初中几何证明思路

初中几何证明思路（精选8篇）

篇1：初中几何证明思路

学习总结：中考几何题证明思路总结

几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的“因为”、“所以”逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

五、证明线段的和、差、倍、分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明角的和、差、倍、分

1.作两个角的和，证明与第三角相等。

2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。

3.利用角平分线的定义。

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

七、证明两线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

八、证明两角不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

九、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。

6.利用比利式或等积式化得。

以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是梦想！

篇2：初中几何证明思路

平面几何证明题的基本思路及方法

中考几何题证明一般思路

初中数学辅助线的添加类型

初中几何基本图形辅助线添加七字歌诀

初中几何基本图形辅助线添加七字歌诀完全解读

第一章简单空间图形的认识

第二章三角形与全等三角形

§2.1全等三角形的判定定理歌诀§2.2巧用角平分线判定三角形全等§2.3巧用某边中点判定三角形全等§2.4巧用垂直平分线判定三角形全等

第三章四边形

§3.1平行四边形

§3.2梯形

第四章解直角三角形

第五章图形的相似

§5.1相似三角形

§5.2比例线段

第六章与圆相关的知识

§6.1弧、弦、圆心角、圆周角§6.2垂直于弦的直径

§6.3圆的切线性质定理的应用

第七章

第八章

篇3：一道几何证明题的思路剖析

关键词：思路剖析,一题多解,思维突破,通性通法

对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事,通过研究把蕴含其中的数学思想方法揭露出来,挖掘出问题的本质属性.这样可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力,分析和解决问题的思维技能,优化数学的思维品质,而且还可以培养学生探索创新的能力.下面,笔者通过实例进行探讨.

一、试题呈现

题目:如图1,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕顶点B旋转至△A′BC′,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D.

(1)求证:AD=A′D;

(2)若AC=4,BC=3,AD∥BC,求∠CBC′的正切值.

这是某地区几所联盟学校初三模拟考试的一道试题.经了解,只有极少数学生能证明,有的学校甚至全军覆没.是什么原因导致这样的结局呢?这可从命题者提供的参考解答里找到原因.以下是命题者提供的解答过程.

(1)证明:连结BD,如图2,由旋转可得:BC=BC′,BA=BA′,∠CBC′=∠ABA′,所以,所以△BCC′∽△BAA′,所以∠BCC′=∠BAA′.因为∠BOC=∠DOA,所以△BOC∽△DOA.所以∠ADO=∠OBC,.因为∠BOD=∠COA,所以△BOD∽△COA,所以∠BDO=∠CAO.因为∠ACB=90°,所以∠CAB+∠ABC=90°,所以∠BDO+∠ADO=90°,即∠ADB=90°.又因为BA=BA′,∠ADB=90°,所以AD=A′D.

(2)略.

二、解法探究

从命题者提供的解答过程来看,是由条件BA=BA′联想到等腰三角形,进而想到证明BD为底边AA′的高.思路是顺畅的,也无可厚非,但证明用了3次三角形相似,显然超过了课程标准要求.这促使笔者深思、细研,思索着有没有其他解法.

结合本题,结论是证明D为AA′的中点,那么,遇到中点问题(已知中点或证明中点),我们还可以想到什么呢?从另一角度考虑,是否可以构造“8”字型或“A”字型或其他思路,这难道不是通性通法呢?沿着这样的思路试探.

思路1:构造“8”字型,证三角形全等.

因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑过点A作AG∥AC′与C′D的延长线交于点G(如图3).只要在△AGD与△A′C′D中,证明AG=A′C′或GD=C′D即可.因为A′C′=AC,只要证明AG=AC,即证明∠G=∠ACG.显然∠G=∠A′C′D,而∠DC′A′+∠CC′B=90°,∠ACG+∠C′CB=90°,又∠BCC′=∠BC′C,所以∠G=∠ACG,进而可证△ADG≌△A′C′D(AAS),所以AD=A′D成立.

思路2:构造等腰三角形,证三角形全等.

