初二上几何证明

初二上几何证明（通用14篇）

篇1：初二上几何证明

初二上几何证明0011、已知，如图所示AB=AC，AD=CE，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：∠EAC=∠ACB.D

EA 24 BC2、已知：如图所示△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M为BC的中点，求证：∠MED=∠MDE.A

D

E

CBM3、已知：如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD且交AD延长线于E，F为AB的中点，求证：EF∥AC.A

BC E4、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，BE⊥CD于F，交AC于E, 求证：∠A=∠CBE.` C

E

F BAD5、已知：如图，AD平分∠BAC，AD=BD，AC=

C

AD1AB，求证：DC⊥AC.2

篇2：初二上几何证明

1．C如图，BD是△ABC的一条角平分线，AE∥BD，交CB的延长线于点E，F为AE的中点． 求证：BD⊥BF．

A

D

EBC

2．C如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC．求证：AC垂直平分BD．

A

BD

C

3．C如图，已知AE∥BF，AE＝BF，AC＝BD．你能判断ED与CF相等吗？请说明你的理由．

E

DB

AC

4．C如图，AB＝CD，AE＝FD，BF＝EC．求证：AF＝ED． F B

A

E C

5．C如图，PA＝PB，PC是△PAB的中线，∠A＝55°，求：∠B的度数．

A

C6．C如图：在△ABC中，AD = AE，点D、E在BC上，CE = BD，写出AB = AC的说理过程．A

篇3：初中几何证明探源

何谓证明?“一个命题的正确性需要经过推理, 才能做出判断, 这个推理过程叫做证明。”人教版, 七年级下册21页, 如是说。诚然, 这不能说其不对, 但也确实不够清楚。什么是“推理过程”?具体问题又该如何“推理”?从课本的这段话中, 我们恐怕不易弄清以上问题。许多初学几何的初中生虽能朗朗上口地背诵定理, 但却不能真正理解其含义, 更谈不上对其的运用。那么, 为何初中生都普遍觉得几何难学呢?问题究竟出在哪里?这些问题本文将稍后逐步探讨。

几何学是一门非常古老的学科, 早在古希腊时期几何学就已经非常繁荣, 比如欧式几何。时至今日, 我们所学的初等几何基本上都是建立在经历了两千多年的欧式几何的基础之上的, 由此可见其古老性之一斑。虽然几何学由来已久, 并经过了数千年的积淀和研究, 然而它仍然令一代又一代的学习者为之困惑, 缘何?笔者认为, 几何学之难 (尤其是几何证明) 关键在于其形式化的公理、定理、性质以及演绎推理等。所谓形式化, 即是用一系列约定的符号 (如逻辑符号) 来表示概念、符号化命题以及推理, 并将一定范围内的所有正确的推理形式 (逻辑规律) 都汇集在一个整体中。在此基础之上, 由几条公理及公设出发, 并规定一些初始符号和规则, 经过有效的逻辑推理, 得出若干新的、正确的、可靠的结论 (即命题) , 这些命题的集合就形成一个公理系统, 这就是形式化几何。初中几何主要研究的是平面几何的图形性质及其数量关系, 在欧式几何的公理体系和框架下, 早已经形成了许多有关平面几何的命题, 但是教师在教学的过程中绝不能只告诉学生们一个结果, 更多时候教师需要引导他们去探索并发现规律, 总结和证明他们发现的规律, 要证明就必然要弄清形式化的推理。

下面, 本文就从数理逻辑的角度来探讨何谓推理?何谓证明?为此, 需要介绍一些有关的数理逻辑概念和符号。

一命题与逻辑运算符

定义1:具有确定真假性的陈述句称为命题。

凡是命题都有真值, 命题的真值只有两种情况, 即取自集合{0, 1}, 具体情况是:真命题的真值为1, 假命题的真值为0。

定义2:具有唯一确定真值的陈述句称为命题。

要判断一个语句是不是命题, 需要注意两点:一是先判断其是否为陈述句;其次是看其真值是否唯一确定, 这两个条件缺一不可。例如, “x>5, x∈R”, 该语句虽然是陈述句, 但却无法判断真假。因为x是可变的, 当x取3时, 其为假命题;当x取7时, 其为真命题。这类语句可称之为命题变元或称之为命题变量, 值得注意的是命题变元不是命题, 原因是其真值是可变的, 时真时假。此外, 还要特别注意像“我正在说谎话”这样的陈述句, 这个语句无论你假设其真值为“1”还是“0”都会推出矛盾, 这样的语句称之为悖论。在数学中比较著名的有“罗素悖论”。

通常命题可分为简单命题和复合命题, 简单命题就是不能分解成更简单的陈述句的命题, 简单命题也称为原子命题。复合命题就是除简单命题外的命题, 复合命题也可以理解为是由逻辑运算符联结简单命题而成的。为了便于后面的讨论, 本文约定用小写的英文字母p、q、r…表示命题或命题变元。

