含有绝对值不等式习题

第一篇：含有绝对值不等式习题

绝对值不等式的证明

知识与技能：

1. 理解绝对值的三角不等式，

2.应用绝对值的三角不等式.

过程方法与能力：

培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;提高分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观：

让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。

教学重点：理解绝对值的三角不等式

应用绝对值的三角不等式.

教学难点：应用绝对值的三角不等式.

教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

(1)abab(2)abab

a

bab(3)abab(4)(b0)

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上，性质abab和a

ba

b(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直

接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大? 显然aa，当且仅当a0时等号成立(即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立)。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

定理(绝对值三角形不等式) 如果a,b

是实数，则

ab≤ab≤ab

注：当a、b为复数或向量时结论也成立. 特别注意等号成立的条件.定理推广：

a1a2an≤a1a2an

当且仅当都a1，a2，，an非正或都非负时取等号. 探究：利用不等式的图形解不等式1. x1x11;2.x2y1.

.

3.利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x4x3

二、典型例题：

例

1、证明 (1)abab，(2)abab。

证明(1)如果ab0,那么abab.所以ababab. 如果ab0,那么ab(ab). 所以aba(b)(ab)ab

(2)根据(1)的结果，有abbabb，就是，abba。所以，abab。

例

2、证明 ababab。 例

3、证明 abacbc。 思考：如何利用数轴给出例3的几何解释?

(设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。 特别的，取c=0(即C为原点)，就得到例2的后半部分。)

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释?

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。 例

4、已知 xa

c

2,yb

c2

，求证 (xy)(ab)c.证明 (xy)(ab)(xa)(yb) xayb(1)

xa

c2

,yb

c2c2

，

c2

c (2)

∴xayb

由(1)，(2)得：(xy)(ab)c 例

5、已知x证明x

a4a4,y

a6a6

. 求证：2x3ya。

a2,3ya2a2a

2,y，∴2x，

a。

由例1及上式，2x3y2x3y

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

三、小结：

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。

四、练习：

1、已知Aa

2、已知xa

c2c

4,Bb,yb

c2c6

.求证：(AB)(ab)c。

.求证：2x3y2a3bc。

五、作业： 1.求证

ab1ab



a1a



b1b

ab1ab

.2.已知a1,b1.求证：1.

3.若,为任意实数，c为正数，求证：(1c)(1

1c

)

.

(



2

2，而c2



1c



c

2

1c



)

4. a、b、c均为实数,ab,bc,ac,

5.已知函数f(x)ax2bxc,当0≤x≤1时,f(x)≤1 求证:abc≤17 作业：导学大课堂练习

课后反思：绝对值不等式的证明

求证:≤

ab2cbc2aca2b

abbcca

2.

第二篇：分式和绝对值不等式的解法

(一)分式不等式： f(x)f(x)为整式且(x)的不等式称为分式不等式。 0或0(其中f(x)、(x)0)(x)(x)

(1)分式不等式的解法：

解关于x的不等式x10 3x

2方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：

x10x10或(x1)(3x2)0 3x203x20

变式一：x103x2

(x1)(3x2)03x20等价转化为：

比较不等式x1x1(不等式的变形，强调等价转化，分母不为零) 0及0的解集。3x23x2

(2)归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：

(1)f(x)f(x)0f(x)(x)0(3)0f(x)(x)0 (x)(x)

f(x)(x)0f(x)(x)0f(x)f(x)00(2)(4) (x)0(x)0(x)(x)

(3)小结分式不等式的解法步骤：

(1)移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式

(2)转化为等价的整式不等式

(3)因式分解，解整式不等式(注意因式分解后，一次项前系数为正)

练一练：解关于x的不等式(1)

