等比数列教案

等比数列教案（精选11篇）

篇1：等比数列教案

等比数列的前n项和（第一课时教案）

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。2.从学生认知角度来看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。3.学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。4.重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用． 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

二、目标分析

1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

3．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。

三、教学方法与教学手段

本节课属于新授课型，主要利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.四、教学过程分析

学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的能力。

1．创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得太容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？

【教师提问】

同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定． 2．学生探究，解决情境

263在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，2，„，2是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？

探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联设s=1+2+22+23++26364系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则2s64=2+22+23++263+264，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？ 有

【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．

解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两

s642641式相减，相同的项就可以消去了，得到：。老师强调指出：这就是错位相减法，并 2 要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。3．类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为an，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

一般等比数列前n项和：Sna1a2a3an1an?

即Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1?

方法1：错位相减法

2n2a1qn1Sna1a1qa1qa1q 23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qa1(1qn)(1q)Sna1a1q1q这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？

na1(1qn)Sn1qna1q1

q1na1a1qn在学生推导完成之后，我再问：由(1q)Sna1a1q得Sn

1q【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。4．讨论交流，延伸拓展

探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道, sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1=a1+q(a1+a1q++a1qn-2)那么我们能否利用这个关系而求出Sn呢？ 方法2：提取公比q Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1 a1q（a1a1qa1qn2）a1q（Sna1qn1）(1q)Sna1a1qn

根据等比数列的定义又有呢？

方法3：利用等比定理

a2a3a4an=====q，能否联想到等比定理从而求出sna1a2a3an-13

aaa2a34nq a1a2a3an1a2a3anSa1qn(1q)Sna1anq

Saa1a2an1nn„„

【设计意图】以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到Sna1qsn1, 这其实就是关于Sn的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.领悟数学应用价值，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。5．巩固提高，深化认识

（1）口答：

在公比为q的等比数列{an}中

若a12,q1，则Sn________，若a11，q1，则Sn________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a31,S34（2）判断是非：

1(12n)①1248(2)

（）12n23n1(12)②12222

（）

12③若c0且c1，则

n1121，求a1及q.2cccc2462nc2[1(c2)n]1c（）

【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。

6．例题讲解，形成技能

例1．求和

1aaaa

1111例2．求等比数列，，的第5项到第10项的和．

24816方法1： 观察、发现：a5a6a10S10S4．

方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为a516，公比为q2，项数为n6．

23n1111变式1：求11，2,3,4,5的前n项和． 248163212345变式2：求，，的前n项和．

2481632【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公 式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。7.总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。8．课后作业，分层练习

必做： P129练习3（1）习题3.5 第1题 选作： 思考题(1):求和 x+2x2+3x3++nxn.（2）画一个边长为2cm的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和。

【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展.让学有余力的学生有思考的空间，便于学生开展自主学习。

五、评价分析

本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。

六、教学设计说明 1．情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。2．问题探究活动化．

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。3．辨析质疑结构化．

在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。4．巩固提高梯度化．

例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。5．思路拓广数学化．

从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学． 6．作业布置弹性化．

通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．

篇2：等比数列教案

教材：人教版必修五§2.5.1

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前

n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方

法，渗透方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；

（2）等比数列的前n项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程：

一、复习提问

回顾等比数列定义，通项公式。

（1）等比数列定义：（2）等比数列通项公式：

（，（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算

引出课题:等比数列的前n项和。

三、问题探讨： 问题：如何求等比数列的前n项和公式

回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。

倒序相加法。

等差数列

根据等差数列的定义

它的前n项和是

（1）

（2）

（1）+（2）得：

探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？

学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。

回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。

构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？

根据等比数列的定义：

变形：

具体：

„„

学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：

由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。所以将这一特点应用在前n项和上。

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

（1）

（2）

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

当q=1时，当时，学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

当

四.知识整合:

时，1．等比数列的前n项和公式：

当q=1时，当时，2．公式特征：

⑴等比数列求和时，应考虑

与

两种情况。

⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。

⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，五个量中“知三求二”（方程思想）。3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。

五、例题精讲：

例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。

变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8„的前多少项和是63.⑵求等比数列1,2,4,8„第4项到第7项的和.，例2．画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？

⑵若已知所画正方形的面积和为画的最后一个正方形的面积。，求一共画了几个正方形，及所 解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且

（1）

（2）

答：（1）第七个正方形的面积是。

（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是。

巩固练习：⑴已知等比数列中，,求。

⑵已知等比数列

六、课堂小结：

中，,，求n。

1、等比数列的前n项和公式：

当q=1时，当时，2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。

3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。

七、课后作业：

基础题：课本P61习题2.5 A组1，2

篇3：等比数列教案

例1

数列{an}, 已知a1=1, an=3an-1+2, 求an.