比较常用的逻辑运算符有5种: (1) “¬”称为否定运算符, 读为“非”。 (2) “∧”称为合取运算符, 读为“且”或“与”。 (3) “∨”称为合取运算符, 读为“或”。 (4) “→”称为蕴含运算符, 读为“蕴含”。 (5) “↔”称为等价运算符, 读为“等价”。

以上5种逻辑运算有其优先级, 规定其优先顺序为: () 、¬、∧、∨、→、↔, 其中“ () ”的意思是有 () 的就先算, 然后再按照¬、∧、∨、→、↔的顺序来做运算, 对于同一优先级的运算符, 先出现者先算。

二推理和证明

定义3:命题公式递归定义如下: (1) 单个的命题常量或命题变量是命题公式; (归纳基) 。 (2) 若A、B是公式, 那么¬A、A∧B、A∨B、A→B和A↔B也是命题公式; (归纳步) 。 (3) 所有的命题公式都是有限次使用 (1) 和 (2) 得到的符号串; (最小化) 。

在这里可以使用大小写英文字母表示命题公式, 英文字母还可带下标。以后在没有二义的情况下, 将命题公式简称为公式。命题逻辑的推理理论就是利用命题逻辑公式研究什么是有效的推理。

定义4:推理就是从前提集合开始演绎出结论的思维过程, 前提集合是一系列已知的命题公式, 结论是从前提集合出发应用推理规则推出的命题公式。

若前提是一系列真命题, 并且推理中严格遵守推理规则, 则推出的结论也是真命题。在命题逻辑中, 主要研究推理规则。

定义5:称蕴含式 (A1∧A2∧…∧An) →B为推理的形式结构, A1, A2, …, An为推理的前提, B为推理的结论。若 (A1∧A2∧…∧An) →B为永真式, 则称从前提A1, A2, …, An推出结论B的推理正确 (或说有效) , B是A1, A2, …, An的逻辑结论或称有效结论, 否则称推理不正确。若从前提A1, A2, …, An推出结论B的推理正确, 则记为 (A1∧A2∧…∧An) ⇒B。

通俗地讲 (A1∧A2∧…∧An) ⇒B即是说, 若A1, A2, …, An都正确, 则B也正确。清楚了什么是推理以及推理的结构后, 下面来讨论什么是证明。

定义6:证明是一个描述推理过程的命题公式序列A1, A2, …, An, 其中的每个命题公式或者是已知的前提, 或者是由某些前提应用推理规则得到的结论, 满足这样条件的公式序列A1, A2, …, An称为结论An的证明。

在证明中常用的推理规则有3条: (1) 前提引入规则:在证明的任何步骤都可以引入已知的前提; (2) 结论引入规则:在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作为后续证明的前提; (3) 置换规则:在证明的任何步骤上, 命题公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换, 得到证明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的逻辑推理规则, 如何运用这些规则进行推理和证明呢?在定义6中可以看到, 证明实质上就是要把已知的命题公式按照一定顺序排列起来, 那么具体问题的证明要如何来将那些已知的条件、公理、定理、推论以及性质等 (诸如此类在逻辑上都可视为命题公式) 按照怎样的顺序来排列呢?下面, 通过初中几何中的具体实例进一步体会理解证明的实质。

求证:DE=DF。

分析:由△ABC是等腰直角三角形可知, ∠A=∠B=45°, 由D是AB中点, 可考虑连接CD, 易得CD=AD, ∠DCF=45°。从而不难发现△DCF≌△DAE。

证明:连接CD。

∴△DCF≌△DAE。

上述证明的过程, 实质上就是一个命题的序列, 可以如下来看: (1) 等腰三角形△ABC两腰相等 (AC=BC) ; (2) 等腰三角形△ABC两底角相等 (∠A=∠B) ; (3) 已知条件 (∠ACB=90°, AD=DB) ; (4) 等腰三角形△DCB两腰及两底角相等; (5) 等量减等量得等量 (AE=CF) , (4) 得出的结论 (∠A=∠DCB, AD=CD) ; (6) 三角形全等的判定定理SAS (△DCF≌△DAE) ; (7) 全等三角形对应边相等 (DE=DF) 。

这里的 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 不就是一个序列吗?并且序列中的 (7) 就是要证明的结论, 其实所有的证明都是如此, 只要按照逻辑的推理规则构造出一个包含证明结论的序列即可。那么, 在这七步的序列中运用了哪些推理规则呢? (1) 前提引入规则; (2) 前提引入规则; (3) 前提引入规则; (4) 假言推理规则; (5) 置换规则和结论引入规则; (6) 假言推理规则; (7) 假言推理规则。

数学能够非常有效地训练人的逻辑思维能力, 它是其他学科无可替代的, 而数学证明又是最为有效的途径, 正如罗增儒先生所说, 数学证明有助于获得新的体验、发现新的结论;有助于增进理解, 只有清楚了一个命题的证明, 才能真正理解该命题的内容。对于几何证明, 首先应该弄清题意, 明确证明方向即把握好题目的已知条件和要证明的结论, 然后结合图形理清思路, 把和本题有关的命题搜索出来, 再来思考需要用到哪些定理, 将其罗列出来, 最后按照逻辑的思维方法把它们构造成一个包含要证明结论的序列, 这就完成了证明的过程。

