等比数列小结复习

等比数列小结复习（精选11篇）

篇1：等比数列小结复习

等比数列复习资料

知识点：等比数列的定义、等比中项、等比数列的通项公式、前n项和公式 预习题：

1、如果一个数列从第比数列。这个常数叫等比数列的，通常用字母表示。

2、如果三个数a、G、b成等比数列，那么G叫a、b的

3、要证明数列{an}为等比数列。只要证明当n>=2时

4、等比数列{an}的通项公式：

5、等比数列的前n项和公式：

6、等比数列{an}，如果m,n,k,l,为正整数，且m+n=k+l,则有： 特别的，当m+n=2k时。典型题目：

考点1通项公式的直接应用

例1已知等比数列{an}，a1a2a37,a1a2a38若求an。

变式：已知数列{an}为等比数列，a

51a310,a4a6

4,求a4的值。

考点2 等比数列的判断与证明

例2已知数列{an}满足a11,an12an1。

(1)求证：数列an1是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式。

变式：已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=1

3(an1)(nN)。（1）求a1,a2;（2）求证：数列an是等比数列。

考点三等比数列的综合应用 例3数列anbn满足下列条件：a

10,aanan121,an

22,bnan1an（1）求证bn是等比数列。（2）求bn的通项公式

考点四等比数列前n项和公式的直接应用 例4求数列32,94,258,65

16,…的通项公式，并求前n项和。

变式：已知数列1,12,122

2，…,1222…+2n-1

（1）求这个数列的通项公式an（2）求这个数列的前n项和Sn.考点五利用前n 项和公式及等比数列的性质 例5在等比数列an中，已知Sn48,S2n60,求S3n

常规题目：选择题：

1、等比数列1,37,314,321,…中，398

是这个数列的（）A、第13项B、第14项C、第15项D、不在此数列中

211的等比中项为（）A、B、（3 C、1D、

13、在等比数列an中，a2a627,则a3a5等于（）A、27B、-27

C、27或-27D、

4、在等比数列中，若S748，S1460，则S21的值为（）

A、180B、108 C、75D、635、等比数列的前4项和为1，前8项和为17，则这个数列的公比q为（）A、2B、-2 C、2或-2D、2或

16、在等比数列中，公比q是整数，a1a418,a2a312,则此数列的前8项和为（A、514B、513 C、512D、5107、一个工厂的生产总值月平均增长率是p，那么年平均增长率为（）A、(1p)1

2B、(1p)1

2C、(1p)1

21D、(1p)1

2

18、已知数列前n项和Sn2n1，则此数列奇数项的前n项和是（）

A、13(2n11)B、13(2n

12)

C、13(22n1)D、12n

(22)

填空题：

1、在等比数列中，若若a32,a98,则a6

2、等比数列中，已知a92,则此数列的前17项和为

3、首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n-3项是192，则

4、设an是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3a30230，则

a3a6a9a30

5、已知等比数列中，an23n1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为

6、等比数列中，若前n项和S2n1，则a222

2n1a2a3an解答题

1、已知等比数列中，a2a4a664，求数列的通项公式。）

2、求数列112,314,518,7116,,(2n1)1

2n,的前n项和

3、已知等比数列的前n项和为Sn ,若S32，S9146，求S6的值。

篇2：等比数列小结复习

[重点]

等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式。1．定义：数列{an}若满足

an

1=q(q0,q为常数)称为等比数列。q为公比。an

2．通项公式：an=a1qn-1(a10、q0)。

na13.前n

4.性质：（man=a2p，（3）记 5a

1和q[难点]

例题选讲1.（湖北），则a

（）2．（辽宁）,则Sn等于（）3．已知a1（1）（2）设（3）记bn=

2，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.

anan23Tn1

一、选择题

1．在公比q1的等比数列{an}中，若am=p,则am+n的值为（）

n+1n-1nm+n-

1（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq

2.若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列命题中是真命题的是（）（A）若q>1,则an+1>an（B）若03eud教育网 http://教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

（C）若q=1,则sn+1=Sn（D）若-1

b9bb9b10

（A）8（B）（）（C）9（D）（）10

aaaa

4．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为

（）（A）3（B）1（C）n（D）n

35．若

值为（（A）60)

(2){a2n-1的个数为（A）（7a、b（（A）8C，则一AC=B2（9．（）

（A）10．设n} 中（（A（C）至多有一项为零（D）或有一项为零，或有无穷多项为零 11．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为

