数列简单练习(通用10篇)
篇1:数列简单练习
等差数列
一、填空题
1.等差数列2,5,8,…的第20项为___________.2.在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________ 3.在等差数列中已知d,a7=8,则a1=_______________ 4.(ab)2与(ab)2的等差中项是_______________ 5.等差数列-10,-6,-2,2,…前___项的和是54 6.正整数前n个数的和是___________ 7.数列an的前n项和Sn=3nn2,则an=___________ 8.已知数列an的通项公式an=3n-50,则当n=___时,Sn的值最小,Sn的最小值是_______。1
3二、选择题
1.在等差数列an中a3a1140,则a4a5a6a7a8a9a10的值为()
A.84
B.72
C.60
D.48 2.在等差数列an中,前15项的和S1590,a8为()
A.6
B.3
C.12
D.4
3.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20项的和等于()
A.160
B.180
C.200
D.220 4.在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450,则a2a8的值等于()
A.45
B.75
C.180
D.300 5.若lg2,lg(2x1),lg(2x3)成等差数列,则x的值等于()
A.0
B.log2C.32
D.0或32
6.数列3,7,13,21,31,…的通项公式是()
A.an4nB.ann3n2n
2C.ann2n1
D.不存在 7.等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么 a :b 等于()
A、B、C、或 1
D、8.等差数列{an}中,a15=33,a45=153,则217是这个数列的()
A、第60项
B、第61项
C、第62项
D、不在这个数列中
三、计算题
1.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列an的有关未知数:
51a1,d,Sn5,求n 及an;(2)d2,n15,an10,求a1及Sn(1)66
2.设等差数列an的前n项和公式是Sn5n23n,求它的前3项,并求它的通项公式
3.如果等差数列an的前4项的和gg是2,前9项的和是-6,求其前n项和的公式。
4. 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9
(1)求{an}的通项公式
(2)这个数列的前多少项的和最大?并求出这个最大值。
5. 已知等差数列{an}的首项为a,记(1)求证:{bn}是等差数列
(2)已知{an}的前13项的和与{bn}的前13的和之比为 3 :2,求{bn}的公差。
等比数列
一、填空题
1.若等比数列的首项为4,公比为2,则其第3项和第5项的等比中项是______. 2.在等比数列{an}中,(2)若S3=7a3,则q=______;
(3)若a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则S4=____.
3.在等比数列{an}中,(1)若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11=____;(2)若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=______;
4.一个数列的前n项和Sn=8n-3,则它的通项公式an=____.
5.数列{an}满足a1=3,an+1=-,则an = ______,Sn= ______。
二、选择题
1、已知等比数列的公比为2,前4项的和为1,则前8项的和等于()A、15 B、17 C、19 D、21
2、设A、G分别是正数a、b的等差中项和等比中项,则有()
A、ab≥AG B、ab
3、已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 A.5 B.10 C.15 D.20
4、.等差数列{an}的首项a1=1,公差d≠0,如果a1,a2,a5成等比数列,那么d等于A.3 B.2 C.-2 D.2或-2
5、.等比数列{an}中,a5+a6=a7-a5=48,那么这个数列的前10项和等于
[
[
]
]
]
[
A.1511 B.512 C.1023 D.1024
6、.等比数列{an}中,a2=6,且a5-2a4-a3=-12,则an等于
[
] A.6 B.6·(-1)n-2
C.6·
2n-2
D.6或6·(-1)
n-2
或6·2
n-2
2227.等比数列{an}中,若a1+a2+…+an=2n-1,则a1+…+an=()a2(A)4n-1 1(B)(4n1)
3(C)2n-1
1(D)(2n1)
38.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2a50,则
三、解答题
S5()S2A.11 B.5 C.8 D.11
1.已知等比数列{an}的公比大于1,Sn为其前n项和.S3=7,且a1+3、3a2、a3+4构成等差数列.求数列{an}的通项公式.
2.递增等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2、a4的等差中项.求{an}的通项公式an.
3.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,数列{an+1}也是等比数列,求:数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.
4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q,若a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,求数列{an}、{bn}的通项公式an及前n项和公式Sn.