解∵an=3an-1+2, ∴an+1=3 (an-1+1) .

数列{an+1}构成等比数列,

an+1= (a1+1) ·3n-1= (1+1) ·3n-1,

∴an=2·3n-1-1.

二、构造

成等差数列, 形式an=Aan-1+λAn

例2

数列{an}, 已知a1=2, an=2an-1+3·2n, 求an.

∴an= (3n+4) ·2n, (n≥2) .

三、构造

成等差, 形式an=Aan-1+λAn+B

例3

数列{an}, 已知a1=1, an=2an-1+2n+3, 求an.

四、构造an{+μB}n=A an-1+μBn{}-1成等比, 形式an=Aan-1+λBn

例4

数列{an}, 已知an=2an-1+3×5n-1, a1=6, 求an.

解∵an=2an-1+3×5n-1, ∴an-5n=2 (an-1-5n-1) .数列an{-5}n构成等比数列, ∴an-5n= (a1-5) ·2n-1= (6-5) ·2n-1, ∴an=5n+2n-1.

五、构造

成等差, 形式

例5

六、构造

成等比, 形式

例6

七、构造an+1{+λa}n使其等比, 形如an+2=Aan+1+Ban

例7

数列{an}, 已知

八、构造{an+λn+μ}成等比, 形式an=Aan-1+f (n)

例8

数列{an}, 已知a1=1,

以上的一、三、六、七、八中的参数λ, μ可用待定系数法来求.当然, 构造等差、等比数列求通项方法还有很多形式, 本文重点突出实用性, 以学生解题常遇到的类型为主进行了归纳和总结.

摘要：递推数列直接求通项很困难, 但通过构造辅助数列, 使之成为等差数列或等比数列, 从而求出递推数列的通项就相对容易.本文是通过在教学中常遇到的求递推数列的通项的数列题, 加以归纳提炼, 总结出以下八种形式, 供师生参考.

篇4：等比数列教案

关键词：等比数列；通项公式；前 项和公式；广义公式

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）12-020-01

例题：设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则为多少？

分析：题中要求的是 的“值”，在已知条件中， 是“唯一”的一个已知量，由此判定要求的 肯定和q有关系，因此需建立一个 与 的关系，由于数列 是等比数列，容易联想到等比数列前 项和公式：

以及通项公式：.

除以 ，发现 可以转化为只与 有关的表达式，即

此外， ， .

从而 ，进而由 易知 .

解：法一： 设等比数列 的首项为 ,

，

又 .

法二：设等比数列 的首项为

因，

所以， 将 代入，即得

总结：方法一从等比数列通项公式和前n项和公式出发，分别表示的分母和分子，拆解表达式，进而找到 与已知量q之间的关系式；法二从 出发，用 表达 .主要运用避重就轻、化繁为简的思想。

思考：在例题条件下， ？

显然， 是可以用以上两方法进行求解。这是因为 与 均可由 与 表示为 （ 表示 的函数）.解答等比数列问题，常常需要对通项公式和前n项和公式进行变形，下面从例题的角度推导出等比数列的广义公式.

等比数列通项公式： .

（因 时，等比数列为常数列，故以下讨论中不考虑此情况.）

由（1）有， ，两式作商化简：

等比数列前 项和公式:

(2)式中令 代入（3）式，化简：

在例题条件下，由公式（4）得：

，即 .

