等比数列求和公式

等比数列求和公式（精选6篇）

篇1：等比数列求和公式

等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1 时，an为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

等比数列求和公式

(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N).

(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);

(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比,n为项数)

(4)性质：

①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq;

②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=aq^2

(5)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G ≠ 0)”.

(6) 在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项.等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^n Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)

篇2：等比数列求和公式

都不为0，

即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，

这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。

如：

2、4、8、16......2^10

就是一个等比数列，其公比为2，

可写为 an=2×2^(n-1)

等比数列求和公式的推导

首项a1,公比q

a(n+1)=an*q=a1*q^(n

Sn=a1+a2+..+an

q*Sn=a2+a3+...+a(n+1)

qSn-Sn=a(n+1)-a1

篇3：等比数列求和公式

在等比数列求和公式的推导方法———“错位相减”法的教学时,很多教师都感觉这节课不好上,很难上好、上出彩.一节课上下来,基本以“启而不发”而告终,造成教师累、学生懵的局面.于是,有人断言“错位相减”法要让学生自己去发现是“不可能”的.

2原教学行为

在一般的教学过程中,有教师是先回顾等差数列求和公式的推导方法———“倒序相加”法,希望由此启发学生的思维,去发现等比数列的求和公式的推导方法———“错位相减”法.但是从“倒序相加”到“错位相减”,思维跨度太大,两者表面上又没有共同点,难以类比,从而导致学生无语,启而不发.于是,教师只得自说自话,一讲到底.

文[1]深刻剖析了这类教学之所以造成学生“启而不发”的原因,分析了“倒序相加”法和“错位相减”法的共性和本质,提出了引导学生成功的探究、发现“错位相减”法的解决方案.笔者研读后深受启发,同时,希望在文[1]的基础上再作一些尝试,进一步探究解决问题方法背后的思想.

3新教学设计

3.1巧设“铺垫”,蕴含思想

探究不等于放任.要想让学生探究成功,关键在于教师准确把握学生思维的起点,正确评估学生新旧知识之间的差距,适时作好“铺垫”,引领学生思维.

问题1前面我们学习了等差数列,在推导等差数列求和公式时用的是什么方法?

生1:倒序相加.

根据学生的回答,教师板书以下内容,作为思维暗示的“铺垫”.

(1)+(2)则有

师:(3)式中每个括号有何关系?对求Sn有什么帮助?

生2:由等差数列的性质,每个括号的值都相等,从而

师:那么谁能告诉我,这里“倒序相加”为的是实现了什么样的目标?

(这是第1个关键问题,暗示学生通过和式中“不变量”的合并,可以减少和式的项数)

生3:减少项数.

问题2已知怎样求Sn?

生4:用裂项求和法,由于

从而

师:为什么要“裂项”?裂项是为了实现什么样的目标?

(这是第2个关键问题,暗示学生通过“正负抵消”,也可以达到减少和式项数的目的)

生4:可以正负抵消,使和式的项数减少.

师:很好.从以上两例可以看出,数列求和项数较多.如果有现成的求和公式可以用,就可直接用公式法求和,如果没有现成的求和公式可以用,一般策略是利用所求数列具有的性质,通过“减少项数”,达到化繁为简之目的.上述例子还告诉我们,不同的情况需选择不同的方法实现减少项数之目的.

问题3已知实数a,b,c满足,如何求c?

烆生5:第1个等式两边同时乘以2后,与第2个等式作差,即可解得c=1.

师:你是怎么想到乘以2的?又为何要作差呢?

(这是第3个关键问题,暗示学生,使用“消元”是减少变量个数的重要方法)

生5:第1个等式两边同时乘以2后,与第2个等式都含有2(a+b),作差抵消后即可得到关于c的等式.

生6:还可以把a+b看成一个整体,由第1个等式知a+b=3-c,代入第2个等式中,也可解得c=1.

师:哪位同学能总结一下,这两位同学求解的数学思想是什么?

生7:两位同学都用了消元的基本思想,生5利用的是加减消元,生6则利用代入消元.

师:很好.消元是我们求解方程问题的一种常规思想方法,能否将它应用到数列求和问题中,帮助我们减少项数达到求和的目的呢?

