用列举法求概率教学设计

用列举法求概率教学设计（精选15篇）

篇1：用列举法求概率教学设计

1、以问题形式引导学生理清本节的重点

本节每一个环节都运用了问题的形式，这样更能抓住重点，各个突破，并可激发学生的学习兴趣，使学生由发散性思维过渡到集中性思维上来，并可体现学生的主体性，但在教学过程中要克服以完成教学任务为主要目标，不舍得给学生时间去探索的弊端，要充分相信学生，给予学生足够的空间和时间。

2以解决数学问题为载体，提高学生综合能力

对目前大部分学生的`状况来看，学生独立思考能力不是很高，大部分教师没有放开学生，因此在每一堂课的讲授中，要充分考虑到学生的自我感觉，让学生动起来，充分挖掘其智慧，提高自主意识和自信心以及团队精神。《用列举法求概率教学反思》这一教学反思，来自!<

篇2：用列举法求概率教学设计

在进行新课改的今天，这节课如何体现新课改的精神，就成了我思考的重点。反思这节课，我觉得有三个方面取得成功：

1、从实例出发，引出课堂重点知识，体现了数学来源于生活，并用于生活的特点，真正是让学生在不知不觉中掌握知识。教师切实扮演好“组织者、引导者、合作者”角色，有利于调节课堂气氛，有利与学生掌握所学知识。

2、能从不同的角度去引导学生思考每一个问题，目的是为了培养学生的数学素养。

3、侧重于解决学生所提出的疑问，有意识去保护自尊，让学生敢于质疑的胆量和精神。

4、这节课的重点是会用列举法、列表法或树形图法求给定事件的概率;难点是理解求给定事件概率的两个前提条件。通过学生讨论、自主探究，利用小组合作的学习方式，在自主探究中发现概念的形成过程。

对本节课有一个疏忽的地方，只重在分析，导致学生养成不规范的解题习惯。还有一个失误就是没有顾及到所有的学生，因材施教，为了让这节课顺利的进行，在有的问题上我就忽略了一些学生的想法，和理解程度，所以在一些问题上他们还没有完全弄明白或者没有

充分发挥自己的想象力就过去了。同时在一些知识的引导部分说的也不太到位。在肯定学生方面，由于时间的关系，没有来得及的评价，少激励学生。这些在我以后课堂上要注意，争取后面上的每节课都能调动学生学习的积极性，让每个学生都能完全掌握知识和方法。

篇3：用列举法求概率教学设计

为了实现教材的编写意图, 切实提高学生解决问题的能力, 本人在“解决问题策略”方面进行了有效探索, 下面结合“运用一一列举的策略解决问题”这一单元的教学, 谈一些个人浅见, 欢迎各位行家的批评指正.

一、深入钻研教材, 领会教材编写意图

所谓枚举就是一一列举, 即把事情发生的各种可能逐个罗列, 并用某种形式进行整理, 从而得到问题的答案.生活中有许多实际问题, 列式计算往往比较困难.如果联系生活经验, 用枚举的方法能比较容易地得到解决.因此, 枚举是解决问题的常用策略之一.而且在枚举的时候要有序地思考, 做到不重复、不遗漏, 对发展思维也很有价值.对学生来说, “列举”比“枚举”通俗, 易于接受, 教材里采用“列举”这种表述是从有利于学习出发的.本单元教材在编排上有以下的特点.

第一, 选择有趣的素材教学解决问题的策略.第二, 由简单到复杂, 逐渐增加问题的难度, 培养列举的能力, 发展列举的技巧.第三, 重实质、不拘泥于形式.列举作为一种策略, 用来解决问题时的表现形式是多样的.

二、精心设计教学过程, 促进学生形成策略

(一) 引导学生认真审题, 在理解题意后明确列举的目的

在出示例1“用18根1米长的栅栏围成一个长方形花圃”, 例2“订阅下面杂志, 最少订阅1种, 最多订阅3种, 有多少种不同的订法?”后, 我均安排了审题的环节, 例1问“从这句话中知道了哪些数学信息?”, 例2问“你是怎样理解‘最少订阅1种, 最多订阅3种’的?”引导学生通过认真审题明确例1是要找出长方形所有不同的围法, 例2是要找出订阅1种或2种或3种杂志的所有不同的订法.让学生在理解题意后明确列举的目的, 把每种答案都找出来, 就需要一一列举.

(二) 探寻解决问题的途径, 找突破口以弄清列举的内容

出示例2后问:“想想‘最少订阅1种, 最多订阅3种’是什么意思?”既是引导学生认真审题, 也是帮助学生找到解决问题的突破口, 让学生明确要找出所有不同的订法, 必须知道订阅1种, 订阅2种, 订阅3种杂志各有几种不同的订法.

(三) 借助不同方式列举, 在交流合作中学习列举的方法

通过例1、例2的教学向学生展示用文字叙述、符号列举和列表格等多种不同的列举方法, 通过比较让学生感受到用列表的方式进行有序的列举, 简洁明了, 答案一目了然.特别是例2这样需要进行分类列举的, 用列表格的方法操作起来比较简便, 答案一目了然, 且不重复也不遗漏.同时在教学中对表格的生成过程也给学生一个完整的印象, 让学生初步学会借助表格进行有序列举.课堂练习的最后我出示“一张靶纸共三圈, 投中内圈得10环, 投中中圈得8环, 投中外圈得6环.小华投中两次, 可能得到多少环?”这题是一道开放题, 可以借助不同的方法进行列举, 而列表并不是最好的方法, 我启发学生:“可以借助列表的方式, 也可以想想有没有其他比较好的方法.”并让学生分小组交流合作, 使学生在交流合作及教师的引导下最终找到最佳方法———计算列举, 从而使学生感受列举方法的多样化.

三、精心设计练习, 提高学生解决问题能力

练习十一里都是有趣的问题, 能调动解题的积极性.前五道题配合三道例题, 第1, 2题都要按固定的间隔时间列举, 第1题的间隔时间在题目里已经明确, 两路车分别是10分钟和15分钟.第2题的间隔时间要从已发铃声的四个时间里发现.这两题在列举之后都还要进行比较, 通过列举和比较找到问题的答案, 突出了解决问题的主要策略, 体现了解决问题的方法不是单一的, 而是综合的.第2~5题不规定必须画表列举, 学生从自己的需要出发, 可以选择画表的形式, 也可以不用画表的形式.但是, 必须有条理地列举, 才能不重复、不遗漏地找到各种可能.

