下学期 5.6平面向量的数量积及运算律

下学期 5.6平面向量的数量积及运算律（精选5篇）

篇1：下学期 5.6平面向量的数量积及运算律

下学期 5.6平面向量的数量积及运算律1

（第一课时）

一、教学目标

1．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；

2．掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；

3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.

二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用

教学难点 平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解．

三、教学具准备

直尺，投影仪

四、教学过程

1．设置情境

师：我们学过功的概念：即一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一个什么角度？

表示力 的方向与位移 的方向的夹角．

我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量 、 ，来规定 的含义。

2．探索研究

（l）已知两个非零向量 和 ，在平面上任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角．你能指出下列图中两向量的夹角吗？

① 与 的夹角为 ，② 与 的夹角为 ，③ 与 的夹角是 ，④ 与 的夹角是 ．

（2）下面给出数量积定义：

师：（板书）已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ，叫做向量 与 的数量积或（内积）记作 即

并规定

师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别．

生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量．

师：你能从图中作出 的几何图形吗？ 表示的几何意义是什么？

生：如图，过 的终点 作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得：

所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影．

师：因此我们得到 的几何意义：向量 与 的`数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积．

注意：1°投影也是一个数量，不是向量。

2°当q为锐角时投影为正值；

当q为钝角时投影为负值；

当q为直角时投影为0；

当q = 0°时投影为 |b|；

当q = 180°时投影为 -|b|。

向量的数量积的几何意义：

数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。

（3）下面讨论数量积的性质：

（每写一条让学生动手证一条）设 ， 都是非零向量， 是与 的方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则

①

②

③当 与 同向时， ，当 与 反向时， 。

特别地

④

⑤

3．演练反馈（投影）

（通过练习熟练掌握性质）

判断下列各题是否正确

（1）若 ，则对任意向量 ，有    （    ）

（2）若 ，则对任意非零量 ，有 （    ）

（3）若 ，且 ，则           （    ）

（4）若 ，则 或             （    ）

（5）对任意向量 有                  （    ）

（6）若 ，且 ，则          （   ）

参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×．

4．总结提炼

（l）向量的数量的物理模型是力的做功．

（2） 的结果是个实数（标量）

（3）利用 ，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。

（4）二向量夹角范围 ．

（5）五条属性要掌握．

五、板书设计

课题

1．“功”的抽象

2．数量积的定义

3．（5）条性质

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4．演练反馈

5．总结提炼

篇2：下学期 5.6平面向量的数量积及运算律

新疆石河子第一中学曹丽梅

一、教学内容的本质：

本教案是人教版高中数学第一册（下）第五章平面向量的第六节内容，整个课题按照课程标准分两个课时，这是第一课时的教案。

平面向量数量积第一课时的教学，通常要求形成数量积的概念，得出数量积运算的公式，并把培养学生的探究精神和应用意识的目标，有机地融入知识学习和技能形成的过程之中。平面向量数量积是平面向量的重点内容之一，也是难点之一，这一节主要介绍两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数的乘法有区别，同时这一节与下一节平面向量的数量积的坐标表示有着紧密联系。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。通过对这一节的学习，既可以让学生掌握平面向量的数量积，几何意义，重要性质及运算律，又可使学生了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度，和垂直问题，而且为平面向量的数量积的坐标表示的学习做了充分准备，对后面正，余弦定理的证明起到至关重要的作用，因此本节课的教学内容起着承前启后的作用。

根据“平面向量的数量积及运算律”在高中数学中的地位与作用，并且考虑到学生已有的认知结构心理特征，我认为本节课的教学目标应以人为本注重对学生自主能力的培养，启发引导学生发现问题，观察问题，进而得以解决问题，在这一过程中希望能充分调动学生的积极性，不断激发学生学数学的兴趣。

二、教学内容的应用及渗透

平面向量作为一种工具，重在应用，而且今后用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题；而平面向量的数量积作为一种特殊的运算也有它不可替代的作用，如：求向量的模长，夹角，推导正、余弦定理等。

由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，众所周知，物理与数学是密不可分的，而向量在物理中的应用比比皆是，举不胜举，反过来物理又可为某些数学知识作有效的解释。比如：本课时的引入就是以物体在力的作用下所做的功为模型，事实上这也就是平面向量数量积的物理意义，这样可以更贴近生活，使学生更容易理解平面向量数量积的概念，符合学生的认知习惯。同时解析几何也往往将向量作为有力的解题工具。

