幻方教学案例

幻方教学案例（共7篇）

篇1：幻方教学案例

数学思维四年级“三阶幻方”教学案例

背景介绍：

本节教材是我校校本课程《数学思维拓展》中四年级的教学内容。校本课程与原来老教材有所不同，更进一步从学生探究的角度出发，充分发挥学生是的主动性。选用这节课是因为这节课囊括了课堂活动、学生探究和师生完美配合等方面。当时这是一节常态课，授课方式为普通的启发式教学，所采用的上课方式是组讨论式。希望通过这节课同过去的课进行比较。考虑到本堂课的情况，未安排学生进行预习。教学目标：

1．通过学生自主探究，得出“三阶幻方”的规律。

2．通过做一做，看一看，培养学生的操作能力，观察能力，判断能力，语言表达能力。

3．通过小组讨论培养学生合作交流的意识。4．让学生体会到数学的无穷乐趣。教学重难点：

通过讨论，分析出“三阶幻方”的规律和做“三阶幻方”的方法和技巧吗。教具学具：

Ppt、习题卡 教学过程：

一、创设情境，探求新知 师：同学们，我们学校的数学思维，玩转数学部分都包括什么？ 生: 魔方、魔尺、数独、24点、围棋„„ 师：那谁能说一说数独的特点？ 生：数独有四宫格、六宫格、九宫格。

生：我们四年级学的六宫数独很特殊，它有六个宫，每行、每列、每个宫内都填入数字1、2、3、4、5、6，并且不能重复。

师：嗯，这位同学真是一个善于总结、善于表达的好孩子！的确，数独有六个宫，行、列、宫之间都存在很独特的关系，今天，我们将学习和数独非常相像的内容——三节幻方。

板书：三阶幻方

点评：用回顾数独的特点导入本节课，很容易让孩子们把二者有机地联系起来，一是能把对数独的喜爱传递给“三阶幻方”；二是能通过回忆数独的做题方法联系到“三阶幻方”，有助于学生全力投入到课堂中，创设这种情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望，放飞了学生的思维，使学生积极地投入到学习活动之中，为学好这节课起到了很好的铺垫作用。

二、联系课堂实际，探究发掘规律

1、大屏幕上出示3×3的方格布阵图，让学生充满想象。师：同学们，这九个方格可不是数独，但是我们也把它称之为九个宫，中间这一宫称作中宫。

生：老师，因为它每行、每列都有三个格子，所以叫“三阶幻方”。

2、大屏幕上出示两道已经完成的三阶幻方题目。师：同学们，仔细观察这两个方阵图，小组同学互相讨论，你发现了什么? 第一小组代表：我们发现中宫数字都是15。

第二小组代表：我们发现宫里的数字都是小于30的。

第三小组代表：我们发现第八宫数-中宫数=第四宫数-第三宫数。第二组同学补充：我发现第一宫数-中宫数=第三宫数-第四宫数。[学生回答，教师评价补充，让学生体会寻找共同规律要按照一定的标准，初步体会三阶幻方规律的存在。] 点评：充分发挥小组合作交流的优势，通过生生之间的交流，让学生思维互补，都能感知什么是三阶幻方，并且可以提高学生的观察能力，判断能力和语言表达能力。

3、师启发，学生进一步观察。

师：同学们，再从数字的角度出发，观察观察三阶幻方的规律。学生讨论得热火朝天，纷纷发表自己的见解。生：老师，我发现了，每行的三个数的和相等！同学们好像都瞬时间明白了什么，纷纷举起手来。生：老师，我发现了每列的三个数的和相等!生：老师，还有，斜着看三个数字的和也相等。

[教师让各小组发表各自见解之后，让学生说明发现的规律的理由，教师及时地给予肯定和评价。] 师：同学们，你们从行、列、斜线的角度观察到和相等，还有什么补充吗？ [教师让学生再一次进行观察，把刚刚得到的结果在进行补充，从而使分析的过程细化，让学生体会数学中的奥秘。] 各小组学生讨论完后，小组代表汇报结果： 生：刚才三个同学说的三种和也相等，都是45。

师：好，好多同学没有听清，请你把你的想法完整地说出来。生：我们又神奇地发现，每行、每列、每条斜线上的三个数字之和都相等，都是45。

生：哦，原来是这样„„

生：对对对，我们也是这么想的„„

[教师在学生回答的过程中，给予评价肯定和补充。] 师： 今天同学们通过自己讨论和观察得出了这么多结论，你们总结得很正确，也很全面，观察很仔细，其实，这些规律就是三阶幻方的规律，把这些规律统一起来就叫做三阶幻方。那谁来总结一下什么是三阶幻方？

