2次求导证明不等式

2次求导证明不等式（精选12篇）

篇1：2次求导证明不等式

北师大版八年级数学下2014-3-1

5一．选择题

1．已知ab，下列不等式中错误的是（）

A．azbzB．acbcC．2a2bD．4a4b2、不等式x5的解集是（）

355D．x 33A．x15B．x15C．x

3、把不等式组 x2 的解集表示在数轴上，正确的是（）x

1A、B、C、D、4、已知三角形的两边长分别是3、5，则第三边a的取值范围是（）

A、2≤a≤ 8B、2a8C、a2D、a85、“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是()

A．2x－3≤8;B．2x－3≥8;C．2x－3＜8;D．2x－3＞86、不等式2x13x3的正整数解的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2x1

37、的解集是（）x10

A x2Bx1C1x2D无解

8、无论x取什么数，下列不等式总成立的是（）

A.x+5＞0B.x+5＜0C.x2＜0D.x2≥09、在平面直角坐标系内，点P（m3，m5）在第四象限，则m的取值范围是（）

A、5m3B、3m5C、3m5D、5m

3x

410、不等式组的解集是x4，那么m的取值范围是（）xm

A．m4B．m4C．m4D．m

4二．填空题

11、用适当的符号表示：m的2倍与n的差是非正数：

12、已知a、b两个实数在数轴上的对应点如下图所示：请你用“”或“”完成填空：

（1）ab ；（2）

；（3）ab0；

13、一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y<0时，x的取值

范围是当y 3时，x的取值范围是

14、用“＜”、“＞”号填空：

如果x＜y，则3x－1________3y－1；

如果a＞b，则1－a________1－b．

15、已知关于x的不等式(1a)x2的解集为x

三、解答题

16、解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来

（1）3x294x（2）

x103（3）12x53（4）xx13213题图 2，则a的取值范围是_____ 1axx1≤1；

32-2-

17、已知y12x3,y2x3当x取何值时，（1）y1y2,(2)y1y218、小明准备用21元钱买笔和笔记本，已知每枝笔3元，每个笔记本2.2元，他买了2个笔记本，请你帮她算一算，他还可能买几枝笔？

19．已知如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，DC＝6求BD的长。

图

520、有一箱苹果分给若干个小朋友，如果每人分5个，则还剩12个，如果每个人分8个，则有一个小朋友分不到8个，求这箱苹果的个数与小朋友的人数。

21、当k满足条件__________时，不等式（k-4）x<4-k的解集为x>-1。

22、.已知x关于的不等式组无解,52x1,则a的取值范围是__xa0.23.一次函数y=(3-m)x+m的图像经过第一，二，四象限，则m应为_____.24.若不等式2x<4的解集都能使关于x的一次不等式（a-1）x

25、一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，且这个两位数大于30小于42。则这个两位数是。

26、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．

27、如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

2y53yt

27、关于y的不等式组yty7的整数解是3,2,1,0,1，求参数t的取值范围..36

228、某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共3500辆，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车的保管费是每辆0.3元。

（1）若设一般车辆停放的数为x，总保管费收入为y，写出y与x 的关系式

（2）若估计前来停放的3500辆自行车，变速车的数量不少于20%，但不大于40%，求保管站星期日保管费收入总数的范围。

篇2：2次求导证明不等式

1.不等式:x1

x40的解集为_________________.2.不等式

x12x21的解集是_________________.3.不等式2x1

1

的解集为_________________.4.已知函数f(x)x2,x0

x2,x0

则不等式f(x)x2的解集为_________________.5．关于x的不等式x－m

x＋1<0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是________________.6.已知关于的不等式ax1x10的解集是(,1)(1,).则a________________.7．若函数y＝kx－6kx＋k＋8的定义域为R，则k的取值范围是_________________.8．若关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是 ________________.9.当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则的取值范围是________________.10．已知不等式①x2－4x＋3<0和②x2－6x＋8<0及③2x2－9x＋m<0，若同时满足①②的x也满足 ③，则m的取值范围是________________.11．已知不等式ax2