篇2:数列简单练习
1、找出下面各数列的规律,并填空。(1)1,2,3,4,5,□,□,8,9,10.(2)1,3,5,7,9,□,□,15,17,19.(3)2,4,6,8,10,□,□,16,18,20.(4)1,4,7,10,□,□,19,22,25.(5)5,10,15,20,□,□,35,40,45.注意:自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.2、找出下面的数列的规律并填空。
1,1,2,3,5,8,13,□,□,55,89.解:这叫斐波那契数列(兔子数列),从第三个数起,每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21,13+21=34.所以:
空处依次填:
3、找出下面数列的生成规律并填空。1,2,4,8,16,□,□,128,256.解:它叫等比数列,它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32,32×2=64,所以空处依次填:
4、找出下面数列的规律,并填空。1,2,4,7,11,□,□,29,37.解:这数列规律是:后一个数减前一个数的差是逐渐变大的,这些差是个自然数列:
5、找出下面数列的生成规律,并填空.1,4,9,16,25,□,□,64,81,100.解:这是自然数平方数列,它的每一个数都是自然数的自乘积.如:1=1×1,4=2×2,9=3×3,16=4×4,25=5×5,64=8×8,81=9×9,100=10×10.若写成下面对应起来的形式,就看得更清楚.自然数列: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
自然数平方数列:1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
6、从1开始,每隔两个数写出一个自然数,共写出十个数来.解:可以先写出从1开始的自然数列,再按题目要求删去那些不应该出现的数,就得到答案了:
即1,4,7,10,13,16,19,22,25,28
可以看出,这是一个等差数列,后面一个数比前面一个数大3.7、从1开始,每隔六个数写出一个自然数,共写出十个数来.解:仿习题1,先写前面的几个数如下:
可以看出,1,8,15,22,„„也是一个等差数列,后面的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律,可以写出所有的10个数:
1,8,15,22,29,36,43,50,57,64.8、在习题6和习题7中,按题目要求写出的两个数列中,除1以外出现的最小的相同的数是几?
解:观察习题6和习题7两个数列:习题6的数列是:1,8,15,(22),„„
习题7的数列是:1,4,7,10,13,16,19,(22),25,28,„„ 可见两个数列中最小的相同数是22.9、一辆公共汽车有78个座位,空车出发.第一站上1位乘客,第二站上2位,第三站上3位,依此下去,多少站以后,车上坐满乘客?
(假定在坐满以前,无乘客下车,见表四(1))
方法2:由上表可知,车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和,到第几站后,就加到几,所以只要加到出现78时,就可知道是到多少站了,1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78(人)
可见第12站以后,车上坐满乘客.10、如图所示是一串“黑”、“白”两色的珠子,其中有一些珠子在盒子里,问
(1)盒子里有多少珠子?(2)这串珠子共有多少个?
解:仔细观察可知,这串珠子的排列规律是:
白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白
1, 1,1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1,①在盒子里有:
4+1+4=9(个).②这一串珠子总数是:
1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1
=1+2+3+4+5+6+7+(1+1+1+1+1+1+1+1)
篇3:简单递推数列通项公式的求法
1. 形如an+1-an=f (n) 型
若f (n) 为n的函数时, 可用累加法求数列的通项an.
例1:已知数列{an}满足, 且a1=2, 求数列的通项公式an.
解:由题意知, , 又a1=2, 即
2.形如型
若f (n) 为n的函数时, 可用累积法求数列的通项an.
例2:已知数列{an}满足, 求an.
解:由条件知, 则
3. 形如an+1=can+d (c≠0, c≠1, d≠0) 型
此种类型的递推公式, 可采用待定系数法求通项。
例3:已知数列{an}满足:an+1=2an+3且a1=1, 求数列{an}的通项an.
解:由an+1=2an+3可化为an+1-t=2 (an-t) , 即an+1=2an-t
∴t=3
故递推公式可化为an+1+3=2 (an+3) , 即
此时数列{an+3}是以a1+3=4为首项, 2为公比的等比数列.
规律小结:将递推公式an+1=can+d (c≠0, c≠1, d≠0) 化为, 构造成公比为c的等比数列, 从而求得通项公式。当然也可以把递推公式an+1=can+d中的n换成n-1, 得到an=can-1+d, 两式相减有an+1-an=c (an-an-1) , 从而化为公比为c的等比数列{an+1-an}, 进而求得通项公式。
4. 形如an+1=pan+f (n) (p≠0, p≠1) 型
(1) 若f (n) 是关于n的一次式, 可采用待定系数法求之。
例4:已知数列{an}满足:an+1=2an+n且a1=1, 求数列{an}的通项an.
解:由题意原式可化为:an+1+t (n+1) +r=2 (an+tn+r) (t, r∈R) , 整理得:an+1=2an+tn+r-t, 则t=r=1.