三、教学分析

《数学课程标准》中强调：“数学课程要实现：人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”同时，她倡导的“关注过程”“强调本质”“体现数学的文化价值”“发展数学的应用意识”等都向我们昭示出高中数学课程的价值取向。

为使《数学课程标准》得以顺利实施，教师理应不断更新教学观念，努力成为数学学习活动的组织者、引导者、合作者。通过精心设计、实践与反思，不断改进教学方法和教学手段„„以优化课堂教学，提高课堂教学的效率。课程设计必须从学生的角度出发，要与学生的经历和经验相联系，关注学生的体验、感悟和实践过程。

基于以上认识，对于“平面向量数量积及运算律”引入，我进行了这样的教学设计： 首先演示一个外力作功的实验：W=|F| |S|cosθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。

其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。

结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，学生容易忽略；书写中符号“”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。

最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。

四、教法及教学反思

教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。同时，在教学中要注意引导学生不断增强自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他们成为学习的主人。而贯彻数形结合思想是克服难点的有效举措．通过例题、练习的分析讲评和学生积极主动的解题实践，运用知识解决问题的能力将得到提高。由于课堂教学准备的较充分，基本能达到预定目标。

篇3：平面向量数量积的运算

一、定义法

例1: (2005湖南) 已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点, 且

解析：易知的模即为圆的半径1，而根据直线与圆相交的性质，可以得到两向量之间的夹角为120°，因此

解析：尽管该题目的解法较多，但是从定义入手还是比较直观明朗的：

最后，三者相加为-25.需要提醒学生的是本题中各个向量之间的夹角，一定要平移到“共起点”再运算.

小结：用定义来计算平面向量的数量积，思维较为单一，目标十分明确，该类题目的关键是要明确两个向量各自的模跟两者夹角的大小.但是，参照近几年全国各地的高考试题，很多考查数量积的题目，其涉及的模和夹角并不明朗.因此，处理平面向量数量积的另一个重要手段便呼之欲出.

二、分解转化法

所谓分解转化法，即在具体问题中，根据原有图形对所求问题中涉及的向量进行分解，化为用一组基底表示的向量处理.如果能合理地选择基底，该方法便能大大减少运算量，达到事半功倍之效果.

但是，笔者在日常的教学过程中发现很多学生对分解转化较为生疏，尤其在基底的选择上存在着很大的困惑.下面就近几年来各地模考卷及高考试题中出现的数量积问题作简要分析.

例3：在平行四边形ABCD中，已知AB=2, AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，则

例4：如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C, D分别在线段OA, OB上，且OC=BD.若OA=1，∠AOB=120°，则MB, C·MB, D的取值范围是___.

例5： (2008年苏州市一模)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A, B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知点E (3, 0)，设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求的取值范围.

解析：(1)略，椭圆方程为

小结：该方法的实质就是化归思想的体现.根据上述几例不难发现，基底的选择往往与题目中的已知条件有着密切的联系.因此处理该类问题时，可以根据向量加法及数乘等知识，将所求数量积中的向量跟已知量(通常是某些图形的边长)联系起来，再通过一系列展开化简，问题便能迎刃而解.

三、解析法

解析法是基于向量的坐标表示、通过建立合适的直角坐标系来求数量积的方法.由于该方法不用太多转化，因此很多学生在解决平面向量数量积的时候比较倾向于这一方法.

例7：在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M、N分别是AB、BC的中点，点P是△ABC(包括边界)内任一点，求的范围.

解析：虽然易求得与MQQP的夹角不易求得2，由于△ABC是等腰直角三角形，故可建立平面直角坐标系，将点A, B, C, M, N用坐标表示即可.

具体如下：以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则C (0, 0), A (1, 0), B (0, 1) ,

由线性规划的知识可得的范围为

小结：坐标法体现了数与形的相互转化和密切结合的思想，在解决向量问题的时候有着广泛的应用，但此类方法也有一定的局限性，确切地说只适合于图形背景较容易建立直角坐标系(如直角三角形、等腰三角形、圆、扇形等)的题目.否则，不仅仅会带来计算上的麻烦，甚至可能会走进运算的死胡同.这一点应引起广大考生的重视.