生：每行、每列、每条斜线上的三个数字之和都相等的布阵图就是三阶幻方。

师：很正确，谁能说的再完整一些？ 生：„„

点评：教师放手让学生自己合作探究发现规律，给学生提供了一个合作观察、自主探究的平台，引导学生通过观察、探索、合作、交流、经历的过程与方法，自主构建知识，符合中年级学生的认知规律。

三、实际运用，巩固发展 强化新知，巩固练习。

（1）出示课本44页第一题：完成三阶幻方。

（学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正，然后集体订正。）（2）出示课本第44第2题：数字越来越少，难度越来越大。（小组讨论，学生代表回答，教师再集体订正。）

点评：数学来源于探究，探究让数学充满魅力和神奇。教师注重学生的自主探究，通过课堂上合作与交流的方式让学生发现新知，通过自我体验进一步巩固体验分类的方法，让数学走进学生的思维，让学生在探究中看到数学，喜爱上数学，培养了学生的探索精神和创新意识。

四、拓展延伸，知识迁移

师：同学们已经掌握了三阶幻方的规律，那同学们能不能自己创作一个符合规律的三阶幻方？

我们今天的作业有两项，第一就是自己根据三阶幻方的规律，自己创作两组三阶幻方；第二，同桌之间互相出题，然后解答，看哪组同桌最默契。

点评：积极倡导和实践学生学习方式的个性化，鼓励学生用自己合作探究的方式学习数学，充分张扬了学生的个性，有利于学生个性的发展。

总评：

1、数学思维的教学，要紧密联系学生的实际特点，从学生的经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境。”在本节课的教学中，教师注重学生已有的知识，引导学生全身心地投入数学思维学习活动中，学生兴趣盎然地自主探索、发现规律，合作交流体验，理解掌握了本课的重点，获取学习数学思维的经验，成为数学学习活动中的探索者、发现者、创造者。

2、在本节课的教学中，教师力求遵循知识的发展规律和学生的认知规律，较好地贯彻“教师为主导，学生为主体，思维为核心，培养学生能力，发展学生智力”的教学理念。充分调动学生思维的积极性，教学中由于让学生自己发现、自己分析总结，参与知识的形成过程和发展过程，促进了思维的发展和能力的形成。

3、在本节课的教学中，突出“合作、探究”四个字，让学生在交流中放飞思维，激发学习兴趣，自主探究与合作交流获取知识，发展了能力。

鹤祥实验小学 张 丽

篇2：幻方教学案例

在小班常识学科教学中要注重让学生掌握自行获得知识的方法，学习主动参与教学实践的本领，从而真正体现教育的主动性、性、合作性和发展性的教学特征的原则。在课堂教学中，体现了学生是学习和发展的主体，教学中体现知识传授与能力培养有机结合；采用自主与合作交流相结合的学习方式。我觉得在教学中有以下几个成功点：

一、学生的思维始终处于积极、兴奋状态。

从课一开始，学生就以一种轻松的心情进入情境。开始就为学生讲述故事并出示幻方龟，“它神奇在哪里？”“它背上有奇特的图案”激发了学生的兴趣，善于想象的低年级孩子思维处于积极、兴奋状态，在学生感兴趣的画面中学生的思维火花开始点燃了。接着让学生翻译洛书，寻找发现幻方的特征，学生的兴趣有增无减。判断幻方以及练习中让学生为龟姐妹找回丢失的.数字，学生的思维又活跃起来，想出了多种做法，有的还找到了简单的方法。灵活、积极的思维状态胜过了说理，这是我在新课程中“用数学”方面的对“说理分析”的尝试性的突破。教学从洛书出发，让学生寻找规律再运用规律使整堂课融为一体，学生的思维始终处于积极、兴奋状态。

