磁场积分方程（精选四篇）
磁场积分方程 篇1
大地电磁数值模拟有两种基本方法:一种是微分方程法, 有限差分法 (FD) 和有限单元法 (FE) 就属于这种方法。另一种是积分方程法。微分方程的解从数学上易于建立, 形成的是大规模带状矩阵。而积分方程法涉及复杂的数学, 但其优点是仅需在异常区求出未知场。因此, 模拟较大范围异常体的电磁响应, 通常用微分方程法, 而模拟有限大小或少数几个三维体的电磁响应, 使用积分方程法具有节省计算时间和节省内存的优点。
美国犹他大学的Hursan与zhdanov在2002年研发了一种基于收缩积分方程法的高效IE模拟软件, 简称INTEM3D。该软件可以对水平层状介质中的三维地电结构用积分方程法进行频率域电磁模拟。这种强大的编码功能使得可以更好地运用离散化的网格去描述三维非均匀电导的模型。然而, 由于标准PC存储的有限性, INTEM3D编码能用来操作的离散细胞结构化的网络数量不超过十万个。现在, 犹他州的高性能计算中心已研发使用PC机群系统有效地解决并联IE法问题。
应用复广义微量残留法 (CGMRM) 作为解决线性系统方程的思想是源于CIE法的研究。这种运用CGMRM算法的新并联处理机能保证对于任意电导率模型中对应矩阵求逆的收敛性。
1 国内外发展现状
在国外, 关于三维体电磁响应的数值模拟, 自20世纪70年代中期以来西方国家的一些学者进行了一系列的研究, 取得了很大进展。他们用积分方程法, 既对单个 (或几个) 三维体进行模拟, 又对地下电性复杂情况进行模拟。除采用全积分等“精确”解外, 还研究各种近似求解方法, 如Born近似、扩展的Bonr近似、准线性近似等, 以提高数值模拟的计算速度。本文提到的软件INTEM3D采用的缺省的数值模拟方法就是BICGSATB迭代法 (双共扼梯度稳定迭代法) 。积分方程近似方法用于地球介质中的三维电磁模拟由Rai Che (1974) 和Hhomnan (1975) 先后提出。Ting和Hohmnan在1981年对三维大地电磁响应用积分方程法进行了正演模拟。Wnanamkaer等人则在1984年对层状地球介质中的三维地质体用积分方程法进行了正演模拟。San Fi1i Po和Hhomnan于1985年对传导半空间中的三维地质体的瞬变电磁响应用积分方程法进行了正演模拟。Nwemna和Hhomnan在1988年对层状地球介质中的高电阻率对比棱柱体的瞬变电磁响应进行了研究。随后, Wannmaaker于1991年对积分方程法的各种进展进行了更进一步的阐述。
和国外相比, 我国在这方面的研究比较晚, 成果报道也比较少。对于三维情况虽然也曾有一些方法如有限元法、边界元法等实现过具体算法, 但是就其实用性和易用性方面还有很多问题, 尚未看到比较适用、确实能较方便地帮助资料解释的成果, 所以仍需要在三维正演方面做文章。最早进行这方面研究的是毛先进、鲍光淑以及曹建章等人。
2 设计存储器配置模型与矩阵平行运算
CIE法的线性系统方程可以这样来描述:
这里的f是在电场强度下的矢量, M是在不规则电导体中总电场强度矢量, 正演运算算子L矩阵是由对应预处理量与格林张量矩阵的乘积。它是由Hursan和zhdanov在2002年解释其意义的, 若在不规则区域是被离散化成排序水平且均匀网格结构, 格林矩阵就有块结构。
在此情况下, 对于存储数目来说GD存储矩阵比矩阵元素的总数要少, 这样为更实惠的存储提供了好的契机。尤其是在原矩阵中, 格林矢量的大小是NX×Ny, 它小于其原矩阵元素个数。这里NX与Ny各代表了网格在X方向与Y方向上的数量。
例如, 我们在水平方向离散化一个异常体, 用20×20个网格来划分的话, 存储于格林张量核中元素数量是400, 它小于格林矩阵数。
这里α, β是矢量中对应标量部分的指数, 与n在格林张量式中表示为沿z轴的入射角与出射角, Lαiβn是矩阵L张量的核, 星号“*”表示在XY水平面作的卷积标识。