摘要：本文主要是从逻辑的角度来探讨什么是几何的形式证明, 以及如何来进行推理、构造证明的过程。首先引入了命题逻辑的初步知识, 由此得到了相应的一些运算, 利用这些相关概念以及运算探讨了什么是形式证明如何推理, 最终从逻辑结构上弄清了证明的过程是一系列命题所组成的一个序列, 并通过初中几何证明的具体实例加以证实。

关键词：形式证明,命题,逻辑推理,序列

参考文献

[1]人民教育出版社、课程教材研究所等.数学 (七年级下册) [M].北京:人民教育出版社, 2012

[2]张顺燕.数学的源与流[M].北京:高等教育出版社, 2004

[3]耿素云.离散数学[M].北京:清华大学出版社, 2008

[4]刘叙华、姜云飞等.离散数学[M].北京:中央广播电视大学出版社, 1993

篇4：几个几何定理的纯几何证明

《中学数学杂志》(初中)2008年第2期刊载的“从一道美国数学竞赛题引出的一组几何定理及代数证法”一文(下称文[1])，由一道美国数学竞赛试题经探索、整合，得到了几个新颖有趣、耐人寻味的几何定理，阅后很受启发. 由于这几个几何定理的独特风格和丰富的内涵，颇显其思考性，而引人入胜. 缺感的是文[1]的代数证法冗长繁琐，不够简约，有失纯几何方法的风采、韵味，并非是“定理的证明用代数法解决更妙”(文[1]). 笔者经思索、探究，得到了文[1]中四个定理的浅显、简明、别致的纯几何证法，现介绍如下，供读者参考(为方便计，定理顺序同文[1]).

定理1 已知：如图1，在以AB为直径的半圆中，正方形CDEF内接于半圆，正方形CGHK内接于△BCF，且边CG在AB上，求证：AC=CG.

分析 由对称性，易知AC=BD.

由射影定理(或相交弦定理的推论)，得CF2=AC·BC.

又CF=CD，BC=CD+BD=CD+AC，得CD2=AC(CD+AC)，即AC2+CD·AC=CD2.①

由AC=BD，知AG=BG.故点G是半圆的圆心.

参考文献

[1] 曾恒忠，白方奎等. 从一道美国数学竞赛题引出的一组几何定理及代数证法[J].中学数学杂志(初中).2008，(2).

作者简介：令标，男，1962年11月生，中学高级教师，主要从事数学教学及解题研究，已在多家中学数学期刊发表文章数十篇.

篇5：初二上几何证明题010

1．C如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，AD＝BD．求证：CD⊥AC． A

BC

D

2．C如图，已知D为等边△ABC内一点，P为等边△ABC外一点，BD＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC． 求证：∠P＝30°．

A

P

D

BC

3．C如图：AD∥BC，∠1 =∠2，∠3 =∠4，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C，求证：AD + BC = AB．

C E

D123 AB

4．C如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，试说明，△ABC≌△ADE的理由．

AE1DC B

5．C如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、AB上，且AD＝BE．求证：∠A＝∠1．A

D

E1

BC

篇6：初二上几何证明题006

1．C如图，在△ABC中，BF、CE相交于点O，AE＝AF，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．

A

E

B

2．C如图，AD＝AE，∠D＝∠E，∠1＝∠2，BE、CD相交于点O．求证：OB＝OC．

A

D

B

3．C如图，AC、BD相交于点O，AB = CD，∠BAD =∠ADC，求证：△ABO≌△DCO．D

B

4．C如图，B、C是线段AD上的两点，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．

求证：⑴∠E＝∠F；⑵OB＝OC．

EF

CDB A

5．C如图：已知AD = BC，AC = BD，求证：∠1 =∠2．

DC

AB

6．C如图：已知AC、BD的交点O平分AC、BD，过点O引直线EF交AB、DC于点E、F，求证：OE = OF．

AD

EF

篇7：初二上几何证明题016

1．D已知，在△ABC中，AB＝AC．（本题9分）

(1)如图⑴，如果∠BAD＝40°，AD是△ABC的中线，AD＝AE，则∠EDC＝；

(2)如图⑵，如果∠BAD＝70°，AD是△ABC的中线，AD＝AE，则∠EDC＝；

(3)思考，通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC数量之间有什么关系？请用式子表示；

(4)如图⑶，如果AD不是△ABC的中线，AD＝AE，是否仍有 上述关系？请说明理由．

AA

A E

EE

DCB BCDBDC（1）（2）（3）

2．D如图（1），已知∠BAC = 90°，AB = AC，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，求证：（1）BD = DE + CE；

（2）若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明；

（3）若直线AE绕点A旋转到图（3）位置时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．

EAA D

DBBB CCCE

（1（2）（3）

3．D如图，已知点C是AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形．

(1)说明AN＝MB；

(2)将△ACM绕点C按逆时针旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在备用图上画出符合要求的图形；