二、学习的主动权始终掌握在学生手中。

问题的产生、提出、解决这一系列过程都是孩子们自行完成的，教师在其中始终处于组织者、引导者、合作者的地位。让学生自己把洛书翻译成幻方，特别是第三环节探究幻方的特征时，我把学习的主动权交给学生，让学生先思考通过观察、计算、讨论、交流、体验等一系列有效的活动，发现一些幻方的特征，形成自己的观点。接着安排同学们在小组内交流讨论完善对幻方的特征的认识。此时，教师在各组间巡视，给与适当的点拨、帮助。在小组学习后的集体交流中，我借助多媒体演示，直观帮助学生理解，并且通过教师的语言如：谁听懂了她的回答？谁也来说说你的理解？谁也看出了这一特点？等问题引起生生、师生之间的互动，使每个学生真正投入到教学中，知道幻方的特征，每位学生都能得到不同程度的提高。在这一探究过程中，不仅注重知识的传授，更重视对学生的探究能力的培养，让学生学会思考、学会小组合作、学会倾听他人的意见并作出相应的判断。当主动权掌握在孩子手中时，孩子们的创新思维是会不断闪现火花的。

三、教师的教学始终是为学生学习服务的。

新的理念已经告诉我们：“教师的教学始终要为学生学习服务”。本课中的课件，为孩子们提供了丰富的素材，引起了孩子无限的想象。还帮助学生加深对幻方特征的理解。

篇3：有趣的幻方

一、幻方的起源

幻方, 又称为纵横图。所谓纵横图, 就是由1到n2这n2个自然数按照一定的规律排列成n行、n列的一个方阵, 且任意一横行、一纵行以及对角线上的n个数之和都相等。

(一) 龙马载河图

在远古时期, 有一条河叫孟津河, 忽然有一天河水大涨, 水中出现一巨兽。浪中巨兽踏水如登平地, 形体像骆驼, 伏羲命人走近河边, 将图案记录下来, 刚刚记下, 怪兽就不见了。后来, 伏羲发现巨兽身上的图案是由十种花点组成, 这十种花点代表1~10这10个数, 两种花点构成一组, 布局在东西南北中五个位置上, 每组花点所表示的数, 其差均是5。这种和谐统一, 四方对称的特征, 让伏羲对它产生了兴趣, 伏羲通过对河图的研究演绎出了八卦。由于此图是在孟津河中发现的, 故称为河图。

(二) 神龟背洛书

相传在大禹时期, 突然有一天洛水中浮出一只大乌龟, 只见乌龟在河里上下翻腾, 甲背平圆。仔细观看, 发现甲上载有九种花点的图案, 大禹便将其记录下来, 并进行研究。他发现, 九种花点数正好是1~9这9个数, 各数的位置排列也相当奇巧, 纵横六线及两条对角线上三数之和都为15, 既均衡又对称。大禹受到启发, 治水时以九宫为据, 应用到测量、气象、地理与交通运输之中, 从而治理黄河, 大获成功。由于神龟所背的图是在黄河支流洛水中发现的, 故称为洛书。

二、杨辉与洛书

这里有一个小故事。杨辉在算一道一位老先生给的一道数学算题, 把1到9这九个数字分行排列, 不论竖着加、横着加、还是斜着加, 结果都等于15。后来, 杨辉来到老先生家里, 与老先生谈论起这个数学问题来。老先生告诉杨辉:北周的甄鸾注《数术记遗》一书中写过“九宫者, 二四为肩, 六八为足, 左三右七, 戴九履一, 五居中央”。杨辉听后发现这与自己算出来的完全一样。杨辉回到家中, 反复琢磨, 他终于发现其中规律, 并总结出以下方法:先把1~9这九个数依次斜排, 再把上1与下9这两数对调, 左7与右3这两数对调, 最后把四面的2、4、6、8向外面挺出, 这样洛书就填好了。

它的特点是每行、每列和交叉的三个数的和都等于15, 四个角上的数字均为偶数, 四边正向和中心的数字均为奇数。杨辉研究出洛书的构造方法后, 又系统的研究了其它的幻方, 他已经掌握了高阶幻方的构造规律。现在洛书又被叫做三阶幻方, 在其中隐藏着一些有趣的东西。

三、三阶幻方

(一) 三阶幻方的定义

洛书即九宫图, 把九宫图中的数字排列, 即得到一个三阶幻方。它就是3行、3列的一个方阵, 且任意一横行、一纵行及对角线的3个数之和都相等。

(二) 三阶幻方的性质

下面就通过三阶幻方的数的排列规律, 探讨其性质。

通过观察图3-1很容易发现在三阶幻方中横、竖、斜上的3个数字相加之和都等于15, 就是:

4+9+2=15, 3+5+7=15, 8+1+6=15, (各行的三个数的和为15) ;4+3+8=15, 9+5+1=15, 2+7+6=15, (各列的三个数的和为15) ;4+5+6=15, 2+5+8=15, (两条对角线的三个数的和为15) 。

