欧拉法常微分方程实验

欧拉法常微分方程实验（共9篇）

篇1：欧拉法常微分方程实验

基于欧拉方程的机翼设计方法及应用

以Takanashi提出的三维机翼设计理论为基础,研究与发展了一个基于欧拉方程和“正-反迭代、余量修正原理”的`机翼设计方法。用改进的无限插值方法生成绕机翼的O-O贴体网格,采用三维欧拉方程作为流动分析计算的基本方程,该设计方法已用于某无人机机翼和一个超临界机翼设计，设计结果达到了预期的目标。

作 者：杨旭东 乔志德 朱兵 作者单位：西北工业大学翼型研究中心,刊 名：空气动力学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA ACRODYNAMICA SINICA年，卷(期)：19(1)分类号：V211.41关键词：机翼设计 正-反迭代 余量修正 Euler方程 无限插值

篇2：欧拉法常微分方程实验

二阶欧拉方程的一类边界问题的相似结构解

研究了二阶欧拉方程的一类边界问题的求解及其解的结构的相似性,得到了二阶欧拉方程的边界问题(1)的特解的.统一表达式.

作 者：严娟 李顺初 邢承林 YAN Juan LI Shun-chu XING Cheng-lin 作者单位：西华大学数学与计算机学院,四川,成都,610039刊 名：西华大学学报(自然科学版) ISTIC英文刊名：JOURNAL OF XIHUA UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：28(6)分类号：O175关键词：二阶欧拉方程 边界问题 相似性

篇3：应用于交通流中的欧拉微分方程

交通流理论是一门运用数学工具描述城市交通特性的科学。交通流具有流动、波动、可压缩、可扩散等流体属性, 与之相关的第一篇论文追溯到1933年kinzer提出并论述了Poisson分布并用于交通的可能性, 二战后美国学者lighehill和, whitham首次在《论动力波》中将交通流比拟成种流体, 以后有许多学者引入了加速度表达式及动量方程, 其中一部分学者引入了交通压力和阻力的概念[1,2]。然而由于实际交通流十分复杂且影响因素繁多, 许多交通流理论还存在不足。本文通过综合分析交通压力的动力学原理建立了交通流模型, 并对交通流的三个基本参数的全微分方程进行了微分变换, 建立了交通流的动力学模型, 并求解了交通流参数之间的关系的一般式。

1 交通流的基本模型及微分方程

设q (x, t) 为交通流流量, ρ (x, t) 为交通流密度, u (x, t) 为交通流速度, 则有q (x, t) =ρ (x, t) ·u (x, t) , , 由于交通流可以比拟成流体, 假设交通压力对交通流的影响是对整个流体的断面进行的, 参照理想流体一元流动的运动微分方程采用的欧拉法, 可得:

这就是无车辆出入路段的连续性方程, 也是一致公认的交通流微分第一方程。假设在入口处流量和速度为q0u0, 出口处流量和速度为q、u, 单位时间流入的动量为q0u0, 流出的动量为qu。显然相对交通压力冲量为P-P0, 相对动量的增量为q (u-u0) -q0 (u0-u0) , 由动量定理得:

负号表示交通流所受压力与动量方向相反。

对 (2) 式两边微分得:

又q (x, t) =ρ (x, t) ·u (x, t) 代入上式得:

该结果自动引入粘性阻力项。

2 引入粘性阻力项的交通流的欧拉方程

文献[3]在交通流的欧拉方程人为引入了相为对粘性阻力项, 即

显然交通流中流量、速度及密度是随时间和地点的变化而变化的, 所以有:

而q (x, t) =ρ (x, t) ·u (x, t) , 则

由 (4) 、 (5) 得:

由文献[4]知无车辆出入路段的交通流的动量方程

将 (8) 式, (9) 式代入 (4) 式得:

由于方程 (3) 式中τω为分段函数, 故有两种情况:

(1) 当τω=0时, 有:将 (1) 式代入 (10) 式得:

(2) 当时有

3 参数之间的相对变化率

当τω=0时

当时由 (13) 、 (14) 有

4 结束语

本文依据动量定理, 通过引入相对交通压力, 相对动量推出了交通流应满足的微分方程, 并且在推导中自然获得粒带阻力项, 而许多交通流的研究中都是先引入粘性阻力项参数, 显然自然引入的方法对交通流方程的研究与应用更有实际意义。另外本文研究了交通流三个参数的动态微分方程, 得到三参数之间的相对变化率, 这对研究三个参数之间的关系提供了良好的条件。

参考文献

[1]Transportation Research Board Highway Capacity Manual2000.

[2]吴正.低速混合型城市交通的流体力学模型.

[3]熊烈强.实际交通流的运动微分方程.交通运输工程学报, 2001, 9.

[4]徐伟民.与车辆跟驰理论统一的一维交通流动力模型研究.交通运输系统工程与信息, 2002, 2 (1) :42~44, 53.

篇4：欧拉法常微分方程实验

关键词：伯努利方程；虚拟实验；创新

由于流体运动的复杂性，使得流体力学研究离不开科学实验，伯努利方程实验是高等院校航天工程、能源动力工程、水利工程、建筑工程、土木工程等专业必须学习的一个重要实验之一。传统的伯努利方程实验，存在着一定的弊端：在教师讲解后学生直接做实验，对实验操作、实验过程的示范教学及描述缺乏认识，实验过程中出现的问题得不到充分的探索和讨论，无法体现学生的思考过程、实验兴趣及创造性思维。而基于虚拟实验的伯努利方程实验，调动了学生参与实验的积极性，充分启发学生的创造性思维，实现了学生自主学习、师生交流互动，能够充分利用虚拟仿真实验教学中心的虚拟实验平台，提高了实验的效率，有利于培养具有创新精神和创新能力的高素质人才。

1.实验原理

如图1所示，在实验管路中沿管内水流方向取n个过流断面。

可以列出进口断面（1）至另一断面（i）的能量方程式

z1+p1r+a1v212g=zi+pir+aiv2i2g+hwi，（i=2，3，…，n）（1）

zi为位置水头，表示单位质量流体所具有的位能；pir稱为压强水头，表示单位质量流体所具有的压强势能；Hpi=zi+pir为测压管水头，是单位质量流体所具有的总势能；hwi代表由元断面（1）到断面（i）所消耗的能；取动能系数a1=a2=a3=…=an=1，选好基准面，从已设置的各断面的测压管中读出Hpi=zi+pir的值，测出通过管路的流量，即可计算出各断面平均流速vi及速度水头aiv2i2g，从而得到各断面测压管水头值和总水头值。

在同一过流断面上：均匀流或渐变流断面流体动压强符合静压强的分布规律，测压管水头值为常数。z+pρg=C（2）

在不同过流断面上：测压管水头不同，z1+p1ρg≠zi+piρg（3）

故z+pρg≠C。

2.特色和创新

2.1添加虚拟实验环节

在传统的伯努利方程实验中引入新的实验元素和活力，即在实验过程中添加伯努利方程虚拟实验环节。目前虚拟实验在实验教学中的应用有很多[1-3]，也有一些伯努利方程实验在仿真方面的研究[4]。由于虚拟实验具有操作界面直观、方便快捷、重复性强、不受时间或场所的限制，学生可以按个人需求，不受时间、地点约束，反复进行虚拟实验，完成实验学习过程，还可以设计出新颖的虚拟实验项目。教师鼓励学生参与虚拟实验的操作和完善，通过网上练习虚拟实验，找出有待完善的地方，提出优化方案，再指导学生逐步修改和完善，充分发挥学生参与实验的主观能动性，有效拓展学生的想象空间。本实验为综合性实验项目，通过对学生多方位的引导，可以培养学生对理论知识的应用能力、对实验操作的动手能力、对实验项目的创新能力以及团队的写作能力，从而实现对学生的综合能力的培养。采用虚拟实验和真实实验相结合的方法，充分利用虚拟仿真实验教学中心的虚拟实验平台，使学生从多角度，以多种方式参与实验训练，充分锻炼学生对实验操作的动手能力。