因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑以点A′为圆心,A′C′长为半径画弧,交CD的延长线于点G(如图4).显然△A′C′G是等腰三角形,即A′C′=AG,∠G=∠A′C′G.由思路1分析可知,∠A′C′G=∠ACD,又A′C′=AC,所以易证△ACD≌△A′GD(AAS),所以AD=A′D成立.

思路3:构造三角形全等,证等腰三角形.

因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑在CC′上找一点G,使CG=C′D(如图5).由思路1分析可知,∠A′C′D=∠ACG,所以△ACG≌△A′C′D(SAS),所以AG=A′D,∠AGC=∠A′DC′.进而可知∠AGD=∠ADG,所以△AGD是等腰三角形,所以AG=AD,所以AD=A′D成立.

思路4:添两条垂线,构造三角形全等.

因为点D不是已知的中点,而是要证明的中点,加倍CD不能奏效,故考虑过点A,A′分别作CD的垂线,交CD(或延长线)于点M,N(如图6).由思路1分析可知,∠ACM=∠A′C′N,所以Rt△ACM≌Rt△A′C′N(AAS),所以AM=A′N,进而证得Rt△AMD≌Rt△AND(AAS),所以AD=A′D成立.

思路5:构造“四点共圆”,利用对角互补证垂直.

由旋转可知CB=C′B,AB=A′B,∠CBC′=∠ABA′,所以易知∠C′CB=∠A′AB,进而可知点A,C,B,D四点共圆(如图7).所以∠ADB+∠ACB=180°,而∠ACB=90°,所以∠ADB=90°,即BD为等腰△BAA′底边上的高,所以AD=A′D成立.

三、解题反思

(一)关注解题通法增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法,而辅助线通常是解决问题的桥梁.巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”,与标准答案不同的上述几种解法,其巧妙之处在于添加了辅助线,辅助线使未知与已知有了更紧密的联系,无须通过证明3次相似,证明过程大为简洁,体现了数学方法的多样性.同时也从侧面说明这是一道难得的好题,是训练学生数学思维的好素材.由此可见,通过一题多解,可以加深和巩固学生所学知识,充分运用学过的知识,从不同的角度思考问题,采用多种方法解决问题,这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系,掌握各部分知识的转化关系,从而达到培养思维广阔性的目的.

(二)重视学会解题拓展学生的思维空间

在解题教学中,题目是载体,解题是过程,方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的,因此,解题教学切忌就题论题,片面追求容量,忽视教学功能的发掘与开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思:如解题中用到了哪些知识?解题中用到了哪些方法?这些知识和方法是怎样联系起来的?自己是怎么想到它们的?困难在哪里?关键是什么?遇到什么障碍?后来是怎么解决的?是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法?这些方法体现了什么样的数学思想?调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略?

(三)关注模型思想强化学生的识模能力

篇4：一道几何证明题思路剖析

从命题者提供答案看，是由条件BA=BA′联想到等腰三角形，进而想到证明BD为底边AA′的高，思路是顺畅的，也无可厚非，但证明用了3次三角形相似，显然超过了课程标准要求.这促使笔者深思、细研，思索着有没有其它解法？

解题是由条件出发，运用已有定义、定理、法则，通过运算、推理得到结论的过程.因此，题干条件是什么、能得到什么结论、需要什么条件、条件与结论之间用什么方法打通、有哪些思路，这是解题者必须思考的问题.那么该题有其它通性通法吗？

结合本题，结论是证明D为AA′的中点，那么，遇到中点问题（已知中点或证明中点）我们还可以想到什么呢？从另一角度考虑，是否可以构造“8”字型或“A”字型或其他思路，这难道不是通性通法呢？

3解题反思

3.1关注解题通法，增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁，巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无需通过证明3次相似，证明过程大为简洁，体现了数学方法的多样性，同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.

