解不等式计算练习题（精选11篇）
篇1：解不等式计算练习题
解不等式练习题
一、选择题
11.不等式23解为（）x
1111（A）x0或x（B）- 1111（C）x>或x<-（D）- 二、解答题 1．解含绝对值的不等式 (1)｜3x＋4｜>－1；（2）｜3x＋4｜>0；（3）｜5x－3｜<10；（4）1≤｜1－2x｜≤7 2．解下列一元二次方程 （1）2x2＋x－3<0；（2）4x－x2＋12≥0；（3）2x－x2－3≥0 3．解下列分式不等式 x52x132x（1）≤0；（3）0；（2）0 x12x14x3 （1）7>4（2）3x ≥ 2x+1（3）20（4）x+y>1（5）x2+3>2xx1、解下列的一元一次不等式（并在数轴上表示出来，自己画数轴） （1）x－5<0（2）x+3 ≥ 4(3)3x > 2x+1(4)-2x+3 >-3x+1 (1)2x > 1(2)–2x ≤ 1(3)2x >-1(4)22x2（5）x2（6）x2 33 （1）2（x+3）<7(2)3x－2（x+1）>0 (3)3x－2（x－1）>0(4)－(x－1)>04、下列的一元一次不等式(1)xx1xx2x1x2xx1（3）1（4）1 （2）323223231、解下列不等式 12（1）x（2）(x1)2（3）x2＋x23 2x1x21（4）(x1)2（5）323 －2x1x32（7）－3（6）23 下面我们来试一试, 你能够通过验算很快发现下面例题中的错误吗? 例: (2x+1) /3>4/5x-1去括号:10x+5>12x-1 移项:10x-12x>-1-5合并:-2x>-6 系数化1:x>3 验算:1、将x=3代人左边= (2×3+1) /3=7/3;右边=4/5×3-1=7/5, 左边≠右边, 通过错误原因分析, 很快就会发现去分母漏乘。2、左边x的系数2/3<右边x的系数4/5, 不等式的解的不等号方向应该变号, 也出现了错误。 正确解法: (2X+1) /3>4/5X-1去分母:5 (2x+1) >12x-15 去括号:10x+5>12x-15移项:10x-12x>-15-5 合并:-2x>-20系数化1:x<10 通过验算, 1、当x=10时, 左边=右边;2、不等式的解的不等号方向也正确。说明x<10是原不等式的解。 一、重视真数的限制条件 例1.（江西理3改编）若函数f（x）=则f（x）定义域为（ ） A.（-，0） B.（-，0] C.（-∞，0） D.（0，+∞） 错解：若使原函数有意义，需满足log（2x+1）>0，即log（2x+1）>log1故有2x+1<1，即x<0，所以原不等式的解集为（-∞，0），选C。 剖析：错解中忽略了“对数中真数大于0”这一条件。 正解：若使原函数有意义，需满足log（2x+1）>0，即log（2x+1）>log1 故有0<2x+1<1，即- 点评：解答对数不等式，首先要考虑真数的限制条件，即对数的真数必须大于0。 二、重视对含参底数的讨论 例2.若loga<1，则求a的取值范围。错解：因为loga<1，所以loga 剖析：错解中忽略了讨论底数a与1的大小关系，直接按照a>1解题是错误的。 正解：（1）当a>1时，函数y=logax在定义域内是增函数，所以loga （2）当0 综上可知，0 点评：重视对数函数的底数，底数决定了对数函数的单调性，如果对数函数底数含有参数，在处理有关问题时，必须对参数进行讨论。 三、重视对数在分段函数中的应用 例3.（辽宁理9）设函数f（x）=21-x，x≤1 1-log2x，x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ） A.[-1，2] B.[0，2] C.[1，+∞）D.[0，+∞） 解析：（1）当x≤1时，f（x）= ≤21-x≤2，故1-x≤1，即0≤x≤1； （2）当x>1时，f（x）=1-log2x≤2，整理得log2x≥-1=log2 解得x≥，即x>1 综上可知，x≥0，选D。 基础训练 知识点1 不等式的定义 1.用“<”或“>”填空.(1)-2 2;(2)-3-2;(3)12 6; (4)0-8;(5)-a a (a>0); (6)-a a(a<0).2.下列式子:①-2<0;②4x+2y>0;③x=1;④x2-xy;⑤x≠3;⑥x-1 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 知识点2 用不等式表示数量关系 3.用不等式表示“x的2倍与5的差是负数”正确的是() A.2x-5>0 B.2x-5<0 C.2x-5≠0 D.2x-5≤0 4.下列数量关系用不等式表示错误的是() A.若a是负数,则a<0 B.若m的值小于1,则m<1 C.若x与-1的和大于0,则x-1>0 D.若a的大于b,则a≠b 5.下列数量关系中不能用不等式表示的是() A.x+1是负数 B.x2+1是正数 C.x+y等于1 D.|x|-1不等于0 6.某市的最高气温是33 ℃,最低气温是24 ℃,则该市的气温t(℃)的变化范围是() A.t>33 B.t≤24 C.24 D.24≤t≤33 知识点3 不等式的解与解集 7.不等式x≤3.5的正整数解是________________;不等式x≥-3.5的整数解有________________个,其中小于1的整数解有________________.8.下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是() A.5 B.4 C.3 D.2 9.下列说法中,错误的是() A.不等式x<5的整数解有无数个 B.不等式x>-5的负数解有有限个 C.不等式x+4>0的解集是x>-4 D.x=-40是不等式2x<-8的一个解 10.