43（A）（B）（C）2（D）3

（）

4n

112．在正项等比数列{an}中，a1+a2+……an=,则a1+a2+…an的值为

（）

（A）2n（B）2n-1（C）2n+1（D）2n+1-

213.数列{an}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2a3……a20=a50,，则a2a4a6……a20的值为（A）230（B）283（C）2170（D）2102-2（）

14．在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2,则a100的值为（）

（A）2100-2（B）2101-2（C）2101（D）21

515．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）

（A

123．已知…,xn,bK，则45．5a7+2,则实数6．若28在n1.已知等比数列{an}，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式。

2.数列{an}是正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求它的前100项的和。

3.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列，且公比为q,求证：（1）q3+ q 2+q=1,a

（2）q=

c

11,从第二项起，{an}是以为公比的等比数列，{an}22的前n项和为Sn，试问：S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列？为什么？

4.已知数列{an}满足a1=1,a2=-

5.求Sn=(x+

111)+(x2+2)+…+(xn+n)(y0)。yyy

6.某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，50%，但每年年底都要扣除消费基金x资金达到2000万元（扣除消费基金后）（精确到万元）。

7.已知数列{an}满足a1=1,a2n比为q的等比数列(q>0),bn=anan+1，cn=a2n-1+a2n,求cn。

8.7m2,1000/ m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400若付107.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759

1011

1.921,1.0752.065,1.0752.221)

第八单元等比数列

一、选择题CDACABCDBDABABD

二、填空题 1．

12．50，10，2或2,10,50 3．ab

k7k27

4．05.9简解：a3+a9=-,a3a9=a5a7=-,∴(-)=3×+2k=933336、1Ar(1r)n

7.2248、n

(1r)

2二、解答题

n

1①ana1(2)48n-1n-1

1．解得a=3(-2)。1=3 ∴an=a1q2n

4192②a2n3a1(2)

a1(1qn)

①80

2．∵

n项中又由3．（a

 c

4.当当当n1(11212S

1n-1n1

∴Sn=()Sn

1()n

{S}可以构成等比数列。

n1n1

2()25、当x1,y1时，11(1)nnyx(1x)xxn11yny1112n

n∴Sn=(x+x+…+x)+(+)= n

111x1xyy2ynyy1

y

1yn

当x=1,y1时Sn=n+n n1

yy

xxn1

n 当x1,y=1时Sn=

1x

当x=y=1时Sn=2n

6.设an表示第n年年底扣除消费基金后的资金。

a1=1000(1+)-x

21111

a2=[1000(1+)-x](1+)-x=1000(1+)2-x(1+)-x

a3类推所得a5则1000,解得x

7、∵bn+1由a1=1,a由a2=r,a∴Cn8依次类推第n则各年付款的本利和{an}为等比数列。

x(11.07510)

元。∴10年付款的本利和为S10=

11.075

个人负担的余额总数为72×1000-28800-14400=28800元。10年后余款的本利和为18800×1.07510

11.07510288001.075100.07510

288001.075解得x=4200元 ∴x10

篇3：等比数列小结复习

数列是高中数学的重点内容,也是高考的必考内容.回顾新课标区近三年的高考数学自主命题的历史,我们从中可发现高考数列所涉及的主要知识、方法和题型,从而可预测高考数列的命题方向,做到有的放矢,重点突破,提高备考效益.该首轮次的复习重点是数列概念、性质及等差(比)数列的基本运算及基本技能训练提高,以便形成知识体系.

1 考点分析

1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式),了解数列是一种特殊函数.

2)理解等差(比)数列的概念,探索并掌握等差(比)数列的通项公式与前n项和的公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差(比)关系,并能用有关知识解决相应的问题.

3)了解等差数列与一次函数的关系,等比数列与指数函数的关系.

2 命题走向

1)数列在历年高考都占有很重要的地位,一般情况下都是一客观性题目和一个解答题.

2)基本运算的题目主要考察数列、等差(比)数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项及等比中项等基本知识和基本性质的灵活应用,对基本的计算技能要求比较高.常考的题型有:求等差中项、等比中项、通项公式、前n项的和、项数、求公差(比)、某一项或知若干项的和求某一项的取值范围;求参数值(或范围);论证某个数列是等差(比)数列.考察的思想方法有:函数与方程、分类讨论、化归转化、换元法及构造法等.

3 首轮复习建议

1)正确理解等差(比)数列的定义,掌握其通项公式与前n项和公式及其内在规律.

2)要总结归纳解决问题的具体常用方法,如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合等.

3)要善于用函数与方程的思想方法、等价转化的思想方法、分类讨论的思想方法及换元法等解决问题.

4)自觉地运用等差(比)数列的性质来化简计算,提高算理能力.