＋bx＋c>0的解集为{x|2

＋bx＋a<0的解集为____________．

12．已知关于x的不等式ax－5

x－a的解集为M.若3∈M且5M，求实数a的取值范围

________________.13．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>012

m＋n

________________.14．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．

15．(1)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－30恒成立，求a的取值范围．

16.设a,b,c均为正数,且abc1,证明:(1)abbcac1a2b2c2

篇3：谈数列与高次不等式的证明

谈数列与高次不等式的证明

作者：蔡汉书

来源：《读写算》2012年第95期

关于高次不等式的证明，除了常用的数学归纳法之外，还有利用均值不等式，利用二项式定理，利用等比数列求和公式等方法.本文就以上方法以外再介绍一种新的不等式的证明方法--构造单调数列法.例1 已知，且，求证 ：

篇4：2.3：不等式的证明比较法

【知识要点】

1．作差比较法：

ab0ab

理论依据：ab0ab

ab0ab

证明步骤：（1）作差；（2）变形；（3）判断。

1．作商比较法：

aba

b

a

b

a

b11 1理论依据：当a,bR时，abab

证明步骤：（1）判断（判断能否作商）；（2）作商；（3）变形；（4）判断。

【基础训练】

1． 已知a,b(0,)，设A

12a1

2b,B

2ab，则A、B的大小关系为______________。

2． 已知a,b

是两个不相等的正数，M

为______________。

3． 若x³

ab2N，则M与N的大小关系a+b2的大小关系为______________。4．若a>0,b>0，则ab与(ab)

【精选例题】 的大小关系为____________。

例1． 已知a,bR，求证：a2b2c2abbcac。

解法指导：对于二次型的不等式的证明，我们可考虑“作差法、配方法、判别式”。方法一：2(a2b2c2)2(abbcac)abaccb0 所以a2b2c2abbcac。22

2a2bc22abbcaca

22(bc)abcbc222bcbc22bcbc方法二：a22

bc3(bc)a02422

所以a2b2c2abbcac。

方法三：a2b2c2abbcaca2(bc)ab2c2bc

D=(b+c)-4(b+c-bc)0

所以a2b2c2abbcac0，所以a2b2c2abbcac。思考题：已知a,bR，求证：a2b21abab。方法一：作差整理成关于a的二次式，再配方。方法二：作差整理成关于a的二次式，再用证明。

例2．（2000年上海春季高考题）设函数f(x)|lgx|，若0ab且f(a)f(b)，证明：ab1。

解法指导:利用等价命题证明。

证明：f(a)>f(b)?|lga||lgb|?|lga|2|lgb|2?lg2a

?(lga

lgb)(lga-lgb)>0圩lg(ab)lg

ab

<1，所以lg

abab>0

lgb>0，因为0ab，所以0<

<0，所以lg(ab)<0，即得ab<1。

例3．某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦a元/kg，二等小麦b元/kg(ba)。现有一等品小麦xkg，二等品小麦ykg。若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？ 解：平均价格为

ab2

元/kg4。如以此价格统一收购，则收购费用为

ab2

(xy)

元；

而原定方案收购费用为（axby）元。因为(axby)

ab2

(xy)

(ab)(xy)。

又因为ba，所以ab0，所以

（1）若xy，则收购站得利；（2）当xy时，两种方案费用一样；（3）当xy时，则收购站吃亏。

例4．已知函数f(x)logax(a0,a1,xR)，如x1,x2R，判断[f(x1)f(x2)]与

f(x1x2

212)的大小并加以证明。

x1x2

2x1x2

2)logaloga

x1x2

解：[f(x1)f(x2)]—f(=

logax1logax2loga

1因为x1,x2

R，所以

x1x2

x1x2时取等号。

（1）当a1时，12

[f(x1)f(x2)]f(1

x1x2

22)；)。

（2）当0a1时，[f(x1)f(x2)]f（x1x2

【能力训练】

一、选择题： 1．已知a>0,a?1,P（）

（A）P>Q（B）Pa+b”的（）

（A）充分条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既不充分又不必要条件

3．现给出下列三个不等式：

(1)a+1>2a;(2)a+b>2(a-b-

2loga(a-a+1),Q=loga(a-a+1)，则

P与Q的大小关系为

32);(3)(a+b)(c+d)>(ac+bd)，其中恒成立的不等式共有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