例

1、 解关于x的不等式：

解：21x3 0(2)35xx5x22 x3x220 x

3x22(x3)0 x3

x8即，0 x3

x80(保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正) x3

(x8)(x3)0等价变形为：x30

原不等式的解集为

例

2、解关于x不等式

方法一：x28,3 x822x2x32x3恒大于0，利用不等式的基本性质

方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。

例

3、 解关于x的不等式：

解：移项a1 xa10 x

axxa通分0即，0 xx

等价转化为，x(xa)0

x0

当a>0时，原不等式的解集为(0,a]

当a<0时，原不等式的解集为[a,0)

当a=0时，原不等式的解集为

(二)绝对值不等式 理解绝对值的几何意义：

其几何意义是数轴上的点a(a0)a0(a0)a(a0)， A(a)离开原点O的距离OAa。

(一)注意绝对值的定义，用公式法

即若a0，|x|a，则axa;若a0，|x|a，则xa或xa。

|2x3|3x1 例1. 解不等式

解：由题意知3x10，原不等式转化为

即：对于形如

①当a>0时，

②当a=0时，

③当a<0时，

拓展：形如(3x1)2x33x1 |f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式，此类不等式的简洁解法是等价命题法，即： |f(x)|aaf(x)a;|f(x)|af(x)a或f(x)a。 |f(x)|a，无解;|f(x)|af(x)0。 |f(x)|a，无解;|f(x)|af(x)有意义。 a|f(x)|b(ba0)型不等式，此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即：

a|f(x)|b(ba0)af(x)b或bf(x)a。

例1解以下不等式：

(1)|2x3|5;|2x1|0。 (2)

解：(1)由原不等式可得：2x35或2x35，即x>4或x1。

所以原不等式的解集是{x|x4或x1}

(2)因为左边为非负值，而右边为0，故不等式无解，即解集为。

(二)注意绝对值的非负性，用平方法

22|x|x等式的两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。

例2. 解不等式|x1||2x3|

两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。

222222|x1||2x3|(x1)(2x3)(2x3)(x1)0 解：原不等式

即：对于 形如|f(x)||g(x)|型不等式，此类不等式的简洁解法是利用平方法，即：

|f(x)||g(x)||f(x)|2|g(x)|2[|f(x)||g(x)|]|f(x)g(x)|0。

例2解不等式|x1||2x3|。

4x22|x1||2x3|3x10x803解：原不等式等价于：，即，解得。 2

2(三)注意分类讨论，用零点分段法

不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。

例3. 解不等式|x2||x1|

3解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x10和x20得分界点

于是，可分区间x

1、x2 (，2),[2，1]，[1,)讨论原不等式

x2,2x1,x1,或或(x2)[(x1)]3x2(x1)3x2(x1)

3解得x1或x

2x(，2)(1，) 和

综上不等式的解为即：对于形如xcxbaxcxba不等式，用零点分段法1.解不等式x1x3

4(1)利用绝对值不等式的几何意义

这个不等式的几何意义是：数轴上到1对应点的距离与到3对应点的距离之和不小于4的所有点的集合

(2)零点分段讨论：(即去掉绝对值)

注：x=1,与x=3将数轴分成三段，然后根据不等式的几何意义去掉绝对值，解不等式

(3)构造函数，求函数解集温馨提示：令f(x)xx3画出函数图像进行研究

总结:绝对值不等式的解法

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)xa(a0)axa;; ; ; xa(a0)xa或xaf(x)a(a0)af(x)af(x)a(a0)f(x)a或f(x)af(x)g(x)g(x)f(x)g(x); f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x); ; axb(ba0)axb或bxa

f(x)

(8)

(9)2f(x)ag(x)f(x)[ag(x)]2a(a0)g(x)g(x)0g(x)0。 |f(x)||g(x)||f(x)|2|g(x)|2[|f(x)||g(x)|]|f(x)g(x)|0

(10)对于形如

求解。

xaxbm等含有多个绝对值符号的不等式，常用“零点分段”或绝对值的几何意义

[课后练习]