后四道题给学生灵活应用列举策略的空间.第5题把36写成两个素数之和, 要抓住素数思考, 从小到大依次用2, 3, 5, 7…列举并作出判断.第7题拼长方形, 从宽想起比从长想起容易, 可以按沿着宽摆1个、2个……去列举.而且, 提供的表格有多余的格子, 要体会列举到何时为止.第8题可以在图画上列举.如先向东走2格, 有1条路线;先向东走1格, 有2条不同的路线;不先向东走, 有3条路线.合起来一共有6条路线.第9题小明已经赛了4盘, 也就是和其他的人各赛了1盘, 可以在小明和另外4人之间各连一条线.小华赛了3盘, 其中1盘是和小明赛的, 另两盘比赛有3种可能:和小海、小力赛的, 和小海、小强赛的, 和小力、小强赛的由于小强只赛了1盘, 是和小明赛的, 所以小华的另两盘只能是和小海、小力赛的.在连出相应的线以后, 就能看到小海已经赛了2盘, 分别是和小明、小华赛的.

篇4：用列举法求概率教学设计

教学过程：

一、课堂导入

师：以前我们曾学过一些解决问题的策略，今天我们来认识一种新的解题策略。

二、教学例1

1、出示：在练习本上画出周长是6厘米的长方形(长和宽都是整数)，并标出长和宽。

(1)投影展示学生的画法。

(2)提问：你在画的时候是怎样想的?

小结：长+宽=周长的一半(板书)。

2、出示：周长是10厘米的长方形(长和宽都是整数)，有几种不同的围法?

要求：可以直接写出长和宽各是多少，也可以画图表示。

(1)投影展示学生列出的情况以及两种画法。

(2)提问：你是怎样想到有两种围法的?

小结：在周长不变的条件下，长方形的形状可能会出现不同的情况，我们可以根据长、宽的和是周长的一半进行设计，这样比较方便。

[说明：例1中，教材安排学生摆小棒列举，在实际教学中不太容易实施，而且会占用较多的教学时间。本环节安排“画出周长是6厘米的长方形和设计周长是10厘米的长方形”，一是通过画图很自然地引出“长方形设计的关键在于长+宽=周长的一半”；二是根据“长+宽=周长的一半”，学生意识到可以直接列举不同的围法。]

3、出示例1：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法?

要求：动脑筋想一想，然后把可能出现的情况按一定的顺序写在你的练习本上。

(1)学生独立思考后，完成在练习本上。

(2)同桌交流各自的策略和解题答案。

(3)师展示学生列举的四种围法。(注意收集有序和无序两种情况)

(4)讨论：你认为哪一位同学在列举的时候做得比较好，为什么?

小结：根据长与宽的和是周长的一半，我们列举出四种不同的围法。如果列举的时候按照一定的顺序进行，就会避免重复和遗漏。“列举”就是我们今天要研究的解决问题的新策略。(板书：列举)

[说明：例1体现了按顺序列举的解题策略，而学生在初次使用列举法解题时，常常会出现无序列举的情况。本环节通过组织学生对比讨论。使学生认识到按一定的顺序列举会很好地避免重复和遗漏。]

(5)介绍用列表的形式进行列举。

(6)提问：观察表格，王大叔会选哪一种围法修建羊圈呢?为什么?

(7)学生同桌讨论。

(8)提问：在周长不变的条件下，长方形的长、宽和面积有什么关系?

小结：在长方形周长不变的条件下，长和宽越接近，面积越大；长和宽相差越大，面积越小。

[说明：通过为王大叔选地，很自然地引出有关“面积”的话题，而对“在周长不变的条件下，长方形的长、宽和面积有什么关系”的思考，则有机地渗透了“通过列举找规律”的解题意识。]

三、教学练习十一第2题

师：有一个音乐钟，每隔一段相等的时间就会发出铃声。已经知道上午9：00、9：40、10：20和11：00发出铃声，那么下面哪些时刻也会发出铃声?

13：0014：4015：4016：00

1、学生独立审题。

2、提问：11：00后发出铃声的时刻是多少?为什么?要想判断哪些时刻也会发出铃声，你准备怎么办?

3、学生同桌讨论后，完成在练习本上。

4、集体评议。

四、教学例2

出示例2：订阅下面的杂志：《科学世界》《七彩文学》《数学乐园》。最少订阅1本，最多订阅3本。有多少种不同的订阅方法?

1、提问：如果你是读者，你会订阅哪些杂志?

2、提问：同学们有的只订阅1本，有的订阅2本，还有的3本都订阅。究竟有多少种不同的订阅情况?你怎样解决这个问题?

3、全班展开讨论，讨论中肯定学生用简洁的方式分三种情况来列举。

4、学生在练习本上自主选用不同的形式列举。

5、集体评议，投影展示学生的各种解题策略。

6、指名学生到讲台上，在实物投影仪下尝试用列表法列举。

小结：列举时无论使用什么样的形式，要想获得全部答案，就要全面地考虑问题，有条理地进行列举。

[说明：通过引导学生理解题意，形成思路后放手练习，这样会很好地提高课堂教学的有效性。练习中，鼓励学生在列举时采用如字母、数字等简洁的表示方法，不仅提高了解题的速度，而且很好地体现了数学的简洁美。对于教材中例2的列表列举，由于表格设计比较复杂，由教师介绍给学生，学生能看懂、会填写就可以了。]

五、教学书上64页的“练一练”

1、师提供印有10环、8环、6环的靶纸，让学生现场尝试投靶。

2、提问：投靶时，一定会投中吗?投中时，又会出现哪些情况?

引导学生认识到：

(1)投靶时会出现投中和脱靶两种情况。

(2)连续投中时，会出现相同的环数。

3、出示书上第64页“练一练”：一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中两次，可能得到多少环?(列举出所有可能的答案)

(1)学生独立思考解答，提醒学生注意答语的写法。

(2)集体评议，教师板书。

4、改一改：将“小华投中两次”改成“小华投了两次”，引导学生考虑到脱靶的可能性，思考小华可能得到多少环。

篇5：用列举法求概率教学反思

1、这堂课从生活中引入，激发了学生兴趣，内容较简单，学生容易接受，在上课的过程中更重视的是学生的合作学习，以及数学“建模”能力的培养。为下节课学习打下基础。

2、在课堂的第二个环节中，学生归纳出古典概率的共同特点：

(1)一次试验中，可能出现的结果有限多个。

(2)一次试验中，各种结果发生的可能性相等。因此指出对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比分析出事件的概率。