4.设复数z1,z2且M=z1z2+z1z2,N=z1z1+z2z2,则M、N的大小关系为（）（A）M³N（B）M>N（C）M£N（D）不能比较大小

二、填空题： 5．若a>0,a刮1,m,n

骣

N

*，则1+am+n_________am+an（比较大小）。

p÷

6．当xÎç。0,÷时，1-cosx________sinx（比较大小）çç桫2÷

7．设x?R+,P

2+

2x-x,Q=(sinx+cosx)，则P、Q之间的大小关系为________。

8．设xÎR，则1+2x4______2x3+x2（比较大小）。

三、解答题： 9．设a,b,c?R+,ab

bc+ac=

1，证明：a+b+c。

10．设a>0,b>0,证明下列不等式。（1）a2+b2+2?2a2b

（2

11．设an是由正数组成的等比数列，log0.5Snlog0.5Sn2

log0.5Sn1。

篇5：2、综合法和分析法证明不等式

§6.2综合法和分析法证明不等式

【复习目标】

1． 熟悉证明不等式的综合法、分析法，并能应用其证明不等式；

2． 理解分析法的实质是“执果索因”；注意用分析法证明不等式的表述格式；

3． 对于较复杂的不等式，能综合使用各种方法给予证明。

【重点难点】

综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们经常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述。分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。

【课前预习】

1.“a>1”是“11”的（）a

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

2.a3)

3.证明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.设a,b,c∈R+,则三个数a1，b1，c1的值，则（）bca

A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于

2【典型例题】

113 xy

abcac.（2）设a,b,c都是正数，求证：ca例1（1）已知x,yR，且2xy

1，求证：

第55课：§6.2综合法和分析法证明不等式《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 例2已知a>0，b>0，2c>a+b.求证：c－c2ab

1.设a32,b5,c76, 则a,b,c大小顺序是

A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>b

2.设0

A．b<2ab

C．2ab

3.a>b>1,P=lgalgb,Q=

12(lgalgb),R=lg(ab

2)

A．R

【本课小结】

【课后作业】

1． 已知：a,b,c为正实数.求证：bc

aacab

bcabc.11

2． 设x>0,y>0,证明：(x2y2)2(x3y3)3.3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2

2=1,求证：ab2≤32

4.4． 若x、y是正实数,x+y=1，求证：（1+11

篇6：2次求导证明不等式

2.☻知识情景：

1.不等式证明的基本方法：10.比差法与比商法(两正数时)．

20.综合法和分析法．

30.反证法、换元法、放缩法

2.综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论.这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B2BnB 3.分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索.BB1B2BnA用分析法证明不等式的逻辑关系： 结(步步寻求不等式已

论成立的充分条件)知

☻新知建构：

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0.2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有： 1．已知xya，可设，； 022

220．已知x2y21，可设，0r1)； 22xy30．已知a2b21，可设，.例2 设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是（）A.1,)B.(1]C.1,)D.(1] 例3 已知x2y2

1，求证：yax

3.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小

由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.a21a，n(n1)n，0a111 2n(n1)nn(n1)bm0aam

bbm

④利用基本不等式，如：lg3lg5(⑤利用函数的单调性)2lg4；

⑥利用函数的有界性：如：sinx≤1xR；

⑦绝对值不等式：ab≤a

b≤ab；



2nkN,k

1，*2kN,k1 * ⑨应用贝努利不等式：(1x)1nxn(n1)2xxn1nx.12

例4当 n > 2 时，求证：logn(n1)log(n1)n

例5求证：1

11113.112123123n

例6 若a, b, c, dR+，求证：1

abcd2 abdbcacdbdac

§2.1.3不等式的证明(3)练习姓名

11、设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于.212、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于

