不等式证明高二数学

第一篇：不等式证明高二数学

高二数学不等式的证明6

6.3 不等式的证明

(六)

教学要求：更进一步掌握不等式的性质，能熟练运用不等式的证明方法：比较法、综合法、分析法，还掌握其他方法：放缩法、判别式法、换元法等。

教学重点：熟练运用。

教学过程：

一、复习准备：

1.已知x≥4，求证：x1-

x2

解法：分析法，先移项再平方。 推广：求x1-x2的单调性、值域。 2. a、b∈R且a+b=1，求证：2a3+2b3≤4 (四种解法：估值配项;柯西不等式;均值不等式;分析法)

二、讲授新课： 1.教学典型习题：

①出示典型习题：(先不给出方法)

22 Ⅰ.放缩法证明：x、y、z∈R，求证：xxyy+y2yzz2>x+y+z

1x2x1 Ⅱ.用判别式法证明：已知x∈R，求证 ≤2≤3 (另解：拆分法)

3xx1 Ⅲ.用换元法证明： 已知a+b=4,求证：2≤a±ab+b≤6 ②先讨论用什么方法证明，再引导老师分析总结解题思路，学生试按思路练习：

Ⅰ.放缩法，左边>(x2222y2y)+(z)2=… 22x2x1 Ⅱ.判别式法，设2=k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范围。

xx1 Ⅲ.三角换元法，设a=2sinθ，b=2cosθ，再代入利用三角函数值域求证。 ③再讨论其它解法： Ⅲ小题，可由已知得到|ab|的范围，再得到待证式。 2.练习：①已知x、y∈R，3x+4y=12，求xy的最大值; ②求函数y=x+21的值域; (解法：分x-1>0、x-1<0两种情况;凑配法) x1③求函数y=4x+1622的最小值。 (解法：y=2(x+1)+2(x+1)+… (x21)2

三、巩固练习：1.设n>1且n∈N，求证：log(n1)(n+2)>log(n2)(n+3) 2.课堂作业：书P31

2、5题。

(作商比)

第二篇：09.04.25高二理科数学《2.2 证明不等式的基本方法-综合法与分析法》

2.1 证明不等式的基本方法-综合法与分析法

目的与要求：

要求学生理解掌握用综合法与分析法证明有关不等式

(第一课时)

教学过程：

一、综合法：

例1.已知a、b、c0，且不全相等，求证：a(bc)b(ca)b(ab)6abc. 22222

2归纳：

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.例2.已知a，b，c，dR，求证：(abcd)(acbd)4abcd. 

练习：教材P25面

1、2题.

例3.已知a1，a2，，anR，且a1a2an1，求证(1a1)(1a2)(1an)2. n

二、分析法：

例4.求证2736.2a

1b

a1b254例5.求证:若a，bR，则ab. 例6.已知a，bR，且ab1，求证：(a)(b).

练习：教材P26面

3、4题.

(第二课时)

例1.已知a、b、c0，求证：abbcca

abc

mnm222222abc. 例2.已知m，nR，求证：mn

2mn.例3.已知f(x)1x，ab，求证|f(a)f(b)||ab|.

. 2例4.已知0x1，a0，a1，试比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小，并说明理由

4n2例5.已知n0，求证n3.

例6.已知|a|1，|b|1，求证|1ab||ab|. 课后作业:

《学案》P76面

1、

2、

3、

4、10(1).2

第三篇：高二数学不等式综合应用测试题

1. 函数y

tog

x

51

2x

3的定义域为()

A. 5,B. 5,C. ,35,D. ,3 2. 实数a、b满足b

①

1a

1b1x

3>②a

2

21a

>

1b

④a>b 其中正确的个数为()

A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 3. 不等式

>1的解集是()

A. 4,B. ,4C. 3,4D. 3,4 4. 若0<<<



4b

ab

，sincosa，sincosb，则()

A. abC. ab<1D. ab>2 5. 已知0

A. logC. log

b1aab

，log

b1a

的大小关系()

b1a

ab

b

b

b

b1a

bab

b1a

ab

6. 不等式1x1x>0的解集是()

A. x0≤x<1B. xx<0且x≠1C. x1

cx

22

bxc<0的解为,,，其中<<0，则不等式

bxa>0的解集为()

A. 



11

B. 

,11

,C. 11

,D. 

2

2

11

, 



8. 条件甲：x,yR且xy<1条件乙：x,yR且xy<2，则甲是乙的()

A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件

C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件 9. 若关于x的不等式2x1>ax2的解集为R，则实数a的范围是() A. a>2B. a=2C. a<2D. a不存在 10. 下列不等式中不一定成立的是()

A. x,y>0时

xy2yx

≥2B.x

2

2

2

≥2

x

第1页

1

C. lgx1

lgx≥2D. a>0时a111≥4

a

11. 实数a、b满足条件ab<0，那么() A. abab C. ab

12. 若关于x的方程x4ax40有解，则a的取值范围是()

A. ,80,B. ,4C. 8,4D. ,8

13. 已知x、y都为正数且x2y1，则

14. 当a>1，0

a2x3y的最小值为 logab的取值范围。

2215. 已知0

16. x1x

x224x3≤0的解集为。 x

217. 已知Axx2x2>0，xzBx2x252kx5k<0，xz且AB2，求实数k的范围。

18. (1)已知a、b、c为RtABC的三边之长，且abc4，求斜边c的最值范围。

(2)a、b、c为ABC的三边。求证：abc<2ab2bc2ac

19. 设函数fxx2222c

1x2(c为常数)的最小值为m。

1c1 cc求证：(1)当c≤1时m2(2)当c>1时m

220. 已知函数fxxaxb (a、bR)，当实数pq1时，试证明：

pfxqfy≥fpxqy对任意x、y都成立的充要条件是0≤p≤1。

21. 如图所示，某校把一块边长为2a的等边ABC的边角地A 开辟为生物园，图中DE把生物园分成面积相等的两部分，E ....