下列说法中正确的是() A.x=1是方程-2x=2的解 B.x=-1是不等式-2x>2的唯一解 C.x=-2是不等式-2x>2的解集 D.x=-2,-3都是不等式-2x>2的解且它的解有无数个 知识点4 不等式解集在数轴上的表示法 11.在数轴上表示不等式x-1<0的解集,正确的是() 12.如图,在数轴上表示的解集对应的不等式是() A.-2 B.-2 C.-2≤x<4 D.-2≤x≤4 13.小亮家买了一盒高钙牛奶,包装盒上注明“每100克内含钙量≥150毫克”,它的含义是指() A.每100克内含钙150毫克 B.每100克内含钙量不低于150毫克 C.每100克内含钙量高于150毫克 D.每100克内含钙量不超过150毫克 14.“x<2中的每一个数都是不等式x+2<5的解,所以不等式x+2<5的解集是x<2,”这句话是否正确,请你判断,并说明理由.提升训练 15.用不等式表示: (1)a的一半与3的和大于5; (2)x的3倍与1的差小于2; (3)a的与1的差是正数; (4)m与2的差是负数.16.已知不等式x (2)当a,b为实数时,求a,b的取值范围.探究培优 18.(1)如图,天平右盘中的每个砝码的质量都是1 g,则物体K的质量m(g)的取值范围在数轴上可表示为() (2)如图,四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S,试将他们的体重按从小到大排列.19.阅读下列材料,并完成填空.你能比较2 0162 017和2 0172 016的大小吗? 为了解决这个问题,先把问题一般化,比较nn+1和(n+1)n(n≥1,且n为整数)的大小.然后从分析n=1,n=2,n=3,…的简单情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.(1)通过计算(可用计算器)比较下列①~⑦组两数的大小;(在横线上填上“>”“=”或“<”) ①12 21;②23 32;③34 43;④45 54;⑤56 65;⑥67 76;⑦78 87.(2)归纳第(1)问的结果,猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系; (3)根据以上结论,请判断2 0162 017和2 0172 016的大小关系.参考答案 1.【答案】(1)<(2)<(3)>(4)>(5)<(6)> 2.【答案】B 解：判断一个式子是不是不等式,只需看式子中是否用“>”“<”“≥”“≤”或“≠”连接,若是,则是不等式,否则不是.3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】1,2,3;无数;-3,-2,-1,0 8.【答案】D 9.【答案】B 解：A中,小于5的整数有无数个,故A正确;B中,大于-5的负数有无数个,故B错误;C中,不等式x+4>0移项可得x>-4,即其解集是x>-4,故C正确;D中,当x=-40时,2x=-80<-8,故D正确.综上所述,选B.10.【答案】D 11.【答案】C 12.【答案】B 13.【答案】B 解：“≥”表示的意义是不低于(不少于).本题学生往往认为“≥”表示的意义是高于(多于),从而导致解题错误.14.解:不正确.因为x+2<5的解集是x<3,即凡是小于3的数都是不等式x+2<5的解,所以x<2中的数只是x+2<5的部分解,故x<2不是其解集.分析：解集是不等式的所有解的集合,其中某部分解不能说成解集.15.解:(1)a+3>5.(2)3x-1<2.(3)a-1>0(4)m-2<0 方法总结:用不等式表示不等关系的方法:一定要抓住关键词语,弄清不等关系,用符号语言把文字语言叙述的不等关系准确地表示出来.另外,列不等式时要特别注意表示不等关系的词语的符号表示,对于“大于”“小于”“正数”“负数”等词语的含义一定要准确理解.16.解:将x19.解:(1)①< ②< ③> ④> ⑤> ⑥> ⑦> (2)当n=1或2时,nn+1<(n+1)n;当n≥3时,nn+1>(n+1)n (3)20162 017>20172 教学目标 1．通过复习小结，学生系统地掌握不等式的解法及其内在联系，提高学生的解题技能． 2．通过对各类不等式内在联系的揭示，加深学生对等价转化的认识，为今后进一步学习数学打好基础． 教学重点和难点 解不等式变形过程中等价变换思想的理解和进一步应用． 教学过程 师：我们已对哪些不等式的解法做了研究？ 生：一元一次不等式；一元二次不等式；简单的一元高次不等式；简单的分式不等式；简单的无理不等式；简单的指数不等式；简单的对数不等式；含有绝对值的不等式． 师：好．请先看几道题目． （教师板书，请三位学生到黑板上做，其余学生在笔记本上做题）解下列不等式： 3．log2（x+1）＋log0.25（x-1）＞log4（2x-1）．（学生板书） 所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，3］． 2．解：原不等式 3．解：原不等式 所以原不等式的解集为（1，5）．（待三位学生写完后，教师开始讲评） 师：好，这三个题解得都很正确．请问做第3题的同学，原题中的底数有2，0.25，4这三个，换底时你为什么选择以4为底呢？ 生：都用大于1的底其单调性看起来比较方便，所以不选0.25；如果用2为底，那么以0.25，4为底的对数换底时真数中都要出现根号，而最后还要把根式变成整式，太麻烦． 师：那为什么又要把左边减的一项挪到右边去呢？ 生：如果不移过去而直接运算的话，不等号左边的真数将是个分式，最后也得变成整式，同样麻烦． 师：好．还有，左移项之后不等号右边对数运算时，为什么又多出两个条件x-1＞0和2x-1＞0呢？