性质1:三阶幻方的各行、各列及对角线上的数字之和相等且等于15。这个性质根据幻方的定义就可以得出, 下面我们继续对三阶幻方的其它性质进行探讨。

性质2:在横 (竖) 三行 (列) 中, 每两个数组成一个两位数, 三个数的和与它们的逆序数的和相等。

这种等式如同文学作品中的回文, 因而称作“回文等式”。横行具有这种性质, 那么下面我们来看竖行:

更为奇妙的是, 将上面横行和竖行中的第三个式子的各个加数都平方, 仍能构成回文等式, 下面来验证一下:

由上讨论, 我们得到另一个性质:

性质3:被中间一行 (列) 隔开的三个两位数, 分别平方之后相加之和与它们的逆序数平方之后相加之和相等。

性质4:四个角上的数以及各边中间的数按照顺时针 (或逆时针) 组成的两位数 (两个数的平方) 之和与它们的逆序数之和相等 (也可以说顺时针组成的两位数 (两个数的平方) 之和与逆时针组成的两位数 (两个数的平方) 之和相等) 。

根据性质4可得出副对角线也能组成回文等式我们可以得出一个推论:推论1:任意多个一位数按照顺时针组成的两位数 (两个数的平方) 之和与逆时针组成的两位数 (两个数的平方) 之和相等。

四、小结

幻方本身就是一个简简单单的图, 却引来许多的探索风波。幻方带给我们的是智慧与探索过程中的快乐。本文只是介绍了三阶幻方的一些简单规律, 但仅是这些就可让我们对它产生兴趣。

摘要：幻方是中国的数学游戏之一, 它本身就是一个丰蕴的知识宝库, 其精髓在于:变、变、变。三阶幻方是最简单的幻方, 本文主要通过对最小的三阶奇阶幻方进行研究, 来了解幻方的一些规律。

关键词：幻方,杨辉,回文等式

参考文献

[1]吴鹤龄.好玩的数学:幻方及其他[M].北京:科学出版社, 2003.

[2]郁祖权.中国古算解趣[M].北京:科学出版社, 2004.

篇4：“骑士巡逻”与幻方

第一季有一期对战西班牙，教授马丁·洛佩兹的“骑士跳”，给我留下了十分深刻的印象，因为这首先就是一个棋盘上的由来已久的数学问题，很是有趣.

这一问题最早可以追溯到9世纪的古印度的恰图兰卡.之后许多数学家都曾钻研此问题，包括欧拉在内.我们称之为“骑士巡逻（也叫骑士巡游）（Knight's tour）”：将一个国际象棋的骑士（或称马）放在棋盘上，有什么路径能使它按照规定走法（马步）走遍棋盘上每一格而无重复呢？

于是，“骑士巡逻”就成为了历史上比较有名的一个趣味问题流传下来，思考这一问题的人的初衷可能是为了好玩，但是数学家们却要思考趣味问题背后的秘密——找出所有的“骑士巡逻”路径.

H.C.von Warnsdorff在1823年提出了第一个系统化解决骑士巡逻问题的方法-Warnsdorff规则，

骑士巡逻问题其实是图论上的一个求哈密尔顿路径问题，假若骑士能够走回到最初位置，则称此巡逻为“封闭巡逻”；否则，称为“开巡逻”.孙彻然为马丁教授设计的这个问题，初始点与最终点之间刚好也满足马步跳，所以其实就是一个“封闭巡逻”.

接着，我们对比下“骑士跳”的规则：

在200～500之间任意选择一个三位数，然后在8×8的国际象棋盘中任意选择一个骑士的起点和终点，并且在起点格中任填写一个数字，然后按照国际象棋中跳马的规则，每走一步填写一个数字，直至走完整个棋盘.所走路线不能重复，填完之后，每一行每一列之和等于之前所选择的三位数.

不难发现，最大的区别在于最后的一句话：“填完之后，每一行每一列之和等于之前所选择的三位数.”

这不就是一个类似幻方的填充吗？

幻方，是人类智慧的结晶，它起源于中国的河图洛书，义被称为纵横图，公元13世纪，我国数学家杨辉首先对其开展了系统研究，欧洲的研究则要推迟至14世纪后，这义是一个历史悠久的“大家伙”啊！（关于幻方的科普书籍也有很多，比如吴鹤龄所著的《幻方及其他——娱乐数学经典名题》、谈祥柏所著的《奇妙的幻方》等，感兴趣的同学可以阅读）

而且比较巧合的是，数学家欧拉在这两个问题上都有过研究，他设计的马步半幻方（注：如果不能保证对角线相加等于幻和，就是半幻方），就很有意思.