43、已知ab0，求证：a（nN且n1）.4、若x, y > 0，且x + y >2，则

1y1x和中至少有一个小于2。xy5、已知 1≤x2y2≤2，求证：≤x2xyy2≤3

26、设f(x)x2x13，xa1，求证：f(x)f(a)2a1；

7、求证：1

8、求证

x11 x2x13ab1aba1ab1b.9、设n为大于1的自然数，求证

11111.n1n2n32n210、若n是自然数，求证

11112.122232n

2311111222(n≥2)

篇7：2次求导证明不等式

一、选择题

221.a+b与2a+2b-2的大小关系是()

2222(A)a+b>2a+2b-2(B)a+b<2a+2b-2 2222(C)a+b≤2a+2b-2(D)a+b≥2a+2b-

22.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,则a,b,c的取值范围是()

(A)a>0,b>0,c<0(B)a>0,b<0,c<0

(C)a<0,b<0,c<0(D)a>0,b>0,c>0

3.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()(A)a+b>2

(B)(a-b)+

222 ≥2(C)a+b+c>ab+bc+ca

(D)|a-b|≤|a-c|+|c-b|

二、填空题

4.若x+y+z=1,且x,y,z∈R,则x+y+z与的大小关系为.5.(2013·西安模拟)已知a>b>0,c>d>0,m=

为.6.若x≥4,则

三、解答题

7.(2013·南昌检测)(1)求证:a+b+3≥ab+22222-,n=,则m与n的大小关系-

-.(a+b).(2)a,b分别取何值时,上面不等式取等号.33228.(2013·苏州模拟)设a≥b>0,求证:3a+2b≥3ab+2ab.9.已知a>b>0,求证:<-<.10.(2013·无锡模拟)设a,b,c是不全相等的正实数.求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.++>3.11.(2013·济宁模拟)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:12.证明不等式:a+b+c≥ab+bc+ca≥abc(a+b+c).答案解析 444222222

1.【解析】选D.∵a+b-2a-2b+2=(a-1)+(b-1)≥0,∴a+b≥2a+2b-2.2.【解析】选D.由abc>0,知a,b,c要么同时大于零,要么有两个负,一个正,下面利用反证法说明.不妨假222222

设a>0,b<0,c<0.由a+b+c>0知a>-(b+c),又b+c<0,22∴a(b+c)<-(b+c),从而-a(b+c)>(b+c),又由ab+bc+ca>0,知bc>-a(b+c),222∴bc>(b+c),即b+bc+c<0,即(b+)+2<0,与平方和不小于0矛盾,故假设错误,故a>0,b>0,c>0.≥(当且仅当a=b时取等号),而a,b是互不相等的正3.【解析】选B.选项A,如果a,b是正数,则数,故正确;

选项B,a-b不一定是正数,故不正确;

选项C,a+b+c=(a+b+c+a+b+c)≥(2ab+2ca+2bc)=ab+bc+ca,而a,b,c是互不相等的正数,故正确;选项D,|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|,当且仅当a-c与c-b同号时取等号,故正确.4.【解析】x+y+z-=(3x+3y+3z-1)=[3x+3y+3z-(x+y+z)] =[(x-y)+(y-z)+(z-x)]≥0