在不等式中不是有log4（x-1）（2x-1）一项在，它已包含了（x-1）（2x-1）＞0吗？ 生：是因为x-1＞0且2x-1＞0和（x-1）（2x-1）＞0这两个条件是不等价的．如果略去x-1＞0和2x-1＞0这两个条件将会扩大解的范围． 师：很好．这些问题都是我们在解不等式的过程中应该注意的．刚才我们分别回顾了简单的分式不等式、无理不等式和对数不等式．在我们学习过的八类不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最简单、最基本的不等式，而像我们刚才做的这些其他类型的不等式，我们是如何解决的呢？ 生：把它们转化为一元一次或一元二次不等式． 师：具体来说这个转化的目标是实现的呢？ 生：逐级转化：超越不等式代数化；无理不等式有理化；分式不等式整式化；高次不等式低次化． 师：实现这些转化的理论依据是什么？ 生：第一个是利用函数的单调性，后三者是根据不等式的性质． 师：在这个转化的过程中，最应该注意的是什么？ 生：每一次变换必须是等价变换． 师：为什么要求这样？ 生：为了保证得到的解集与原不等式的解集相同． 师：我们在处理方程求解的问题时也遇到过这个问题．那时并不要求等价变换，只要验一下根就可以了．这里不行吗？ 生：不行．因为一般方程的根只有有限的几个，增根可以通过检验的方式找出来．而不等式的解集一般都是无限集，因此非等价变换产生的增根无法由检验来剔除． 师：说得好．我们来通过几个例题来看看如何用等价变换解不等式． 师：这道题中的x参与了分式运算，还参与了无理运算．也就是说，我们要做两次变换．应该先进行哪个变换呢？ 生：无所谓． 师：那就请两位同学来说说这两种做法．（学生口述，教师板书） 所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪［2，＋∞）． 所以原不等式的解集为［2，＋∞）． 师：为什么这两种解法得到的解集不一样呢？ 变换就缩小了解的范围．故第一种解法是正确的． 师：对．我们在刚才的练习第三题中也遇到过这个问题，两式均大于0与它们的积（或商）式大于0是不等价的，这是我们在处理等价变换时应该注意的．对于这道题，我们就只能把它看作无理不等式．对复杂不等式的题型选择离不开不等式的等价性．请再看这道题． 师：这道题看上去和例1很像，如何处理？ 生甲：当然是先把绝对值号去掉，变成一个分式不等式，剩下的就和例1差不多了． 师：好，把你的方法写到黑板上．（学生板书） 所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）． 师：正确．这个解法是把题目看成了绝对值不等式，它和例1的解法类似，都是把根号或绝对值号中的式子先看成一个整体来考虑它的范围，这样做比较容易保证等价性．这道题是否还有别的解法呢？ 生乙：有．这道题可以把它看作一个分式不等式，将不等式左边变 师：在例1中这样做不对，这里会对吗？ 以保证等价． 师：好，写出你的解法．（学生板书） 所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，＋∞）． 的，因此这个不等式可以当作分式不等式来解．那么这两种解法哪个更好呢？ 生：第二种更好算一些． 师：因此我们解决不等式问题时应先观察题目，在等价转化的前提下尽量选择简捷的途径．请再看一道题． 师：这道题中的x也参加了对数运算和分式运算．应把它看作哪类不等式？ 生：x参与的对数运算只有logax，把这个整体看成一个未知数，就可以转化成分式不等式了． 师：好，说说你的解法．（学生口述，教师板书） 又0＜a＜1，则原不等式 师：对．在解集的端点中含有字母系数时，要特别注意它们大小的比较．下面大家自己做几个题目． （教师板书，学生在笔记本上做题）练习：解下列不等式： （教师观察学生完成情况，视学生解题状况做出点评） 师：那如果把题目中的“≥”号改成“＞”号就可以直接去掉了吗？ 生：是．这样不会漏掉解． 师：试想，即使不影响结论，也是因为忽略的情况凑巧不在解集内．虽然我们要求等价变换的目的是为了保证同解，但不能因为凑巧同解就忽视等价变换． 师：有的同学对于第2题无从下手．对于题中的字母a我们如何处理呢？ 生：如果像例3那样给定了0＜a＜1，那么不等式就可以转化为 师：那如果a＞1呢？ 师：因此对于这种题目我们就要对字母系数和范围进行分类讨论．试着说说刚才提到的两种情况下的解法． （学生口述，教师板书） 解：1°当a＞1时，2°当0＜a＜1时，师：很好．对于含有字母系数的不等式，我们需要在必要时对字母系数的范围进行讨论；并且在最后确定解集时，要注意对含有字母系数的区间端点的大小比较． 师：我看到有的同学处理第3题时下手就把两边平方，这样做可以吗？ 生：可以，但不好．如果一平方，不等号右侧就成了四次式，那样过于麻烦了． 师：那又如何处理呢？ 生：观察不等式，根号内、外的x的二次项、一次项的系数对应成比例，由这可以想到使用换元法． 师：很好．这个方法我们在处理方程问题时就用过．把你的解法写出来．（学生板书） 所以原不等式的解集为（-3，-2）∪［1，2）． 师：很好．当我们处理一些复杂的不等式时，有时可借助换元法使问题简化． 师：解不等式要立足基本题型，通过等价变换，把它们最终归结为一元一次不等式或一元二次不等式的求解． 作业： 解下列不等式： 作业答案或提示： 3．｛x|0≤x＜1｝．可用换元法将根式当作一个整体． 课堂教学设计说明 1．作为不等式解法的复习课，我们把等价变换放在突出位置．也就是说，要求每一次变形所得到的不等式和变形前的不等式是等价的．这与课本中有所不同，课本原意是用同解不等式的观点作统帅．这样做有这样做的道理，但操作上有困难．因为两个不等式是否同解，要等解出来以后，从结果才能看清楚，用作为指导性的东西显得有些困难．