学生了解了古典概型后马上让他们开启自己的智慧大门：对于古典概型的概率关键是列举出所有等可能的情况。通过三个典型例题后让学生进行独立练习或合作学习。通过了这些练习之后，我想学生应该初步掌握了用列举法求概率的方法。

3、上了这节课，我觉得上好一节课的因素很多，也发现了自己很多不足的地方，在平时上课的时候，对提问的`形式和语言还嫌单一。我最大的体会就是，在现行的开放式的课堂中，关键是放的出去同时要收的回来，可能是平时注入式的简单易行，或者是不大重视，上课中的语言的漏洞很多，在以后的教学中要多加揣摩和重视。

二、从教学方法反思

“差异导学”教学方法以“尊重差异”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，再加上多媒体的运用，使学生真正成为学习的主体，同时让优生帮助后进生，达到共同学习，共同提高的目的。

三、从学生反馈情况反思

篇6：用列举法求概率教学设计

鲁富青

教学目标: 知识与技能：了解用列表法求概率的意义，掌握用列表法求概率的常规方法。过程与方法：以问题为载体，引导学生自主探究、讨论交流、归纳总结出用列举法求概率的一般方法。

情感态度与价值观：.逐步熟悉数形结合的思想方法。

教学重点和难点

重点： 掌握用列表法求概率的常规方法。

难点：.逐步熟悉数形结合的思想方法。

教学过程: 1.复习回顾：

教师带领学生回忆：概率的概念、公式。步骤。一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含在其中的m种结果，那么事件A发生的概率为： 求概率的步骤：

(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；

(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；

(3)运用公式求事件A的概率：

2.例题导入

教师出示引例：掷两枚硬币，求下列事件的概率：(1)两枚硬币全部正面朝上；(2)两枚硬币全部反面朝上；

(3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上； 为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？

掷两枚硬币，不妨设其中一枚为A，另一枚为B，用列表法列举所有可能出现的结果: 3.典例示范

教师出示两个例题，引领学生用列表法列举所有可能出现的结果: 例1：如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。

例2：掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件概率： 1.点数为2

2.点数为奇数

3.点数大于2且小于5 4.小试牛刀

紧扣本节课主题，教师选择两个难度不太大的习题：

1、甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘 A、B 分别分成 4 等份和 3 等份，并在每一份内标上数字，如图 2.游戏规定，转 动两个转盘，停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲 获胜；为偶数时，乙获胜．用列表法求甲获胜的概率．

2、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。连续投10次，谁得分高，谁就获胜。

(1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由；

(2)你认为游戏公平吗？

5、小结

“列表法”的意义：

当试验涉及两个因素(例如两个转盘)并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有的结果，通常采用“列表法”。

板书设计

“33.1用列举法求概率

列表法”的意义：

当试验涉及两个因素(例如两个转盘)并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有的结果，通常采用“列表法”。

教学反思：

篇7：《用列举法求概率》的教学反思

新增内容《求概率的方法》，是我以前没教过的内容，为了激发学生学习本章的兴趣，我在起始课的引入上动了很多脑筋，经具体实施收到了良好的教学效果。

铃声一响，我手拿着一个包装得很精致的小礼品盒走进了教室，同学们用惊奇的目光注视着礼品盒，有个同学大声问：“老师，您手里拿的是什么呀!”，我笑着说：“这是个小礼品盒，里面装了一份神秘的礼物，同学们猜一猜我为什么带这份礼物来?”有的同学说：“今天是您的生日”，我摇了摇头。还有的同学说：“那准是您女儿的生日，要不就是您的结婚纪念日。”，我仍然摇头，同学们哈哈大笑。我说：“今天是我的幸运日，我给同学们讲讲我的幸运日的来历。十四年前的今天，吃过晚饭后，我想出去散散步，途经迎风街道邮局的位置，发现那里围了很多人，在好奇心的驱使下，我也凑过去看，发现一辆大汽车上装满了山地车，走近一看，原来他们在抓奖。看了一会儿，我也忍不住想碰碰运气，于是花了2元钱买了一张奖券，结果我真的很幸运，我中了一辆山地车。”只听同学们齐声喊着：“喔……”我接着说：“我中奖了，特别高兴，因此我就把这一天定为自己的幸运日，在这个幸运的日子里，我想把这份神秘的礼物送给咱们班的一位最幸运的同学，好不好?”同学高兴地齐答：“好!”，有几个淘气的男生还假装搓了搓手。我接着说：“今天神秘礼物的得主是通过三个游戏产生的。第一个游戏：前后桌四名同学是一组，以玩“手心手背“的游戏决出胜者;第二个游戏：老师准备了四道题(本节课需要用到的`旧知识)，请第一个游戏胜出的同学进行抢答，按成绩取前三名。第三个游戏：请第二个游戏胜出的三名同学到前面来，面朝大家，老师发给每人一枚一角硬币，每人连续掷三次，三次都是正面的为胜，最后得胜者就是今天的幸运同学。”设置这三个游戏环节我想达到的目的是：通过游戏的公平性，渗透等可能事件发生的条件，体会随机思想。以比赛的形式复习已有的概率知识，增强了学生的注意力，增加了数学课的趣味性，提高了学生学习这一章知识的兴趣，最后通过第三个游戏为问题背景，引入新课。

在这节课中，同学们的参与热情空前高涨，特别是最后一个环节：将一枚一角硬币连续掷三次的游戏。游戏结束，我顺势提出：“同学们，你们能否从刚才的游戏中提出一个数学问题呢?”一个同学马上举手回答：“我想知道一枚硬币连续掷三次正面都朝上的概率是多大?”我马上予以肯定：“这个同学的问题提得太好了，这个问题正是我们这节课要解决的问题。”

经过实践，本节课调动了学生的学习情绪，激发了学生学习概率知识的兴趣，课下有几个同学还追着我问：“老师，我们发现一个规律，两个同学玩手心手背的游戏中，全出手背的概率是四分之一。如果换成三个同学，全出手背的概率是八分之一，如果换成四个同学，全出手背的概率是十六分之一，假设咱们班的32名同学都来参与，那么一起出手背的概率应该是2的32次方分之一，对不对?”我高兴的回答：“对!你们真是又聪明又肯动脑，真是了不起!”