3.2重视学会解题，拓展学生的思维空间

在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的，因此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视教学功能的发掘、开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思：如解题中用到了哪些知识？解题中用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？

3.3关注模型思想，强化学生的识模能力

拿到一道试题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一主题、哪一章节？与这一章节的哪个类型的问题比较接近？解决这个类型的问题有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了，这就是解题中的模式识别.运用模式识别可以简洁回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说就从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进.正如本文中所提到的构造“A字型”、“8字型”或“共点双垂直型”等基本模型，因此在平时的教学中，教师要引导学生从习题中提炼出常用的基本模型，再推广模型，并通过典型问题帮助学生认识模、用模，从而强化学生对基本模型的理解.

参考文献

[1]钱德春.对数学解题“繁”与“简”的辨析与思考[J].中学数学杂志，2015

（10）：17-21

[2]沈岳夫.对一道“新定义”型折叠题的解法探析[J].数理化学习（初中版），2015（11）：2-3

篇5：初中几何证明思路

阆中中学附属实验学校 杨梅 新学期开始了，学生最先接触到的是《三角形》、《三角形全等》和《轴对称图形》几章几何知识，让我感到头痛的是很多同学对几何证明题，不知从何做起，甚至部分同学知道了答案，但不知道怎么得出，叙述不清楚，说不出理由。对逻辑推理的过程几乎不会写。怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢？是我数学教学中一直探索的问题，现把自己的做法给大家谈谈:

一、严格要求学生掌握必要的公理、定理、性质、判定、推论

公理、定理、性质、判定、推论是过程中讲道理的依据学生要有充足的理论依据，才能准确无误地进行推理论证。因此，必须要求学生掌握必要的公理、定理、性质、判定、推论，但在教学的过程中要让学生理解结合图形记忆，不要死记硬背，否则记住也不会应用。

二、教学生分析方法，培养学生逻辑推理能力。

几何中命题复杂，类型繁多，要培养学生分析与综合的逻辑推理能力，特别要重视对问题的分析，在初中几何中常用的分析方法有：

（1）综合法：就是由命题的题设至结论的定向思考方法，让学生从已知条件出发进行推理，顺次逐步推向结论，达到目标的思考过程。

（2）分析法：就是由命题的结论至题设的定向思考方法，在探究证题途经时，让学生不是从已知条件入手，而是从求证着手进行分析推理，要获得这个结果，需要什么条件，这个条件又由什么可获得，一步一步往前找，直至推究的条件与已知条件相合为止。

三、让学生大胆说过程、说结论

对于一个类型的题，初接触时，学生和我一起分析讨论，得出思路再让“优”学生说过程、说结果，教师做相应的补充、说明，理清整个思路，但不忙写出推理的过程，再让“中、差”生进行说过程，让80%以上的学生都会叙述，让学生根据自己叙述的过程书写推理的过程，向学生说明这就是求解的过程，这时，学生的积极性高涨，也知道这求解的过程原来就是这样简单，从而激发学生学习的兴趣。同时注意学生的发散思维，在教

一题多解的题时，要充分发挥学生的潜能，发散他们的思维，让他们大胆创新，寻找不同的路径进行求解证明，让学生把几何学活、用活。

四、培养学生证题时养成规范的书写习惯。

篇6：初中几何证明

从求证出发

你就要想，这道题要求证这个，就要有.....这些条件，再看已知，有了这些条件了，噢，还差这个条件。然后就找条件来证明这个还差的条件，然后全部都搭配齐全了，就证出了题目了

记住，做题要倒推走

把已知的条件从笔在图上表示出来，方便分析

而且你要牢牢记住一些定理，还有一些特殊角，特殊形状等等他们的关系 当一些题实在证不出来时，你要注意了，可能要添辅助线，比如刚才我说的 还差什么条件，你就可以画一个线段，平行线什么的来补充条件，你下子你就一目了然了，不过有些很难的看出的辅助线就要靠你的做题的作战经验了，你还要认真做题。