5)初步熟悉用累加法、累乘法、构造等差或等比法求非等差(比)数列的通项与初步熟悉用错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、拆项分组法、并项求和法、奇偶数项分别求和法求非等差(比)数列的和.

4 例题选讲

4.1 利用数列的有关公式或等差(比)数列的性质求5个量Sn,a1,an,d,n中的某些基本量

例1 (2002年江苏卷)设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,a3=b2b4,分别求{an}及{bn}的前10项的和S10及T10.

法1设公差为d,公比为q,依题意有

解得.

因此

当时,

当时,

法2利用性质,由a2+a4=2a3得

由a3=b2b4得

由(1)(2)得,

又因为b1=1,所以.

以下同法1.

点评本题主要考查等差、等比数列概念及基本运算,考查的思想方法是分类讨论,考查的基本技能是运算能力及逻辑推理能力.要求出等差(比)数列的前10项和,关键求出首项与公差d或公比q.

4.2 论证某个数列是等差(比)数列

例2 (2008年广东惠州二模)设数列{an}中,Sn=4an-1+1(n≥2),且a1=1.

(Ⅰ)若bn—an+1—2an,求证:数列{bn}是等比数列;

(Ⅱ)若,求证:数列{Cn},是等差数列;

(Ⅲ)求数列{an}的通项公式.

解(Ⅰ)当n≥3时,因为

因此,数列{bn}是一个以b1=2,公比为2的等比数列.

(Ⅱ)因为

又因为,所以数列{cn}是一个以首项为,公差为的等差数列.

(Ⅲ)因为

点评本题考查字母的推算变换能力,依据an=Sn-Sn-1 (n≥3)得到关于an-2,an-1,an的递推公式,利用等差(比)数列的定义,将问题解决.

4.3 求非等差、非等比数列的前n项和与通项公式

对于非等差、非等比数列的求和,常用方法有:错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、拆项分组法、并项求和法、奇偶数项分别求和法等;对于非等差、非等比数列求通项公式的常用方法有:累加法、累乘法、构造等差或等比法.

例3 (2007年广东佛山)已知数列{an}满足:a1,a2—a1,a3—a2,…,an一an-1…是首项为1,公比为的等比数列.

(Ⅰ)求an的表达式;

(Ⅱ)若设bn=(2n—1)an,求{bn}的前n项和Sn.

解(Ⅰ)因为a1=1时,

所以

累加得

(Ⅱ)因为

所以

由(1)—(2)得

所以

点评本题考查了利用等比数列的概念先求得an与an-1的递推关系,再依累加法求得通项公式an;求和是高考重点,注意抓住通项这个关键,并能依据通项的特点选择合适简便的方法.本题求和过程采用了分组求和法与错位相减法,把它化为一个是等差的数列,另一个局部是等比的数列,从而达到求和目的.该题算理能力要求较高,综合解决问题的能力要求较强.因而规范求解格式的表达及注重细节突破难点是解此类题成功的不二法宝.

高三复习,内容应循序渐进,能力应螺旋上升.在数列的首轮复习中要强调知识的全面,重点的突显.选题应以容易题与中档题为主,去夯实基本知识、基本技能,为二轮复习与最后冲刺打下坚实的能力保障.

篇4：数列复习指南

在数列中要求理解和掌握的是等差数列和等比数列的概念、通项公式与前n项和公式，特别要注意的是“能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题”，这说明对等差数列和等比数列的考查会是全方位的，这里也含有可以转化为这两类基本数列的递推数列问题.

二、把握考情

数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

三、突破易错点

一般地，数列问题中经常出现的易错知识点有：

（1）等比数列求和时，忽视对q=1的讨论；应用公式an=Sn-Sn-1时，忽略n≥2这个范围的限制；等比数列的各项均不为零等.

（2）数列是特殊的函数，定义域是正整数集或其子集，即n为正整数千万不能忽略.

（3）求和时，注意通项与项数.

（4）易由特殊性代替一般性.

四、关注高考热点

热点1、正确理解和运用数列的概念与通项公式

理解数列的概念，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.

例1（2014年高考新课标全国卷Ⅱ文）数列{an}满足an+1=11-an，a8=2，则a1=.

解析：由题易知a8=11-a7=2，得a7=12；a7=11-a6=12，得a6=-1；a6=11-a5=-1，得a5=2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1=a7=12.

热点2、数列的递推关系式的理解与应用

在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题.

热点6、数列与函数、不等式、解析几何的综合问题

由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考查函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点有函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等.endprint

一、明确考纲

在数列中要求理解和掌握的是等差数列和等比数列的概念、通项公式与前n项和公式，特别要注意的是“能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题”，这说明对等差数列和等比数列的考查会是全方位的，这里也含有可以转化为这两类基本数列的递推数列问题.