综上所述，等比数列通项公式、前 项和公式的广义公式分别如下：

篇5：等比数列的教学教案

老师：同学们，上节课我们是对等差数列的相关知识点进行了复习，那么现在我们来复习一下高中数列的学习中另一类重要的数列，是什么数列呢？ 学生：等比数列

老师：下面我们这节课来复习等比数列（板书），这一章我是重点讲过的，现在大家思考下列几个问题：（看看你们下去是否看过书）1，等比数列的定义（一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列）

2，等比数列的通项公式，前n项和公式

3，等比中项的概念（与等差中项的概念类似，如果在a和b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项）

4，等比数列最基本性质（现在我们来讨论一下等比数列中所具备的最基本的性质）

学生A：回答问题1，如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的“商”是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做这个等比数列的公比，记为q.（也就是等比数列的公比）老师：还有没有

学生：

1、数列是从第二项起

2、“商”不能为0，也就是数列的每一项都不能为0（“商表示什么？老师提问，这里是让学生把“商”和公比联系起来）

3、同一个常数（什么意思，请B同学讲解一下A同学同一个常数是什么意思）（后一项比上前一项是一个常数，我们可以用式子表示为a4/a3=a6/a5)老师：常数是等比数列吗？

学生A：不对，非零常数数列才能等比数列，也可以是等差数列。而零数列只能算是等差数列。

对学生B：回答问题2，等比数列的通项公式为？

等比数列的求和公式Sn= 老师：看一下等比数列的求和公式有什么需要注意的。（我看你眼神里面有想法 B同学说一下）在应用等比数列前n项和公式时一定要注意公比得1与不得1两种情况.老师：我们请C同学回答问题3 学生C：若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，老师：好，这里我们就要注意了，等比中项他是可能存在两个的，为什么？b2=ac 这与等差数列的等差中项是不同的。学生D：回答问题4，等比数列有如下性质：

1.若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则am·an=ap·aq.2.若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列.3.下标成等差数列的项构成等比数列.老师：几位同学都答的很好啊，下面我们来做几个小题目来巩固一下刚刚学到的知识。

1、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则ac的值为

（）xy（A）

（B）2

（C）2

（D）不确定 2．等比数列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于（）

(A)．b8/a7(B)．(a/b)9 12(C).b9/a8(D)．(b/a)10 3.在等比数列｛an｝中，若a3,a7是方程x²-4x+3=0的两个根，则a5=

4.在等比数列｛an｝中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．

篇6：高中数学等比数列教案设计

知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。

过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。

情感态度与价值观：在传授知识培养能力的同时，培养学生勇于探求，敢于创新的精神，同时帮助学生树立克服困难的信心，培养学生良好的学习习惯意志品质。

教学重点和难点

教学重点：等比数列的概念的形成与深化;等比数列通项公式的推导及应用。

教学难点：等比数列概念深化：体现它是一种特殊函数，等比数列的判定、证明及初步应用。

教学过程

(一)等比数列的概念

1、创设情境，引入概念

引例1：国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗?

所构成的数列：1，2，4，8，16，32，…

引例2：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为：

引例3：《庄子·天下篇》曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

如果把“一尺之棰”看成单位”1”，你能用一个数列来表达这句话的含义吗?“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”

等比数列：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0且an ≠0 )

2、抓住本质，理解概念

试判断下列数列是不是等比数列，如果是求出公比。

(1) 1，3，9，27，81，243，…(公比为3)

(2) 1，1，1，1，... (公比为1)

(3) a， a， a， a，…(不一定)

(4) 1， 6， 36， 0，…(不是)

(5) ，3，6，12… …

(二)、等比数列通项公式的推导

演绎推理论证(累乘法)

设a1，a2，a3…是公比为q的等比数列，则由定义得：

……………………………………(1)

……………………………………(2)

……………………………………(n-1)

问：结合求等差数列的通项公式的方法，如何求得等比数列的通项公式?