即x+y+z≥.答案:x+y+z≥

5.【解析】∵a>b>0,c>d>0,∴m=ac+bd-2

n=ac+bd-bc-ad,∴m-n=bc+ad-2∴m≥n,又∵m>0,n>0,∴m≥n.答案:m≥n

6.【解析】要比较可比较令M=N=M=2x-5+2

=2x-5+2

N=2x-5+2

=2x-5+2.******222222, =(-)≥0, 2-与>0, >0.,与+-的大小., +++

∵x-5x+4

7.【解析】(1)a+b+3=≥ab++≥ab+2222+-<<+-,.+a++b=ab+(a+b).(2)当且仅当时等号成立,即a=b=时不等式取等号.332222228.【证明】3a+2b-(3ab+2ab)=3a(a-b)+2b(b-a)=(3a-2b)(a-b).2222因为a≥b>0,故a-b≥0,3a-2b>2a-2b=2(a+b)(a-b)≥0,223322所以(3a-2b)(a-b)≥0,即3a+2b≥3ab+2ab.9.【证明】要证原不等式组成立, 只需证即证（只需证即证)<(<<1<-2b>0,∴<1<成立.∴原不等式组成立.10.【证明】方法一:要证:lg只需证:lg(只需证:∵∴≥··>0,···≥·+lg+lg>lga+lgb+lgc,)>lg(abc), >abc.>0,≥>0, ≥abc>0成立.∵a,b,c为不全相等的正数,∴上式中等号不成立.∴原不等式成立.方法二:∵a,b,c∈{正实数}, ∴≥>0,≥>0,≥>0, 又∵a,b,c为不全相等的实数, ∴∴lg(即lg··+lg··+lg>abc,)>lg(abc), >lga+lgb+lgc.++>3, 11.【证明】方法一:要证只需证明+-1++-1++-1>3,即证:+++++>6.由a,b,c为全不相等的正实数得

+>2,+>2,+>2, ∴+++

++>6, ∴++>3成立.方法二:∵a,b,c全不相等, ∴与,与,与全不相等, ∴+>2,+>2,+>2, 三式相加得+++

篇8：2次求导证明不等式

【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能给出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明下列三个方程：

0中至少有一个方程有两

个相异实根.3.已知

（1）证明：函数f(x)在（－1,+∞）上为增函数;

（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【典型例题】

例1.若x,y都是正实数,且x+y＞2,求证：

例2.已知

为－.求证 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值为2,最小值中至少有一个成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤

2例4.设a,b,c都是奇数,求证：方程

没有整数根.【课堂检测】

1.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设______________．设全体质数为p1、p2、„、pn，令p＝p1p2„pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、„、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、„、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反证法证明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求证：a,b至少有一个能被5整除.4.已知数列{bn}的通项公式为bn＝

4能成等差数列．

【总结提升】

1.当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰时的不等式的证明常用反证法.2.如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情况的不等式证明常用反证法...求证：数列{bn}中的任意三项不可

§2.1.6证明不等式的基本方法——放缩法

（一）【学习目标】

3.理解放缩法证明不等式的原理.4.掌握放缩法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

4.什么是放缩法,放缩法证明不等式的理论依据是什么？ 5.放缩法证明不等式时,如何把握放大和缩小？ 【自主检测】 1.求证: 

k1n

15*

（n∈N）k23

2.求证：

111*

2（n∈N）2n2n12n1

6n11

1

(n1)(2n1)49



15*

.(n∈N）

n23

3.求证:

【典型例题】

例1.已知n∈

N*求证：（1



;.（2）21

an1aa

例2.已知an2n1(nN*).求证：12...n(nN*).23a2a3an1

例3．函数f（x）=

例4．已知an=n，求证：∑

k=1

【课堂检测】 1.求证:1

n

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n1

(nN*)2

k ak

＜3．

11171(n2)222

62(2n1)35(2n1)

2n3

2.已知an42,Tn,求证:T1T2T3Tn

2a1a2an

n

n

6.求证:（1）(11)(1)(1)(1)

