利用平凡不等式证明竞赛不等式

文[1]利用匹配因子的方法, 构造均值不等式证明不等式。文[2]利用向量内积的方法, 构造向量来证明不等式。而文[3]利用数学期望的性质, 构造离散型随机变量的概率分布列证明不等式。方法新颖, 但构造需要技巧。笔者利用不等式

来证明文[1]的例题, 方法直接简单。

例1 (第2 4届全苏数学竞赛试题) 如果正数x1, x2, …, xn的和为1, 那么:

证明

故不等式成立.

例2 (第2 6届全俄数学竞赛奥林匹克试题) 证明:对任意>1, b>1, 有不等式

证明:因为>1, b>1, 所以-1>0, b-1>0.

故不等式成立.

例3 (第36届IMO备选试题) 设a, b, c为正数, abc=1, 求证:

证明a, b, c因为为正数, 且abc=1

故不等式成立.

例4 (第二届友谊杯国际数学邀请赛试题) 已知:a, b, c∈R+, 求证:

证明a, b, c因为∈R+

所以

故不等式成立.

例5 (第31届IMO备选试题) a, b, c, d>0且ab+bc+cd+da=1, 求证:

证明因为a, b, c, d>0且

ab+bc+cd+da=1, 所以

故不等式成立.

摘要：本文通过对《寻找匹配因子证明不等式》, 《竞赛不等式的创新证法—向量内积法》、《也谈一类竞赛不等式的创新证法》三个文章中的不等式证明方法的研究和总结, 设计出了利用本文列举的不等式来证明方法简单。

关键词：不等式,匹配因子,向量内积,离散型随机变量

参考文献

[1] 刘有良.寻找匹配因子证明不等式[M].数学通讯, 2003, 5.

[2] 王志进, 程美, 竞赛不等式的创新证法—向量内积法[M].数学通报, 2005, 4.

[3] 刘南山, 也谈一类竞赛不等式的创新证法[M].数学通报, 2006, 5.