1、不等式

2、不等式x1(2x1)0x1(2x1)0的解集为。 的解集为。

11|xm|<1成立的充分非必要条件是32，

6、已知不等式

则实数m的取值范围是。

7、不等式x2x

3x1m的解集是。 的解集为R的充要条件是()

8、关于x的不等式

A.m0B.m1C.m0D.m

19、不等式|x-x-6|>3-x的解集是()

A.(3,+∞)B.(-∞，-3)∪(3,+∞)

2C. (-∞，-3)∪(-1，+∞)D.(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞)

10、解不等式

11、设函数|2x1||x4|x1。 f(x)ax2，不等式|f(x)|6的解集为(1,2)， 试求不等式

提高题x1f(x)的解集。

ab

12、用>或<或或填空：ababab(|a|>|b|)。

;命题乙为两个实数a、b满足

13、已知h0，设命题甲为两个实数a、b满足ab2ha1h，且

b1h

14、已知

15、已知

(1)求

，那么甲是乙的条件。 ，a、bR，且a≠b，求证：f(x)x2f(a)f(b)ab. f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x， g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)g(x)|x1|。

第三篇：三元均值不等式求最值及绝对值不等式

三元均值不等式求最值

三元均值不等式：

例

1、求函数y2x 23,(x0)的最大值 x

例

2、求函数yx21x20x1的最大值。

例

3、 已知0x1，求函数yx3x2x1的最大值。

例

4、已知0x2，求函数y6x4x2的最大值。

练习：

1、求函数y2x

2、x0时，求y

3、求函数y

4、若0x1, 求yx

5、若ab0，求证：a424,(xR)的最小值。 x63x2的最小值。 xax(a2x)2,(0x)的最大值。

2(1x2)的最大值。

1的最小值。

b(ab)绝对值不等式

例

1、证明(1)

例

2、证明

例

3、证明

例

4、已知

例

5、已知

练习：

1、已知

2、已知

(2)abab abab，ababab。

abacbc。

ccxa,yb，求证(xy)(ab)c.

22aax,y.求证：2x3ya。

46ccAa,Bb.求证：(AB)(ab)c。

22ccxa,yb.求证：2x3y2a3bc。

46解含绝对值不等式

例

1、解不等式3x1x2。

例

2、解不等式3x12x。

例

3、解不等式

例

4、解不等式

例

5、不等式

练习：

1、32x

2

23、x2x4

14、x1x2. 2x13x25。

x2x15。

x1x3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

x4.

2、x12x.

5、

7、

xx2

46、x1x36.

xx1

28、xx42.

课后练习

1.解下列不等式：

1(2) 13x47 212(3)2x4x1(4)x2xx

2(1)23x

2.解不等式：(1)

3.解不等式：(1)

4.利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式条件?

5.已知(1)

6.已知 7.已知 2x1x1(2)

x21 x1x1x23(2)x2x130.

x4x3

333(2)ABC)(abc)s. (ABC)(abc)s;xa,ya.求证：xya.

xch,yc0.求证：

xh. yabab. 8.求证1ab1a1b9.已知a1,b1.求证：

ab1.

1ab210.若,为任意实数，c为正数，求证：122(1c)(1).

c2(22，而c2212cc2212c)

第四篇：数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法

一、数轴标根法解不等式 例1.解下列不等式

1.(x-1)(x-2)(x+3)>02. (x-1)(x-2)(x+3)<0

3. (1- x)(x-2)(x+1)04.(x- 1)2

(x-2)3

(x+1)0

用穿根法解的步骤如下：

(1)整理——原式化为标准型 把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：

f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2„(x-xn) mn >0(或<0)，mi∈N* (i=1,2,…,n)

(2) 标根——在序轴上标根 将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,„„xn按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。 (3) 画线——画穿根线 从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲

线，作为穿根线。遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶不穿”。 (4) 选解——写出解集 如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。 二.

分式不等式

思考(1)x3

x2

0与x3x20解集是否相同，为什么?