把这些牢牢记住，在记住老师教你们的公里定理些，你就已经成功大半了 作辅助线的方法和技巧

题中有角平分线，可向两边作垂线。

线段垂直平分线，可向两端把线连。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延长中线同样长。

成比例，正相似，经常要作平行线。

圆外若有一切线，切点圆心把线连。

如果两圆内外切，经过切点作切线。

两圆相交于两点，一般作它公共弦。

是直径，成半圆，想做直角把线连。

作等角，添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线

实战演练

1.（10分）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，延长EC，与∠BAD的平分线AF相交于

点F，求证：CF=BD.2.（6分）已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O.求证：四边形AFCE是菱形.3．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.（1）FG与DC的位置关系是,FG与DC的数量关系是；

（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.F

D EG

B

篇7：初中几何证明题

证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;

又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)

连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点

延长LM至E，使LM＝ME。

∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。

延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。

∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。

由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。

由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。

由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。

∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。

(3)如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交

AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ

取BC中点为H

连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点

由于H，F均为中点

易得：

HM‖AC,HN‖AB

HF=CE/2,HG=BD/

2得到：

∠BMH=∠A

∠CNH=∠A

又：BD=CE

于是得：

HF=HG

在△HFG中即得：

∠HFG=∠HGF

即：∠PFM=∠QGN

于是在△PFM中得：

∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN

在△QNG中得：

∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN

即证得：

∠APQ=∠AQP

在△APQ中易得到： AP=AQ

(4)ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123

41234

已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。

设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；

则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。

设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。

由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；

由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；

∴MQ·MA = ME·MO，即MQ∶MO = ME∶MA ；

又∵ ∠OMQ = ∠AME，∴△OMQ ∽ △AME，可得：∠MOQ = ∠MAE。

设OM和圆O相交于点D，连接AD。

∵弧BD = 弧CD，∴∠BAD = ∠CAD。

∵∠DAQ =(1/2)∠MOQ =(1/2)∠MAE，∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD-∠DAQ = ∠CAM。

设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为O，OE⊥EC，OD⊥DC，则CDOE四点共圆，由圆周角定理，∠ODE=∠OCE。

CF⊥FC，AD⊥DC，则ACDF四点共圆，由圆周角定理，∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，AD平分∠EDF。

其他同理。

平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA

过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH

∴四边形AHPD是平行四边形

∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//=BC

∴HP//=BC

∴四边形PHBC是平行四边形

∴∠PHB=∠PCB

又∠PAB=∠PCB

∴∠PAB=∠PHB

∴A、H、B、P四点共圆

∴∠PHA=∠PBA

∴∠PBA＝∠PDA

补充：

补充：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．

已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）

只说左边2式子 其他一样

OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得

(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简

得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)

移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0

即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直

同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心

设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．

作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG． 易证∠HCB=∠BCG，从而△HCD≌△GCD．

故CH=GC．

又显然有∠BAP=∠DAC，从而GC=BP．

从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．

篇8：初中几何证明探源

何谓证明?“一个命题的正确性需要经过推理, 才能做出判断, 这个推理过程叫做证明。”人教版, 七年级下册21页, 如是说。诚然, 这不能说其不对, 但也确实不够清楚。什么是“推理过程”?具体问题又该如何“推理”?从课本的这段话中, 我们恐怕不易弄清以上问题。许多初学几何的初中生虽能朗朗上口地背诵定理, 但却不能真正理解其含义, 更谈不上对其的运用。那么, 为何初中生都普遍觉得几何难学呢?问题究竟出在哪里?这些问题本文将稍后逐步探讨。