篇8：用列举法求概率教学设计

运用列举的策略解决实际问题, 做到“不重复、不遗漏”是本课教学的重点;结合不同的问题情境, 运用多形式的列举来解决实际问题是教学的难点。本课教学尊重认知规律, 有序建构策略, 力求使学生经历多形式列举解决实际问题的过程, 让学生能“不遗漏、不重复”地列举出所有符合要求的答案;引导学生在运用列举策略解决实际问题的过程中进行反思和交流, 感受一一列举策略的特点和价值;进一步培养和发展学生思考问题的条理性和严密性;培养学生合理选用策略解决问题的意识, 提高学生解决实际问题的能力;感悟数学学习与生活实践的密切联系, 增强学生数学学习的兴趣。

一、唤醒记忆, 感知策略

教师谈话导入:过去的两个月, 我们学习了哪些数学知识, 谁来说说看?当学生列举各个不同的知识点, 谈到小数时, 师稍作停顿并提问:你能用所学的知识解决下面的问题吗?用小数点和2、3、4最多可以组成哪些不同的两位小数?把它们列举出来。

学生一个一个地列举。教师板书:列举。追问:有没有重复呢?有没有遗漏呢?

师:那到底什么叫列举?列举要注意什么?今天我们带着这个问题来学习新的知识。

评析:学生介绍已学知识的过程就是列举的过程, 数字组数也是列举的过程。教师让学生回答时要不断地提醒学生按照教材知识呈现的顺序说出结果, 以渗透有序列举并感悟列举策略的存在, 体会有序列举才能做到“不重复、不遗漏”, 为学生的后续学习奠定基础。

二、解决问题, 形成策略

1. 实际操作, 建构策略

师:小华来到山脚下, 看到工人王大叔正在围栅栏。

出示例1:王大叔用18根l米长的栅栏围一个长方形花圃, 有多少种不同的围法?

(1) 整理信息

提问:从题中你能获得哪些有效的数学信息呢? (生:我知道的信息是:“18根1米长的栅栏围成一个长方形花圃。”要解决的问题是:“有多少种不同的围法。”) 学生大胆猜测有多少种围法。

师:围成的长方形的周长是多少米呢? (18米) 那么长与宽的和又是多少呢? (18÷2=9米)

(2) 动手操作

师:要解决这个问题, 同学们思考一下可以用什么策略和办法呢? (可以摆小棒、列表、画图……)

师:老师为每位同学准备了18根小棒, 代表18根1米长的栅栏, 还为同学们准备了一张表格。试试看, 能列举出哪些不同的围法。

学生汇报、列举解决问题的办法。 (学生相互纠错) 你有什么不同的意见?

教师根据学生的表述用投影同步显示。

师:有没有同学用其他方法解决问题的?

(3) 展示表格

展示表格, 比较不同同学的表格。

比较思考:你觉得哪张表格好?说说你的想法。

用列表的办法解决问题有什么好处? (有序、不重复、不遗漏) 同步展现表格内容。

师:回顾一下解决问题的过程, 你是怎样解决这个问题的呢? (引导:列举要做到不重复、不遗漏。你觉得怎样才能不重复、不遗漏呢?点题:一一列举)

(4) 探寻规律

师:你能算出长方形的面积吗?投影显示每个长方形的面积, 从表格中你发现了什么?

周长不变, 长与宽的差越小, 长方形的面积就越大。

(5) 回顾反思

刚才我们用摆小棒、列表等方式列举出不同的围法, 解决了王大爷的难题, 就是运用一一列举的策略解决了王大爷的难题。你能解决下面的乘车问题吗?

2. 解决问题, 巩固策略

投影出示, 学生读题, 练习第一题。

师:从中你发现两路车是怎样发车的?什么时候发车?同时是什么意思?你打算用什么策略来解决这个问题呢? (一一列举)

投影同步显示, 一一列举时间。根据学生回答, 同步分行显示。

你能一眼看出两路车第二次同时发车的时间吗? (不能) 怎么办? (列举)

问:两路车第二次同时发车的时间是几时几分呢? (7:10) 第一次同时发车的时间是几时几分? (6:40) 照这样下去, 第三次呢?你是怎么知道的?那小华上午8:10要从车站去书城买书, 可以乘几路车去书城呢?

评析:通过有层次、有针对性地让学生在设定的情境中抛出问题情境, 让学生经历摆小棒解决“羊圈问题”、画表格解决“乘车问题”, 让学生深切地感悟到列举策略多样性的真实存在。学生能真切地感受到列举的价值, 领悟到只有有序列举才能做到不重复、不遗漏, 才能真正解决实际生活中的问题。

三、互动探究, 内化策略

出示例2:订阅下面的杂志 (图中杂志为《科学世界》《数学乐园》《七彩文学》, 图略) , 最少订阅1种, 最多订阅3种, 有多少种不同的订阅方法?

师:“最少订阅1种, 最多订阅3种”是什么意思?你打算运用什么策略来解决问题呢? (列举) 那我们怎样列举才能做到不重复、不遗漏呢? (有序) (可以订阅1种, 可以订阅2种, 可以订阅3种) 具体说说看。

引导学生按独立思考—同桌交流—全班交流的步骤列出所有可能的订阅情况, 重点交流订阅2种的可能情况, 突出有序思考。

为解决问题, 先要怎么考虑?学生完成列表过程, 同步显示表格过程, 分步展示列表过程。

思考:刚才我们用列表的方式列举出了7种不同的订阅方法。有时为了列举的方便, 可以不列表, 你能用其他方式来列举不同的订阅方法吗?

引导学生尝试用字母、数字、符号或其他形式来列举。比较哪种方法简便, 并说说理由。

评析:通过让学生列举订阅方式, 进一步体会有序列举的作用。除了让学生感悟到列表的形式, 还可以结合问题情境选择采用符号、字母、语言等形式进行列举, 感受解决问题策略的多样性, 提高解决问题的能力。

四、精讲点拨, 升华策略

师:不管运用哪种方式列举, 关键是在运用一一列举策略解决问题的时候做到有序、有条理地列举, 才能不重复、不遗漏。提倡多策并举, 全面思考, 解决问题。

评析:通过教师的点拨, 明确列举的意义和列举的注意点, 引领学生思考一一列举在实际生活中的价值, 明确本课的核心概念和重点知识。

五、迁移运用, 提升策略

1. 迁移应用

刚才我们运用一一列举的策略解决了生活中的实际问题, 下面我们运用一一列举的策略来解决游戏中的实际问题。

“一张靶纸共3圈, 投中内圈得10环, 投中中圈得8环, 投中外圈得6环。小华投中2次, 可能得到多少环?”

投中2次, 可以是哪些可能呢?请同学们用喜欢的方式, 把得到的环数列举出来。

学生独立完成后汇报, 最多是多少环?最少是多少环?根据学生的回答, 列出对应的算式。还有其他可能出现的环数吗? (同步显示10+10=

20, 6+6=12, 8+8=16, 10+8=18, 10+6=16, 8+6=14。)

师:从上面的算式看, 是不是有6种环数呢? (不是) 有几种环数呢?