2.2实验流程图，如图2所示

（1）虚拟实验。做实验之前，学生可以先在力学实验教学示范中心的网站上对伯努利方程实验的虚拟实验进行操作、预览实验过程、掌握实验原理、巩固理论知识，并且可以直观地体会做实验的操作过程、观察动态的实验现象等，更重要的是学生还可以随时随地验证和探索学习过程中遇到的疑难问题，对实际操作实验进行预习。虚拟实验的整个过程与真实的实验相差无几，通过适时观察到实验现象及测压管液面高度的变化规律，方便模拟出真实实验的过程。伯努利方程实验的虚拟实验为学生创造良好的仿真实验条件，实现了学生自主学习、师生交流互动，激发了学生的求知欲和主动性，调动了学生参与实验的积极性，为真实实验操作打下坚实的基础，提高了实验的效率。

（2）真实实验。学生进入实验室进行动手操作的真实实验，教师指导学生熟悉操作实验装置，例如测量流速与流量的仪表（毕托管、文丘里流量计、电磁流量计等）；启发学生将所学理论知识结合工程实践，采用已有的流体力学实验教具，自主设计实验项目，（比如利用流量计测试一下实验室水管的流量、流速等）；引导学生利用实验解决实际问题的能力，进行实验验证并进行实验设计和创新，以及完成综合实验报告的撰写。

通过虚拟实验和实际操作实验两个环节的操作训练，有利于学生更加深刻地理解和掌握课本上的理论知识。

2.3实验成绩考核

伯努利方程实验的成绩考核由实验项目设计、虚拟实验操作、真实实验操作和实验报告四部分组成。实验操作部分由指导教师现场打分，最终通过实验报告：实验方法的确定、实验仪器的选择、实验步骤的制定、实验数据的处理、实验结果的对比分析及研究总结等，可以有效地反映出学生的综合创新能力（包括实验项目设计、实验技能、团队协作能力、操作动手能力和自主创新能力）。

3.实验成果

置身于多媒体世界中，虚拟实验使学生能看到、听到、感觉到实验对象、实验过程、实验结果，大大增加了仿真的形象性与直观性，从而能够激发学生实验的兴趣和主观能动性，提升学生进行实验的积极性。由于虚拟实验不受时间、场地的限制，学生可根据自己的需要安排学习时间，提高学习效率。而且虚拟与真实实验两者相结合，优势互补，切实保证了实验教学的质量。伯努利方程实验是一个综合性实验，其系统的经验成果可以为其他流体力学实验项目提供借鉴，引领实验项目建设方向、探索人才培养模式。一些典型教学案例的积累，丰富了实验教学的积淀。成功的案例可以启发下届学生在此基础上发展创新，避免低水平的重复实验；失败的案例可以供学生借鉴，尽可能避免失败，少走弯路。

4.结束语

虚拟实验与真实实验相结合丰富了流体力学实验教学内容，综合利用了多种教学手段，提升了整个实验教学水平。注重实验过程设计，实验方法科学、合理、新颖；实验手段适当、高效先进。能充分调动学生学习的主动性与积极性，培养学生对实验的兴趣。此外，虚拟实验促进了流体力学实验网络化教学的步伐，建立了流体力学虚拟实验平台和教学资料库。（作者单位：南昌理工学院）

参考文献：

[1]程立英，张志美，等.虚拟实验在分级实验教学中的应用探究[J].沈阳师范大学学报：自然科学版，2011.

[2]朱敏.虚拟实验与教学应用研究[D].上海：华东师范大学，2006.

