算术—几何不等式

算术—几何不等式（精选三篇）

算术—几何不等式 篇1

关键词：几何平均数,算术平均数,均值不等式

其中当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立。

在证明某些有关正整数n的数学问题时, 若能巧用几何、算术均值不等式, 可以使问题变难为易, 化繁为简。本文将举例说明。

例1设k, n∈N+, 且k<n, 求证

证明

证明先证前半部分

再证后半部分, 事实上

例3已知x>-1, x≠0, n∈N+, 且N≥2, 求证

这是著名的伯努利不等式, 它的应用广泛, 书中大多采用数学归纳法证明, 虽然思路清晰, 推理自然, 但步骤较长, 格式较繁, 若能巧用几何、算术均值不等式则会简单得多。

例4求证极限存在。

即数列单调增加。

因此数列有上界。

根据单调有界法则知:极限存在。

例5求证

证明由于当n≥2时, 有

所以由迫敛法知

算术平均数与几何平均数 篇2

●教学目标

(一)教学知识点

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤

M

42，等号当且仅当a＝b时成立.＋

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥

2P，等号当且仅当a＝b时成立.(二)能力训练要求

通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标

掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点

基本不等式a＋b≥2ab和

2ab2

≥ab（a＞0，b＞0）的应用，应注意：

(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x＞0时，y＝x2＋

1x

1x的最小值，若写成y＝x2＋

1x

1x

≥

2x

22x，就说“最小值为2x”是错误的，因为x2·

12x

12x

4不是定值，而2x仍为

1x

随x变化而变化的值.正确的解法是：由于x2·

12x

·＝为定值，故x2＋＝x2＋

12x

＋≥3·3x

22x2x





32，即y的最小值为

322

.(3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点

如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y＝x2＋

1x

凑成y＝

x2＋

12x

＋

12x

.●教学方法 启发式教学法 ●教具准备

投影片一张 记作§６.2.2 A

Ⅰ.课题导入

上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2 A，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：

(1)a＋b≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号；(2)(3)(4)

ab2



ab（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

ba



ab

3≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；



abc

abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号；

(5)a＋b＋c≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课

［例1］已知x、y都是正数，求证：

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值

4S2.［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x，y都是正数

∴

xy

2

xy

xy2



P，(1)当积xy＝P为定值时，有即x＋y≥2

P.上式中，当x＝y时取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(3)当和x＋y＝S为定值时，有xy即xy≤

S2，S2.14

上式中，当x=y时取“=”号，因此，当x=y时积xy有最大值 S2.［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x＋地认为关系式x＋

1x

1x，当x＜0时，绝不能错误

1x

≥2成立，并由此得出x＋

1x

1x的最小值是2.事实上，当x＜0时，x＋＞0－（x＋

1x的最大值是－2，这是因为x＜0－x＞0，－

1x

1x）＝（－x）＋（－

1x）

≥2(x)()＝2x＋≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x＝－1时取得.(2)函

数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.［例2］已知a，b，c，d都是正数，求证（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a，b，c，d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0.∴

abcd



abcd＞0，acbd＞0.acbd

由不等式的性质定理4的推论1，得

(abcd)(acbd)

≥abcd

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［师生共析］用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?

［师］应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.(在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程).［生］设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为

48003x

m，又设水池总造价为

ｌ元.根据题意，得

ｌ＝1５0×

4800

3＋120（2×3x＋2×3×

1600x

48003x）

＝240000＋７20（x＋）.≥240000＋７20×2x

1600x

＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.当x＝

1600x，即x＝40时，ｌ有最小值297600.因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.［师生共析］我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.Ⅲ.课堂练习

1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋分析：注意到x＋

81x的值最小?最小值是多少?

81x

是和的形式，再看x·＞0.81x

＝８1为定值，从而可求和的最小值.解：x≠0x2＞0，81x

81x

∴x2＋≥2x

81x

81x

＝1８，当且仅当x2＝，即x＝±3时取“＝”号.81x

故x=±3时，x+的值最小，其最小值是18.2.一段长为Ｌ m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案.解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜

2，其面积

S＝x（Ｌ－2x）

＝

·2x（Ｌ－2x）≤

（2xL2x)

L

8当且仅当2x＝Ｌ－2x，即x＝

L

L

4时菜园面积最大，即菜园长

L2

m，宽为

L4

m时菜园面

积最大为

m.Lx2

解法二：设矩形的长为x m，则宽为

x(Lx)

(x

Lx)2

m，面积

S＝



（xLx)

≤

L

（m2）.L2

当且仅当x＝Ｌ－x，即x＝

L4

（m）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为

L

L2

m，宽为

m时，菜园的面积最大，最大面积为

m2.3.设0＜x＜2，求函数f（x）＝3x(83x)的最大值，并求出相应的x值.分析：根据均值不等式：ab８－3x是否为正数；二要考查式子

解：∵0＜x＜2 ∴3x＞0，８－3x＞0 ∴f（x）＝3x(83x)≤

3x(83x)

24312ab2，研究3x(83x)的最值时，一要考虑3x与

［3x＋（８－3x）］是否为定值.＝4

当且仅当3x＝８－3x时，即x＝时取“＝”号.4

3故函数f（x）的最大值为4，此时x＝.Ⅳ.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.Ⅴ.课后作业