(3)在（2）所得到的图形中，结论“AN＝BM”是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由；

(4)在（2）所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于点D，请你判断△ABD的形状，并说明你的理由． NN MM

篇8：初二几何证明

（2）如图（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AMBC,BMCN，连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程.24．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.（1）求证：EFEG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa，BCb，求

EF的值． EG

24.问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；

21∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出2问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=

你的猜想，并给予证明.5.（丰台区）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．

（1）当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；

②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若AO1，AC

4求OE的值．

OF

E

B F C 图1 图2 图3 F B F CA A

24． 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．

（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；

（2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．

①求证：OG＝OH；

②连接OP，若AP＝4，OP

AB的长．

图

1（1）答：

证明：

9.（房山区）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；

（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.求证：①FG+BE

②∠HGF=∠HDF.图2 B AGDG

B

第24题图1 FB

E第24题图2 F

B

篇9：初二数学几何证明

E

A

BCD

2.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC

.3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等边三角形，求证：四边形ADEF是平行四边形.A

D

F

BC

4.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。试说明BD=2CH。

A

21C

5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过C点在△ABC形外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

(1)求证：

MN=AM+BN

(2)△ABC内，∠ACB=90°，AC=BC若过C点在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM，BN和MN满足MN=AM-BN，并证明之．

6.“等腰三角形两腰上的高相等”

(1)根据上述命题，画出相关图形，并写出“已知’’“求证”，不必证明．(2)写出上述命题的逆命题，并加以证明．

7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，DE、DC、DF将△ABC分成四个全等的三角形，△ABC的周长是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各个小三角形的周长．

8.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF⊥BD，垂足为F．求证：BF=DF．

B

FA

D

C

9.已知，如图正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF和DE交于点P． 求证：

CP=CD

10.如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的长．

(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面积．

11.如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，点M 是BC的中点．求证：EM=FM

A

B

E

C

12.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等）

13.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

A8

A

3ICME-7

21图甲图乙

（）12，S1

;(2)13,S2

;(3)14,S3

;„„

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；

2222

（3）求出S1S2S3S10的值。

1.如图，在△ABC中，∠

A=90°，ABAC，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB2cm.求：AD的长,2．在Rt△ABC中，∠C=90°，中线AD的长为7，中线BE的长为4.求：AB的长 3．四边形中，∠A=60

°，∠B=∠D=90°，AB2,CD1.(1)求BC、AD的长（2）

篇10：初二几何证明题

如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=x

（1）当PQ∥AD时，求x的值；

（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；

（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。

21．（本小题满分9分）

如图，直线yxm与双曲线y

（1）求m及k的值； k相交于A（2，1）、B两点． xyxm,（2）不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标； ky,x

（3）直线y2x4m经过点B吗？请说明理由．

（第21题）

28．（2010江苏淮安，28，12分）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．

(1)点C坐标是)，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是，)；

(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值时，S最大；

(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A．O为对应顶点的情况)：

题28(a)图题28(b)图

（10江苏南京）21.（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，△ABC≌△BAD。求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD.（10江苏南京）28.（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A

出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。

23．(本题8分)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，∥BF，连接BE、CF．

(1)求证：△BDF≌△CDE；

(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．

CE

27．(本题8分)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

(1)如图②，若M为AD边的中点，①,△AEM的周长=_____cm；

②求证：EP=AE+DP；

(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．

27．（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；

（2）求证：AB=BC；

（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．

DF求 FC 的值．

图1 E C

篇11：初二(下)几何证明题练习(一)

（一）1.正方形ABCD中，∠ＥＡＦ＝４５°（1）探究BP、PQ、DQ关系；（2）探究DE、BP、AB关系；

（3）连接AC，探究AC、CM、CN的关系；（4）若EH∥BC，探究 EH、BF、DE的关系。

2.正方形ＡＢＣＤ，ＣＦ平分∠ＢＣＤ外角，ＡＥ⊥ＥＦ。

（1）当点E在BC上，探究则AE与EF的数量关系。

（2）当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？说明理由；

（3）若把“正方形ＡＢＣＤ”改为“梯形ABCD中，∠D＝∠BCD＝９０°，ＡＤ＝ＣF＝ 1ＢＣ”，其它条件不变，探究AB，FC，EC间的数量关系。

3.正方形ＡＢＣＤ，∠ＦＡＥ＝９０°，（1）若点E在线段BC上，探究ＣＥ，ＣＦ，ＡＣ间的数量关系。

（2）当点E在线段BC的延长线上，（1）中的结论是否成立？说明理由：

4.直角梯形ABCD，AD=AB，∠A=∠D=90°，FG⊥BE，MN∥AD，（1）若点E在线段AD上，探究AE，MF，NG之间的数量关系

（2）当点E在线段AD的延长线上，（1）中的结论是否成立？说明理由；

D

F

篇12：初二上几何证明

一、章节目标：

1、体验几何研究从直观经验、操作实验到演绎推理的演进过程，认识几何直觉和演绎推理的作用；知道基本的逻辑术语，理解命题、证明的意义；懂得推理过程中的因果关联，知道证明的步骤。