3.2类比推演,实现迁移

问题4如何求S64=1+2+22+23+…+263?

生8:因为

在(4)式两边同乘以2,得

(4)-(5)得

所以

师:漂亮.你是怎么想到的?

生8:所求的是一个等比数列,每一项乘以公比2等于后一项.在(4)式两边同乘以2,发现和(4)式中有63项是一样的,两式相减就可抵消这63项.

师:太棒了!基于消项的考虑,这位同学采用加减消项.让我们给这位同学发现的方法取一个名称———“错位相减”法.

生9:还可以代入消项.由(4)解得,

将其代入(5)中,则有

即S64=264-1.

师:(4),(5)两式相减和(4)式代入(5)中这两种方法,有什么联系?

生10:这两种方法的核心都是消项,通过加减消项或代入消项减少项数,达到化简求和的目的.这两种方法其实就是问题3中解方程组所用的加减消元法和代入消元法.

师:这位同学道出了数列求和问题的本质———减少项数.基于消项的考虑,此题还有没有其他的方法呢?这个问题留给同学们课后继续研究.

3.3拓展延伸,凸显本质

师:那么如何求和

生11:也可用“错位相减”法.

……

师:我们利用“错位相减”法成功的解决了等比数列前n项和问题.事实上,利用其思想方法还可以解决其它问题.大家回忆下,我们前面学习的等差数列通项公式是如何推导、证明的?

生12:通过观察、分析,利用不完全归纳法概括出来,再利用累加法证明的.

师:对于等差数列{an},若首项为a1,公差为d,大家能否利用“错位相减”法推导它的通项公式呢?

设计意图想想看在等差数列问题情境中,“错位相减”法怎么用,学生的迁移能力怎么样.

生13:

(7)-(8)得

解得

从而

师:这位同学创造性地使用“错位相减”法.有哪位同学能看懂,帮助解释一下吗?

生14:{an}是等差数列,从第一项起,每一项加上公差d就是后一项,从而可以使用“错位相减”法消项求和.

生15:

(9)-(10),则有

在等差数列{an}中,

上式整理则有

师:很有创造.这位同学利用“错位相减”法给出等差数列通项公式的另一种证明,新颖别致,独具一格.大家思考下,这里使用“错位相减”法时,为什么不采用乘以某个不为0的数q?

生16:数列{an}是等差数列,没有公比q.

生17:(7)式和(8)式错位相减后,anan-1=d(n≥2),产生很多d,也可以起到减少项数的作用.

师:不太准确.在前面等比数列求和中,用q乘以(6)式两边后会产生与(6)式有很多相同的项,将两式错位相减可把相同的项消掉,达到化简求和的目的.此处等差数列中,将(9),(10)两式错位相减,虽然没有消掉一些项,但产生了n-1个常数d,这一过程和我们利用倒序相加推导等差数列求和公式一样具有规律,转化为我们熟悉或具有规律的结构,起到化简和式的作用.

师:现在我们知道,“错位相减”法既可用于等比数列中,也可用于等差数列中.如将(6)式中q的系数ai(i=1,2,…,n)改为连续自然数,即Sn=1+2q+3q2+…+nqn-1(q≠0),如何求和呢?

生18:还能用“错位相减”法.这个结论还可以推广到q的系数分别是一个等差数列的项.

师:这位同学的意思是:若{an}是等差数列,则Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1(q≠0)能用“错位相减”法求和.其他同学有没有异议?

(许多学生议论纷纷,表示同意.教师继续追问,还有没有更大胆的猜想?)

师:设{an}是非零等差数列,{bn}是等比数列,则数列{an·bn}称“差比”数列,它的前n项和能否用“错位相减”法来求呢?留给大家课后第2个问题,请大家自己总结一下“错位相减”法的适用范围.