我们强调等价变换是从过程看，这样做既好操作，也符合逻辑，还容易看清楚，可以引导学生从逻辑上把解不等式理论认识清楚． 2．在本节课中，没有给出不等式的这种分类（见分类表）．因为我们认为应该淡化形式，注重实质，而且表中的不等式也并没有全部涉及到．我们对于各类不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分类表： 的解法是最基本的，它是解各类不等式的基础．而解其他类型的不等式，关键在于利用不等式的性质或相关函数的单调性，将其等价变换成一元一次或一元二次不等式（组）再求解． 《不等式及其解集》教学反思 本节课在教学中要突出知识之间的内在联系．不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型．在教学中，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现、甄别，从而得出一元一次不等式、不等式的解与解集的意义． 教学过程也是学生的认知过程，只有学生积极地参与教学活动才能收到良好的效果．因此，本课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的.教学方法，揭示知识的发生和形成过程．通过类比方法，在整体上把握知识，发展辩证思维能力，通过从事观察、猜测、验证、交流等活动，提高学习学习的兴趣，体会不等式是刻画侠士世界中不等关系的一种有效地数学模型。这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，再加上多媒体的运用，使学生真正成为学习的主体。 1.一元一次不等式：Ⅰ、axb(a0)：⑴若a0，则；⑵若a0，则； Ⅱ、axb(a0)：⑴若a0，则；⑵若a0，则； 2.一元二次不等式：a0时的解集与有关（数形结合:二次函数、方程、不等式联系）3.高次不等式：数轴标根步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴f(x)g(x)0 ；⑵f(x)g(x)0 ⑶ f(x)g(x) 0；⑷ f(x)g(x) 0 5.解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为x1,x2x1x2、x1x2、x1x2讨论。 例：解关于x的不等式： ax 2(a1)x10 （aR)） 例：实系数方程 f(x)x2 ax2b0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则b2a 1； (a1)2 (b2) 2ab3 二、不等式的性质（几个重要不等式）（1）若aR,则|a|0,a20（2）若a、bR,则a 2b 22ab(或a b 2|ab|2ab)（当仅当 a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 ab时取等号） .（当仅当 a=b极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则： ○ 1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；②如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.常用的方法为：拆、凑、平方； 例1:设x,a(a 21a2)1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则b的取值范围是___。 1b2 例2:若abc，且 1ab 1kbc ac 恒成立，k的最大值为。 14.函数y=log12a(x+3)-1(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则m n的最小值为______________.例3:已知a0,b0且ab 4。 例4:已知a0,b0且a 2 b 1。 (5)若ab0,则 ba（当仅当a=b时取等号） ab2 (6)a0时，|x|ax2 a2 xa或xa;|x|ax2a2 axa (7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|(4)几个著名不等式 （1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么 2b（当仅当a=b时取等号）即： 1 a 2 a1b平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，ab（ab2 2ab2 （当a = b时，a2b2 2) （ab2 2) ab） 二、不等式的证明不等式证明的常用方法 2比较法、综合法、已知a>0，b>0ba ab ≥a＋b.平面向量 ㈠向量 AB①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 |AB|)；②平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 注意:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平 行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（有0)； ④三点A、B、C共线AB、AC共线 ㈡向量的表示方法坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单 位向量i，j 为基底，则平面内的任一向量a可表示为 axiyjx,y，称 x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 22 abaaaa,a①abab0； ②当a，b同向时，ab＝，特别地，； ㈢．