篇7：山东省等比数列求和教案

1.知识与技能目标: 1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。2)通过对公式的推导,对学生渗透分类讨论思想以。2过程与方法目标：

通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的数学思想。3.情感与态度目标：

通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。二 教学重点：

等比数列项前n和公式的推导与简单应用。三 教学难点：

等比数列n项和公式的推导。

四、教学过程分析 复习等比数列的相关知识：

（1）等比数列的定义以及数学表达式（2）等比数列的通项公式（3）等比中项以及各项之间的关系 创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得太容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？

【教师提问】

同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定． 3学生探究，解决情境 应归结为什么数学问题呢？

探讨1：

设

s

2 +3 + 

63，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联=1+2++ 264在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？

系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则

64有s 6

4= 2+

2 + 2 3 +



+ 2 6

3+，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？

【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．

解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式

s641相减，相同的项就可以消去了，得到：

64。老师强调指出：这就是错位相减法，并要 求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。4类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

an，公比为q，如何求它的前n

Sa1a2a3an1an?一般等比数列前n项和：n

2n2n1Saaqaqaqaq? n11111即

错位相减法

2n2a1qn1Sna1a1qa1qa1q23n1a1qnqSna1qa1qa1qa1q

na1(1qn)(1q)Sna1a1q1q

这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？

a1(1qn)Sn1qna1q1q1a1a1qnSnn(1q)Saaq1q n11在学生推导完成之后，我再问：由得【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。5例题讲解，形成技能

例1．求和

1aaaa

1111，，2例2．求等比数列4816的第5项到第10项的和．

610104． 方法1： 观察、发现：5方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为

23n

aaaSSa516，公比为q2，项数为n6．

111111，2,3,4,5变式1：求2481632的前n项和．

12345，，2变式2：求481632的前n项和．

【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形 2 成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。6总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。7课后作业，分层练习

篇8：等比数列教案

一、概述

教材内容:等比数列的概念和通项公式的推导及简单应用 教材难点：灵活应用等比数列及通项公式解决一般问题 教材重点：等比数列的概念和通项公式

二、教学目标分析

1. 知识目标

1)

2) 掌握等比数列的定义 理解等比数列的通项公式及其推导

2.能力目标

1)学会通过实例归纳概念

2)通过学习等比数列的通项公式及其推导学会归纳假设

3)提高数学建模的能力

3、情感目标：

1)充分感受数列是反映现实生活的模型

2)体会数学是来源于现实生活并应用于现实生活

3)数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的

三、教学对象及学习需要分析

1、教学对象分析：

1)高中生已经有一定的.学习能力，对各方面的知识有一定的基础，理解能力较强。并掌握了函数及个别特殊函数的性质及图像，如指数函数。之前也刚学习了等差数列，在学习这一章节时可联系以前所学的进行引导教学。

2)对归纳假设较弱，应加强这方面教学

2、学习需要分析：

四. 教学策略选择与设计

1.课前复习

1)复习等差数列的概念及通向公式

2)复习指数函数及其图像和性质

篇9：等比数列教案

（二）【复习目标】 灵活运用等差、等比数列的定义及通项公式的性质简化数列的有关运算； 2 在解题中总结方法和规律，加深对等差数列和等比数列的理解。

【重点难点】

在解题中总结方法和规律，简化数列的有关运算 【课前预习】

9121．在等比数列{an}中，已知首项为8，末项为3，公比为3，则项数n是

（）

A.3

B.4

C.5

D.6 2．等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6是

（）

A.240

B.±240

C.480

D.±480 3．设{an}是一个等差数列，且a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a14=77，如果ak=13，那么k等于

A.16

B.18

C.20

D.22

（）【典型例题】

a1a2a3a4a5a6a1a6a2a5例1

已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，求的值。

例2 已知一个等差数列前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和。

例3 已知等差数列n的前n项和为的通项公式。

asn，令

bn11ab,s3s521.33bsn，2且求数列n

2{a}Sn18n，试求数列{|an|}的前n项和Tn的表述式。nn例4 已知数列的前n项和为

【巩固练习】

1．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为

.2．在等比数列{an}中,已知a2a8=9，则a3a5a7等于

.a1a3a93．已知等差数列{a}的公差d≠0，且a,a,a成等比数列，则a2a4a10的值是

。n

9【本课小结】

【课后作业】

ac24 设a,b,c成等比数列，x为a,b的等差中项，y为b,c的等差中项，求证xy.5 若a+b+c,b+c—a,a+c－b,a+b－c成等比数列，公比为q,求q+q2+q3的值。等差数列{an}中，当m≠2001时，有a2001=m,am=2001，若p∈N,且p>am，试比较am+p与0的大小关系。设数列{an}的首项a1=1，前n项的和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t>0,n=2,3,4,…)证明：数列{an}是等比数列.8 设等差数列 an的前n项和为Sn，若a312，S120，S130。