4课后反思

4.1紧扣本质,体现思想

数学问题的解决需要思想、策略和方法依次从高到低的3种不同层级思维的协同工作,越是上位的思维越是贴近问题的本质,迁移性也越广.类比学习是促进迁移的重要手段,类比的内容不是一些具体的方法或手段,而是问题或思维的本质.“原教学设计”与“新教学设计”的差异,体现在授课教师对本质挖掘水平上的差异.虽然二者都首先复习“倒序相加”法,但处理的方式截然不同,效果也大不相同.原教学设计的复习仅仅是停留在问题表面的、记忆级层次的简单处理;新的教学设计,则在“倒序相加”的本质挖掘上下功夫,凸显思想,将学生的认识一下子从方法的层面上升到策略的层面,为实现在新问题情境下的迁移铺平了道路.

章建跃博士在文[2]中指出,求“等差数列的前n项和”中的“倒序相加法”只是一个技巧,并不是什么思想方法.那“等比数列的前n项和”中的“错位相减法”是什么呢?若不是,此方法背后又隐含着什么样的本质和思想呢?“倒序相加”和“错位相减”是数列求和的两种方法,它们都能起到“消项化简”的作用,都体现了化归这一基本思想,这也是数列求和问题的基本策略.教师须站在思想的高度引导学生挖掘、揭示,引领学生把握纵横关系,把握问题的本质.一旦学生领悟到了其中的奥秘,即使给出一个新的问题情境,仍然能够独立发现解决问题的办法.如在利用“错位相减”法推导等差数列的通项公式时,学生在(5)式左右两边同时加上nd,别出心裁的使用“错位相减”法,超出教师预料.另外,对于问题4的课后研究,学生也给出很多出人意料的巧解、妙解.

4.2合理“铺垫”引导探究

问题的解决,既不能让学生“唾手可得”,也不能让学生“遥不可及”.奥苏泊尔说过,“影响学习的唯一最重要的因素,就是学习者已经知道什么.要探明这一点,并应据此进行教学”.教师必须认真分析学生现有的认知基础和经验与新知识之间的差距,根据学生的认知基础和现有经验,用一定的背景知识和关键性的技能、策略、甚至包括文字和图像等信息的暗示作铺垫,为学生提供一种教学协助,帮助学生完成在现有能力下向高认知学习任务的难度攀升.新教学设计的成功,就在于遵循顾泠沅先生倡导的“序进原理”,在多个环节的落实上由浅入深的设置恰时恰点的“铺垫”问题.通过这些“铺垫”问题,学生能积极地进入教师预设的情境中思考.在恰当的认知冲突中,让学生达到一种“愤”、“悱”状态,能够“跳一跳,够得着”,体会学习的快乐与成功.

4.3“参与”探究,深化理解

篇4：比内公式推广及斐波那契数列求和

关键词：斐波那契数列比内公式推广通项公式前n项和公式前10n项和

意大利数学家斐波那契在1202年完成了《算法之书》，在书中曾经提出有趣的问题：假定一对刚出生的兔子一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问一对刚出生的兔子，一年后能繁殖成多少对兔子？逐月推算,得到一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.这个数列后来便以斐波那契的名字命名。很多数学爱好者都对斐波那契數列进行了研究。法国数学家比内首先提出并证明了斐波那契数列的通项公式：