师:这节课学习了什么?说说生活中哪些地方用到了一一列举策略, 具体是如何应用的。

2. 拓展延伸

王大叔用18根1米长的栅栏依墙围一个长方形花圃, 有多少种不同的围法?思考:依墙是什么意思?怎么考虑?

评析:通过本环节的练习, 学生能够运用不同的列举形式来解决实际问题, 进一步突出有序列举才能不重复、不遗漏。学生的汇报展示了形式的多样性, 集中体现了解决问题策略选择的多样性。通过拓展延伸实现本课知识与后续学习的有效连接。

篇9：用替换法求票价

【分析与解答】这道题目有两个未知量——儿童票价和成人票价，解题的突破口是把两个未知量转化成一个未知量，转化的依据是：儿童票价是成人票价的一半。

由“儿童票价是成人票价的一半”可知：成人票价是儿童票价的2倍，即“2张儿童票=1张成人票”，根据这一关系可以运用替换的策略进行解答。

思路一：根据题意，一共买了20张儿童票和16张成人票，可以把儿童票替换为成人票，20张儿童票的价钱等于20=10（张）成人票的价钱，即20张儿童票=10张成人票。现在一共有10+16=26（张）成人票，总价是208元，于是就可以求出一张成人票多少钱。

20=10（张）

10+16=26（张）

2086=8（元）

儿童票的单价是：8=4（元）

思路二：还可以把成人票都替换为儿童票，16张成人票的价钱等于16=32（张）儿童票的价钱，即16张成人票=32张儿童票。现在一共有32+20=52（张）儿童票，于是就可以求出一张儿童票多少钱。

16=32（张）

32+20=52（张）

2082=4元）

成人票的单价是：4=8（元）

最后我们还可以检验一下“20张儿童票和16张成人票是不是一共208元”。

20+16

=80+128

=208（元）

篇10：用列举法求概率教案

本节内容是第二十五章第二节“用列举法求概率” 的第1课时，主要介绍用列举法求概率。以两个实际问题为载体，通过学生动手解决问题、观察、分析、评价解题方法获得新知。

本节课的教学设计紧扣教材，设计了6个教学活动，由浅入深，层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，教师从中指导、总结，示范。在教学过程中，强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想。利用所学知识解决问题，突现应用意识，进一步巩固所学知识。力求充分体现教学内容的基础性、教学方法的灵活性、学生学习的主体性、教师教学的主导性。在学习活动中，尽力让学生主动参与、认真观察、比较思考、动手操作、合作交流、大胆表述，充分体现学生是学习的主人，教师是学习活动的组织者、引导者和合作者。

二、教学目标

依据课程标准和教材分析，兼顾学生的实际，本节课的教学目标是：

1。知识与技能

进一步理解等可能事件的意义，了解古典概型的两个特点——试验结果有无数个和每一个实验结果出现的等可能性;

通过探究体会在公式P(A)=m/n中m、n之间的数量关系，P(A)的取值范围。

掌握求等可能条件下的事件的概率，并能进行简单的表述、计算。

2。过程与方法

通过用列举法求事件的概率，体会在实践中获得事件发生的概率，渗透转化的思想方法，培养学生分析、判断的能力。

3。情感态度与价值观

通过分析探究事件的概率，培养学生良好的动脑习惯，提高运用数学知识解决实际问题的意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值。

三、教学重难点

1。教学重点：用列举法求事件的概率。

2。教学难点：分析事件发生的概率。

四、教学方法

教师诱导———学生自学———小组互动———当堂检测

针对九年级学生的年龄特征以及他们已有的知识水平，采用启发式、诱导法，结合演示、归纳、尝试等方法，组织生生互动、师生互动，激发学生的学习兴趣，通过多媒体课件的展示，提高教学效率，增进学生对知识的理解，激发他们的求知欲。

五、教具准备

多媒体课件、展示课件所需的多媒体设备、软件等。

六、教学过程

1。教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

活动1 回顾上节概率的求法。

活动2 看试验，找特点，了解古典概型，初识概率的求法。

活动3 探究在公式P(A)=m/n中m、n之间的数量关系，P(A)的取值范围。

活动4 通过解决问题学习用列举法求概率。

活动5 练习。

活动6 小结与作业。

1。帮助学生回忆上节课所学的知识，为本节课的学习准备。

2。使学生进一步在具体情境中了解古典概型的意义，能阐明运用列举法计算简单事件发生的概率的理由，为本节课探究用列举法求概率奠定基础。

3。进一步体会随机事件、必然事件、不可能事件及其概率。

4。通过对例1、例2的讨论探究，学习用列举法求概率。

5。通过练习，巩固用列举法求概率。

6。回顾本节知识和解决问题的方法，巩固、提高、提高、发展。

2。教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图

「活动1」

回顾上节概率的求法。

教师引入：

前面我们用随机事件发生的频率所逐渐稳定得到的常数作为这个事件发生的概率，对于某些特殊类型的试验，实际不需要做试验，通过列举法分析就可以得到随机事件的概率。

帮助学生回忆上节课所学的知识，为本节课的学习准备好知识基础。

「活动2」

看试验，找特点，了解古典概型，初识概率的求法。

展示书中两个试验。(演示课件第2张幻灯片)

问题

(1)两个试验有什么共同的特点?

(2)对于古典概型的试验，如何求事件的概率?

学生分析、思考解答：

(1)一次试验中，可能出现的结果是有限多个;各种结果发生的可能性相等。 具有以上特点的试验称为古典概型。

(2)对于古典概型的试验，我们可以用事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比作为事件的概率。

教师讲解概率求法：

一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率为。

在本次活动中，教师应重点关注学生参与数学活动是否积极主动，全神贯注。

使学生进一步在具体情境中了解古典概型的意义，能阐明运用列举法计算简单事件发生的概率的理由，为本节课探究用列举法求概率奠定基础。

「活动3」

探究在概率公式P(A)= 中m、n之间的数量关系，P(A)的取值范围。(演示课件第3张幻灯片)

学生思考，解答、发言：

n>0， m≥0，m≤n，0≤P(A) ≤1。

当m=n时A为必然事件，概率P(A)=1，当m=0时，A为不可能事件，概率P(A)=0。

教师组织学生思考、讨论、解答。

在本次活动中，教师应重点关注学生对随机事件、必然事件、不可能事件及其概率的再认识。

进一步体会随机事件、必然事件、不可能事件及其概率。

「活动4」

通过解决问题学习用列举法求概率。

问题1(演示课件第4张幻灯片)