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的当a与b反向时，ab b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件； 当为锐角时，ab＞0，且a、任一向量a，有且只有一对实数 1、 2，使a=1e1＋2e2。如 （1）若 a(1,1),b(1,1),c(1,2) ，则c______（答：132a 2b）； ㈣．平面向量的数量积： ⒈平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos 叫做a与b 的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝abcos 。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 （1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________（答：－9）； 11a(1,),b(0,), （2）已知22cakb,dab，c与d的夹角为4，则k等于____（答：1）； （325,ab3等于____）； （4）已知 a,b ，则a与ab的夹角为____（答：30） ⒉．b在a ，它是一个实数，但不一定大于0。 已知 |a|3 ，|b| 5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答： 125） ⒊．ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a| 与b在a上的投影的积。 ⒋．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： 当为钝角时，ab＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a，b夹角的计算公式：cos ；④ |ab||a||b|。 （1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______ （答：＞— 43或＞ 0且 13）； （2）已知OFQ面积为S，且OFFQ1，若 13 2＜s＜,则OF,FQ夹角的取值范围是_________ (五)坐标运算： 设 a(x1,y1),b(x2,y2)，则：向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2) 实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。平面向量数量积：abx1x2y1y2 向量的模：|a|a2 |a|2x2y。 已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 |a3b| ＝_____）； Ax 两点间的距离：若 1,y1,Bx2,y2，则 |AB|(六)向量的运算律： 交换律：abba， a a，abba； 结合律：abcabc,abcabc，ababab ； 分配律： aaa,ab ab， ab cacbc。 如下列命题中：① a(bc)abac；② a(bc)(ab)c；③(ab)|a| ||a|b|||a|b|a||b|(这些和实数比较类似).2|a||b||b|；④ 若ab0，则a0或b0；⑤若 abcb, a 则ac；⑥ 2a ；⑦ Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3（3）在ABC中，①若，则其重心的坐标为 abb a 2ab)a2b2ab)a22abb2 a；⑧(2；⑨(2 。其中正确的是______（答：①⑥⑨(七)重要结论 向量平行(共线)的充要条件： a//bab(ab)2(|a||b|)2 x1y2y1x2＝0 (1)若向量a(x,1),b(4,x) ，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）； （2）已知a(1,1),b(4,x) ，ua2b，v2ab，且u//v，则x＝______（答：4）； （3）设 PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11） 向量垂直的充要条件： abab0|ab||ab|x1x2y1y20 如：AB ACAB AC。 OA(1,2),OB(3,m) (1)已知，若OAOB，则m答：(3）； （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））； （3）已知 n(a,b),向量nm，且nm，则m的坐标是________（答：(b,a)或(b,a)） 向量中其他常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2） ||a||b|||ab||a||b| ，特别地，当a、b同向或有0|ab||a||b| ||a||b|||ab|；当a、b反向或有0|ab||a||b|||a|b|||a| b；当a、b不共线 3Gx1xx,y3 y21y23 133。