篇4：12022-向量数量积的运算律

制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：2012-5-8编号：12022 学习目标：

1、掌握平面向量数量积的运算律及其运算；

2、通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习方法；

3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律及其应用.学习难点：向量数量积分配律的证明.重点知识回顾：

1、两个向量的夹角的范围是：；

2、向量在轴上的正射影

正射影的数量为；



3、向量的数量积（内积）：a·b=；

4、两个向量的数量积的性质：

（1）ab；

（2）aaa

（3）cos=；

向量数量积的运算律

1（）abba;

(2)(

(3)(aa)ba(b)(ab)ab;b)cacbc平面向量数量积的常用公式

(1)(a

2(2)(ab)(a

证明：（1）

（2）

b)a2abbb)ab22

典例剖析：

例

1、已知a=6，b=4，a与b的夹角为600，求：（1）b在a方向上的投影；

（2）a在b方向上的投影；

（3）a 2ba3b

例02、已知a与b的夹角为120，a=2，b=3，求：（）ab；（2）a

b；（3）（2a

1（4

5 b）（a3b）

1,a与b夹角为120，问t取何值0

t

例

a3、已知=3，b=4，（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量akb与akb 互相垂直？

变式：已知a=1, b=2, a与ab垂直.求a与b的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂直.例

04、已知a=2，b=4，a,b120，求a与ab的夹角.课堂小结：

跟踪练习：

1、下列运算不正确的是（）

A.abcabcB.abcacbc

C.mabmambD.abcabc

2、设e、e，则2e

12是两个单位向量，它们的夹角为6001e23e12e2（A.99

2B.2C.8D.83、已知a7, b7，ab7，则a与b的夹角为（）；

4、已知：向量a与b的夹角为1200，且a4，b2，求：

篇5：下学期 5.6平面向量的数量积及运算律

1. 引出问题

( 2014年江苏高考第12题) 如图, 在平行四边形ABCD中, 已知AB = 8, AD = 5的值是 .

有的学生拿到本题时就想到cos∠BAD, 虽然知道AB = 8, AD = 5, 但不会求cos∠BAD, 就做不下去了. 这是对于向量的数量积运算的常用方法不是很熟练的原因. 笔者根据自己的教学经验, 总结归纳出向量的数量积运算问题的常规方法有三种: ( 1) 几何法: 用公式θ; ( 2) 坐标运算法: 设; ( 3) 利用平面向量基本定理, 找一组基底, 转化为基底的数量积来计算.

2. 解决高考题

熟悉以上的方法以后, 只要根据本题的特点选择合适的方法. 学生在考试中做了一小部分选择的是几何法, 但因为求不出cos∠BAD, 只好放弃. 我们根据题目条件可以知道, 平行四边形的四条边是知道的, 只需求出一个内角的余弦值即可, 而且知道, 因此可以根据余弦定理找出关系, 即: 在△ADP中, AP可以用cos∠D来表示, 在△BCP中, BP可以用cos∠C来表示, 又cos∠D与cos∠C互为相反数, 因此AP, BP都可以用cos∠C表示, 由, 只要将用cos∠C表示, 就可以求出cos∠C, 即cos∠BAD, 继续学生的做法, 得到解法一如下:

根据平面向量基本定理, 本题还可以选择一组基底来表示该平面内的任一向量.

解法二如下:

这种解法关键在于选取哪两个向量为基底, 根据题目中已知的两条边长AB = 8, AD = 5, 选为基底最为合适, 如果本题改为已知AP, BP的长度, 可选择为基底, 可以将本题进行适当变题如下:

3. 高考题延伸拓展

变题1: 如图, 在平行四边形ABCD中, 已知AP = 5, BP =8, , 则

解答如下:

变题2: 如图, 在平行四边形ABCD中, 已知AB = 8, AD = 5, ∠DAB =60°, 则

分析: 本题中的模及其他们的夹角都知道, 只要选择作为基底, 则该平面的任意两个向量的数量积都能求出来. 所以本题解答如下:

通过以上几道题目的分析, 向量的数量积运算的三种常规方法在选择时可归纳为: 如果已知向量的模和夹角, 用公式法; 如果可以建立适当的坐标系, 写出各点的坐标, 可以选择坐标法; 如果可以选择适当的基底表示所求向量, 可以通过转化用基底的数量积运算来处理. 在遇到平面向量的数量积运算时, 要对常规方法非常熟悉并能够灵活运用, 才能以不变应万变.

摘要：向量的数量积在高考中是比较重要的内容, 有的学生拿到这类题目时不能很快地找到解决的方法, 笔者根据自己的教学经验, 以2014年江苏省高考题第12题为例, 总结归纳出向量的数量积的处理方法与选择策略.