例1 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：

(1)点数为2;

(2)点数是奇数;

(3)点数大于2且不大于5。

问题2(演示课件第5、6张幻灯片)

例1变式 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，

(1)求掷得点数为2或4或6的概率;

(2)小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得点数2，求他第六次掷得点数2的概率。

问题3(演示课件第7张幻灯片)

例2 如图：是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，(指针指向交线时，当作指向右边的扇形)求下列事件的概率：

(1)指向红色;

(2)指向红色或黄色;

(3)不指向红色。

问题4(演示课件第8、9两张幻灯片)

例2变式 如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分别为红黄两种，红色扇形的圆心角为120度，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，(指针指向交线时当作指向右边的扇形)求下列事件的概率。

(1)指向红色;

(2)指向黄色。

，用列举法求概率教案

用列举法求概率教案，

(3)小明和小亮做转转盘的游戏，规则是：两人轮流转转盘，指向红色，小明胜;指向黄色小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率;你认为这样的游戏规则是否公平?请说明理由;如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。

教师组织学生分析本问题，运用列举法求其概率：

学生思考、讨论、交流：

(1)是否符合等可能事件的两个特点?

(2)怎样叙述?

教师介绍解题要求、步骤。

例1 解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。

(1)点数为2只有1种结果，P(点数为2);

(2)点数是奇数有3种可能，即点数为1，3，5，P(点数是奇数);

(3)点数大于2且不大于5有3种可能，即3，4，5，P(点数大于2且不大于5)。

学生思考、讨论、交流：

(1)是否符合等可能事件的两个特点?

(2)怎样叙述?

学生试着解决变式题。

例1变式 解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。

(1)掷得点数为2或4或6(记为事件A)有3种结果，因此P(A);

(2)小明前五次都没掷得点数2，可他第六次掷得点数仍然可能为1，2，3，4，5，6，共6种。他第六次掷得点数2(记为事件B)有1种结果，因此P(B)。

学生思考、讨论、交流：

(1)是否符合等可能事件的两个特点?

(2)怎样叙述?

鼓励学生解答：

例2解：一共有7个等可能的结果，且这7个结果发生的可能性相等，

(1)指向红色有3个结果， P(指向红色)=_____ ;

(2)指向红色或黄色一共有5种等可能的`结果，P(指向红色或黄色)=_______;

(3)不指向红色有4种等可能的结果，P( 不指向红色)= ________。

引导学生分析：

图中两个扇形的圆心角不相等，某个扇形停在指针所指的位置的可能性就不相等?怎么办?

学生思考、讨论、交流：

(1)是否符合等可能事件的两个特点?

(2)怎样叙述?

学生试着解决变式题。

例2变式 解：把黄色扇形平均分成两份，这样三个扇形的圆心角相等，某个扇形停在指针所指的位置的可能性就相等了，因而共有3种等可能的结果，

(1)指向红色有1种结果， P(指向红色)=_____;

(2)指向黄色有2种可能的结果，P(指向黄色)=_______。

(3)把黄色扇形平均分成两份，小明胜(记为事件A)共有1种结果，小亮胜(记为事件B)共有2种结果，

P(A)，

P(B)。

∵P(A)

∴这样的游戏规则不公平。

可以设计如下的规则：两人轮流转转盘，指向红色，小明胜，小明得2分;指向红色，小亮胜，小亮得1分，最后按得分多少决定输赢。

还可以设计怎样的规则?

因为此时P(A)×2=P(B)×1，即两人平均每次得分相同。

在本次活动中，教师应重点关注：

(1)学生语言的规范性;

(2)学生的应用意识，模仿能力;

(3)学生在学习中发表个人见解的勇气。

(4)学生自主探究、合作交流意识。

通过对例1、例2的讨论探究，初步掌握用列举法求概率。

通过对例题变式的分析，激发学生学习学习欲望，进一步掌握用列举法求概率，体会数学的应用价值，。

通过例2的讨论探究，巩固用列举法求概率。

通过对例题变式的分析，体会数学的应用价值，激发学生学习学习兴趣。

「活动5」

练习。(演示课件第10、11、12三张幻灯片)

5。 某班文艺委员小芳收集了班上同学喜爱传唱的七首歌曲，作为课前三分钟唱歌曲目：歌唱祖国，我和我的祖国，五星红旗，相信自己，隐形的翅膀，超越梦想，校园的早晨，她随机从中抽取一支歌，抽到“相信自己”这首歌的概率是( )。

6。 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：

(1)点数是6的约数;

(2)点数是质数;

(3)点数是合数。

(4)小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜;掷得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率;你认为这样的游戏规则是否公平?请说明理由;如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。

学生在独立思考的基础上，讨论问解，决问题。

教师评判。

教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导学生分析，书写解答过程。

在本次活动中，教师应重点关注：

(1)学生能否正确应用列举法求概率解决问题;

(2)学生应用所学知识的应用意识。

通过练习，巩固用列举法求概率。

「活动6」

小结与作业：(演示课件第13张幻灯片)

这节课我们学习了哪些内容，有什么收获?

教科书P154页习题25。2第2题。

学生自己总结发言，不足之处由其他学生补充完善。

教师重点关注不同层次的学生对本节知识的理解、掌握程度。

学生独立完成，教师批改总结。

加深对列举法求概率的认识。

篇11：用列举法求概率教学设计

第1课时 用列表法求概率

【知识与技能】

初步掌握直接列举法计算一些简单事件的概率的方法.【过程与方法】

通过用列举法求简单事件的概率的学习，使学生在具体情境中分析事件.计算其发生的概率，解决实际问题.【情感态度】

体会概率在生活实践中的应用，激发学习数学的兴趣，提高分析问题的能力.【教学重点】

熟练掌握直接列举法计算简单事件的概率.正确理解和区分一次试验中包含两步或两个因素的试验.【教学难点】

能不重不漏而又简洁地列出所有可能的结果.一、情境导入，初步认识

1.复习回顾①概率的意义；②对于试验结果是有限等可能的事件的概率的求法.2.多媒体展示扫雷游戏，引入课题.二、典例精析，掌握新知

我们在日常生活中，常常会用掷硬币的方式来决定游戏的胜负，下列请同学们思考下面的这种游戏规则是否公平.例 老师向空中抛掷两枚同样的硬币，如果落地后一反一正，老师赢；如果落地后都只正面时，同学们赢，请问你们觉得这个游戏公平吗？