我们可以运用离散卷积定理:
这种方程的优点在于用快速傅立叶变换替代了直接对矩阵乘积, 从O (N2) 到O (Nlog N) 减少运算复杂度, 这里的N=NX×NY。然而, 并行计算中心一般不宜于解决这个问题。我们需要设计内存分配模式与相应矩阵运算, 在分布存储计算机上实现FFT算法, N的处理构成与相同数量的存储模块。
我们应用一维环状块结构, 它总的说来有较好的串行内存访问, 分布于每个处理单元中, 并且对大型问题供以快速算法。须注意的是演示取决于FFT以及内处理通信的耗时。模拟网络的大小与硬件的特性, 兼顾其平衡性由最优代码所决定, 由实践证实, FFT在这特例中比内处理通信花费较少开支。
3 数值模拟结果
为了测试新的CIE正演模拟码并行版本, 我们用合成的复杂地电模型以得到三维反演MT的数据。
最终, 可以由线性插值的方法增加了正演模拟网络数, 达到292032个。图1表明了网络的垂直截面。
此情况下, 在x与y方向应用167m×167m网络结构。图2代表的实际上与原先相同的正演模拟网。
图3所示在犹他州大学高性能计算中心解决方程系统所需的时间。
4 总结
据此, 已经研发了关于三维EM正演模型的并行代码。此代码是基于快速建模下的收缩积分程而开发的。正如对应的CIE系统方程组求解决一样, 使用复广义微量残留法可保证对于任意的地电模型中用线性系统方程组迭代法的收敛性。
此外, 刘羽等提出基于机群的大地电磁Occam二维反演。此方法对基于并联处理积分方程法的大地电磁三维正演建模有一定的借鉴意义。跟很多其它的反演方法一样, Occam反演需要计算偏导数矩阵, 偏导数矩阵的计算和拉格朗日算子的求取导致大量的模型正演, 反演速度较低。刘羽等提出用基于机群的并行计算来解决这一问题, 在讨论偏导数及拉格朗日算子计算方法的基础上, 偏导数计算采用频点计算一级的大粒度并行。
以大约25万个网格结构的大型网络为例, 一个新的CIE并行处理法使得解决大型正演的问题成为可能。但是, 仅仅原理上能把复杂的地电结构做成数百万个网格状模型, 同时须注意, 研发的并行码也能够进行跨平台操作。
参考文献
[1]魏文博.我国大地电磁测深新进展及瞻望[J].地球物理学进展, 2002.
[2]鲍光淑, 张碧星, 敬荣中等.三维电磁响应积分方程法数值模拟[J].中南工业大学学报, 1999.
[3]Hursan, G., and Zhdanov, M.S., 2002, Contraction integral equation method in three-dimensional electro-magnetic modeling:Radio Sci.
[4]Zhdanov, M.S., 2002, Geophysical inverse theory and regularization problems:Elsevier, 628pp.
泊松方程中域积分的一种新处理方法 篇2
关键词：泊松方程；域积分；径向积分法
中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）06-001-01
域积分在边界元中占有非常重要的地位，处理区域积分的方法大体上分为三类：（1）直接对区域内部作单元剖分，在内部区域单元上采用数值积分求解；（2）利用Green公式把区域积分转换成边界型积分；（3）采用数值近似法把区域积分转换成边界型积分.常用的方法是：高效伟教授提出的径向积分法（RIM）[1]、Brebbia等人提出的DRM法（Dual Reciprocity Method）[2]和MRM法（Multiple Reciprocity Method）[3].径向积分法将源项引起的域积分转化为边界积是一个解析的过程。如果源项是已知函数，则域积分到边界积分的转换是精确转换，不需要任何内部点，从而充分发挥了边界元法的优势，得到了快速发展[4].本文算例采用径向积分法.