这就是著名的比内公式。但对于更一般的斐波那契数列，通项公式是怎样的，前n项和公式又是怎样的？这是本文所要解决的问题。

一、通项公式

斐波那契数列的一般形式为：a,b,a+b,a+2b,2a+3b, 3a+5b,….满足递推关系 ，其通项公式为

证明如下：

（1）当n=1,2,3时

通项公式皆成立。

（2）假设当n

通项公式亦成立。

由(1)和(2)可知，对于任意自然数n这个通项公式都是成立的。

（3）如果注意到 ，当n=1,2,3…时的展开式，它们都能化成 的形式，其中 是斐波那契数列1，3，4，7，11，…的项，其通项公式是

是另一个斐波那契数列1，1，2，3，5，…的项，其通项公式就是比内公式

这一规律对求 很有益处。

另外，斐波那契数列的项和项之间还有很多规律如：

二、前n项和

斐波那契数列a,b,a+b,a+2b,2a+3b, 3a+5b,…的前n项和公式为：

证明：

(1)当n=1时，

结论成立。

(2)假设假设当n=k(k是任意自然数) 结论成立，即 。

那么，当n=k+1时，

结论也成立。

由(1)和(2)可知斐波那契数列的前n项和公式就是 。

令a=b=1得

这就是特殊斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的前n项和公式。

三、某些连续项的和

1.任意连续十项的和

斐波那契数列中任意连续十项的和等于这十项中第七项的11倍。即：

证明：

2.前10n项的和

由斐波那契数列任意连续十项的和的公式可以推出，斐波那契数列前10n项的和公式为：

证明：

（1）当n=1时， ，结论成立。

（2）假设当n=k时，结论成立。即

那么，当n=k+1时，

结论亦成立。

由(1)和(2)可知，斐波那契数列前10n项和公式成立。

另外，斐波那契数列某些连续的和还有如下的规律：

（1） ，

（2） ，

（3） ，

（4） ，

（5）

篇5：等差数列求和公式的

问题2：1+2+3+…+n=?

在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡

设 =1+2+3+…+n ,又有 = + + +…+1

= + + +…+ ，得 =

问题3：等差数列 = ？

学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到 = = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q

问题4：还有新的方法吗？

（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（ ）++…+[ ]

= = （这里应用了问题2的结论）

问题5： = = ？

学生容易从问题4中得到联想： = = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。

篇6：《等比数列求和》教案

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。2.从学生认知角度来看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。3.学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。4.重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用． 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

二、目标分析

1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

3．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。

三、教学方法与教学手段

本节课属于新授课型，主要利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.四、教学过程分析

学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的能力。

1．创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得太容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？

【教师提问】

同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定． 2．学生探究，解决情境

263在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，2，„，2是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？

探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联设s=1+2+22+23++26364系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则2s64=2+22+23++263+264，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？ 有

【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．

解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两

s642641式相减，相同的项就可以消去了，得到：。老师强调指出：这就是错位相减法，并 2 要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。3．类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为an，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

一般等比数列前n项和：Sna1a2a3an1an?

即Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1?

方法1：错位相减法

2n2a1qn1Sna1a1qa1qa1q 23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qa1(1qn)(1q)Sna1a1q1q这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？

na1(1qn)Sn1qna1q1

q1na1a1qn在学生推导完成之后，我再问：由(1q)Sna1a1q得Sn

1q【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。4．讨论交流，延伸拓展

探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道, sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1=a1+q(a1+a1q++a1qn-2)那么我们能否利用这个关系而求出Sn呢？ 方法2：提取公比q Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1 a1q（a1a1qa1qn2）a1q（Sna1qn1）(1q)Sna1a1qn

根据等比数列的定义又有呢？

方法3：利用等比定理

a2a3a4an=====q，能否联想到等比定理从而求出sna1a2a3an-13

aaa2a34nq a1a2a3an1a2a3anSa1qn(1q)Sna1anq

Saa1a2an1nn„„

【设计意图】以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到Sna1qsn1, 这其实就是关于Sn的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.领悟数学应用价值，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。5．巩固提高，深化认识

（1）口答：

在公比为q的等比数列{an}中

若a12,q1，则Sn________，若a11，q1，则Sn________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a31,S34（2）判断是非：

1(12n)①1248(2)

（）12n23n1(12)②12222

（）

12③若c0且c1，则

n1121，求a1及q.2cccc2462nc2[1(c2)n]1c（）

【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。

6．例题讲解，形成技能

例1．求和

1aaaa

1111例2．求等比数列，，的第5项到第10项的和．

24816方法1： 观察、发现：a5a6a10S10S4．

方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为a516，公比为q2，项数为n6．

23n1111变式1：求11，2,3,4,5的前n项和． 248163212345变式2：求，，的前n项和．

2481632【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公 式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。7.总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。8．课后作业，分层练习

必做： P129练习3（1）习题3.5 第1题 选作： 思考题(1):求和 x+2x2+3x3++nxn.（2）画一个边长为2cm的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和。

【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展.让学有余力的学生有思考的空间，便于学生开展自主学习。

五、评价分析

本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。

六、教学设计说明 1．情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。2．问题探究活动化．

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。3．辨析质疑结构化．

在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。4．巩固提高梯度化．

例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。5．思路拓广数学化．

从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学． 6．作业布置弹性化．