2、在例题学习和证明实践中，初步掌握演绎推理的规则和规范表达的格式；会用三角形全等的判定定理和性质定理证明有关的线段相等、角相等以及两条直线平行、垂直的简单问题，会用等腰三角形的判定定理和性质定理证明简单的几何问题。

3、通过对平行线和等腰三角形的有关定理的分析，理解逆命题与逆定理；掌握角的平分线、线段的垂直平分线的有关性质；知道轨迹的意义，知道圆、角的平分线、线段的垂直平分线这三条基本轨迹。

4、掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法，在“斜边、直角边”判定定理的学习过程中，体会解决问题过程中矛盾的一般性与特殊性；掌握直角三角形的有关性质和判定。

5、在勾股定理及其逆定理的学习中，领略人类文明的辉煌成就，感受理性思维的精神和包容世界文化的意义；了解勾股定理导出的过程和它在度量几何中的作用，进一步理解形数之间的联系；能运用勾股定理及其逆定理解决比较简单的证明或计算问题及比较简单的实际应用问题；掌握平面直角坐标系内两点距离的公式。

二、单元目标 第一节：几何证明

1、初步理解演绎证明的含义及因果关系的表述，体会演绎证明是一种严格的数学证明，所获得的结论最可靠。

2、知道定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等之间的区别与联系；了解命题的构成，能初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果„„，那么„„”的形式。

3、知道证明一个命题为真命题的一般过程；知道证明一个命题为假命题只要举一个反例；初步感知证明过程中体现的理性精神。

4、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式；知道分析证明思路的基本方法。

5、会利用平行线、全等三角形、等腰三角形的判定和性质来证明有关线段相等、角相等以及两直线平行和垂直的简单问题；了解添置辅助线的基本方法，会添置几种常见的辅助线。

6、初步学会演绎推理的方法和规范表达，体会理性思维的精神，发展逻辑思维能力。单元重点：定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等相关概念和证明一个命题为真命

题或假命题的一般过程；利用平行线、全等三角形、等腰三角形的判定和性质来证明有关线段相等、角相等以及两直线平行和垂直的简单问题；了解添置辅助线的基本方法。

单元难点：分析证明思路的基本方法和辅助线的添置方法。第二节：线段的垂直平分线和角的平分线

1、知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理等的含义。

2、会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假，知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理。

3、增强逆向思维意识，体会辨证思想。

4、初步掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质定理和逆定理。

5、能运用线段的垂直平分线、角的平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题。

6、了解轨迹的意义，知道线段的垂直平分线、角的平分线和圆三条基本轨迹。

7、会用三条基本轨迹解释简单的轨迹问题并用图形语言表示，会用交轨法进行基本的作图。

8、通过轨迹的学习，初步感知集合的思想。

单元重点：段的垂直平分线、角的平分线的性质定理和逆定理，交轨法作图

单元难点：段的垂直平分线、角的平分线的性质定理和逆定理的应用和用三条基本轨迹解

释简单的轨迹问题

第三节：直角三角形

1、经历探索直角三角形全等的特殊判定方法的过程，体会演绎思想和化归思想。

2、掌握直角三角形全等的判定定理，会用“H.L”判定直角三角形全等。

3、经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法。

4、掌握直角三角形性质定理和特殊直角三角形的性质定理，能运用直角三角形的有关性质解决简单的数学问题。

5、理解用面积割补法证明勾股定理的思路和勾股定理逆定理的推导方法；了解勾股定理的重要性以及它在人类重大科技发现中的地位，感受人类文明，体会理性精神。

6、初步掌握勾股定理和逆定理，能用勾股定理和逆定理解决基本的有关证明或计算问题，了解勾股数组的概念，熟悉最基本的勾股数组。

7、在勾股定理及其逆定理的学习中，获得“探索—研究—运用—反思”的过程经历，增强

学习数学的兴趣和探究学习的意识，激发科学研究的内部动机。

8、经历探求直角坐标平面内两点的距离的过程，掌握两点的距离公式，体会数形结合的数学思想方法。

单元重点：直角三角形全等的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理以及两

点间的距离公式。

单元难点：用直角三角形全等的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理以及

篇13：初二上几何复习一

一、选择题

1、在Rt△ABC中，等于斜边的一半是斜边上的（）

A、高

B、中线

C、角平分线

D、垂直平分线

2、满足下列哪一组条件的三角形是直角三角形（）

A、三角形中有一个角为30°B、三角形的一个角的平分线垂直平分这个角的对边

C、三角形的一边等于另一边的一半D、三角形一边上的中线等于这边的一半

二、填空题

3、写出下列命题的逆命题，并判断真假性

①、命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为：.②、命题：“长方形的每个角都是直角”的逆命题为：.③、命题：平行四边形是中心对称图形“的逆命题为：.⑤、命题：“直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半“的逆命题为：.4、若等腰三角形底边的高等于腰的一半，则等腰三角形的底角为.5、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则等腰三角形的顶角为.6、如图所示，点D、E在BC上，AB=AC，BD=CE，要证∠1=∠2，有多种方法： 方法一：先证△ABD≌________，得AD=________，得∠1=∠2