352n1

2n1.（2）(1

1111)(1)(1)(1)2462n

12n1

4.已知函数f

x

x0,.对任意正数a,证明：1fx2．

【总结提升】

篇9：2次求导证明不等式

听了王维东老师《一元二次不等式及其解法》这节课，使得我感慨颇多，感受到教师的也能这么轻松的进行教学，引导学生积极主动学生，使得学生自主探究和发现结论，应用结论。突出了教师为辅，学生为主的教学思想。

本节课教学环节完整，层次清晰，结构严谨，体现教学特色；课堂容量适当，时间安排合理。教学组织形式多样，面向全体，方法有效。反馈和评价及时到位，信息技术手段的选取符合数学学科特点，运用恰当、合理，有助于学生的学习和重难点的突破，有助于课堂教学效率的提高，有效发挥其辅助功能。使用普通话，语言简练、准确、严谨、富有启迪性，教态亲切和蔼。

王维东老师在教学过程中，能引导学生自主复习，为本节课做铺垫；这节课，老师根据班级学生情况设计了有效的问题，在课堂上进行探讨学习，对每个细节都作了针对性的设计，那些问题都是专门针对哪个学生、哪种现象设计。课堂上，老师又能进行有效提问并且关注到每个学生，不放弃任何一个学生，十分不易，功夫皆在平时。同时，老师又开展了有效的练习，然后是针对表达式比较薄弱的现象，老师从数字开始让学生比较自然的走向表达式。整节课一环扣一环，孩子们学习投入，问题设计合理，让学生存在的问题充分暴露出来，在老师的引导和同学们的相互帮助下得到解决，每个孩子都投入到这个教学中。能鼓励学生思考与完成练习，课堂组织有序，学生学习积极，师生配合较好，学生完成练习，教师能及时点评给予学生鼓励；课堂总结时，能引导学生口述本节课的结论和突出重难点，并完成巩固练习，使得学生加强记忆本节课的知识。

篇10：2次求导证明不等式

目的与要求：

要求学生理解掌握用综合法与分析法证明有关不等式

（第一课时）

教学过程：

一、综合法：

例1.已知a、b、c0，且不全相等，求证：a(bc)b(ca)b(ab)6abc.22222

2归纳：

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.例2.已知a，b，c，dR，求证：(abcd)(acbd)4abcd.

练习：教材P25面1、2题.例3.已知a1，a2，，anR，且a1a2an1，求证(1a1)(1a2)(1an)2.n

二、分析法：

例4.求证2736.2a

1b

a1b254例5.求证:若a，bR，则ab.例6.已知a，bR，且ab1，求证：(a)(b).练习：教材P26面3、4题.（第二课时）

例1.已知a、b、c0，求证：abbcca

abc

mnm222222abc.例2.已知m，nR，求证：mn

2mn.例3.已知f(x)1x，ab，求证|f(a)f(b)||ab|..2例4.已知0x1，a0，a1，试比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小，并说明理由

4n2例5.已知n0，求证n3.例6.已知|a|1，|b|1，求证|1ab||ab|.课后作业:

篇11：2次求导证明不等式

2018年上期

【教学目标】

1、认识一元一次不等式；

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验；

3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值；

4、养成学生积极主动的学习态度和自主学习的方式.【重点难点】

重点：寻找问题中的不等关系，建立数学模型.难点：弄清列不等式解决问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式.【教学过程】

一、创设情境，提出问题

甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？（多媒体展示商场购物情景）

问题1：这个问题比较复杂．你该从何入手考虑它呢？

问题2：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑？

设计意图：设置开放性问题，为学生开放性思维提供时间和空间，可极大调动学生的创造积极性．应把握学生的创新潜能，使不同层次的学生都能得到发展.这些问题能培养学生思维的深刻性和灵活性，优化学生的思维品质．

二、合作交流，问题探究

分组活动．先独立思考，再组内交流，然后各组汇报讨论结果.最后教师总结分析：

1、如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；

2、如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小.3、如果累计购物超过100元，又有三种情况：(1)什么情况下，在甲商场购物花费小？(2)什么情况下，在乙商场购物花费小？(3)什么情况下，在两家商场购物花费相同？