∴an+1+ (n+1) +1=2 (an+n+1) , 即数列{an+n+1}是以3为首项, 2为公比的等比数列.
当然, 此题还有以下解法:
解二:由题意知:an+1=2an+n+… (1)
由 (1) - (2) 得:an+1-an=2 (an-an-1) +1, 即an+1-an+1=2 (an-an-1+1)
∴数列{an+1-an+1}是以3为首项, 以2为公比的等比数列, 即
(2) 若f (n) 是关于n的指数式, 可将等式两边同除这个指数式, 把递推式转化为an+1=can+d (c≠0, c≠1, d≠0) 型来求解。
例5:已知数列{an}满足:an+1=2an+3n, a1=6, 求通项公式an.
解:将递推式两边同除以可得:
5.形如型
此类型可采用取倒数法。
例6:已知数列{an}满足:且a1=1, 求数列的通项公式an.
解:由题意知an≠0, 把递推式取倒数可得: (转化为类型3) ,
篇4:数列、不等式、推理证明专项练习
1.已知-π2<α<β<π2,则α-β2的取值范围是.
2.当x>0时,则f(x)=2xx2+1的最大值为.
3.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“”,这个类比命题的真假性是.
4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品件.
5.设a,b为正实数.现有下列命题:
①若a2-b2=1,则a-b<1;
②若1b-1a=1,则a-b<1;
③若|a-b|=1,则|a-b|<1;
④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.
其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)
6.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47,请从这个实事中提炼出一个不等式组是.
7.已知a∈R+,函数f(x)=ax2+2ax+1,若f(m)<0,比较大小:f(m+2)1.(用“<”或“=”或“>”连接).
8.观察下列等式:
1-12=12
1-12+13-14=13+14
1-12+13-14+15-16=14+15+16
……
据此规律,第n个等式可为.
9.设关于x,y的不等式组2x-y+1>0,x+m<0,y-m>0表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是.
10.在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3·a5=64,则数列{an}的前8项和为.
11.已知函数y=ax+b的图象如图所示,则1a-1+2b的最小值=.
12.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用f(n)表示n条直线交点的个数,当n>4时,f(n)=.
13.已知x,y∈R,满足2≤y≤4-x,x≥1,则x2+y2+2x-2y+2xy-x+y-1的最大值为.
14.数列{an}满足(sn-n2)(an-2n)=0(n∈N),其中sn为数列{an}的前n项和,甲、乙、丙、丁四名同学各写了该数列的前四项:甲:1,3,5,7;乙:1,4,8,7;丙:1,4,4,7;丁:1,3,8,4.请你确定这四人中所有书写正确的学生.
二、解答题(共90分)
15.已知不等式mx2-nx-n2<0,
(1)若此不等式的解集为{x|-1 (2)若m=2,求此不等式的解集. 16.已知等比数列{an}的前n项和是Sn,满足an+1=(q-1)Sn+1(q≠0). (1)求首项a1的值; (2)若S4,S10,S7成等差数列,求证:a3,a9,a6成等差数列. 17.已知集合A={x|x2-(3a+3)x+2(3a+1)<0,x∈R)},B={x|x-ax-(a2+1)<0,x∈R}. (1)求4B时,求实数a的取值范围; (2)求使BA的实数a的取值范围. 18.设向量a=(x,2),b=(x+n,2x-1)(n∈N*),函数y=a·b在[0,1]上的最小值与最大值的和为an,又数列{bn}满足:nb1+(n-1)b2+…+bn=(910)n-1+(910)n-2+…+910+1. (1)求证:an=n+1; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设cn=-anbn,试问数列{cn}中,是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有cn≤ck成立?证明你的结论. 19.如图,某生态园欲把一块四边形地BCED辟为水果园,其中∠C=∠D=90°,BC=BD=3,CE=DE=1.若经过DB上一点P和EC上一点Q铺设一条道路PQ,且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分,设DP=x,EQ=y. (1)求x,y的关系式; (2)如果PQ是灌溉水管的位置,为了省钱,希望它最短,求PQ的长的最小值; (3)如果PQ是参观路线,希望它最长,那么P、Q的位置在哪里? 20.设正整数a,b,c满足:对任意的正整数n,an+bn=cn+1. (1)求证:a+b≥c; (2)求出所有满足题设的a,b,c的值. 参考答案 一、填空题 1.(-π2,0) 2.1 3.如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直,则这两个二面角相等或互补.(答案不唯一)假命题 4.80 5.①④ 6.47+47k<147+47k+47k2≥1 7.> 8.1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n 9.(-∞,-23) 10.85或255 11.3+22 12.12(n-2)(n+1) 13.103