方法二：先证△ABE≌________，得∠1=∠2

方法三：过A作AH⊥BC于H，由BH=________，利用等式性质得DH=________，证△ADH≌△________，证得∠1=∠2.7、Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，若AB=10，则CD=.8、等腰直角三角形斜边上的中线为5cm，则这个三角形的面积为cm2.9、如图所示，△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC于D，DC=DF，连BF并延长交AC于G，要证△ADC≌BDF的理由为_______并得∠1=_______, ∵∠2+∠3=90°又∠3=∠4∴∠1+∠4=_____度； 从而得BG与AC的关系为__________.10、Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=5，则∠A=.三、计算与证明：

11、已知，如图所示AB=AC，AD=CE，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证∠EAC=∠ACB.④、命题：“在三角形中有两个角是锐角，则另一个角一定是钝角的逆命题为：

A

B

DE

6题图

C

A

G

B

D9题图

D

E

B

C12、已知：如图所示，AD平分∠BAC，AD=BD，AC=AB，求证：DC⊥AC.C

A

篇14：北师大版初二上-证明(一)讲义

（一）◆7.1为什么要证明

1．推理证明的必要性

给出两条线段a，b，判断它们是否相等，我们就需要去测量，因为有误差，所以测量的结果可能相等，也可能不相等，这说明测量所得出的结论也不一定正确．

实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，必须一步一步、有根有据地进行推理．

谈重点

证明的必要性

(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；

(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质． 【例1】 观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？

2．检验数学结论常用的方法

(1)检验数学结论常用的方法

主要有：实验验证、举出反例、推理证明．实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．

检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．

(2)应用

检验数学结论常用的三种方法的应用：

实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．

【例2－1】 我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b?

【例2－2】 如图，在ABCD中，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．

3．推理的应用

推理的应用在数学中很多，下面给出两种较常见的应用：(1)规律探究

给出形式上相同的一些代数式或几何图形，观察、猜想其中蕴含的规律，并验证或推理说明．这是规律归纳类题目的特点．

解题思路：

解决此类题目时，要用从特殊到一般的思想找到思路，而且必须善于猜想．代数规律题一般用式子表示其规律，对于几何规律题有时用式子表示，有时写出文字结论．

(2)推理在日常生活中的应用

生活中我们经常需要对有关结论的真伪作出判断，如购买货物、称重是否准确、获得的某种信息是否可靠等．我们可以根据自己的知识储备或借助外力，进行适当的推理，辨别真

伪，从而作出判断．

【例3－1】 下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成．依此规律，第5个图案中小正方形的个数为__________．

【例3－2】 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？

……………………………………………………………………………… ◆7.2定义与命题

1．定义

对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义．

谈重点

下定义的注意事项 ①在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别．②定义的双重性：定义本身既可以当性质用，又可以当判定用．③语句必须通顺、严格、准确，一般不能用“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语．要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事物或名词区别．

【例1】 下列语句，属于定义的是（）．

A．两点之间线段最短

B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 D．三人行则必有我师焉

2．命题

(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题．(2)命题的组成结构： ①每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

②有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显．对于这样的命题，要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式．命题的条件部分，有时也可用“已知……”或“若……”等形式表述．命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．

谈重点

改写命题

命题的改写不能是简单地加上“如果”“那么”，而应当使改写的命题和原来的命题内容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见．有些命题条件和结论不一定只有一个，要注意区分．

【例2】 指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．

分析：命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

解：①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．

②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．

③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．

④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角． 点技巧

分清条件和结论

“若……则……”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论．

3．公理、定理、证明

(1)公理

公认的真命题称为公理． ①公理是不需推理论证的真命题． ②公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据． 常用的几个公理： ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． ③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． ④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． ⑤三边对应相等的两个三角形全等． ⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．

其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理．(2)定理

有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理． ①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理． ②定理可以作为推理论证其他命题的依据．(3)证明

推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理． 【例3】 下列说法正确的是（）．

A．真命题都可以作为定理

B．公理不需要证明

C．定理不一定都要证明

D．证明只能根据定义、公理进行

4．命题及真假命题的判断

(1)命题的判断

判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义． ①命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断，即具有明确的判断性．如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，那么它就不是命题．

②命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题． ③命题是陈述语句，其他形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．如：“你爱好什么运动？”没有作出判断，这不是命题．

注意：错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题．(2)真假命题的判断

命题是一个判断，这个判断可能正确，也可能错误．因此可以将命题分为真命题和假命题．

①正确的命题称为真命题． ②不正确的命题称为假命题． ③真命题、假命题的判断与比较：

要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．

谈重点

判断真假命题的方法 ①如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；②如果题设成立，但结论不成立，这样的命题为假命题．