一、泊松方程的域积分的转化
三、数值算例
边长为L L（L=6）的正方形区域内的位势问题，源项b为已知函数 .边界条件为上下边界通量q=0，左右边界位势分别为 和 .解析解为
左右边界通量的解析解分别应为 和 .采用线性边界单元对该问题进行分析，将分析结果与解析解比较，验证准确性.
泊松方程中出现的域积分采用径向积分法把其作为一种解析过程转换为边界积分.数值算例表明，本文计算结果非常有效，成功保留了边界元的优点。
参考文献：
[1] Gao X W. Evaluation of regular and singular domain integrals with boundary-only discret-
ization-theory and Fortran code. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2005，175（2）：265—290.
[2] Nardini D， Brebbia C A. A new approach for free vibration analysis using boundary elements//Brebbia CA. Boundary Element Methods in Engineering. Berlin： Springer， 1982.
[3] Nowak A J， Brebbia C A. The multiplier reciprocity method. A new approach for transforming BEM.domain intrgrals to the boundary[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，1989，6：164—168.
典型方程的积分因子的解法 篇3
一、变量分离方程的积分因子
二、齐次方程的积分因子
三、一阶线性方程的积分因子
四、伯努利方程的积分因子
参考文献
[1]伍卓群, 李勇.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2004.
[2]高雄, 周之铭, 朱思铭, 等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 1993.
磁场积分方程 篇4
在磁电热弹性材料断裂与破坏问题研究中, 需要涉及到磁、电、热、弹性场的不同耦合方式, 有不同的耦合材料.而针对两场和三场耦合问题, 很多学者做了相关的研究.Bagdasarian等[1]研究了铁磁材料中的裂纹问题, 并得出了一种求解裂纹张开位移和压磁材料应力强度因子的数值方法;Liang等[2]研究了软铁磁材料中的共线裂纹问题;在三场耦合方面, Wang等[3]得出了反平面裂纹在静态情况下, 应力强度因子与电载荷、磁载荷的关系;Tian等[4]和Niraula等[5]研究了磁电弹材料中的多裂纹相互作用问题, 研究了与磁电弹双材料界面平行的裂纹问题, 并计算出了裂纹前沿的广义应力强度因子;对四场耦合材料, Zhu等[6,7]做了很多相应的研究.在动态裂纹研究中, 马静娴等[8]做了许多前瞻性的工作, 研究了典型裂纹的动应力强度因子.Zhang[9]用Fourier变换的方法研究了各向异性材料反平面动态断裂问题.Feng等[10]用积分变换的方法研究了磁电弹层界面裂纹Ⅰ型裂纹受冲击载荷的影响.
基于已知的压电材料的Green函数[11,12]及边界积分方程法, 本文给出压电耦合场作用下裂纹问题以广义位移间断函数的导数为未知函数的奇异积分方程组.在理论分析的基础上, 利用Lubich卷积积分法处理对于时间卷积积分, 把时间等步长的离散, 并引入了Laplace域下的基本解.再使用高斯-切比雪夫求积公式处理空间积分中的奇异积分部分.从而建立了问题的数值求解方法, 并给出典型例子的广义动态应力强度因子.
1 基本方程
为了使公式表达简洁明确, 下标逗号表示在直角坐标系下求偏导数, 则二维压电材料的运动方程可表示为
其中σij为应力分量, ui为电位移, fi为体力, Di为电位移, ρ为材料的密度, 下标中“, ”表示对“, ”后面的量求导, 下同.
压电材料的本构关系可表示为
式中, Ci JKl表示压电材料系数, Σi J和UK分别表示广义应力和广义位移, 定义为
其中, φ表示压电体的电势.