14.甲、丙、丁
二、解答题
15.(1)因为mx2-nx-n2<0的解集为{x|-1 所以-1,2是方程mx2-nx-n2=0的两个根. 根据根与系数的关系,有nm=-1+2=1,-n2m=(-1)×2=-2, 解得m=n=2. (2)m=2,不等式mx2-nx-n2<0即2x2-nx-n2<0, 2x2-nx-n2<0(2x+n)(x-n)<0. (1)若n=0,则原不等式为2x2<0,解集为. (2)若n>0,则n-(-n2)=3n2>0,即-n2 (3)若n<0,则n-(-n2)=3n2<0,即-n2>n,原不等式的解集为(n,-n2). 故当n=0时,不等式的解集为; 当n>0时,解集为(-n2,n); 当n<0时,解集为(n,-n2). 16.(1)由an+1=(q-1)Sn+1可得an=(q-1)Sn-1+1(n≥2), 两式相减得an+1-an=(q-1)an,所以an+1=qan(n≥2). 欲使数列{an}等比数列,只需a2=qa1即可, 因为a2=(q-1)S1+1=(q-1)a1+1,所以(q-1)a1+1=qa1,所以a1=1. 若由a22=a1·a3,求出a1=1再验证数列{an}是等比数列,参照上述解法给分. (2)方法一:若q=1,2S10≠S4+S7,与已知矛盾,故q≠1. 由2S10=S4+S7,得 2a1(1-q10)1-q=a1(1-q4)1-q+a1(1-q7)1-q, 即2a1q8=a1q2+a1q5,即2a9=a3+a6,所以a3,a9,a6成等差数列. 方法二:由S4,S10,S7成等差数列,可得2S10=S4+S7, 因为S7=S4+q4S3,S10=S4+q4S3+q7S3,可得q4S3+2q7S3=0, 因为S3≠0,所以q3=-12, 又2a9-(a3+a6)=a1q2(2q6-q3-1)=0,所以a3,a9,a6成等差数列. 17.(1)若4∈B,则4-a3-a2<0a<-3或3 ∴当4B时,实数a的取值范围为[-3,3]∪[4,+∞). (2)∵A={x|(x-2)(x-3a-1)<0},B={x|a 要使BA,必须a≥3a+1a2+1≤2,此时-1≤a≤-12; ②当a=13时,A=,使BA的a不存在; ③当a>13时,A=(2,3a+1), 要使BA,必须a≥2a2+1≤3a+1,此时2≤a≤3. 综上可知,使BA的实数a的取值范围是[2,3]∪[-1,-12]. 18.解:(1)∵y=x(x+n)+4x-2=x2+(4+n)x-2在[0,1]上为增函数, ∴an=-2+1+4+n-2=n+1﹒ (2)∵nb1+(n-1)b2+…+bn=(910)n-1+(910)n-2+…+910+1=10[1-(910)n], ∴(n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1+0=10[1-(910)n-1](n≥2)﹒ 两式相减得b1+b2+…+bn=(910)n-1(n≥2), ∴b1+b2+…+bn-1=(910)n-2(n≥3). 两式相减得bn=-110·(910)n-2(n≥3). 又b1=1,b2=-110, ∴bn=1,(n=1)-110·(910)n-2,(n≥2,n∈N*). (3)由cn=-2,(n=1)n+110·(910)n-2,(n≥2,n∈N*)及当k≥3时ckck-1≥1,ckck+1≥1,得k=9或8﹒ 又n=1,2也满足,∴存在k=8,9使得cn≤ck对所有的n∈N*成立. 19.(1)延长BD、CE交于点A,则AD=3,AE=2,则S△ADE=S△BDE= S△BCE=32. ∵S△APQ=3, ∴14(x+3)(y+2)=3, ∴(x+3)(y+2)=43. (2)PQ2=AP2+AQ2-2AP·AQcos30° =(x+3)2+(43x+3)2-2×43×32 ≥2×43-12=83-12, 当(x+3)2=(43x+3)2,即x=243-3时, PQmin=83-12=223-3. (3)令t=(x+3)2,∵x∈[33,3],∴t∈[163,12],(x的范围由极限位置定) 则PQ2=f(t)=t+48t-12, ∵f′(t)=1-48t2,令f′(t)=1-48t2=0,得t=43, ∴f(t)在(0,43)上是减函数,在(43,+∞)上是增函数, ∴f(t)max=max(f(163),f(12)}=f(12)=4,PQmax=2, 此时t=(x+3)2=12,x=3,y=0,P点在B处,Q点在E处. 20.证明:(1)依题意,当n=1时,a+b=c2, 则a+b-c=c2-c=c(c-1), 因为c∈N*,所以c(c-1)≥0, 从而a+b-c≥0,故a+b≥c; (2)an+bn=cn+1即(ac)n+(bc)n=c,(*) 若a>c,即ac>1,则当n≥logacc时, (ac)n≥c,而(bc)n>0,于是(ac)n+(bc)n>c,与(*)矛盾; 从而a≤c,同理b≤c. 若a≤c,则0 又c∈N*,故c=1或2, 当c=1时,an+bn=1,而an+bn≥2,故矛盾,舍去; 当c=2时,(ac)n+(bc)n=2,从而ac=bc=1,故a=b=2, 综上,所有满足题意的a,b,c依次为2,2,2. (作者:夏志勇,海安县曲塘中学)