篇10：数列、数列的通项公式教案

重点：

1数列的概念。

按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。

2．数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。

难点：

根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。

过程：

一、从实例引入（P110）

1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 3． 4．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…

二、提出课题：

数列

1．数列的定义：

按一定次序排列的一列数（数列的有序性）

2． 名称：

项，序号，一般公式，表示法

3． 通项公式：

与 之间的函数关系式如 数列1： 数列2： 数列4：

4． 分类：

递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。

5． 实质：

从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

6． 用图象表示：

— 是一群孤立的点 例一（P111 例一 略）

三、关于数列的通项公式

1． 不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列3）

2． 数列的通项公式不唯一 如： 数列4可写成 和

3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二（P111 例二）略

四、补充例题：

写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列各数：1．1，0，1，0． 2．，，3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5．，，五、小结：

1．数列的有关概念

2．观察法求数列的通项公式

六、作业：

练习P112习题 3．1（P114）

1、2七、练习：

1．观察下面数列的特点，用适当的数填空，关写出每个数列的一个通项公式；（1），，（），…（2），（），，…

2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）

1、、、；（2）、、、；（3）、、、；（4）、、、3．求数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式

4．已知数列an的前4项为0，0，则下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作为数列{an}通项公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③

5．已知数列1，，3，…，…，则 是这个数列的（）A． 第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项

6．在数列{an}中a1=2,a17=66,通项公式或序号n的一次函数，求通项公式。

7．设函数（），数列{an}满足

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）判断数列{an}的单调性。

8．在数列{an}中，an=

（1）求证：数列{an}先递增后递减；

（2）求数列{an}的最大项。

答案：

1.（1），an=（2），an=

2．（1）an=（2）an=（3）an=（4）an=

3．an= 或an= 这里借助了数列1，0，1，0，1，0…的通项公式an=。

4．D

5.B

6.an=4n-2

篇11：等比数列教案

一、教学目标

1.掌握等差、等比数列的性质；

2.能用类比的思想来研究等差、等比数列，体会它们的区别和联系；

3.理解等差数列前n项和Sn与二次函数的关系；掌握求等差数列前n项和最值的基本方法。

二、基础知识回顾与梳理

1、已知an是公差为d的等差数列，下列命题是否正确？

①a2,a4,...a12是等差数列 ；②an,an1,...a1是等差数列；③ca1,ca2,...can（c为常数）是等差数列． 【教学建议】本题选自书本第35页习题，主要复习等差数列的概念，让学生学会用定义判断一个数列是否为等差数列．

2、设an是等比数列，下列命题正确吗？

2①an是等比数列； ②anan1是等比数列；③1是等比数列； ④lgan是等比数列； an⑤anan1是等比数列．

【教学建议】本题选自课本第60页习题，提问学生：如何判断一个数列是否为等比数列，学会用定义判断一个数列是否为等比数列，第⑤小题学生容易忽略等比数列各项不能为零．

3、下列说法是否正确？

①1与4的等比中项是2； ②等比数列an中a11,a54，则a32；

【教学建议】本题考察等比中项的概念，学生可能在概念上犯错，教师在讲解时不需要避免学生出错，让学生暴露问题，老师进一步理清概念．

4、数列1,x,x2,...xn1的前n项和Sn_________．

【教学建议】本题选自书本第56页习题，等比数列求和学生使用时很容易忘记讨论q1，主要让学生加深印象，对等比数列求和一定要考虑q1的特殊情形，进一步练习：等比数列an中，S33a3，则公比q______，说明一些特殊情况下可以回避用求和公式，避免讨论．

三、诊断练习

1、教学处理：数列小题解法较多，要重视学生自己思路解法。课前学生自主完成，黑板板演，老师点评 学生思路方法，比较多种解法，比较优劣，归纳总结．

2、诊断练习点评

题1：在等差数列an中，若S1590，则a8=______________.【分析与点评】提出问题：条件S1590如何使用，引导学生思考用等差数列求和公式的两种表示形式来翻译条件，归纳思路：（1）完全化归为基本量表示，S1515a1寻求Sn和an的关系，S151514d90，化简得a8a17d6；（2）215(a1a15)90，利用性质2a8a1a15，解得a86．

