微分方程模型下交通管理论文

2022-04-28

微分方程模型下交通管理论文篇1：

微分方程在数学建模中的应用举例

【摘要】微分方程是现代数学的一个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具，它在科技、教育、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。本文主要从交通红绿灯模型和市场价格模型来论述微分方程在数学建模中的应用。

【关键词】微分方程；数学建模；交通红绿灯模型；市场价格调整模型

数学建模是数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机技术的快速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经应用到各个领域。用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程。这首先要根据实际问题所提供的条件，选择确定模型的变量，再根据有关学科，如物理、化学、生物、经济等学科理论，找到这些变量遵循的规律，用微分方程的形式将其表示出来。

一、交通红绿灯模型

在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则。这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？

停车线的确定，要确定停车线位置应当考虑到两点：一是驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。二是驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）。例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）。停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。设汽车质量为m，刹车摩擦系数为f，x（t）为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）。由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程：

md2xdt2=-fmg

x（0）=0， dxdtt=0=v0

（1）

在方程（1）两边同除以并积分一次，并注意到当t=0时dxdt=V0，得到

dxdt=-fgt+v0

（2）

刹车时间t2可这样求得，当t=t2时，dxdt=0，故

t2=v0fg

将（2）再积分一次，得

x（t）=-12fgt2+v0t

将t2=v0fg代入，即可求得停车距离为

x（t2）=1v202fg

据此可知，停车线到路口的距离应为：

L=v0t1+12v20fg

等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。

黄灯时间的计算，现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口，记街道的宽度为D（D很容易测得），平均车身长度为，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：

T=L+D+lv0

二、市场价格调整模型

对于纯粹的市场经济来说，商品市场价格取决于市场供需之间的关系，市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格称为（静态）均衡价格。也就是说，如果不考虑商品价格形成的动态过程，那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡，但是，实际的市场价格不会恰好等于均衡价格，而且价格也不会是静态的，应是随时间不断变化的动态过程。

如果设某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D（P），S（P），则在时刻t的价格p（t）对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D（P）-S（P）成正比，即有微分方程

dPdt=k[D（P）-S（P）] （k>0）

（3）

在D（P）和S（P）确定情况下，可解出价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型。

某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。一般情况下，商品供给量是价格的单调递增函数，商品需求量Q是价格P的单调递减函数，为简单起见，分别设该商品的供给函数与需求函数分别为

S（P）=a+bP，Q（p）=α-βP

（4）

其中a，d，α，β均为常数，且b>0，β>0。

当供给量与需求量相等时，由（4）可得供求平衡时的价格

Pe=α-aβ+b

并称Pe为均衡价格。

一般地说，当某种商品供不应求，即SQ时，该商品价格要落。因此，假设t时刻的价格P（t）的变化率与超额需求量Q-S成正比，于是有方程

dPdt=k[Q（P）-S（P）]

其中k>0，用来反映价格的调整速度。

将（4）代入方程，可得

dPdt=λ（pe-P）

（5）

其中常数λ=（b+β）k>0，方程（5）的通解为

P（t）=Pe+Ce-λt

假设初始价格P（0）=P0，代入上式，得C=P0-Pe，于是上述价格调整模型的解为

P（t）=Pe+（P0-Pe）eλt

由于λ>0知，t→+∞时，P（t）→Pe。

说明随着时间不断推延，实际价格P（t）将逐渐趋近均衡价格Pe。这符合我们实际生活中具体事实。

作者：常在斌

微分方程模型下交通管理论文篇2：

小区结构规划与周边道路交通发展的协调性研究

摘要：文章根据小区位置、小区结构、周边道路结构以及车流量分别查找资料并选取城郊、方格式与自由式、主干道与次干道附近不同车流量背景值的小区及其相关数据，并利用前两问中建立的模型，分别定量分析各类型小区开放前后对其周边通行能力的影响，并单独对进出小区的交叉口车流进行分析；最后利用交通仿真软件模拟实际交通能力，综合考虑理论与仿真结果表明适宜开放小区类型有：郊区、方格式、次干道、低车流量。最后根据数据研究结果，从交通通行、城市规划与交通管理三个方面分别对城郊区、自由与方格、主次干道小区开放提出合理的建议。

关键词：单指标评价模型；TOPSIS评价模型；VISSIM交通仿真

一、比较各类型小区开放前后对道路通行的影响

考虑小区结构、周边道路结构及车流量对小区开放产生的结果，由于车流量与小区所在位置息息相关，因此我们选取三个指标：小区位置、周边道路结构、小区结构建8种不同类型的小区。