二、把握考情

数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

三、突破易错点

一般地，数列问题中经常出现的易错知识点有：

（1）等比数列求和时，忽视对q=1的讨论；应用公式an=Sn-Sn-1时，忽略n≥2这个范围的限制；等比数列的各项均不为零等.

（2）数列是特殊的函数，定义域是正整数集或其子集，即n为正整数千万不能忽略.

（3）求和时，注意通项与项数.

（4）易由特殊性代替一般性.

四、关注高考热点

热点1、正确理解和运用数列的概念与通项公式

理解数列的概念，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.

例1（2014年高考新课标全国卷Ⅱ文）数列{an}满足an+1=11-an，a8=2，则a1=.

解析：由题易知a8=11-a7=2，得a7=12；a7=11-a6=12，得a6=-1；a6=11-a5=-1，得a5=2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1=a7=12.

热点2、数列的递推关系式的理解与应用

在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题.

热点6、数列与函数、不等式、解析几何的综合问题

由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考查函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点有函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等.endprint

一、明确考纲

在数列中要求理解和掌握的是等差数列和等比数列的概念、通项公式与前n项和公式，特别要注意的是“能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题”，这说明对等差数列和等比数列的考查会是全方位的，这里也含有可以转化为这两类基本数列的递推数列问题.

二、把握考情

数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

三、突破易错点

一般地，数列问题中经常出现的易错知识点有：

（1）等比数列求和时，忽视对q=1的讨论；应用公式an=Sn-Sn-1时，忽略n≥2这个范围的限制；等比数列的各项均不为零等.

（2）数列是特殊的函数，定义域是正整数集或其子集，即n为正整数千万不能忽略.

（3）求和时，注意通项与项数.

（4）易由特殊性代替一般性.

四、关注高考热点

热点1、正确理解和运用数列的概念与通项公式

理解数列的概念，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.

例1（2014年高考新课标全国卷Ⅱ文）数列{an}满足an+1=11-an，a8=2，则a1=.

解析：由题易知a8=11-a7=2，得a7=12；a7=11-a6=12，得a6=-1；a6=11-a5=-1，得a5=2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1=a7=12.

热点2、数列的递推关系式的理解与应用

在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题.

热点6、数列与函数、不等式、解析几何的综合问题

篇5：等比数列小结复习

一、[要点梳理]：

1、等比数列的前n项和公式：

2、等比数列的前n项和的性质

二、基础练习：

1、等比数列an中，已知a14,q

1则s10=__________________；

2、等比数列

an

中，已知a11,ka24q3则,Sk=___________________；

3、设等比数列{an}的前n项和为sn，若sm=10，s2m=30，则

s3m=_________________；

4、设等比数列{aS6S9

n}的前n项和为SnS＝3，则＝________；

3S65、等比数列an共有偶数项，且所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为45，则公比

q

三、典型例题：

例

1、等比数列{an}的前n项和为sn，已知a1an66，a2an1128，sn126，求n和公比q的值。

变式1：等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，已知a32,S45S2，求an的通项公式。

变式2：等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则｛an｝的公比为。

例

2、设数列an前n项和为Sn

naqb(a,b为非零实数，q0,q1)。（1）a,b满足什么关系时，an是等比数列；

（2）若an是等比数列，证明：(an,Sn)为坐标的点都落在同一条直线上。

变式：设数列an前n项和为Snn2an2.（1）求a3,a4；（2）证明：an12an是等比数列；

（3）求an的通项公式。3

例

3、已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a11,a2b12，bn2bn1，（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列cnanbn的前n项和为Tn，求Tn。

变式：求和：sn12x3x2nxn

1四、巩固练习：

1、已知x≠0，则1+x+x2+…+xn。

2、设Sn是等差数列an的前n项和，S636,Sn324,Sn6144(n6)，则n=_______。

3、设等比数列{an}的前n项和为sn，s41,s817,则an=______________。

4、在等比数列{an}中，已知sn48，s2n60，则

s3n=_________________。

5、如果数列的前n项和sn

篇6：数列极限复习

姓名

242n1、lim=； n139(3)n

an22n1a2、若lim(2n)1，则=； nbn2b

1an3、如果lim()0，则实数a的取值范围是；n2a

n4、设数列{an}的通项公式为an(14x)，若liman存在，则x的取值范围是n

___；

a5．已知无穷等比数列n的前n项和

穷等比数列各项的和是；

6、数列an满足a1Sn1a(nN*)n3，且a是常数，则此无1，且对任意的正整数m,n都有amnaman，则数列an的3所有项的和为；

7、无穷等比数列an的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：数，m为正整数），若该数列的各项和为3，则a1a2；