上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评.设计意图：引导学生用数学眼光去观察周围的生活现象，思考能否用数学知识、方法、观点和思想去解决所遇到的问题.三、练习

问题1.我班几个同学合影留念，每人交0.70元.已知一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张，在将收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有几人？ 解：这张相片上的同学有x 人，根据题意，得 0.70x≥0.68+0.50x

解得 x≥3.4

∵x为正整数，∴x=4 答：这张相片上的同学最少有四人.问题2.小兰准备用30元买钢笔和笔记本，已知一支钢笔4.5元，一本笔记本3元，如果她钢笔和笔记本共买了8件，每一种至少买一件，则她有多少种购买方案？

解：设他可以买x支钢笔，则笔记本为（8-x）个，由题意，得 4.5x+3（8-x）≤30

解得：x≤

4∵x为正整数，∴x=4或3或2或1 答：小兰有4种购买方案 ①4支钢笔和4本笔记本，②3支钢笔和5本笔记，③2支钢笔和6本笔记，④1支钢笔和7本笔记.（完整的解题过程的展现，有利于培养学生有条理地思考和表达的习惯.）练习拓展：

某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，以后每天至少加工多少个零件才能在规定的时间内超额完成任务？

四、小结

通过让学生自己感受实际生活中存在的不等关系，用不等式来表示这样的关系可为解决问题带来方便．由实际问题中的不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式可得到实际问题的答案．

五、布置作业

篇12：2次求导证明不等式

学习目标：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，培养学生的数形结合意识，并能解决实际问题的能力.重难点：根据题意列函数关系式，会把函数关系式与一元一次方程，一元一次不等式联系起来解决问题

【温故知新】回忆一次函数的一般形式，即y=kx+b(b≠0)

.如y=2x－5为一次函数,在一次函数y=2x－5中，当y=0时，有方程

当y＞0时，有不等式

;

当y＜0时，有不等式

由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.【新知探究】

一元一次不等式与一次函数的图象之间有什么关系？

1．作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.（1）x取哪些值时，2x－5=0?

（2）x取哪些值时，2x－5＞0?

（3）x取哪些值时，2x－5＜0?

（2）从图象上可知，时，图象在x轴上方，因此当x＞

时，2x－5＞0

（3）同理可知，当x＜

时，有2x－5＜0;

2．如果y=－2x－5,那么当x取何值时。

（1）y＞0?

（2）y=0

（3）y＜0

从图象上可知，（1）当x

时，有y＞0

（2）当x=－时，有y=

（3）当x＞

时，有y＜0

（4）观察并思考：一元一次不等式，一元一次方程，一次函数之间的联系？并与同学交流。

【归纳】

从上面我们可以看出：当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围，【应用巩固】

1．兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9

m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3

m，哥哥每秒跑4

m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）

何时弟弟跑在哥哥前面？

（2）

何时哥哥跑在弟弟前面？

（3）

谁先跑过20

m？谁先跑过100

m？

（4）

你是怎样求解的？与同伴交流.2．（1）已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.（2）已知y1=3x－3，y2=－x+2，试确定x取何值时，y1＞y2.（3）某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？

教学检测

一．请你选一选

1．如果一次函数y=－x+b的图象经过y轴的正半轴，那么b应取值为（）

A.b＞0

B.b＜0

C.b=0

D.b不确定

2．已知函数y=8x－11，要使y＞0，那么x应取（）

A.x＞

B.x＜

C.x＞0

D.x＜0

二．请你来解答

1．已知一次函数y=kx+b的图象经过点：A(－2，0)、B(m，－7)、C(－，－3).(1)求m的值.(2)当x取什么值时，y＜0.2．画出一次函数y=x－2的图象，并回答：

(1)当x取何值时，y=0？

(2)当x取何值时，y＞0？

(3)当－1＜y＜1，求x的取值范围.【迁移提高】