篇5:数列简单练习
参考答案
一、选择题:
21.已知a01,a13,anan1an1(1)n,(nN),则a3等于(A)
(A)33(B)21(C)17(D)102.中,有序实数对(a,b)可以是(D)41114111(A)(21,-5)(B)(16,-1)(C)(-)(D)(,-)222
23.等差数列an中,a1a(a0),a2b,则此数列中恰有一项为0的充要条件是(C)
(A)(a-b)N(B)(a+b)N(C)abN(DN
abab
4.设an是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是(B)
(A)1(B)2(C)4(D)6
5.若等差数列的前n项和为48,前2n项和为60中,则前3n项的和为(C)
(A)84(B)72(C)36(D)-2
46.已知135(2n-1)115(nN),则n的值为(C)2462n116
(A)120(B)121(C)115(D)116
7.等差数列an中,a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20项和等 于(B)
(A)160(B)180(C)200(D)220
8.若等差数列an中,已知a3:a53:4,则S9:S5的值是(D)
279412(A)(B)(C)(D)2043
59.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和为781,则k的值为(A)
(A)20(B)21(C)22(D)2410.一个等差数列共2n1项,其中奇数项之和为276,偶数项之和为241,则这个数列的第n+1项等于(C)
(A)31(B)30(C)35(D)28
11.数列anb中,a,b为常数,a0,该数列前n项和为Sn,那么n2时有(C)(A)Sn(na+b)(B)Snan2bn
(C)an2bnSn(na+b)(D)(na+b) 12.设yf(x)有反函数yf1(x),又yf(x2)与yf1(x1)互为反函数,则 f1(2004)f1(1)的值为(B) (A)4008(B)4006(C)2004(D)2006 二、填空题: 13.已知an是等差数列,且a511,a85,则这个数列的通项公式是an=-2n+21.14.在等差数列an中,a11,当a1a3a2a3取得最小值时公差d=-.15.在等差数列an中,a10,S160,S170,则当nSn最大.16.设一等差数列前m项的和Smm2p(pZ),前n项的和Snn2p,则其前p项的和Spp3.三、解答题: 7an2b13 17.已知数列2,2,的通项公式为an,求这个数列的第四项和第五项,4cn4 和是否为这个数列中的一项? abc2 aR且a0 4ab7 解得b3a解:将n=1,n=2,n=3代入可得 2c4c2a 9ab 3c2 n231914an,a4,a5 2n85 1n2313n2319得n=6,或n=(舍),而方程无正整数解,由 22n42n4 因此 1319 是这个数列中的第6项,不是这个数列中的一项。44 18.在等差数列an中,(1)已知d2,an11,Sn35,求a1,n;(2)已知a610,S55,求a8和S8;(3)已知a3a5a12a19a2115,求S23; ana1(n1)da12(n1)11 a11a13 解:(1) 或1 Snna1n(n1)dna1n(n1)35n7n52 aa15d10a5 (2)61a816,S844 S55a110d5d3 (3)a3a5a12a19a2115a123S23 23(a1a23) 23a1269 19.数列an的前n项和Sn a112 n2n(nN),数列bn满足bnn(nN).2an (1)判断数列an是否为等差数列,并证明你的结论; 解:(1)当n1时,a1S1;当n2时,anSnSn1n) (2)求数列an的前n项的和;(3)求数列bn中值最大的项和值最小的项.35 a1满足()式,annnN) anan11(常数)an是等差数列。 12 n2n,1n22 (2)设an的前n的和为Tn,Tn 1n22n4,n32 11155 1,函数f(x)1在区间及, 55an22nx22 上分别为减函数,当n2时,bn最小为b21,当n3时,bn最大为b33(3)bn1 n1 ,20.已知数列通项anlg1002 (1)写出这个数列的前三项;(2)求证这个数列是等差数列; (3)这个数列的前多少项之和最大?求出这个最大值.解(1)anlg100(n1)lg 2(lg2)(n1), 22 a3,2 lg2a12,a22lg2 21)anan1lg2n(2数列)a(2n为等差数列 (3)由 an02(n4 0n1n14 lg2 an102n40nn13 lg2 lg2 2 当n=14时,Sn的值最大,即前14项之和最大,且S1428 21.