[3]陈小红.基于仿真软件的虚拟实验设计与应用[D].上海：上海师范大学，2010.

篇5：欧拉法常微分方程实验

有限体积法求解任意回转面叶栅叶型反问题设计的欧拉方程

以有限体积法为基础,探讨了用θ-m坐标系下积分型Euler方程求解任意回转面上叶栅反问题的方法,应用这一技术设计叶型,能用较少的机时使型面上气流压力值满足预先给定的`值.这种叶型设计方法考虑了任意回转面上旋转角速度、半径变化、流片厚度变化等多种影响因素.文中还详细讨论了其基本方程、数值格式和求解过程,给出了根据给定的压力分布进行静子叶栅和转动叶栅设计的验证算例,结果表明该叶型设计方法是有效的.

作 者：彭艳 吴国钏 Peng Yan Wu Guochuan 作者单位：南京航空航天大学动力工程系,南京,210016刊 名：南京航空航天大学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF NANJING UNIVERSITY OF AERONAUTICS & ASTRONAUTICS年，卷(期)：1999“”(1)分类号：V231.3 V211.3关键词：叶型 反问题 流面 欧拉运动方程 有限体积法

篇6：欧拉—拉格朗日方程的推广

变分法用于极值泛函问题, 运用范围非常广泛, 其中一个重要定理是欧拉—拉格朗日方程[1].在分析力学里, 由Hamilton原理一个动力系统的拉格朗日函数是描述整个物理系统的动力状态的函数, 定义为动能减去势能, 以方程表示为L=T-V;其中L为拉格朗日量, T为动能, V为势能.拉格朗日量是动能T与势能V的差值L=T-V[2].

一个物理系统的拉格朗日函数所构成的泛函的变分问题:在时间段[t1, t2]内的一切容许运动中, 真实的运动必使L取极值对应于寻求泛函的临界点, 在寻找函数的极大、极小值时, 一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似[3], 借此人们可以得到该物理系统的动力行为表达, 具体描述如下:设f是关于自变量的二次连续可微函数, 若

这里我们采用下述记号, 设f为在Ω上定义的连续函数, 记f的支集suppf为, 记Ck为Ω上定义的直到k阶导数都连续的函数的集合, 记Ck0 (Ω) 为Ck (Ω) 中其函数的支集为包含在Ω内的紧集的函数的集合[4].fu为函数f对变量u的一阶导, uxi为函数u对变量xi的一阶导, fuxi为函数f对变量uxi的一阶导, fuxk1…uxkm为函数f的k阶导 (依次对变量uxki, …uxkm求一阶导) .为导出上述变分问题有解的必要条件, 如下引理.

引理:对任意φ∈C0 (Ω) 有, 其中f∈C (Ω) , 则在Ω上f≡0[5].

2.主要结论

上述得到的欧拉—拉格朗日方程涉及的是变量的一阶偏导, 如果L涉及变量的高阶偏导那么上述方程就不适用了.为了使其运用范围进一步扩大, 本文通过运用变分法, 得到更普遍适用的欧拉—拉格朗日方程.

定理1:设f是关于自变量的四次连续可微函数, 若

证明:设在取极值, 取φ∈C0 (Ω) , 取绝对值分小的a, 使得u-+aφ属于容许函数类, 则

摘要：变分法是处理泛函极值的一种数学方法, 欧拉—拉格朗日方程是基于变分法得到的, 该方程在除数学外的很多其他领域有着广泛的运用.如果能将欧拉—拉格朗日方程的应用范围进一步扩大, 即条件减弱或者放松限制条件, 就可以使已有的结论更完善.本文运用变分法, 得到更普遍适用的欧拉—拉格朗日方程.

关键词：Hamilton原理,变分问题,欧拉—拉格朗日方程

参考文献

[1]Fomin, S.V.and Gelfand, I.M.:Calculus of Variations, Dover Publ., 2000.