8、无穷等比数列an的各项和为2，则a1的取值范围是

1的分m



9、无穷等比数列an中，为；

lim(a2a3...an)

n

=1，则a1的取值范围

cosnsinn

10、计算： lim,[0,]

ncosnsinn

222na2n111、若lim2n1，则实数a的取值范围是； 2n

12a

23n2n(1)n(3n2n)

12、若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,„,则

lim(a1a2an)__________；

n

1

1n2012n(n1)

13、若an,Sn为数列an的前n项和,求limSn____;

n

31n2013n1

214、等差数列an，bn的前n项和分别为Sn,Tn且

an

 nbn

Sn2n

，则Tn3n

1lim15、设数列an、bn都是公差不为0的等差数列，且lim

lim

b1b2b3n

na4n

an

3，则bn16、已知数

列为等差数列，且，则

a117、设等比数列{an}的公比为q，且lim1qn），则a1的取值范围是

n1q

2__________；

18、已知等比数列{an}的首项a11，公比为q(q0)，前n项和为Sn，若

lim

Sn

11，则公比q的取值范围是.；

nSn19、已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有nN*，有4Sn(an1)2，n

（）其中Sn表示数列{an}的前n项和．则limnan

A．0B．1C．D．

220、下列命题正确的是 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„()

（A）limanA, limbnB则lim

n

n

anA

(bn0,nN)

nbBn

（B）若数列{an}、{bn}的极限都不存在，则{anbn}的极限也不存在（C）若数列{an}、{anbn}的极限都存在,则{bn}的极限也存在（D）设Sna1a2an，若数列{an}的极限存在,则数列{Sn}的极限也存在21、用记号“○+”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算, 即a○+b=已知数列{xn}满足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),则limxn等于（）

n

ab

.2A.2

3B.12

C.0D.122、连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1，又A1B1C1的各边中点得到一个新的A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形，A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3，, 这一系列三角形趋向于一个点M。已知

A0,0,B3,0,C2,2，则点M的坐标是（）

52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)

3333323、已知数列

lim

{an},{bn}

都是无穷等差数列，其中

a13,b12,b2是a2和a

3的等差中

an1111lim(...)nbn2，求极限a1b1a2b2anbn的值； n项，且

24、设正数数列

lga

lin

1n

an

为一等比数列，且a24,a416，求

lagn2n

2al2ng；

bnlgan，25、数列{an}是由正数组成的数列，其中c为正常数，数列bna1c，成等差数列且公差为lgc（1）求证an是等比数列；（2）an的前n项和为Sn，求lim26、已知f(x)logax(ao且a1)，an

nSn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),,f(an),2n1,(nN)成等差数列，（1）求数列an的通项公式；

（2）若数列an的前n项和为Sn，当a1时，求lim

Sn

篇7：等比数列小结复习

第22课时：

第三章 数列——等差数列、等比数列的基本运算

一．课题：等差数列与等比数列的基本运算

二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n项和的公式，并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．

三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n项和的公式的应用．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量a1,d(q)来处理； 2．使用等比数列前n项和公式时，必须弄清公比q是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；

3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad,a,ad；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为ad,ad，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等

差数列类似．

4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．

（三）例题分析：

例1．（1）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ．

（2）已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则

a1a3a913．

a2a4a1016例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．

(ad)2(ad)ad16解：设这四个数为：ad,a,ad,，则 aa2ad122解得： a4a9或，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1． d8d6例3．由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式．

解：当q1时，得2na111na1不成立，∴q1，a1(1q2n)11a1q(1q2n)① 21q∴1q

aq2aq311aqaq3② 1111由①得q1101，代入②得a110，10∴an()n2．

说明：用等比数列前n项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．

例4．已知等差数列110,116,122,，（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；

（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.解：an1106(n1)6n104，（1）由4506n104600，得58n82，又nN*, ∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和Sn(a58a82)2513100．

（2）∵an1106(n1)，∴要使an能被5整除，只要n1能被5整除，即n15k，∴n5k1，∴585k182，∴12k16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和S

篇8：高三“数列复习”教学设计

第一部分:基础训练

基础题是对数列通项、前n项和的简单理解, 让学生熟悉等差、等比数列的相关公式.

第二部分:数列的性质

通过这组题让学生对考查的知识点灵活把握, 熟练区分等比、等差数列.

第三部分:基本量计算

这组题告诉告诉学生有一种方法叫基本量法, 不要盲目追求技巧的运用.