2题2：公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，且3a,若a11，则S4＝________.a2,a3成等差数列，1答案为：20

【分析与点评】（1）等差等比数列的计算强调基本量的运算：化归为a1,d(q)的计算；（2）本题“递增”是关键，学生容易得到a11,a34q24q2，代入公式求解；也可以得到

a1a34,a1a35q24q2．

题3：等比数列an的各项均为正数,且a1a54,则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5.第3题答案为：5

题4：：等差数列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn第4题答案为：Sn_______ n(a1an)n(n1)2

3、要点归纳

（1）强化等差（比）数列的重要性质，对于下标和相等，等差（比）子数列的性质不同，要注意区别；（2）等差（比）数列的前n项和的性质也不同，特别注意有关等差数列前n项和Sn取最值问题，如“诊断练习”第3题；

（3）要重视等差（比）数列的性质在解题中的运用．

四、范例导析

例

1、数列an的前n项和为Sn，若a12且SnSn12nn2,nN

(1)求Sn；

(2)是否存在等比数列bn满足b1a1,b2a3,b3a9？若存在，求出数列bn的通项公式；若不存在，说明理由.【教学处理】让学生板演，了解学生读题后的第一想法，加以点评总结，同时规范学生的书写 【引导分析与精讲建议】

1、第1问强调等差数列的证明,注意n1的验证；

2、第2问注重等差等比数列基本量的计算.解析:(1)因为SnSn12nn2,nN，所以有SnSn12n对n2,nN成立.即an2n对n2,nN成立，又a1S121，所以an2n对nN成立.所以an1an2a对nN成立，所以an是等差数列，所以有Sn(2)存在.由(1)知，an2n对nN成立，所以有a36,a918,又a12，所以有b12，b26,b318,则a1annn2n,nN.2b2b33，b1b2所以存在以b12为首项，以3为公比的等比数列bn.练习:（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10100，S10010，求S110；（2）已知等比数列{an}中，a1a2a37，a1a2a38，求an。

变式题：等差数列an的前m项和Sm30,前2m项和S2m100,求前3m项和S3m [点评]：这里变式题起到巩固知识的作用，引导学生用多种思路来求解． 例2：已知数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若数列{an}是等比数列,满足2a1式;(Ⅱ)是否存在等差数列{an},使对任意nN*都有anSn2n2(n1)?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.第2题答案为：

解:(Ⅰ)设等比数列

a33a2, a32是a2,a4的等差中项,求数列an的通项公an的首项为a1,公比为q，a1(2q2)3a1q,(1)2a1a33a2,依题意,有即32aa2(a2).432a1(qq)2a1q4.(2)由(1)得 q23q20,解得q1或q当q当q2.1时,不合题意舍;2时,代入(2)得a12,所以,an22n12n

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为d,则

[a1(n1)d][a1nn(n1)d]2n2(n1),得 2d22331n(a1dd2)n(a12a1dd2)2n22n对nN*恒成立, 2222d222,32则a1dd2，21223aadd0,1212解得d2,d2,或此时an2n,或an2n.a2,a2.112故存在等差数列{an},使对任意nN*都有anSn2n(n1).其中an2n, 或an2n

例

3、已知等差数列{an}的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列cn对nN均有cc1c2nan1成立，求c1c2c2015． b1b2bn11an.22备用题：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设fxlog3x,bnfa1fa2fan，Tn(3)若cnanfan，求cn的前n项和Un.111，求T2015； b1b2bn【教学处理】第（1）题，可由学生自行解答；第（2）题教师可引导学生进行观察和思考，教师点评时要侧重学生解题方法，注意运用函数的思想，注意对n1时情况的关注，培养学生严密的思维和严谨的学习态度。【引导分析与精讲建议】

（1）用方程思想求出首项和公差公比是解决问题的基础；

（2）对于等差等比综合问题学生会有困难，要引导学生抓住关键，注意等比数列证明方法；

（3）用函数的思想是解决第（2）题的关键所在，解题中要注意培养学生思维的严谨性，对表达中字母n的取值范围加以重视，注意对n1时情况的关注。

五、解题反思