已知函数f(x) (1)求f(x)的反函数f1(x);(2)设a11,x2).f1(an)(nN),求an;an1 m 成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.25 (3)设Sna12a2an,bnSn1Sn,问是否存在最小正整数m,使得对任意 nN有bn 解:(1)设y x2,x1 y=f(x)x0) (2) 1111 224,是公差为4的等差数列。2 an1an1anan4(n1)4n3,且a0,ann22 ana1 a11,(3)假设满足题设的m存在bnSn1Sna n1 1m25 ,由bn得m对nN恒成立4n1254n1 1.等比数列an的前n项和为Sn,若 S6S3 3,则 S9S6 ; 2.若等比数列an的前n项和为Sn,且S32,S618,则 S10S5 ; 3.设数列an,bn都是正项等比数列, Sn,Tn分别是数列lgan,lgbn的前n项和,且 log a5; SnTn n2n1,则 b5 4.数列an是正项等比数列, bn是等差数列,且a6b7,则有() A.a3a9b4b10B.a3a9b4b10C..a3a9b4b10 D..a3a9与b4b10的大小不确定5.在等比数列an中,a2a4是a6a8的 条件;6.已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则 21x amcn * ; 7.设f1(x),定义fn1(x)f1[fn(x)],an fn(0)1fn(0)2,nN,则数列an的通项公式为; * 8.已知数列an满足:a11,an12ann1,nN,若数列anpnq是等比数列,则实数p,q的值分别等 于; 9.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,bn ana 2n1,且bn的前n项和为Tn,若对一切正整数n都有SnTn,则数列 an的公比q; 10.已知等比数列an的首项为8, 前n项和为Sn,某同学经计算得S18,S220,S336,S465,后来该同学发现其中的一个数算错了,则该数是; * 11.已知数列an的首项a15, 前n项和为Sn,且Sn12Snn5,nN.(1)证明数列an1是等比数列;(2)求数列an的通项公式以及Sn.* 12.设数列an的前n项和为Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN).(1)求a2,a3的值; 1、在等比数列{an}中,an>0,且an+2=an+an+1,求该数列的公比q; 2.等比数列{a n }中,已知a9 =-2,求此数列前17项之积; 3.等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,求a99+a100; 4、设{an}是由正数组成的等比数列,且公比不为1,比较a1a8与a4a5的大小; 5.已知{an}是等比数列,且an0,a2a42a3a5a4a625,求a3a5; 6.设{an}是正数组成的等比数列,公比q2,且a1a2a3a302,求 a3a6a9a30? 7.某厂2011年12月份产值计划为当年1月份产值的n倍,求该厂2011产值的月平均增长率; 8.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。30 {an}中的部分项组成的数列ak1,ak2,akn恰为等比数列,9、数列 {an}为等差数列(d0),且k11,k25,k317,求akn; 10.已知数列满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1)求证数列{an+1}是等比数列; 类型1:an+1-an=f(n)型 由此类递推式给出的数列,求通项公式,采用“累加法”. 例1 (2008年天津文)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0). (Ⅰ)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅲ)略. 解析:(Ⅰ)递推式得an+1-an=q(anan-1), 即bn=qbn-1.n≥2. 又b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ),an+1-an=bn=qn-1,则 当q=1时,an=n. 当q≠1时,. 综上, 类型2: 由 累乘可得. 例2已知数列{an}中,a1=2,,求{an}的通项公式. 解析:注意到递推公式是一个乘积形式,可以把它转化为商的形式,用迭乘法便可消去中间项,从而求出其通项公式. 因为 所以 所以 即an=2n. 类型3:型 对于这类递推数列,可通过两边同时取倒数的方法得出关系式. 例3 (2008年陕西)已知数列{an}的首项,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ) (Ⅲ)(略). 解 所以 又 所以 从而 类型4:a'n+1=pan+q型 对于形如an+1=pan+q的递推式,通常采用待定系数法进行转化,假设递推式可化成an+1+x=p(an+x),即an+1=pan+(p-1)x,比较系数可知.可令an+1+x=bn+1,换元即可转化为等比数列来解决. 