第四部分:数列单调性

本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式以及对数运算等基础知识, 考查逻辑推理能力、基本运算能力以及方程与函数、化归与转化等数学思想.

第五部分:数列中的恒等与不等关系

1. (2012·南京调研) 设等差数列{an}的前n项和是Sn, 已知S3=9, S6=36.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 是否存在正整数m, k, 使am, am+5, ak成等比数列?若存在, 求出m和k的值;若不存在, 请说明理由.

2.已知等差数列{an}的首项为a, 公差为b, 等比数列{bn}的首项为b, 公比为a, 其中a, b都是大于1的正整数, 且a1

(1) 求a的值;

(2) 若对于任意的n∈N*, 总存在m∈N*, 使得am+3=bn成立, 求b的值;

(3) 令cn=an+1+bn, 问:数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列?若存在, 求出所有成等比数列的连续三项;若不存在, 请说明理由.

第六部分:构造或证明数列

2.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=t (Sn-an+1) (t为常数, 且t≠0, t≠1) .

(1) 求{an}的通项公式;

(2) 设bn=an2+Sn·an, 若数列{bn}为等比数列, 求t的值.

这部分对学生的能力要求不算太高, 通过例题引导学生学会构造数列的一般思路, 并多练习, 寻找感觉, 要敢于动手.

……

篇9：高考数列题型及复习策略研究

关键字：数列；题型；复习策略；建议

1 高考数列常见题型分析

高考数列常以解答题考察居多，近几年高考中，也加大了对数列基础知识点的考察，以下重点分析数列在高考中的常见考点及题型。

1.1 选择题题型

数列选择题多以考察基本知识点为主，重点考试数列的基本概念及性质，目的是为了考察学生的双击是否扎实，考题普遍比较简单，灵活性不强。

例（2015重庆年高考数学理）：在等差数列{an}中，a2=4，a4=2，则a6=（ ）

A -1 B 0 C 1 D 6

分析： 上例重点考察了等差差数列的基本概念，要求考生会求等差数列的通项公式。

1.2 解答题题型

解答题相比选择题具有一定的难度，但考察题型有规律可循，翻阅近几年高考真题，发现数列解答题经常考察求数列的通项公式、数列求和及数列与不等式、函数的综合问题。

（1）通项公式的求法

一般已知递推公式求通项公式，通常此类题型基本上都能通过变形、构造变为常见等差、等比数列来解决；另一类，已知通项和前n项和的关系来求通项，只需记住公式法即可解决。

（2）数列前n项和的求法

数列求和问题，多以考查公式法、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点，如2013年陕西第20题等。

（3）数列的综合问题

数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，如2014年安徽第19题等。数列与解析几何交汇主要涉及点列问题，难度中等及以上。

2 高考数列复习策略

新课标强调课程的基础性，重视合情推理与逻辑演绎相结合，尽量去减少人为技巧性的东西。近几年新课标卷高考数列解答题第一问考查基本知识点，学生入手容易得分，后一问考查学生运算、推理、探索、论证等能力，明确了高考的导向性。

2.1立足课本，巩固基础

高考中数列主要考查的都是等比数列和等差数列的定义、通项公式和数列求和等基础知识，特别强调基本概念的辨析和两种数列的“知三求二”。针对以上特点，在高考复习中要指导学生做好基础训练，重视细节，例如像q≠0，q=1与q≠1的讨论等，同时留心研究和开发课本上的练习题，那么在高考试题中就不会出现令人意外的超纲题了。

2.2 注重方法，加强变式训练

很多学生在高考复习中由于方法不当，往往采用题海战术，做了海量的练习，但是收效却并不明显。分析原因主要是因为，在做题的时候学生的注意力都集中在对结果的获得，而没有重视解题的方法和解题过程中的思想。这样在遇到一些老题的变型，就仿佛又是面对一道新题，没有思路，也浪费时间。因此在复习中，要强调常规题型的示范功能，在复习中明确“万变不离其宗”的道理，要求学生能够熟练掌握解决数列题的基本方法与技巧，注重题与题之间的差别与联系，特别是教材中等差、等比公式的推导方法与运算技巧在解题中的应用。这样才能减轻题海战术对学生的负担，真正实现“减负高效”。

2.3 注意数列与其他知识点的结合

数列的题型多样，通项公式的求解方法也灵活多变，高考中常常把数列、函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，不断提高逻辑推理能力和分析解决问题能力。