【教学说明】对“游戏是否公平”实际是看两方出现的概率大小如何.所以解决本题的关键是，分别计算出“一正一反”与“都是正面”的概率各是多少并比较，这里教师要引导学生条理清楚地列举出所有可能的结果，学生思考交流.解：我们利用表格的形式，列举出所有可能的结果.∴这游戏不公平.问：“同时掷两枚硬币”与“先后掷一枚硬币”这两种试验的所有可能一样吗？

答案：一样.三、运用新知，深化理解

1.在“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：20个商标牌中，有5个商标牌背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻，有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）

2.从甲、乙、丙三人中任意选两名代表参加会议，甲被选中的概率为（）

3.在一个布袋里装有红、白、黑三种颜色的玻璃球各一个，它们除颜色外，没有其他区别，先从布袋中取出一个球，放回袋中并搅匀，再从袋中取一个球，则两次取出的恰好都是红球的概率是_____.4.袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个.求下列事件的概率；

（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；（2）两次都摸到相同颜色的小球；

（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球.5.在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数：258396417，让

参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字.如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品的概率.【教学说明】本练习着重演练用列举法求简单事件的概率，可先让学生自主完成，再选派几名学生作答，教师再予以评点.【答案】1.B【解析】所有剩下的商标共20-2=18个，其中有奖的有5-1=4个，所以它第三次翻牌获奖的概率为4/18=2/9.2.C【解析】分析所有的可能结果为（甲、乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）.事件A包含的结果为（甲、乙），（甲，丙）,（乙，甲），（丙，甲）共4个，故P（A）=4/6=2/3.3.1/9【解析】所有可能出现的结果有（红，红）、（红，白）、（红，黑）、（白，红）、（白，白）、（白，黑）、（黑，红）、（黑，白）、（黑，黑）共有9种，所以P（都是红球）=1/9.4.（1）1/4（2）1/2（3）1/2 5.所有可能结果有:2583,5839,8396,3964,9641,6417,其中只有一种是该商品的价格，所以猜中该商品的概率为1/6.四、师生互动，课堂小结

1.本堂课你学到了什么知识，有哪些收获？ 2.你能不重不漏地列举出事件发生的所有可能吗？ 3.你能正确求出P（A）=m/n吗？

篇12：用向量法求空间距离

一、两点间距离

利用a 2=a·a, 或利用两点P1 (x1, y1, z1) , P2 (x2, y2, z2) 之间的距离公式P1P2=

例1如图1, 在棱长为1的正四面体A—BCD中, 点E在棱BC上, 点F在棱AD上, 且BE=DF=, 求EF的长.

说明:上述计算中应注意:的夹角是120°, 不是60°;而的夹角是90° (因为BC⊥AD) .

本例用普通的几何法转化为平面问题来解决, 相当烦琐;若用坐标向量法, 又难以确定坐标系的建立方法.而本例用向量的基本定理以及向量的数量积运算, 方便得解.

例2如图2, 边长为1的两个正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直, 动点M、N分别在AC、BF上移动, 若CM=BN, 求MN长的最小值.

说明:本例由于点M、N是动点, 故应引入变量, 再用两点间距离公式, 转化为二次函数的最值问题.另外, 应注意到:受条件CM=BN的限制所求的的最小值并不是异面直线AC与BF的距离. (见下面的例)

二、点到直线的距离

如图3, 求点P到直线l的距离d, 可在直线l上任取一点Q, 用向量的数量积求出线段PQ在l上的投影QR的长.再由勾股定理可得

例3正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是2, E、F分别是C1C、A1D1的中点, 求点A到直线EF的距离.

解:如图4, 建立空间直角坐标系D—xyz.可知A (2, 0, 0) , E (0, 2, 1) , F (1, 0, 2) , 则

所以点A到直线EF的距离是

小结:点A到直线EF的距离d=

三、点到平面的距离

如图5, 求点P到平面α的距离d, 先确定平面α的一个法向量n, 再在α内任取一点Q, 然后利用向量的数量积, 求出在n上的投影长d′, 则d′即d.

例4正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是2, M是BC的中点, 求点A1到面AMC1的距离.

解:以MC、MA为x轴、y轴, 过M且与面ABC垂直的直线为z轴, 建立如图6的空间直角坐标系M—xyz.可知

设平面AMC1的法向量n= (x, y, z) , 则由

可取z=1, 则n= (-2, 0, 1) .

所以点A1到面AMC1的距离是

小结:平面ABC的法向量是n, 那么点P到平面的距离是

四、两条异面直线间的距离

首先确定两条异面直线a、b的一个公共法向量n, 再在两条异面直线上各取一点A、B, 然后计算在n上的投影长d, 即为两条异面直线间距离.

例5正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1, 求异面直线A1C1与B1C的距离.

解:建立如图8所示的空间直角坐标系D—xyz, 则A1 (1, 0, 1) , C1 (0, 1, 1) , B1 (1, 1, 1) , C (0, 1, 0) , 可得= (-1, 1, 0) , = (-1, 0, -1) .

设异面直线A1C1与B1C的公垂线的方向向量为n= (x, y, z) , 由

所以n= (1, 1, -1) .

又= (0, -1, 0) , 那么在n上的投影长为

所以异面直线A1C1与B1C的距离是

小结:设异面直线AB与CD的公垂线的方向向量是n, 那么AB与CD的距离是

篇13：巧用分离参数法求参数的取值范围

恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．

例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．

思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．

解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．

20当0

a≥2x2－12xa≤2x2+12x在（0,12］恒成立．

令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x则原命题a≥f(x)maxa≤g(x)min

∵0

且f′(x)=4x+12x2>12，

g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．

∴f′(x)>0,g′(x)<0，

∴f(x)在（0,12］上为增函数，g(x)在（0,12］上为减函数．

∴f(x)max=f(12)=－12，

g(x)min=g(12)=32.