例4 (2008年安徽文)设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*,其中a,c为实数,且c≠0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)(Ⅲ)(略). 解析:因为an+1-1=c(an-1),所以当a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列. 所以an-1=(a-1)cn-1, 即an=(a-1)cn-1+1. 当a=1时,an=1仍满足上式. 所以数列{an}的通项公式为 an=(a-1)cn-1+1(n∈N*). 类型5:an+1=pan+f(n)型 这类数列较复杂,在此只研究两种较为简单的情况,f(n)是多项式或者幂的形式. 例5设数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2n+1,求数列{an}的通项公式. 分析:先用求差法,将an+2=3an+1+2n+3与an+1=3an+2n+1相减,得 记 这是类型4,可求得bn,进而得到an的表达式an=3n-n-1.过程略. 例6 (见2008年四川)设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n-(b-1)Sn,求{an}的通项公式. 解析:将6an+1-2n+1=(b-1)Sn+1与ban-2n=(b-1)Sn相减,有 两边同除以2n+1,有 这是类型4. 当b=2时,得. 则是首项的等差数列, 得an=(n+1)2n-1. 当b≠2时,可得 数列是首项为,公比为的等比数列,所以 从而得. 【关键词】 数列 概念 教学设计 教学反思 【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772(2014)04-004-01 1. 教学目标 知识与技能目标。通过实例,了解数列的相关概念和表示方法,知其是一种特殊的函数,掌握用观察法求数列的通项式。 过程与方法目标。通过对例子的观察分析出数列的概念,培养学生由特殊到一般的归纳能力,观察能力和抽象概括能力。 情感态度与价值观目标。在参与问题讨论并获得解决中,培养观察、归纳的思维品质,养成自主探索的学习习惯;并通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 2. 教学重点与难点。 重点 观察法求数列的通项公式。 难点 了解数列与函数之间的关系。 3. 教学方法 启发引导式。 4. 学习方法 学案导学、自主探究、合作探究。 5. 教学过程 5.1 创设情境,引出课题 师:古希腊数学家毕达哥拉斯认为, “万物皆数”,“1”是万物之母;“2”是意见;“3”是形体;“4”是正义;“5”是婚姻;“6”是灵魂;“7”是机会;“8”是和谐;“9”是理性;“10”是美好。今天我们这节课我们一起踏着古人的足迹,进入数字的世界,继续数的研究。 5.2 自主探究,形成概念 师:下面请同学们根据学案中的问题提纲阅读课本,找到相应问题的答案。1. 数列的概念;2. 数列的项;3. 首项;4. 数列的一般形式及简单记法;5. 数列的分类。 5.3 随堂检测,自我反馈 师:请同学们看大屏幕,思考并回答相应问题。 问题1:数列10,9,8,7,6,5,4 和4,5,6,7,8,9,10是同一个数列吗? 问题2:数列1,2,4,8,16,32,64.的首项是几?16是第几项? 问题3:an和{an}是一回事吗? 问题4:给下列数列恰当的分类。 (1)全体自然数构成数列:0,1,2,3,… (2)无穷多个3构成数列:3,3,3,3,… (3)目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列:100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1. (4)- 1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂……构成数列:– 1,1,1,1,… 5.4 合作探究,提升认识 师:请同学们观察数列,回答相应问题。 序号n 1 2 3 4 … … 项 an a1 a2 a3 a4… … 师:数列中的每一个序号对应着多少个项? 生:唯一一个。 师:数列作为函数自变量是什么?函数值又是什么? 生:自变量是序号,函数值是项 an。 师:数列作为函数定义域是什么? 生:正整数集或正整数集的子集。 师:通过对数列相关问题的探究,我们不难发现数列可以看成是从序号到项的函数,这就是数列的本质。 5.5 师生合作,寻求通项 师:数列既然可以看成一种函数,那么数列是否也存在着某种解析式呢?请同学们观察 下列数列,写出数列的第项。 序号n 1 2 3 4 … … 项 1 2 4 8 … … 生:an=2n-1 师:这个数列的第项与序号之间存在着一种关系式,我们把这个关系式叫做数列的通项公式。 5.6 运用巩固,形成能力 例 寫出一个通项公式,使它的前4项分别是下面各数。 (1)1,3,5,7 (2)4,9,16,25 (3)1,-1,1,-1 (4)-■, -■ ,-■ ,■ 练习:写出一个通项公式,使它的前4项分别是下面各数(1)2,0,2,0. (2)4,9,16,25. (3)2,4,8,16.(4)1,-1,1,-1.(5)-■,■,-■,■. 