几何学是一门非常古老的学科, 早在古希腊时期几何学就已经非常繁荣, 比如欧式几何。时至今日, 我们所学的初等几何基本上都是建立在经历了两千多年的欧式几何的基础之上的, 由此可见其古老性之一斑。虽然几何学由来已久, 并经过了数千年的积淀和研究, 然而它仍然令一代又一代的学习者为之困惑, 缘何?笔者认为, 几何学之难 (尤其是几何证明) 关键在于其形式化的公理、定理、性质以及演绎推理等。所谓形式化, 即是用一系列约定的符号 (如逻辑符号) 来表示概念、符号化命题以及推理, 并将一定范围内的所有正确的推理形式 (逻辑规律) 都汇集在一个整体中。在此基础之上, 由几条公理及公设出发, 并规定一些初始符号和规则, 经过有效的逻辑推理, 得出若干新的、正确的、可靠的结论 (即命题) , 这些命题的集合就形成一个公理系统, 这就是形式化几何。初中几何主要研究的是平面几何的图形性质及其数量关系, 在欧式几何的公理体系和框架下, 早已经形成了许多有关平面几何的命题, 但是教师在教学的过程中绝不能只告诉学生们一个结果, 更多时候教师需要引导他们去探索并发现规律, 总结和证明他们发现的规律, 要证明就必然要弄清形式化的推理。

下面, 本文就从数理逻辑的角度来探讨何谓推理?何谓证明?为此, 需要介绍一些有关的数理逻辑概念和符号。

一命题与逻辑运算符

定义1:具有确定真假性的陈述句称为命题。

凡是命题都有真值, 命题的真值只有两种情况, 即取自集合{0, 1}, 具体情况是:真命题的真值为1, 假命题的真值为0。

定义2:具有唯一确定真值的陈述句称为命题。

要判断一个语句是不是命题, 需要注意两点:一是先判断其是否为陈述句;其次是看其真值是否唯一确定, 这两个条件缺一不可。例如, “x>5, x∈R”, 该语句虽然是陈述句, 但却无法判断真假。因为x是可变的, 当x取3时, 其为假命题;当x取7时, 其为真命题。这类语句可称之为命题变元或称之为命题变量, 值得注意的是命题变元不是命题, 原因是其真值是可变的, 时真时假。此外, 还要特别注意像“我正在说谎话”这样的陈述句, 这个语句无论你假设其真值为“1”还是“0”都会推出矛盾, 这样的语句称之为悖论。在数学中比较著名的有“罗素悖论”。

通常命题可分为简单命题和复合命题, 简单命题就是不能分解成更简单的陈述句的命题, 简单命题也称为原子命题。复合命题就是除简单命题外的命题, 复合命题也可以理解为是由逻辑运算符联结简单命题而成的。为了便于后面的讨论, 本文约定用小写的英文字母p、q、r…表示命题或命题变元。

比较常用的逻辑运算符有5种: (1) “¬”称为否定运算符, 读为“非”。 (2) “∧”称为合取运算符, 读为“且”或“与”。 (3) “∨”称为合取运算符, 读为“或”。 (4) “→”称为蕴含运算符, 读为“蕴含”。 (5) “↔”称为等价运算符, 读为“等价”。

以上5种逻辑运算有其优先级, 规定其优先顺序为: () 、¬、∧、∨、→、↔, 其中“ () ”的意思是有 () 的就先算, 然后再按照¬、∧、∨、→、↔的顺序来做运算, 对于同一优先级的运算符, 先出现者先算。

二推理和证明

定义3:命题公式递归定义如下: (1) 单个的命题常量或命题变量是命题公式; (归纳基) 。 (2) 若A、B是公式, 那么¬A、A∧B、A∨B、A→B和A↔B也是命题公式; (归纳步) 。 (3) 所有的命题公式都是有限次使用 (1) 和 (2) 得到的符号串; (最小化) 。

在这里可以使用大小写英文字母表示命题公式, 英文字母还可带下标。以后在没有二义的情况下, 将命题公式简称为公式。命题逻辑的推理理论就是利用命题逻辑公式研究什么是有效的推理。

定义4:推理就是从前提集合开始演绎出结论的思维过程, 前提集合是一系列已知的命题公式, 结论是从前提集合出发应用推理规则推出的命题公式。

若前提是一系列真命题, 并且推理中严格遵守推理规则, 则推出的结论也是真命题。在命题逻辑中, 主要研究推理规则。

定义5:称蕴含式 (A1∧A2∧…∧An) →B为推理的形式结构, A1, A2, …, An为推理的前提, B为推理的结论。若 (A1∧A2∧…∧An) →B为永真式, 则称从前提A1, A2, …, An推出结论B的推理正确 (或说有效) , B是A1, A2, …, An的逻辑结论或称有效结论, 否则称推理不正确。若从前提A1, A2, …, An推出结论B的推理正确, 则记为 (A1∧A2∧…∧An) ⇒B。