如①PG3 (PAPBPC) G为ABC的重心，特别地 PAPBPC0P为ABC的重心；②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心； ③向量AB AC((0))所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)； ④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心； MPMP （3）若P分有向线段 P1P 2所成的比为，点 M为平面内的任一点，则 MP 1，特别地P为 P1P2 MP的中点MP 1MP 2； （4）向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中 1,2R且121,则点C的轨迹是_______（答：直线AB） 解三角形 1.斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 asinA bsinB csinC 2R 。（R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a ，b2，c 2。 cosAcosBcosC。 3．三角形的面积公式：（1）S1absinC==4R2 sinAsinBsinC= abcABC2 4R （2）Ss(sa)(sb)(sc) ABC＝ ；； （3）SABC＝r·s其中s abc （4）射影定理：在△ABC 中，abcosCccosB，b，c。4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB，5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 主要方法：三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换 在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。sin ABB 2cos C2,cos A2 sin C2； （2）边角转化，判定三角形形状时，利用正余弦定理实现边角转化，统成边的形式或角的形式 例1（正、余弦定理判断三角形形状） 在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形 例2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ab，sinCB，则A=() （A）300 （B）600 （C）1200（D）1500 例3：在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c2 2b，且 sinAcosC3coAs sCin 求b c2 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a2b左侧是二次的右 侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sinAcosC3cosAsinC,过多关 注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法：在ABC中则 siAn cCos A3coC由正弦定理及余弦定理 有:a abc c2 a 角化边）化简并整理得：2(a2 c2)b 2ab 3c b（.又由已知 2bc a2c22b4bb2 同时，在甄别不等式的过程中，为了加深对不等式意义的理解，引出一元一次不等式的概念。培养学生主动参与、合作交流的意识，同时体会到在现实生活中，不等关系要比相等关系多得多。“补充说明”是为了让学生能完整地理解不等式的定义。 让学生充分发表意见，并通过计算、动手验证、动脑思考，初步体会不等式解的意义以及不等式解与方程解的不同 教学中要突出知识之间的内在联系。不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型。在教学中，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现、甄别，从而得出一元一次不等式、不等式的解与解集的意义。 师生行为 设计意图 [活动2] 问题1.(幻灯片展示) ①判断下列数中哪些满足不等式2x/3>50: 76、73、79、80、74.9、75.1、90、60 ②满足不等式的未知数的值还有吗?若有,还有多少?请举出2—3例。 ③.上问中的不等式的解有什么共同特点?若有,怎么表示? ④.②中答案在数轴上怎么表示? ⑤.通过前面的学习,你对求不等式解集有什么方法? 问题2:(幻灯片展示)直接想出不等式的解集,并在数轴上表示出来:⑴x+3>6⑵2x<8⑶x-2>0 教师出示问题,学生独立思考并解答。 教师引导学生共同评价,得出答案。教师在①②问完成后,类比方程,给出不等式的解的概念: 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 在②问完成后,强调不等式与方程的区别:不等式的解不止一个。 本次活动教师应重点关注:学生是否积极尝试探究?在探究②问时,是否按“观察特点——猜想结论——验证猜想”的思路展开,避免盲目性。 ③问教师根据学生思考情况,作适当地引导、讲解,找出特点并表示,教学时可先用举例法,再用性质描述法,最后再给出不等式解集定义:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。 ④问教师引导学生完成。 ⑤问可先让学生先行讨论,教师深入小组,仔细倾听学生意见,参与学生讨论,最后师生共同探究。 本次活动教师应重点关注: ⑴学生讨论是否有时效性、针对性。 ⑵学生是否积极展示自己想法,叙述是否有条理,语言是否准确。 ⑶学生是否能熟练用数轴表示解集。 通过简单代值运算,使每名学生都动起来,边代、边算、边答、边交流,调动学生的学习兴趣,为每位学生都创造在数学活动中获取成功的体验机会,并培养学生观察能力和数感。 本环节主要任务是突出重点和突破难点。通过对学生已有的数学知识进行拓展延伸,解释不等式的解,然后递进到不等式的解集,最后发展到解集的两种表述方法,这样设计活动,符合知识发生发展形成过程。 虽然解不等式不是本节课教学目标,但问题1的第⑤问设计意图是想在一元一次方程的解与同它对应的一元一次不等式的解之间建立一种联系,这样设计充分发挥学习心理学中正向迁移的作用,借助已有的方程知识,可以为学习不等式提供一条学习之路。 [活动3] 1、让学生找出下列不等式的特点: x<1.1x>1.4 2x>150x+3>6 2x<8x-2>0 辨析: 下列哪些不等式是一元一次不等式 ①x+2y>1②x2+2>3 ③2/x>1④x/2+1 学生总结不等式特点,教师再让学生类比一元一次方程命名,得到一元一次不等式概念。 含有一个未知数、未知数次数是1的不等式叫做一元一次不等式。 通过探索一元一次不等式的概念,让学生体会类比思想。 问题与情境 师生行为 设计意图 [活动4] 1、让学生找出易拉罐中不等式关系,并表示出来。 2、某班同学经调查发现,1个易拉罐瓶可卖0.1元,1名山区贫困生一年生活费用大约是500元。该班同学今年计划资助两名山区贫困生一年生活费用,他们已集资了450元,不足部分准备靠回收易拉罐所得。那么他们一年至少要回收多少个易拉罐? 学生独立探索,互动交流。 教师对问题2可采取灵活处理的方式,可让学生合作完成、分段完成。 通过对学生熟悉的生活背景进行处理,让学生体会数学生活化,能将实际问题转化为数学问题加以解决,培养学生应用意识。 [活动5] 问题:你对本节知识内容有何认识? 布置作业:P140.T2 学生独立思考、自我反思与小组合作交流、互相提问相结合,教师适时点拔总结。 本次活动中教师应重点关注:⑴不同学生总结知识程度;⑵小组合作情况;⑶学生梳理知识能力。 学生课后完成,教师批改总结。 教师应关注: ⑴不同层次的学生对知识的理解掌握程度并系统分析。 今天我说课的题目是人教版、七年级下册、第九章，《不等式》中的第一节：《不等式及其解集》。对于本节课的处理，我准备从教材分析、教法学法、教材处理、教学过程（幻灯2）这几个方面谈谈自己的看法： 1 教材分析（幻灯3） 1. 1 教材的地位和作用 本章的主要内容是一元一次不等式解法及其简单的应用，是继一元一次方程学习之后，又一次数学建模思想的教学，是进一步探究现实生活中的数量关系、培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式知识的基础。相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部份，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用. 本节课的内容主要介绍不等式及不等式的解的概念及解集的表示方法，是研究不等式的导入课，通过实例引入，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望；经历、感受概念形成的过程，使学生正确抓住不等式的本质特征，为进一步学习不等式的性质、解法及简单应用起到铺垫作用. 1.2 学情分析 (1) 学生对实际生活中的不等量关系、数量大小的比较等知识，在小学阶段已有所了解. (2) 学生已初步具备了“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题解释和检验”的数学建模能力. (3) 学生已初步具备探究和比较的能力. 1.3教学目标分析 本节课的教学目标是： 1.知识方面：了解不等式及一元一次不等式概念，并理解不等式的解、解集，能够正确表示不等式的解集；经历把实际问题抽象为不等式的过程，能够列出不等关系式. 2、能力方面：使学生进一步理解归纳和类比的数学方法，以及从具体到抽象获取知识的思维方式；初步体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型。3、情感方面：通过对不等式概念及其解集等有关概念的探索，加强同学之间的分工合作与交流. 1.4教学重难点分析 本节课的教学重点是：不等式相关概念的理解和不等式的解集的表示。 本节课课的教学难点是：不等式的解不是一个或几个具体的数值，而是适合不等式的未知数的值的全体，具有较高的抽象性，学生不易理解和接受，是本节教学中的难点. 2教法和学法（幻灯4） 2.1 教法： 根据本节课教学内容和七年级学生的.年龄、心理特点及目标教学的要求，本节课采用引导探究法；让学生以观察实例为基础，用归纳的方法形成概念，把教学过程转化为学生观察、发现、探究的过程，再现知识的“发生”和“发现”及“形成”的过程，揭示事物发展从“特殊”到“一般”再到“特殊”的辩证规律；既提高了学生的学习兴趣，增强了信心，又有利于接受知识；也有益于形成对问题进行探索、研究和解决的能力. 2.2 学法： 建构主义教学构想的核心思想是：通过问题的解决来学习.根据本节课的特点，采用自主探究、合作交流的探究式学习方法. 3 教材处理（幻灯5） 本节课是从一个实例（问题）的解答来引出不等式及其概念的，为了降低学生的认知难度，我通过不等式与方程的类比教学，主要采用了：实际问题——列方程解答——改编为问题——列不等式——提出不等式的概念——不等式解的概念，并及时穿插相对应的例题和练习，加以巩固. 4 教学过程 下面我来说说本节课的教学过程共同分为五个环节 第一个环节 创设情境，激发求知欲 首先通过老师的自我介绍，我们先认识一下，我叫丁文婷，我的年龄吗------比您们都大，等等。