（一）数据选取与小区构建

1. 不同类型小区的构建

在构建小区之前，我们先确定几个参数，分别为道路网密度、道路宽度、车流密度、信号周期、绿灯时间、平均车速、最大车速以及道路长度，小区的具体构建方法见图1。

2. 具体数据采集及小区构建

根据上述参数说明以及查阅相关资料，得到不同小区类型中各参数的取值，其中四项参数在城区不同类型小区的取值如表1所示。

（二）模型求解

1. 评价体系的求解

我们分别采用道路通行能力单指标评价模型、综合评价模型以及基于模糊数学的综合评判模型对所构建的8种不同类型的小区进行开放前后的研究。三种模型所得的评价结果如表2所示。

2. 交通流微分方程模型的求解

由于已对连续交通流状况进行了研究，此处我们考虑研究间断交通流状况下的道路通行能力。通过将原始参数值代入建立的间断交通流模型，得到不同类型小区开放前后车流量函数的均值如表3所示。

（三）基于软件的模型检验

考虑到以上模型求解具有一定误差，因此我们将基本参数值导入软件进行交通仿真，得到不同类型小区开放后的仿真图以及对道路交通的影响，以位于城区临近主干道的小区为例，其开放前后的仿真结果如表4所示。

二、关于小区开放的建议

在上题中我们选取自由式靠主干道小区，自由式靠次干道小区，方格式靠主干道小区和方格式靠次干道小区四个具有代表性的小区类型进行研究，采集它们在城区和郊区的基本数据，代入模型进行求解，得到8种类型小区开放前后的道路通行能力比较，并应用软件进行交通仿真，发现结果具有较高的一致性。

最终我们从交通通行的角度，向城市规划和管理部门提出如下关于小区开放的建议：

1. 对于位于城区的方格式小区、临近次干道的自由式小区、位于郊区主干道的自由式小区与临近次干道的方格式小区，我们建议实行开放政策。

2. 对于位于城区的临近主干道的自由式小区我们建议采取不开放的政策。

3. 对于位于郊区临近主干道的方格式小区和位于郊区临近次干道的自由式小区来说，理论上是否开放对这些小区周边道路通行的影响不大，但考虑到开放带来的成本以及其他问题，我们认为一般情况下，不建议该类型的小区开放，若在个别特殊的郊区附近有较多车辆，可以进行开放。

4. 综合前面的建议和对不同类型的小区研究，我们觉得城市规划应该因地制宜，对于不同类型的小区实施不同的政策，同时可以借鉴国外的城市网络结构，综合规划城市的结构，实现城市功能的多重性，让城市内部的分类摒弃传统模式的单一化。

5. 对于那些已经开放了的小区，交通管理部门可以根据开放式小区和封闭式小区的不同指定一个新的通过小区内部的车辆行驶规范，用来约束车辆的车速，以及车载喇叭的分贝。

（作者单位：黄雅纯，南京邮电大学计算机学院软件学院；殷越铭、包晓洁，南京邮电大学贝尔英才学院）

作者：黄雅纯殷越铭包晓洁

微分方程模型下交通管理论文篇3：

交通高峰期路段交通流动力学模型

摘要：研究了交通高峰期交通流的动力学规律。为了解决交通高峰期交通堵塞的问题，从车辆数量守恒的思想出发，对交通高峰期的路段交通流规律进行了探讨，分析了交通流参数，建立了交通流运动微分方程，通过理论推导得出了路段的一维交通流动力学模型。通过仿真实验表明，此模型能反映交通流的基本特性，能够为交通部门在交通高峰期调节路网交通流提供理论依据。

关键词：交通流；动力学模型；微分方程；流体力学

Dynamical model and simulation of traffic flow of road section in rush hours

Zhang Shuijian

（Huzhou Vocational and Technical College， Huzhou， Zhejiang 313000， China）

Key words： traffic flow； dynamical model； differential equation； fluid dynamics

0 引言

随着社会经济的稳步发展、人口的持续增长和城市化进程的加快，城市机动车拥有量和道路交通流量急剧增加，交通拥堵问题日益严重，由此引发的交通安全和环境污染，已严重影响了人们的日常出行，并成为制约城市经济发展的瓶颈问题，各大城市每年都会由于车辆拥堵而造成巨大的经济损失。为了缓解城市道路交通拥堵，提高运输效率，对交通系统进行科学化的管理才是解决城市交通拥堵问题的根本途径。交通管理的研究手段主要是借助于数学方法和物理定律对交通现象和特性进行描述，简单地说就是借助数学和物理学工具建立数学物理模型，通过模型的求解和数值模拟来描述交通运输规律。