如下图所示，在8×8的方格中，从1出发，按照国际象棋中马步走法，可以一直走到64而没有重复.

（注：之所以是半幻方，是因为利用马步构造偶数阶幻方非常困难，至今没有完美结果.）

这个发现令我们有些激动起来，因为半幻方就是利用马步跳来完成的，那么细想想，“骑士巡逻”与马步幻方之间是否存在着某种关联？

小小的一个“骑士跳”，竟然融合了“骑士巡逻”和幻方两个历史上都鼎鼎大名的数学趣味问题，而且沟通了中西文化，真是意义深远，令人回味无穷.

马丁教授的能力也很了得，他很可能是熟记了一个八阶的半幻方，并根据孙彻然提供的起点和终点现场寻找“骑士巡逻”的有效路径（一开始没找到，有些失误），然后通过对比起点和终点的数字与原来数字的差，以及八阶幻和260与477的差，进行加减运算后，得到了最终的一个解，

步骤可以演示如下：

1.记忆八阶半幻方一个，尽量规律性强些（甚至就类比于“骑士巡逻”的路线来操作，现场制作八阶半幻方），方便记忆，如下图所示：

2.孙彻然给出起点和终点的位置及相应的数字后，根据起点和终点寻找“骑士巡逻”的路径，如下图所示：

要找到这个路径并不是很容易，但是也有技巧可循.这里只稍作提示：观察上图的同类型区域（阴影区分），是比较容易实现马步循环的，一共有4种不同的类型，而你只要找到从一种类型跳到另一种类型的策略，就可以找出这个路径.规律性比较强.

3.根据数字31以及总和477，我们开始计算：

1比31少了30，要减，所以1到8的数字都要加上30，以保证每行每列的和同时增加30；

篇5：有趣的幻方作文

有趣的幻方作文

有一道幻方题是这样的：用巴舍法把10~58编排一个七阶幻方。它的方法非常简单，第一步，先画一个七阶幻方。第二步，在七阶幻方的每一条边上面紧挨着画5个正方形，再画3个正方形。这样推下去，最后只要画一个正方形。第三部，填数，把10~58这49个数，按斜行方向从左至右，从上到下依次填入凸形阶梯式图中。第四部，平移补空，将七阶幻方格外（即七行七列正方形外面）凸出部分中的`数字按上移下，下移上，左移右，右移左的方法，平移七格，填到对应部分的空格中，这样便可得到一个七阶幻方。有趣的幻方作文200字

小学生作文（中国大学网）

篇6：二层六角幻方的n个有趣性质

二层六角幻方的n个有趣性质

The famous double hexagonal magic square problem is stated as follows. Put 19 natural numbers from 1 to 19 into the circles of Fig. 1 to make the sums of the numbers on each straight line equal.

作 者：王晓玲 WANG Xiao-ling  作者单位： 刊 名：辽宁师范大学学报（自然科学版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF LIAONING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2008 31(2) 分类号：O1 关键词： 

篇7：漫谈幻方

幻方中最简单的是三阶幻方，在我们痴迷的连续剧《射雕英雄传》中，瑛姑给郭靖、黄蓉二人出了一道题：数字1到9填到三行三列的表格中，要求每行、每列及两条对角线上的和都相等，这道题折腾了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了，想必黄蓉姐姐的数学功底肯定是相当厉害的！

不过三阶幻方的玩法较为简单，稍稍增加点难度，我们来谈谈四阶幻方。

四阶幻方是最简单的双偶幻方，所谓双偶幻方是指能被4整除的n阶幻方，如8阶、12阶、16阶等，双偶幻方的构造方法其实就是两句话：顺序填数，以中心点对称互换数字。

以1～16构成的四阶幻方为例：

1 先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格，按同一个方向按顺序依次填写其余数。

如图：按行从左向右顺序排数。

2 以中心点对称互换数字。

以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换），完成幻方，幻和值为34，除此以外，还可以以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换）完成幻方。

对于幻方，人们还在不断尝试和创新玩法，于是反幻方应运而生，将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方，在此基础上，我们又有了完美反幻方，完美反幻方是指将连续的n²个数字填到n×n的正方格中，使其中任意一行、任意一列、任意一条对角线上的数字之和都不相等，并且各个方格内的自然数必须首尾相连，成为螺旋的形状，当代美国科普作家马丁·加德纳潜心研究后发现，符合上述条件的反幻方只有两个。