5.7 寓教于乐,课堂活动 师:全班同学以小组为单位进行砸金蛋中大奖游戏,6各小组依次进行砸金蛋,回答相应问题,回答正确者可以得到相应的分数,答错者不扣分。 师:六颗金蛋中相应题目如下: 1. 根据数列前4项写通项公式。 2. 图中的点数一次构成数列的前 4项,请写出数列的一个通项公式。 3. 恭喜抽中特等奖免答加2分! 4. 观察数列的特点,用适当的数填空,写出一个通项公式。 1,■,( ),2■,( ),■ 5. 根据通项公式,写出数列的前5项,并判断35是数列中的项吗?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由。 6. 根据数列的前4项,写出通项公式。 9,99,999,9999. 5.8 回顾总结,提升认识 师:请同学结合本节课所学,谈谈本节课的收获。 师:一个定义是数列;一个公式是通项;一种联系与函数。 5.9 拓展延伸,继续提高 A层作业:课后练习第1题,第4题; B层作业:课后习题B组第2题; 一、选择题 1.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=250,则a2+a8的值等于()A.50B.100C.150D.200 2.在数列{a2n}中,a1=1,an+1=an-1(n≥1),则a1+a2+a3+a4+a5等于()A.-1B.1C.0D.2 3.若数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+3,则此数列的前3项依次为()A.-1,1,3B.2,1,3C.6,1,3D.2,3,6 4.等差数列{an}中,a4+a7+a10=57,a4+a5+…+a14=275,ak=61,则k等于() A.18B.19C.20D.21 5.设Sn是等差数列an的前n项和,若S735,则a4()A.8B.7C.6D.5 6.已知{a*n}是递增数列,且对任意n∈N都有a2n=n+λn恒成立,则实数λ的取值范围是() A.(-7,+∞)B.(0,+∞)C.(-2,+∞)D.(-3,+∞) 7.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项为() A.0B.37C.100D.-37 8.数列{a211 2n}中,a1=1,a2=3,且n≥2时,有a =,则()n1an1anA.a23)nB.a2n-122 n=(n=(3)C.an=n2D.an=n1 9.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=250,则a2+a8的值等于() A.50B.100C.150D.200 10.设{a是公差为d=-1 n}2的等差数列,如果a1+a4+a7…+a58=50,那么a3+a6+a9+…+a60=() A.30B.40C.60D.70 11.一个数列的前n项之和为Sn=3n2+2n,那么它的第n(n≥2)项为 () A.3n2B.3n2+3nC.6n+1D.6n-1 12.设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是() A.1B.2C.4D.6 二、填空题 13.等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,则S19=___________ 14.有两个等差数列{a若a1a2n}、{bn},an3n1a2n3,则13b1b2bnb= 1315.在等差数列{a公差为1 n}中,2,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a2+a4+a6+…+a100=_________ 16.在等差数列{an}中,若a1+3a8+a15=120,则2a9-a10=________ 17.设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9= 18.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和 等于 19.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9 三、计算题 20.求数列 112,123,1341n(n1)....前n项的和.作者QQ:11689037 21.求数列an=3 n(n2)的前n项和.22.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求其通项an.23.已知等差数列{an}前n项和Sn=-n(n-2),求{an}通项公式 24.已知数列{an}中,a1=0,a2=2,且an+1+an-1=2(an+1)(n≥2) (1)求证:{an+1-an}是等差数列;(2)求{an}通项公式 25.已知等差数列{an}前3项和为6,前8项和为-4 (1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)求数列{Snn }的前n项和Tn 26.已知数列an的首项为a1=3,通项an与前n项和sn之间满足 2an=sn·sn1(n≥2).(1)求证:1篇6:数列练习3
篇7:等比数列速成练习
篇8:几类简单递推数列的通项公式
篇9:数列简单练习
篇10:等差数列重点题型练习