(一)课本P11习题6.24、５、７.(二)1.预习内容：课本P12 §６.3.1不等式的证明.2.预习提纲：

(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：

算术—几何不等式 篇3

一、成书背景的对比

《九章算术》是中国古代的数学专著，也是“算经十书”中最重要的一种。众所周知，我国春秋战国时期，诸子百家争鸣，众多学派相继出现，在形式逻辑研究方面，相比其他学派而言，墨家比较突出，但之后形式逻辑在我国并没有太大的进展，而《九章算术》恰巧问世。该书成书最迟是在东汉前期，但内容的定型却在西汉后期，这时候出现，就注定其呈现出非逻辑结构的特点。中国古代数学专著都是在不断总结生活现象的过程中逐渐衍生而来的，《九章算术》也不例外，该书主要强调的是数学知识的应用，在不断地总结、归纳、推理、论证的过程中，最终发展成演绎推理。

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作，整本书的内容是把人们公认的一些事实归纳成定义和公理，将形式逻辑的方法运用于教学研究。通过这些定义和公理对几何图形的性质进行探讨，最终建立起一套数学理论体系，简称几何学。该书的成书与《九章算术》有着不同的背景，当时古希腊正处于形式逻辑的发展时期，形式逻辑的思想方法被运用到了数学及其应用领域中，逐渐形成了强大的数学思潮，之后欧几里得不断研究和探索，将其用演绎法进行归类和整理，编写成《几何原本》一书。这本书也是欧式几何的奠基之作。此书主要囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪――欧几里得生活时期――前后四百多年的数学发展历史。从内容上分析，该书保存了古希腊早期的几何学理论，之后欧几里得对其进行了系统化的整理，使其成为现代数学发展的思想源泉。总体来说，《几何原本》开创了古典数论的研究，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。

二、《九章算术》与《几何原本》在体例方面的对比

研究这两本书发现，其在体例方面存在一定的差异性，表现在：《九章算术》是按照问题的性质和解法具体分类的，总共九类，且每一类为一章节，每一章节又分多个小类，每一小类都有解题步骤，包括数学公式、推理等。这种结构体系，是以算法为中心，根据算法组建理论体系，表现出了中国特有的数学思想。《几何原本》在结构方面与《九章算术》存在较大的差异性，该书共十三篇，主要包含两大部分。第一部分中，有4条作图公法，36条定义，19条公设和公理，为全书的推理基础。第二部分主要是题，其中每一道题都相当于一条定理，后面附注证明过程和推论过程，还有少部分题后面有图解。总之，《几何原本》主要是将逻辑推理进行系统化归纳，形成数学体系中的逻辑演绎系统。

三、《九章算术》和《几何原本》的内容对比

从内容方面对比发现，《九章算术》和《几何原本》也存在较大的差异性。其中《九章算术》的内容呈现出丰富性和多样性特征。它主要是对从春秋至秦汉时代社会生产过程中各方面累积的教学知识的汇总。整本书包含246题，涉及生活的各个领域，故被称为“数学百科全书”。此外，该书中的代数水平和算术水平相当高，但在几何图形方面，却与《几何原本》存在较大的差距。《几何原本》是代数几何化，且数论问题都是通过严格的逻辑证明来具体解决的，它为几何学的发展奠定了理论基础。《几何原本》的诞生，标志着几何学已经成为一个有着比较严密的理论体系和科学方法的数学学科。除此之外，《几何原本》还对勾股定理做了详细证明。由此可见，这两本数学名著各有优势。

四、《九章算术》和《几何原本》对当代数学教育改革的启示

关于《九章算术》和《几何原本》对当代数学教学改革和发展的启示，需从数学教育观、数学教育目的、数学教材、数学文化几大方面来了解。

1.数学教育观

数学教育观主要包含两大类，一类是动态数学教育观，认为数学是一项人类活动，也是一个动态学科，活动之间存在着一定的关联性，内部要素之间也呈现出动态发展趋势；另一类是静态数学教育观，认为数学是一个永恒不变的学科，其内容主要包含数学定理、公式。《九章算术》表现出动态教育观，主要是由于其丰富的内容都是在不断总结和积累后得到的。《几何原本》表现出静态教育观，认为教学活动是一种程序化过程，即数学概念-定理-公式-例题-练习，整个过程中，学生占被动地位，一味地接受教师的灌输。相对来说，这种教育观比较死板。由此可见，为了促进现代数学教育的发展，要主张学生理论与实践相结合，从理论中解释实践，从实践中总结理论，打破传统的教学模式，实施并创新情境化教学模式。

2.数学教育目的

《九章算术》强调数学与实际生活之间的联系，体现出数学学习的实用性特征，通过学习能够促使学生将理论与实践相结合。而《几何原本》强调学生要关注内部的逻辑结构，体现出数学学习的抽象性和严密性特征，该书在一定程度上忽视了数学的应用意识和对学生数学综合能力的培养。其实这两本书都有自己的优越性和局限性，我们在研究现代数学学科时，应将二者相结合，取长补短，从而达到提升数学教育的目的。

3.数学教材

从上文中了解到，《九章算术》是一部数学百科全书，自隋唐时数学教育制度建立以来，该书已经成为国家统一审定的数学课程之一，且逐步形成了以该书为中心的古代数学课程体系。而《几何原本》则过度强调形式化的数学教学，忽视了与实际相结合。这两本书在教材上都有一定的优越性和局限性，我们要认真分析，相互借鉴，为推动现代化数学学科的改革和发展不断努力。

4.数学文化

《九章算术》和《几何原本》存在诸多方面的差异，其根本原因在于中西方文化之间存在一定的差异性，从而形成了不同的数学思想方法体系。所以，在进行现代化数学学科改革时，要对这两本书的数学文化多加重视，教师在教学过程中应该多引导学生去了解和领悟数学本身所蕴含的文化内容。在此基础上，结合数学内容，逐步渗透思想方法、意识精神等，让学生真正体会到数学学科中蕴含的各种魅力。

五、结语