3 复习建议

学习是一个双向影响的过程，高效的学习离不开教师的教和学生的学。因此，在数列的复习中，教师和学生都要改变教学和学习方式，这样才能有效的复习。

3.1 教师方面

（1）以练促教

想给学生一杯水，教师必须是一股长流不息的清泉，所以我们教师要做大量的题目，给自己搞一个题海战术，这样才能选出有针对性的题目来构建多维变式，实现知识螺旋上升，在全面强化热点中突出重点及主干，以此来澄清学生的模糊观念、校正错误、查漏补缺，落实双基，培养学生数学能力。

（2）以案为本

高三复习课的一大特点是：题量大，课堂节奏快。学生在刚刚经历高一高二的学习，一下子难以适应高三中课堂形式，为了使学生迅速适应高三的复习，所以在平时教学中经常采用学案教学的方式进行。学案不同于教案，教案的着眼点和侧重点在于教师讲什么和怎么讲，而学案的着眼点和侧重点在于开启学生智慧，调动学生积极性，发展学生知识和能力；前者重在教，后者重在学；利用学案进行高三数学复习，有利于提高学生的听课堂有效性，同时，也提高学生的听课堂有效性。

3.2 学生方面

（1）强化双基，举一反三

高考数学试题不全是难题，怪题，考试内容包含在平时的复习范围内，只是稍作变式和改动，基本上都可以在平时训练的题目中找到原型。因此，学生在复习中，应不断加强双基的复习和提升，同时，也要对常考点、重点题型进行举一反三，明确出题人意图，理解考题的本质。

（2）及时总结，培养解题习惯

高三的考试较多，做数学试题不计其数，养成好的学习习惯尤为重要。一方面，自己多准备几个笔记本，尤其是错题本，及时总结自己平时做题、考试中的错题，认真反思，这样才能理解深刻，提高迅速；另一方面，在平时有限地做题中，要了解解题的规范性及严谨性，纠正平时答题的不良习惯，掌握正确的答题程序，答题技巧，形成自己一套适合自己的应对考试的方法。同时让自己重视解题过程的语言表达，培养自己条理清楚，步步有据，规范简洁，优美整齐的答题习惯，这样才能让在高考中减少不必要的失分。

参考文献：

[1] 袁长江，例谈数列的学习[J]，新高考（高一版），2007年06期.

[2] 郭胜光，论新课标下数列高考复习的策略[J]，中学数学研究，2008年02期.

[3] 陈水松，从近三年的广东高考数列题看高考复习策略[J]，中学数学研究，2013，6（11）.

[4] 祁玺，新课标高考数列备考复习策略[J]，教育界，2013，4（29）.

[5] 辜琛坤，高考数列解题策略研究[J]，数学学习与研究，2014年01期.

篇10：等比数列小结复习

1．各项为正的等比数列

中，与的等比中项为，则

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】C

2．若记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若a12,S36,则S4（）A． 10或8 B． 10 C． 10或8 D． 10或8 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q，由于a12,S36，显然q1，S322q2q26

3，则

q2q20，q2，S4S3a1q362210，选C．

3．在递增等比数列an中，a2a38,a1a49，则a7 A． 32 B． 64 C． 128 D． 16 【答案】B

2【解析】由题易得： a1a48，a1a49，故a1，a4是一元二次方程x9x80的两个实根，又数列an是单调递增的，∴a11，a48，∴q3∴a7a1q62664．故选：B

a48，即q2，a114．设Sn为数列an的前n项和，a11，an12Sn，则数列的前20项和为（）

anA． 31713171 B． C． D．

19191818223443223443【答案】D 【解析】an12Sn，an2Sn1 相减得an13ann2 由a11得出a22,a23a1，an{1,n123n2,n2，1={11n2 an,n223-12D．2 【答案】D 【解析】 20

考点：等比数列的性质．

11．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a2_________． 【答案】【解析】 16 3

考点：等比数列的通项和前n项和的知识及运用．

12．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，Sn为前n天两只老打洞之和，则Sn 尺． 【答案】2-【解析】 n1+1 2n-1

篇11：高中《数列》专题复习题

1．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)1

22．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn．

4．数列{an}的前n项和为Sn，若an

56161，则S5等于（）n(n1)1 30A．1B．C．D．

5．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x30的两根，则 a2006a2007__________.6．设等差数列an的公差d不为0，a19d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k（）

Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

7.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*．（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

8.已知实数列{an}是等比数列,其中a71,且a4,a51,a6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn,证明: Sn＜128(n1,2,3,…).9．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列．

（2）令bnlna3n1，n1，求数列{bn}的前n项和T． 2，，10．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b31

3（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sbn．

n

11．数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．答案：

B，C，n(5n1)2，B，-18，B

7.（Ⅰ）证明：由题设an14an3n1，得

an1(n1)4(ann)，nN*．

又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a1nn4n，于是数列an的通项公式为

an

1n．所以数列a项和S4n1n

4n的前nn3n(n1)