[2]Lebedev, L.P.and Cloud, M.J.:The Calculus of Variationsand Functional Analysis with Optimal Control and Applications inMechanics, World Scientific, 2003:1-98.

[3]Charles Fox:An Introduction to the Calculus of Varia-tions, Dover Publ., 1987.

[4]Herbert Goldstei.Classical Mechanics, 2nd ed., AddisonWesley, 1980:35-69.

篇7：破译欧拉秘密　挑战欧拉奇迹

一、小欧拉——智改羊圈

回家后，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一边放羊，一边读书。在他读的书中，就有不少数学书。爸爸的羊渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈小了，爸爸决定建一个新羊圈。他用尺子量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算面积正好是600平方米，平均每只羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米(15+15+40+40=110)，父亲感到很为难。若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；若要缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。

小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划，他有办法。父亲不相信，小欧拉急了，大声说：“只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。”父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情?”但是小欧拉却坚持说，他一定能做到两全齐美，父亲终于同意让儿子试试看。

小欧拉见父亲同意了，站起身来，他跑到准备动工的羊圈，以一个桩为中心，将原来的40米边长截短，缩到25米。父亲看了着急了说：”那怎么成呢?那怎么成呢?这样羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一边上将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改原来计划的羊圈变成了一个边长25米的正方形，然后小欧拉很自信地对爸爸说：“现在篱笆也够了，面积也够了。”

父亲照小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长篱笆真够了，不多不少，全部用光，面积足够了，而且还稍稍大了一些。父亲感到非常高兴，孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定有大出息。

父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年小欧拉成了巴赛尔大学的学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。

二、小同学——剖译密秘

亲爱的同学，读完上述欧拉帮父亲智改羊圈的故事，你一定为小欧拉聪明而骄傲，那么你能否用所学函数知识给予解答呢?

我班王浩同学读了这则故事后是这样解答的：

设矩形为ABCD，AB=x，则BC=100-2x/2=50=x，矩形面积为S。

则S=AB·BC=x(50-x)；50x-x²

S=-x²+50x=-(X-25)²+625

当x=25时，S^{最大值=625}

∴当AB=25，BC=25，矩形ABCD为正方形时，最大面积为625平方米。

周长一定的矩形中，以正方形面积为最大。

三、小机灵——挑战欧拉

一直爱动脑的学生孙亮，人称“小机灵”对欧拉的作法并不满意，站起来说，欧拉的作法并不是最佳的，我可以用100米篱笆围出一个大于625平方米的羊圈。老师对小机灵鼓励一番说，请你把想法写在黑板上。

小机灵：围成一个半径为r的圆形羊圈其面积为S则

r=100/2π=50/π

∴S=(50/π)²π=2500/π>2500/3.15=794>625(m²)

篇8：欧拉的遗产问题

有一位父亲，临终时嘱咐他的兒子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的1/10；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的1/10；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的1/10；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的1/10……按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多。问：这位父亲共有几个儿子?每个儿子分得多少财产?这位父亲共留下了多少财产?

同学们不要被这么长的题目所吓坏，其实只要抓住题中的关键所在，从后往前推算，并运用分数应用题的有关知识，就可迎刃而解了。

我们不妨设这位父亲共有n个儿子，最后一个儿子为第n个儿子，则倒数第二个就是第(n-1)个儿子。通过分析可知：

第一个儿子分得的财产=100×1+剩余财产的1/10；

第二个儿子分得的财产=100×2+剩余财产的1/10；

第三个儿子分得的财产=100×3+剩余财产的1/10；

第(n-1)个儿子分得的财产=100×(n-1)+剩余财产的1/10；

第n个儿子分得的财产为100n。

因为每个儿子所分得的财产数相等，即100×(n-1)+剩余财产的1/10=100n，所以第n-1次剩余财产的1/10就是100n-100×(n-1)=100克朗。