让学生体会到生活中的不等关系，也让学生轻松地找出生活中的不等关系，既把学生的注意力带入本节课的内容，也拉近了与学生的距离，创建了融洽的教学氛围。然后利用两个实际问题让学生从列方程到列出不等关系式。（幻灯6） (1) 12月1日起施行修改后的《铁路旅客运输规程》，将此前规定的身高1.1米-1.4米的儿童应购买儿童票，调整为身高1.2米-1.5米的儿童应购买儿童票。这意味着在12月1日新规实行后，1.2米以下儿童可免票，1.2米至1.5米的可购买半票，1.5米以上则须全票. 问题：现在若用x表示一名儿童的身高，那么 ①x满足______时，他可免票. ②x满足______时，他该买全票. ⑵已知襄樊与武当山的距离为150千米，他们上午10点钟从襄樊出发，汽车匀速行驶. ①若该车计划中午12点准时到达武当山，车速应满足什么条件？ 设车速为x千米/小时，可列式子：______________. ②若该车实际上在中午12点之前已到达武当山，车速应满足什么条件？ 设车速为x千米/小时，可列式子：______________. 考虑学生实际情况和题目难度，所以设置问题串,降低难度.这样编排教材我认为更能体现知识呈现的序列性，从易到难，让学生“列不等式”能力实现螺旋上升.最后类比方程的概念由学生总结出不等式的概念. 第二个环节，4.2承上启下 通过两组练习，（幻灯7） ①下列式子中哪些是不等式？ （1）a+b=b+a （2）－3＞－5 （3）x≠1 （4）x+3＞6 （5）2m＜n（6）2x－3 ②用不等式表示： ⑴a是正；⑵a是负数；⑶a与5的和小于7；⑷a与2的差大于-1； ⑸a的4倍大于8； ⑹a的一半小于3. 一是判断不等式，既巩固了不等式的概念也补充“≠”“≤”“≥”这些符号。二是让学生用不等式来刻画题中6个简单的不等关系，也由此得出一元一次不等式的概念. 学生得出答案并不难，所以该环节让学生独立完成、互相评价，同时进一步培养学生列不等式能力. 第三个环节，4.3 合作质疑、探索新知 问题1．（幻灯片8） ①判断下列数中哪些满足不等式2x/3＞50： 76、73、79、80、74.9、75.1、90、60 ②满足不等式的未知数的值还有吗？若有，还有多少？请举出2—3例. ③.上问中的不等式的解有什么共同特点？若有，怎么表示？你能验证一下你的结论吗？ ④．②中答案在数轴上怎么表示？ 本环节主要任务是突出重点和突破难点. 首先通过一组环环相扣，步步深入的问题来实现，第一问四人一组分工合作完成，通过简单代值运算，使每名学生都动起来，边代、边算、边答、边交流，调动学生的学习兴趣，为每位学生都创造在数学活动中获取成功的体验机会，并培养学生观察能力和数感. 第二问的设计，使学生感受不等式的解不是一个或几个具体数值，加深对不等式解的理解。第三问四问突破不等式的解是适合不等式的未知数的值的全体这一难点，使学生及时掌握、运用新知识。从而类比方程的解得出不等式的解和解集的概念.尤其第四问的不等式的解集在数轴上的表示也体现了数形结合的思想，连同前面的文字表示，充分体现了数学的三种表示形式. 其次通过两组练习观察学生掌握知识的情况，及时反馈，及时调节。整个环节通过“观察特点——猜想结论——验证猜想”的思路展开，符合学生的认知过程. 第四个环节，4.4 运用新知、解决问题（幻灯9） 某班同学经调查发现，1个易拉罐瓶可卖0.1元，1名山区贫困生一年生活费用至少是500元。该班同学今年计划资助两名山区贫困生一年生活费用，他们已集资了450元，不足部分准备靠回收易拉罐所得。那么他们一年至少要回收多少个易拉罐？ 该环节设置了一个俭省节约和助人为乐的实际问题，通过对学生熟悉的生活背景进行处理，让学生体会数学生活化，能将实际问题转化为数学问题加以解决，培养学生应用意识，同时也对学生进行潜移默化的思想品德教育. 第五个环节，归纳反思、重组结构（幻灯10） 4.5 归纳反思、重组结构 （1）通过本节课的学习，你学会了哪些知识？ （2）通过本节课的学习，你最大的收获是什么？ （3）通过本节课的学习，你获得了哪些学习数学的方法？ 充分发挥学生的主体地位，从学习知识、方法和延伸三方面进行归纳。，让学生养成“反思”的好习惯，并培养学生语言表述能力。 最后分层次设置作业让学生巩固所学内容并进行自我检验与评价，既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生. 教学评价：本节课主要在第一环节，学生有没有积极思考，尝试列不等式，能不能归纳出不等式的概念. 第二个环节关注学生能不能判断不等式，归纳出一元一次不等式的概念.第三个环节关注学生参与活动的积极性和对数学的三种表示的总结，然后通过学生板演评价学生的知识的掌握，能力的迁移情况.第四环节考察学生把实际问题数学化的能力.第五环节不仅评价学生总结的知识点 而且有数学思想、数学方法等等 【解不等式计算练习题】相关文章： 解不等式的验算02-07 解不等式组教学反思04-27 《不等式及其解集》教案说明05-12 不等式及其解集导学案04-09 不等式 向量解三角形复习05-11 浅谈“区间分析法解不等式”的教学09-10 解一元一次不等式的课后教学反思04-11 不等式的证明习题06-22 基本不等式的证明习题12-17 含有绝对值不等式习题12-17篇2：解不等式计算练习题
篇3：解不等式的验算
篇4：解“对数不等式”
篇5：解不等式计算练习题
篇6：不等式·解不等式复习课·教案
篇7：《不等式及其解集》教学反思
篇8：不等式 向量解三角形复习
篇9：数学《不等式及其解集》教学反思
篇10：不等式及其解集教学计划
篇11：不等式及其解集之说课稿