【例4－1】 下列句子中是命题的有__________(填序号)．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．

【例4－2】 下列命题中，真命题是（）．

A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0

B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0

【例4－3】 已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有__________(填序号)．

5．命题的组合

命题是由条件和结论组成的，当条件成立，结论也成立时，该命题即为真命题．命题的组成就是通过选择一定的条件，使结论成立，即组成真命题．

组合新的命题是考察命题的概念及有关知识的重要题型．该题型常见于对几何的考查，一般是给出几个单独的论断，根据有关知识内容结合图形重新组合写出正确的命题．

命题的条件和结论往往不是固定的，要使所组合的命题是正确的，要求必须理解掌握有关的知识内容．

点评：①命题组合时，条件可能不止一个，注意两个条件的情况．②组合命题一般是几何中的某一图形的性质或者判定．

【例5－1】 如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．(用序号的形式写出)

【例5－2】 对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．

……………………………………………………………………………… ◆7.3平行线的判定

1．平行线的判定公理

(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．

如图，推理符号表示为： ∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点

同位角相等，两直线平行 ①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．

(2)平行公理的推论： ①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c； ②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？

2．平行线的判定定理

(1)判定定理1 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单记为：同旁内角互补，两直线平行． 符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点

同旁内角互补，两直线平行 ①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．

(2)判定定理2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单记为：内错角相等，两直线平行． 符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．

【例2－2】 如图，下列说法中，正确的是（）．

A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BC

B．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CD C．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CD

D．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD 3．平行线的判断方法

平行线的判定方法主要有以下六种：

(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．

(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 析规律

如何选择判定两直线平行的方法 ①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；

②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．

【例3】 如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.4．平行线判定的应用

(1)平行线的生活应用

数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……

对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．

(2)平行线在数学中的运用

平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决

其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．

释疑点

判定平行的关键

判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．

【例4－1】 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．

【例4－2】 已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

……………………………………………………………………………… ◆7.4平行线的性质

1．平行线的性质公理

平行线的性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简记为：两直线平行，同位角相等．

如图，推理符号表示为： ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.谈重点

两直线平行，同位角相等 ①两直线平行的性质公理是推理论证后面两个性质定理的基础； ②“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的，是平行线特有的性质．要避免一提同位角就以为其相等的错误；

③两直线平行的性质公理与两直线平行的判定公理的条件与结论是互逆的．其中判定公理是在已知同位角相等(数量关系)的前提下推理论证两直线的平行位置关系，是由角到线的推理过程；而两直线平行的性质公理是在已知两直线平行的前提下推理论证同位角相等的数量关系，是由线到角的推理过程． 【例1】 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度数是________．

2．平行线的性质定理

(1)性质定理1 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简单记为：两直线平行，同旁内角互补．符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°.(2)性质定理2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．

简单记为：两直线平行，内错角相等．符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠4.点评：①平行线的性质定理是在平行线性质公理的基础上推理得出的；②从平行线得到角相等或互补的关系；③内错角相等或同旁内角互补的前提条件是“两条直线平行”．要避免

出现一提内错角就相等或一提同旁内角就互补的错误．

【例2－1】 某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是（）．

A．30°

B．45°

C．60°

D．75° 【例2－2】 如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，则∠D等于（）．

A．70°

B．80°

C．90°

D．100°

3．证明的步骤

(1)证明的一般步骤： ①理解题意； ②根据题意正确画出图形； ③结合图形，写出“已知”和“求证”； ④分析题意，探索证明的思路； ⑤依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程； ⑥检查表达过程是否正确、完善．(2)证明的思路：

可以从求证出发向已知追溯，也可以由已知向结论探索，还可以从已知和结论两个方向同时出发，互相接近．

点评：对于用文字叙述的命题的证明，要先分清命题的条件和结论，然后根据题意画出图形，写出已知和求证，证明即可． 4．借助辅助线构造平行线

在有平行线的条件下，证明两个角相等或求某个角，当这两个角不是两条平行线所截得的同位角、同旁内角或内错角时，往往要利用其他的角，转化为平行线所截的角．

但有些题目中某些条件所对应的图形没有或不完整，这时就需要通过添加辅助线去构造某些“基本图形”，再由图形联想相关性质，从而确定方法，达到解题的目的．

释疑点

平行线判定与性质的应用

以平行为条件的求值或证明角相等的问题中，关键要分析出哪对角相等(或互补)，再进行转化，从而求出结论中的角或完成证明．

【例3】 证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”．

分析：本题是文字证明题．根据文字证明的一般步骤，先根据题意画出两条直线a，b都与直线c垂直，根据已知和图形写出本题的已知和求证，已知是直线a⊥c，b⊥c，求证是a∥b.证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法，证明同位角相等就可以．然后写出证明过程．

解：已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a⊥c，b⊥c.求证：a∥b.证明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定义)． ∴∠1＝∠2(等量代换)． ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 点技巧