．（Ⅲ）证明：对任意的nN*，S4n11(n1)(n2)

4n1n(n1)n14Sn32432 1

(3n2n4)≤0．

所以不等式Sn1≤4Sn，对任意nN*皆成立． 8.解：（Ⅰ）设等比数列an的公比为q(qR)，由a647a1q1，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1qq2，a56a1qq1． 因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，q1(q21)2(q21)．

1

所以q1．故aa16qn1641n2n1qnq2

．

1n641

（Ⅱ）San1(1q)1q21nn128112

128．

2aa9．

解：（1）由已知得12a37，:(a13)(a34)

解得a22． 2

3a2.设数列{a}的公比为q，由a，可得a2

n221q，a32q．

又S37，可知222q7，即2q25q20，解得q1q12，q22

．

由题意得q1，q2．a11．故数列{an}的通项为an2n1．（2）由于bnlna3n1，n1，2，，由（1）得a3n123nbnnln233nln2又bn1bn3ln2n{bn}是等差数列．Tnb1b2bn



n(b1bn)



n(3ln23ln2)3n(n1)2ln2.故T3n(n1)

n

ln2．

412dq21，10．解：（Ⅰ）设an的公差为d，则依题意有q0且 bn的公比为q，2

14dq13，解得d2，q2．所以a1n1(n1)d2n1，bnqn2n1．（Ⅱ）

anb2n1

n1． nS352n1

2122n32n22n12

n1，① 2S2352n322n1

n2n32

n2，②

②－①得S22222n21

n2222n22

n1，22121121

n122n22n1

1

22n12n12n3112n162n1． 2

11．解：（Ⅰ）aSn1

n12Sn，Sn1Sn2Sn，S3． n

又S1a11，数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列，Sn1n3(nN*)．

当n≥2时，an2Sn123n2(n≥2)，a1，n1，n

3n2，n≥2．（Ⅱ）Tna12a23a3nan，当n1时，T11；

当n≥2时，Tn14306312n3n2，…………①

3T1n34316322n3n，………………………②

①②得：2Tn242(31323n2)2n3n1

23(13n22)

2n3n113

1(12n)3n1．

T12n

n1

2

3n1(n≥2)． 又T1a11也满足上式，T1n1

n

2

3n1(nN*2)．

数列单元复习题

（一）答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．C2．A3．D4．B5．C6．C7．A8．B9．B10．B

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．－9

112．－113．－11014．515．616．9

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.考查等差数列的通项及求和.【解】（1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3 ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.(2)由an≤0，则3n－63≤0n≤21，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)

＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27（3＋60）（3＋27）

2×20＋2 ×9＝765.18．（本小题满分14分）在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.考查等差数列的前n项和公式的应用.【解】 ∵S＋9×（9－1）17×（17－1）

9＝S17，a1＝25，∴9×252 d＝17×25＋2d

解得d＝－2，∴S25n＋n（n－1）

2(－2)＝－(n－13)2

n＝＋169.由二次函数性质，故前13项和最大.注：本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d＝－2，数列an为递减数列.an＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5 ∴数列前13项和最大.19．（本小题满分14分）数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问

（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.考查数列通项及二次函数性质.【解】（1）由an为负数，得n2－5n＋4<0，解得1

5n＝n2－5n＋42)2－4，∴对称轴为n＝2

＝2.5

又∵n∈N*，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，最小值为22－5×2＋4＝－2.20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 考查等差数列求和及分析解决问题的能力.【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋n（n－1）

2＋5n＝70

整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）∴第1次相遇在开始运动后7分钟.（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋n（n－1）＋5n＝3×70

整理得：n2

＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟.21．（本小题满分15分）已知数列{a的前n项和为S1

n}n，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2.证：{1

S}是等差数列；（2）求an表达式；

n

（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1.考查数列求和及分析解决问题的能力.【解】（1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)S1111

n≠0，∴Sn－Sn－1 ＝2，又S1 ＝a1 ＝2

∴{1

Sn }是以2为首项，公差为2的等差数列.（2）由（11S ＝2＋(n－1)2＝2n，∴S1

n＝n2n

当n≥2时，a1

n＝Sn－Sn－1＝－2n(n－1)

1

（n＝n＝1时，a1

21）1＝S1＝2，∴an＝ 

－1 2n(n－1)

（n≥2）(3)由（2）知b＝1

n＝2(1－n)ann

∴b2＋b2

11111123＋…＋bn22 ＋3＋…＋n 1×2 ＋2×3＋…＋(n－1)n

＝(1111111