D在AB上，E在AC上。D

(1)设ADx(x≥a)，EDy求用xB表示y的函数关系式。

(2)如果DE是灌溉水管的位置，为了省线，希望它最短，DE应该在哪里?如果DE是

参观路线即希望它最长，DE的位置又应该在哪里?

22. 已知函数fxx23

xa(xa,a为非零常数)

(1)解不等式fxa时fx的最小值为6，求a的值。

第2页

第四篇：高二培优讲义1构造函数法证明不等式的七种方法

利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年考试的热点。解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的七种方法。

一.移项法、作差法构造函数 例1.已知函数f(x)1

2x2

lnx. 求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)

2

33x的图象的下方.二.换元法构造函数证明

例2.证明：对任意的正整数n，不等式ln(

11)11

nn2

n3

都成立.

三.从条件特征入手构造函数证明

例3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>-f(x)恒成立，且常数a，

b满足a>b，求证：.af(a)>bf(b)

四.主元法构造函数

例4.已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx 设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g(

ab

2)(ba)ln2. 1

五.构造二阶导数函数证明导数的单调性 例5.已知函数f(x)aex

12

x2 (1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x>0时,f(x)>1+x

六.对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式) 例6.证明：当x0时,(1x)11x

e

1

x2

七.构造形似函数

例7：证明当bae,证明abba

例8：已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)n

(1n)m

经典题选

1. 已知函数f(x)ln(1x)x

1x

，求证：对任意的正数a、b，恒有lnalnb1ba.

2.已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有

1

x1

ln(x1)x

3.已知函数2

f(x)ln2(1x)x.

1x

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若不等式(11n

)nae对任意的nN*都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值.

4. 已知函数f(x)

12

x2

ax(a1)lnx，a1. 证明：若a5，则对任意xf(x1)f(x2)

1,x2(0,)，x1x2，有x1.

1x2

5. 已知函数f(x)xlnxax2

(2a1)xaR. (1)当a

时，求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在[1,)单调递减，求实数a的取值范围.

6. 已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1)处)的切线方程为

x1

x

x2y30.

(I)求a，b的值;

(II)证明：当x>0，且x1时，f(x)lnx.

x1

7. 已知函数f(x)

lnxk

ex

(k为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值;

(Ⅱ)求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)设g(x)xf(x),其中f(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x0,g(x)1e2

8. 设函数f(x)axn

(1x)b(x0),n为正整数,a,b为常数,

曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程为xy1. (1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的最大值;(3)证明:f(x)

1ne

. 答案：3.(1)增(-1,0)减(0，+∞)(2)a≤1

2)a≥1

ln2−1;5.(1)减(0，+∞)(2;6.a=b=1;7.(1)k=1(2)增(0,1)减(1，+∞);8.(1)a=1，b=0;(2nn

(n+1)

第五篇：二用数学归纳法证明不等式

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.

教学难点：理解经典不等式的证明思路.

教学过程：

一、复习回顾：

1、数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位;

2、复习数学归纳法的定义和数学归纳法证题的基本步骤;

二、本节主要内容是用数学归纳法证明不等式;

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

(1)在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)的变化，要认清不等式的结构

特征;

(2)瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析;

(3)活用起点的位置;

(4)有的题目需要先作等价变换。

三、例题

例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：将n1,2,3,4,5,6代入比较后猜想结论，而后用数学归纳法加以证明

证明：见书P50 ;要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….

例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).

证明：(1)当n=1时，不等式显然成立;

(2)假设当n=k时不等式成立，即有：|sink|k|sin|，则当n=k+1时，

|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||cos||cosk||sin||sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|即当n=k+1时，原不等式也成立;

由(1)(2)知，不等式对一切正整数n均成立;

例3：证明贝努利(Bernoulli)不等式： (1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

22证明：(1)当n=2时，由x0得(1x)12xx12x，即不等式成立;

(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即有(1x)1kx：，则当n=k+1时，

(1x)k1k(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，

所以当n=k+1时，原不等式也成立;

由(1)(2)知，贝努利不等式成立;

注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.

当是实数,且或0时,有(1x)≥1x(x1)

当是实数,且01时,有(1x)≤1x(x1) 

例

4、证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和

a1a2a3ann;

证明：(1)当n=1时，a1=1，命题显然成立;

(2)假设当n=k时命题成立，即若k个正数a1,a2,a3,ak的乘积a1a2a3ak1，那么他们的和

a1a2a3akk，

则当n=k+1时，有k+1个正数a1,a2,a3,ak,ak1满足乘积a1a2a3akak11， 若这k+1个正数相等，则它们都是1，其和为k+1，命题成立;

若这k+1个正数不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数，不妨设a1>1，a2<1, 则由归纳假设可得：a1a2a3akak1k(*)，又由a1>1，a2<1可得： (a11)(a21)0a1a2a1a210a1a2a1a21与(*)式相加即得：

a1a2a3akak1k1，即当n=k+1时，命题也成立;

由(1)(2)知，如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和

a1a2a3ann;

思考：课本P53的探究

课堂练习：当n≥2时,求证

:1

1

2



证明：(1)当n2时，左式1

1

22

1.7

2右式，当n2时，不等式成立

(2)假设当nk(

2)时，不等式成立，即1



则当nk

1时，左式1











右式

当nk1时，不等式成立。

由(1)(2)可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

四、作业：课本P53 习题4.1中1，2，3，4，5，6