文字证明题的步骤

文字证明题的已知和求证要结合图形来写，因此在分析题意时，要确定应该画什么图形．书写证明过程时，要注重格式，注意推理的条理性，每一步都要有理有据． 【例4】 如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠C＝35°，则∠BEC＝__________.5．平行线性质与判定的综合应用

(1)平行线的性质与判定的区别

平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反．性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”；判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”．

具体为：

在判定中，把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提．角相等或互补是已知，结论是两直线平行．判定则是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”．

在性质中，两直线平行是条件，结论是角相等或互补．性质是用来说明两个角相等或互补的，即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”．

释疑点

平行线的性质与判定要分清 在书写证明过程中，填写推理的根据或者理由时，要注意性质与判定的区别，防止填错．(2)平行线性质的应用

平行线的应用包括生活中的实际应用和综合应用．实际应用要挖掘题目中隐含的平行线，利用平行线的性质来解决和角有关的计算问题．而综合应用主要是综合运用平行线的性质和判定来求角的度数或证明，要注意与图形的结合(数形结合)和角的转换．

如求方位角和机器零件的角度问题就是实际应用比较多的问题．解决时，确定平行线是关键．

【例5－1】 如图，已知：AD∥BC，∠A＝∠C，求证：AB∥CD.【例5－2】 如图1，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西__________．

……………………………………………………………………………… ◆7.5三角形内角和定理

1．三角形内角和定理

三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点

三角形内角和解读

(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；

(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；

(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余． 【例1－1】 在一个三角形中，下列说法错误的是（）．

A．可以有一个锐角和一个钝角

B．可以有两个锐角 C．可以有一个锐角和一个直角

D．可以有两个钝角

【例1－2】 已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（）．

A．60°

B．75°

C．90°

D．120° 2．三角形的外角

(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．

如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．

(2)三角形外角的特征 三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．

(3)三角形外角的实质

是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.【例2】 如图所示，∠1为三角形的外角的是（）．

3．三角形内角和定理的证法

在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．

证明三角形内角和定理的基本思路：

想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．

在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：

(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证． 4．三角形内角和定理的运用

(1)利用定理求角的度数或证明 生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．

三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．

(2)利用定理判断三角形的形状

根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．

若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．

【例3】 如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？

【例4－1】 若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是（）．

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等边三角形

【例4－2】 △ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．

【例4－3】 如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明

(1)三角形内角和定理的推论1 推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.谈重点

三角形的外角 ①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用； ②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．(2)三角形内角和定理的推论2 推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.析规律

灵活使用三角形的外角 ①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角； ②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．

【例5－1】 如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于（）．

A．100°

B．120°

C．130°

D．150° 【例5－2】 如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为（）．

A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2

C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3

【例5－3】 如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________．

解析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．由外角的性质可得，∠α＝45°－30°＝15°.6．三角形内角和定理的实际应用

三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等． 用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．

析规律

灵活运用三角形的内角和 ①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少； ②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数； ③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．

【例6－1】 如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为__________．

【例6－2】 如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________.7.辅助线与角的转化应用

(1)辅助线与角的转化

有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题．

在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解．

析规律

辅助线的作法

辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法．在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题．

(2)等腰三角形中内、外角的转换

对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解． ①当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角．该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论．

②当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角． 【例7－1】 如图1，直线a∥b，则∠ACB＝__________.【例7－2】 等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的三个内角分别为__________．

【例7－3】 已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC

的度数．

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第七章：证明

（一）章末总结

【基础知识】

1、判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都由题设和结论两部分组成，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题；

2、定理：同角或等角的补角相等；同角或补角的余角相等；三角形的任意两边之和大于第三边；

3、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；

4、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；

5、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°；

6、外角：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角称为三角形的外角；

定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； 【解题方法总结】

方法1：证明两直线平行，步骤：①寻找两直线的截线，确定“三线八角”；②将已知的角的度数或关系转移到“三线八角”中的角中去；③选择合适的判定定理，证明两直线平行。方法2：已知平行求角度，步骤：①寻找两直线的截线，确定“三线八角”；②将所求角转移到“三线八角”中的角中；③利用条件，将已知度数的角转化到“三线八角”中的角中去；④通过平行线的性质，建立已知角与所求角的联系，求出所求角的度数； 方法3：已知平行判断角的关系，步骤：①根据已知平行的直线，寻找截线，确定“三线八角”；②将要判断关系的两个角转移到“三线八角”中的角中去；③根据平行线的性质，得到两个角的关系。

方法4：利用三角形内角和定理求角，步骤：①将未知角放入三角形中，利用内角和定理用其他角表示未知数角；②利用条件将其他角用已知角表示，直到所有表达式中的角的度数已知；③代入已知角的度数求出未知数角。

方法5：解决“利用三角形的外角性质求角的度数或相互关系”的问题，基本步骤是：①确定三角形的内角及相关外角；②利用三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角比较角的大小；③利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及外角和求解角的大小。

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