(2)x3x2

0与x3x20解集是否相同，为什么?

解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。

方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式(组)：

(1)

fx0fxgx0(2)fx0fxgx0gx gxgx0

例2.解下列不等式

1.x302.1

2x

x

1

3.2x1x3



14.x2

3x2x2x305.xx3129x206.0xx

1

三、含绝对值的不等式的解法

|x|>a(a>0)________________|x|0)________________

例3:解下列不等式

1. 2x32. x(x1)0

3.|x2-2x|>x 2.4.x(x1)0

巩固练习

1. 解不等式2x2

3x13x13x27x2

02. 解不等式3x1

3.不等式2x1

2x1的解集是

x



x

4 .(2012 山东理)若不等式kx42的解集为xx3

，则实数k__________. 5. 解不等式(2x- 1)2(x-2)3 (x+1)06. 解不等式(3- x)2(x-2)(x+1) 7046

第五篇：绝对值不等式解法的说课稿公开课

包铁一中选修4-5绝对值不等式的解法说课稿讲课人：杜玉荣 各位领导和老师们大家好，我将从教材分析，学情分析，教学教法分析，教学过程，教学设计说明，板书设计几个方面对本节进行阐述。

一.教材分析：

(1 )教材的地位和作用

《绝对值不等式的解法》是人教版A版选修4-5中第一讲第二节的内容，它是我们学生在学习了绝对值的定义及几何意义及不等式的解法与性质之后给出的一节课。含有绝对值不等式的问题主要有两大类，其中一类是不等式的证明，另一类是不等式的解法，其中不等式的解法是高考的重点。

(2)教学目标：

①知有一个绝对值的不等式的解法。

②能力目标：培养学生观察，分析，归纳概括的能力以及逻辑推理能力。考察学生思维的积极性和全面性，领悟分类讨论的思想和数形结合的思想方法。

③情感目标：激发学生学习兴趣，鼓励学生大胆探索，使学生形成良好的个性品质和学习习惯。

(3)教学目标：

①教学重点：如何去掉绝对值符号将其转化为普通的不等式去解。

②教学难点：绝对值意义的理解及综合问题的求解过程中交，并等各种运算。

二.学情分析：

(1)优势：学生们在知识上已经具备了一定的知识经验和基础。

学生们在能力上已经初步具备了数形结合思想和分类讨论思想。

(2)不足：学生们基础较薄弱，逻辑思维能力不强。

三.教学教法分析：

本节内容采取了启发式，讲练结合式，讨论式的教学方法和学生探究式学法。在教师的引导下想法提高学生的学习兴趣，给学生时间去思考，让主动权交给学生，让学生自己发现分析解决问题，不仅教给学生知识，让学生慢慢学会知识，让传统下的学习数学改成研究数学，从而使传授知识与培养能力融为一体。

四.教学过程：

复习引入 讲授新课 应用举例 知识反馈 归纳小结 布置作业

(1)复习引入：引导学生一起复习绝对值的定义及几何意义。从具体的例子入手，引导启发学生们用不同的方法去解。

(2)讲授新课：让学生们总结出一般的|x|>a(a>0)或|x|0)型不等式的解法。

(3)应用举例：给出含有一个绝对值的不等式的例1，例2让学生们尝试用不同的方法去解。

(4)知识反馈：共举出了三个练习，并且三个练习逐一加强难度。让学生们反复练并找学生们到黑板上板演，最后点评。练习让学生们尝试用两种不同的方法去解，从而体会到各自的优缺点。

(5)归纳小结：本节基本思路是去绝对值符号转化成一般的不等式。主要方法有用定义法，几何法和平方法。

(6)布置作业：分别设置了必做题和选做题，这样可以对不同层次的学生有针对性的练习。

五.教学设计说明：

我采用的模式是问题—探究—归纳—应用。

在课堂上努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种师生共同经历探索的过程。