通俗地讲 (A1∧A2∧…∧An) ⇒B即是说, 若A1, A2, …, An都正确, 则B也正确。清楚了什么是推理以及推理的结构后, 下面来讨论什么是证明。

定义6:证明是一个描述推理过程的命题公式序列A1, A2, …, An, 其中的每个命题公式或者是已知的前提, 或者是由某些前提应用推理规则得到的结论, 满足这样条件的公式序列A1, A2, …, An称为结论An的证明。

在证明中常用的推理规则有3条: (1) 前提引入规则:在证明的任何步骤都可以引入已知的前提; (2) 结论引入规则:在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作为后续证明的前提; (3) 置换规则:在证明的任何步骤上, 命题公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换, 得到证明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的逻辑推理规则, 如何运用这些规则进行推理和证明呢?在定义6中可以看到, 证明实质上就是要把已知的命题公式按照一定顺序排列起来, 那么具体问题的证明要如何来将那些已知的条件、公理、定理、推论以及性质等 (诸如此类在逻辑上都可视为命题公式) 按照怎样的顺序来排列呢?下面, 通过初中几何中的具体实例进一步体会理解证明的实质。

求证:DE=DF。

分析:由△ABC是等腰直角三角形可知, ∠A=∠B=45°, 由D是AB中点, 可考虑连接CD, 易得CD=AD, ∠DCF=45°。从而不难发现△DCF≌△DAE。

证明:连接CD。

∴△DCF≌△DAE。

上述证明的过程, 实质上就是一个命题的序列, 可以如下来看: (1) 等腰三角形△ABC两腰相等 (AC=BC) ; (2) 等腰三角形△ABC两底角相等 (∠A=∠B) ; (3) 已知条件 (∠ACB=90°, AD=DB) ; (4) 等腰三角形△DCB两腰及两底角相等; (5) 等量减等量得等量 (AE=CF) , (4) 得出的结论 (∠A=∠DCB, AD=CD) ; (6) 三角形全等的判定定理SAS (△DCF≌△DAE) ; (7) 全等三角形对应边相等 (DE=DF) 。

这里的 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 不就是一个序列吗?并且序列中的 (7) 就是要证明的结论, 其实所有的证明都是如此, 只要按照逻辑的推理规则构造出一个包含证明结论的序列即可。那么, 在这七步的序列中运用了哪些推理规则呢? (1) 前提引入规则; (2) 前提引入规则; (3) 前提引入规则; (4) 假言推理规则; (5) 置换规则和结论引入规则; (6) 假言推理规则; (7) 假言推理规则。

数学能够非常有效地训练人的逻辑思维能力, 它是其他学科无可替代的, 而数学证明又是最为有效的途径, 正如罗增儒先生所说, 数学证明有助于获得新的体验、发现新的结论;有助于增进理解, 只有清楚了一个命题的证明, 才能真正理解该命题的内容。对于几何证明, 首先应该弄清题意, 明确证明方向即把握好题目的已知条件和要证明的结论, 然后结合图形理清思路, 把和本题有关的命题搜索出来, 再来思考需要用到哪些定理, 将其罗列出来, 最后按照逻辑的思维方法把它们构造成一个包含要证明结论的序列, 这就完成了证明的过程。

摘要：本文主要是从逻辑的角度来探讨什么是几何的形式证明, 以及如何来进行推理、构造证明的过程。首先引入了命题逻辑的初步知识, 由此得到了相应的一些运算, 利用这些相关概念以及运算探讨了什么是形式证明如何推理, 最终从逻辑结构上弄清了证明的过程是一系列命题所组成的一个序列, 并通过初中几何证明的具体实例加以证实。

关键词：形式证明,命题,逻辑推理,序列

参考文献

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