那么，剩余的财产就为100÷1/10=1000克朗，最后一个儿子分得：1000-100=900克朗。从而得出，这位父亲有(900÷100)个儿子，共留下财产900×9=8100克朗。

如果用方程来解，则可设总遗产为x克朗。依据题意，老大得钱(x-100)×1/10+100，老二得钱[(x-100)×9/10-200]×1/10+200，因为每个儿子分得一样多，所以(x-100)×1/10+100=[(x-100)×9/10-200]×1/10+200

解得x=8100(克朗)

所以，每个儿子得钱900克朗，因此可以知道有儿子9个。

上面介绍了欧拉的遗产问题及其解法。下面对欧拉的遗产问题进行改编。

改编1：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得全部财产的1/10和100克朗；第二个儿子分得剩下财产1/10的和200克朗；第三个儿子分得剩下财产的1/10和300克朗；第四个儿子分得剩下财产的1/10和400克朗……按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多。问：这位父亲共有几个儿子?每个儿子分得多少财产?这位父亲共留下了多少财产?

改编2：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的1/10后再分100克朗；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的1/10后再分200克朗；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的1/10后再分300克朗；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的1/10后再分400克朗……按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多。问：这位父亲共有几个儿子?每个儿子分得多少财产?这位父亲共留下了多少财产?

改编的遗产问题留给同学们自己思考解答，方法与原问题差不多，列一元一次方程就能解答。

篇9：欧拉的“砝码问题”

欧拉往往能从被人们忽视的现象中提出有创新意义的数学问题，开辟数学科学中新的领域。

如天平的砝码是用天平称物的重要工具，那么准备怎样的一组砝码，在只允许将其放在天平的一端的情况下，可以保证称出砝码总克数以内的所有整克数的物品呢？

下面是欧拉研究过的“天平砝码最优（少）化配置问题”，同学们能独立试着做一做，并得出规律吗？让我们一起来试一试，

问题1：工人师傅用质量为15g的一个铁块制成4个质量不等的整克数的砝码，用这一组砝码，在只允许将其放在天平的一端的情况下，可以称出质量为15g以内的所有整克数的物品，这一组砝码分别是几克？

思考：可以从称1g的物品开始分析，完成表1，

从而得到结论：称质量为15g以内所有整克数的物品，只要准备质量为1g，2g，4g，8g这4个砝码，

如果到此为止，仅解决这一个问题，那么，就不算具有爱思考的好习惯了，让我们来分析这一组砝码，可以有下面几点发现：

1.这一组砝码的克数是一组有规律的数：1，2，2²，2³，

2，它们的和正好比这组数的下一项少1，即它们的和为：2⁴-1，

根据上面的发现，可以得到以下假设：

若有质量为1g，2g，2²g，2³g，…，2ⁿg的砝码，只允许将其放在天平的一端，利用它们可以称出质量小于2ⁿ⁺¹g的任何整克数的物体，

请你举例验证一下，

如果同学们再一起来解决下面的问题，会有新的发现的，

问题2：有一个质量为40g的砝码，现在把它加工成4个质量是不等整克数的砝码，允许将其放在天平的两端，可以用它们称质量为1g至40g之间的任意整克数的物体，这4个砝码的质量分别是多少？

思考：可以参考前面的研究过程来进行实验，具体步骤如下：

1.制表，2.填表，3.得到结果，4.研究结果，5.发现规律，6.进行验证，

不难发现，这4个砝码的质量分别是1g，3g，9g，27g称出质量为2g的物体，把质量为1g的砝码放在左边，质量为3g的砝码放在右边，利用3-1=2就可以了，质量为4g的物体可利用3+1=4称出质量为5g的物体可利用9-4=5称出，其他类似，

通过上面的6个步骤，相信你也能得到最后的规律：若有质量为1g，3g，3²g，3³g，…，3ⁿg的砝码，允许将其放在天平的两端，利用它们可以称出质量不超过（3ⁿ⁺¹）/2g的任何整克数的物体，