化为数值运算，使立体几何代数化，更好地培养了学生数形结合的能力。而向量法中的空间直角坐标系法，在解决立体几何问题中独辟蹊径，尤为重要。

例如：如图1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1、A1B1的中点，求BC1和面EFBD所成的角。

解：如图1，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体棱长为2，则坐标为：

令x=-2，得，设θ为BC1和面EFBD所成的角，则

传统的求空间角的方法主要是找到或作出所求的夹角，然后在所作的三角形中进行计算。一般来说问题的作图会有一定难度，而且计算学生也不易掌握，而利用向量的内积运算公式，把夹角的计算转化为求两个向量的长度和内积，只需通过简单的运算问题就得以顺利解决问题。

通过空间直角坐标系，把几何问题转化为简单的代数计算，由于学生对于代数运算相对较熟悉，因此用向量的方法进行计算或证明就变得更简便。例如：利用平面的法向量，通过法向量的垂直说明两平面的垂直，避免了传统方法造成逻辑推理上的不便和由于辅助线的添加造成图形的复杂化等问题。