2 时域奇异积分方程
考虑一个含非渗漏型裂纹二维压电材料体, 取直角坐标系xi (i=1, 2) 的x1轴在裂纹线上, 如图1.利用压电材料的Green函数及边界积分方程法, 可得压电材料中任意点p处的广义位移为[14]
式中TIJD+ (p, ξ1, t) =TDIJ (p, ξ1+, t) =-TDIJ (p, ξ1-, t) 为
压电材料的动态广义面力基本解, 这里的上标“+”和“-”相应地表示裂纹的上下表面, 可由压电材料的动态Green函数及压电材料的本构关系给出, ˜UJ为未知的裂纹广义位移间断
式 (5) 中符号*表示Riemann卷积积分, 定义如下
对于动态裂纹问题, 时域下的动态Green函数及位移基本解不易直接给出, 可将Laplace变换域下的基本解引入到广义位移解 (5) 中, 然后再利用Lubich积分法进行求解.Laplace变换域下的压电材料广义位移基本解可表达如下[11]
其中η为波传播矢量, ξ, x分别为参考点p和积分点Q处的坐标矢量.
利用裂纹面上的边界条件及有限部积分的概念, 由可广义位移的一般解式 (5) 及压电材料的本构关系导出裂纹面广义位移间断应满足的时间域中的奇异积分方程
其中KIJ为已知积分核函数, 可分解为静态和动态两部分, 其中静态部分含有1/ (x1-ξ1) 因子, ΦJ (ξ1, t) 为裂纹面广义位移间断 的导数, 即 , pI (x1, t) 为裂纹面上作用载荷.方程组 (9) 为一组柯西主值型奇异积分方程.此外, 求解时还需要位移单值性条件作为补充方程
如果联合方程组 (10) 解得奇异积分方程 (9) , 就可求未知的裂纹面广义位移间断导数, 进而就求得压电材料中任意点的位移、电势等, 进而可求出应力、电位移等问题.裂纹前沿任意点处的动态广义应力强度因子定义如下
其中r, θ为裂纹前沿邻域的局部极坐标.
3 数值方法
3.1 时间积分
式 (9) 是一组时间域上的柯西奇异积分方程, 在进行数值求解时, 若能利用未知解在裂纹前沿邻域的奇性性态, 可获得较高精度的数值结果.对于空间域上的奇异积分可使用高斯-切比雪夫求积法进行数值求解, 对于时间域上的卷积积分可采用Lubich积分法求解.首先将时间t等分成N个时间步∆t, 利用Lubich积分法, Riemann卷积积分可写为近似表达如下[13]
式中权ωj (∆t) 可由下式确定
其中 表示函数g (t) 的Laplace变换
式中, ε为计算Laplace变换¯g (·) 的数值误差.
3.2 空间积分
由于在积分方程 (9) 的静态核函数中含有1/ (x1-ξ1) , 该方程是一组柯西主值型奇异积分方程, 可利用高斯-切比雪夫求积法进行数值求解.为此, 将方程标准化处理.引入无量纲参数
其中, c= (b-a) /2, d= (b+a) /2分别为裂纹半长和裂纹中心与坐标系原点之距离, 则方程 (9) 可改写为
其中, FJ (ζ, t) 为待求的未知函数, 可由切比雪夫多项式拟合
式中, Tl (ζ) 为第一类切比雪夫多项式, aJl (t) 是与时间相关的系数.高斯-切比雪夫求积法及Lubich卷积积分法可将积分方程 (9) 和 (10) 简化一组如下形式的代数方程组
式中, ζl, yk分别为第一类切比雪夫多项式TL (ζ) 和第二类切比雪夫多项式UL-1 (y) 的根, 可由下式确定
4 数值结果
为了验证上述方法, 并说明其应用, 这里以压电材料PZT-5H平面裂纹问题进行典型例子的数值计算.考虑一个受冲击载荷作用的含裂纹二维横观各向同性压电材料无限体, 裂纹半长为c, 在裂纹面上作用有冲击载荷σ22=σ0H (t) , 对广义应力强度因子作如下无量纲化处理
对于直线型裂纹, 图2和图3给出了无量纲量应力强度因子随时间变化的值, 并与文献[14]进行了比较.由图2和图3可知, 冲击载荷作用下的动应力强度因子最后收敛于静载荷作用下的应力强度因子的值.
5 结论