所以a的取值范围是［－12,32］．

点评：分离参数时，不等式左右两端同除以一个代数式时应注意其正负，分离参数后，函数的最值常借助于导数来求．

二、分离参数法求参数取值范围在二次方程根的分布中的应用

在二次方程根的分布问题中求参数的取值范围，可利用二次方程根的分布知识建立关于参数的不等式组，解之即得所求参数的取值范围；若方程中的参数可以分离，利用分离参数求解，更为简洁．

例2方程x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根，求实数a的取值范围．

思路点拨：分离参数a原命题转化为a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．只需在同一坐标系中作出函数f(x)=x2+12x与函数y=a的图像，使两图像在［12,3］内至少有一个交点，从而将问题转化为求函数值域．

解析：x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．令f(x)=x2+12x,x∈［12,3］，y=a，画出两函数图像如图所示：

∵f(x)在（12,1］上为减函数，在［1,3］上为增函数，

∴f(x)的值域为［1,53］．∴f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈［1,53］．

点评：“对勾函数”y=ax+bx（a>0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．

三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用

函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．

例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)ex在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．

思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．

解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．

∵f′(x)=(2x－a)ex+(x2－ax+5)ex=ex(x2－ax+2x－a+5)=ex［x2+(2－a)x+5－a］

∴ex［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．

原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．

方法一：（转化为恒成立问题）

x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．

a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．

注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．

令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．

g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，

即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．

方法二：（转化为二次方程实根分布问题）

10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．

20当 >0即a>4或a<－4时，a－22<0f(0)≥0a<－4

综上得a的取值范围是a≤4．

求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．

篇14：巧用向量法求空间距离

利用公式a2=|a|2, 可用已知向量表示未知向量, 再利用向量的运算性质求解.

例1如图1, 正四面体的棱长均为8, E、F分别为AB、CD上一点, 且AE=1, CF=2, 则EF= () .

∴EF=故选C.

求点到直线的距离

利用公式

要求点A与直线l的距离, 可先在直线l上取一点B, 求出向量在与同方向的方向向量n上的射影, 则点A到l的距离就是上述公式中的d.

例2如图2, 在长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别是CC1、A1D1的中点, 求点A到直线EF的距离.

解:如图2, 以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系, 则A (0, 0, 0) ,

∴A到EF的距离

求两条异面直线间的距离

利用公式d=, 可先求出和两条异面直线都垂直的向量n (也叫两条异面直线的公垂向量, 即, 再在两条异面直线上各任取一点A、B得, 则两条异面直线a、b间的距离就是上述公式中的d.

例3已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1, 求直线DA′与AC的距离 (人教版高中《数学》第二册 (下B) 习题9·8第4题) .

解:如图3, 以D为原点, 建立空间直角坐标系D-xyz, 则= (1, 0, 1) , = (-1, 1, 0) , = (1, 0, 0) .

设n= (x, y, z) 是和都垂直的向量, 则

∴可求得直线DA′与AC的距离

求点到平面的距离

还是利用公式, 可先求出平面α的法向量n, 再在平面α内任取一点B, 得, 则点A到平面α的距离就是上述公式中的d.

例4在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4, AD=3, AA1=2.求D1到平面A1BD的距离.

解:如图4, 以AD、AB、AA1所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系, 则= (3, 0, -2) , = (0, 4, -2) .

设n= (x, y, z) 是平面A1BD的一个法向量, 则

可取向量= (3, 0, 0) .故点D1到平面A1BD的距离

最后, 其他距离可都化为上述四种距离中的某一种来求, 在此不再举例.

篇15：用构造法求递推数列的通项公式

【关键词】构造法；转化；化归

给出递推关系，求数列的通项公式是历年高考的热点。在此类问题中，转化与化归的方法是最重要的数学思想之一，起着不可或缺的作用，贯穿在数列的整个学习过程中。转化是解决递推数列问题的实质所在，所以，培养学生明确的“转化”意识，深刻理解这种思想方法的内涵，并能在解题过程中灵活运用，对于学生来说至关重要，甚至是考察学生数学思维的一项重要内容。

等差数列、等比数列是数列中最基础且最重要的两类特征数列，也是高中阶段数列内容中的重点研究对象但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列，这种方法就是求数列通项公式时经常使用的构造法，体现的正是转化与化归的数学思想，将非等差和非等比数列转化为我们熟悉的等差等比数列，进而使问题得到根本解决。此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。构造的方法很多，可根据递推公式的特征而定，现将几种常见类型的问题总结如下：

第一类：构造等差数列

类型1.an+1=■类型

针对这种递推关系中存在分式的问题，经常需两边取倒数，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，通过求{■}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式。

例如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=■，求数列{an}的通项公式。

解析：∵an+1=■，∴■=■+1，又∵a1≠0，∴an≠0

所以数列{■}是首项为1，公差为1的等差数列。∴■=1+n-1=n，∴an=■.

∴数列{an}的通项公式为an=■.

类型2.an=pan-1+pn+k类型（其中k为常数）

这种类型可以采取等式两边同除以pn，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，进而得到数列{an}的通项公式。

第二类：构造等比数列

在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，可以通过构造等比数列或等差数列求通项公式。

类型3.an+1=pan+q类型（其中p、q为常数，且p≠1,q≠0）

这类问题可用构造法化归为等比数列{an+x}，运用待定系数法求出x，通过求出等比数列{an+x}的通项公式，求出数列{an}的通项公式。这种类型的递推公式比较常见，也很重要，下面类型4、类型5的问题往往需要变形成这种类型来解决。

类型4.an+1=■类型（其中p,q为常数，且p≠0,q≠0）

此种类型需先将等式两边同时取倒数，得到■=■·■+■化归为类型3的问题来解决。

类型5.an+1=pan+f(n)型（其中p为常数，且p≠1）

当f(n)=kn+b时，可设an+1+An+B=k[an+A(n-1)+B],展开之后与给出的递推公式相同求出A、B,化归为等比数列{an+An+B};当f(n)=qn+k时，可等式两边同除以qn，得到■=■.■+■，化归为类型3的问题来解决。

类型6.an+1=pann型（其中p为常数）

此种类型需要两边取同底对数，如取以10为底的对数，得到lgan+1=nlgan+lgp，转化为类型3来解决。

【总结】

此类问题的主要方法就是根据递推关系，分析结构特征，善于合理变形，最终的目的是构造出一个与之相关的等差数列或者等比数列的形式。这种化归的思想在这类问题中随处可见。化归思想有着它的风趣描述和理论基础，它并不是孤立存在的，与我们其它的各种思想相互联系着。在高中阶段的教学过程我们可以挖掘知识发生过程的化归思想，渗透知识应用过程中的化归思想，加强解题教学，突出化归思想。“授之以鱼，不如传之以渔”，“教是为了不教”，数学思想对提高学生数学能力有着重要的作用。时代在发展，思想在更新，我们教育工作者一定要把学习的主动权化归到学生的身上去。

【参考文献】

[1]数学教学通讯(高考数学).2008年第3期.《高中数学中转化与化归思想的运用》

[2]中学生数学报.张永侠.《升华教材-习题 解决一类大问题》

[3]中学数学教学参考.姚爱亮.《高考中递推数列求通项例析》2010年第10期

（作者单位：浙江省衢州第三中学）