交通流理论应用数学和物理学原理对交通流的基本规律进行描述，为交通管理提供理论依据和基本方法。交通流理论研究对改善和缓解目前日益突出的交通拥挤问题具有直接的指导意义。美国学者Lighthill和Whitham（1955）首次将交通流当作一种流体进行研究[1-2]，提出了交通流流体力学理论，在同一时期，Richards也独立提出了相似的理论[3]，因此这两个理论一并称为LWR理论，此理论从宏观上描述了道路上交通流密度很大时的交通流规律，LWR理论给出的交通模型是一阶连续模型。Payne（1971）以车辆跟驰理论为出发点对交通流中的动力、加速度与惯性等因素进行了研究，第一次提出了交通流高阶连续流模型[4]。国内学者姜锐等（2000）从跟驰理论的思想出发，按照交通流研究中通常采用的微观一宏观参量间联系方法，得到一种新的动力学模型[5]。熊烈强等（2006）引入超车换道流量，通过对交通流参数的微分分析，建立了相应的交通流连续性方程[6]。许多学者从不同侧面对交通流进行了研究，提出了在一定条件下的交通流模型[7-8]。

由于实际交通流十分复杂，目前还没有学者提出通用的交通流模型。本文将从车辆数量守恒的思想出发，研究交通高峰期的路段交通流规律，给出一个交通高峰期的路段交通流动力学模型。

1 路段交通流动力学模型

众所周知，流体由分子组成。若以单个分子为研究对象，由于分子本身作随机运动，分子之间频繁碰撞，相应的物理量（如分子速度）随时间作随机变化；若观察物理量在空间不同位置上的变化，由于分子间存在空隙，物理量的空间分布是不连续的。这种由分子运动决定的物理量的随机性和不连续性，称为流体的微观特性。若将研究对象扩大到包含大量分子的流体团，按分子运动论的观点，流体团性质表现为其中所有分子的统计平均特性。只要分子数足够大，统计平均值在时间上是确定的，在空间上是连续的，称为流体团的宏观特性。

交通流也是由单个车辆组成的，不过车辆不相互碰撞，也不与路沿碰撞，且驾驶车辆的司机具有主动性，由于司机各异，所以从微观上看，车辆的行为具有随机性，但从宏观上看也与流体团的统计特性一样，具有一定的平均速度。交通流的流动不是由外力作用引起的，但有一个司机的心理压力和社会规则压力，比如车辆不能随意停在路中间，出行者也都想尽快到达目的地，我们称此压力总和为交通压力，车流正是在此压力下往前流动。

在交通高峰期车辆大都跟随行驶，不大可能超车，速度与密度满足Greedshields模型[9]，此模型速度与密度成线性关系，如图1所示。由于限速的原因，车速不可能达到畅行速度，所以从a到b之间是水平线。

图2是一个连续的路段L，两个观测点1和2相距为l，假设在路段l内没有任何其他出入口（在此路段内没有车辆产生也没有车辆消失，即车辆数守恒）。车流以流率λ进入路段，以流率μ流出路段。

交通流的变化是一个复杂的问题，用数学方法来研究它，主要是研究交通量以什么规律变化的问题，交通量的增加如何影响道路的通行能力，从而造成堵塞。设N（t）表示路段上在时刻的车辆总数，严格说来，N（t）是一个离散函数，但是一辆车的增加或减少与路段上全体车辆数相比还是可以忽略不计的，故可以近似地把N（t）当作连续可微的函数看待。

设在[t+dt]时间段内路段l上车辆的变化量为：

⑴

这个变化量为在此时间段内流入路段的车辆数减去流出路段的车辆数。

设当路段上车辆数没有达到路段的最大容量时，流入率都为λ，当路段上车辆数达到了路段的最大容量时流入率为0；流出率μ满足下式[9]：

⑵

式中vf为畅行速度，其中，为车流量密度，kj为阻塞密度。

把代入式⑵可得：

⑶

令，，则式⑶可写为：

⑷

式⑷即为交通流出率与交通量的关系式，图3为其关系图。

于是dN（t）可表示为：

⑸

⑹

可以看出式⑹为可分离变量微分方程，变式为：

⑺

其中（Nj=kjl为路段阻塞交通量）；令，则方程⑺的通解为：

⑻

式⑻中c为常数。

当在交通高峰期时，车道上的车流量都较大，一般超过，流出率μ小于μmax，当时，由式⑻可得到：

⑼

设当t=t0时，有初始条件：

则可解得：

（10）

令，把式（10）代入式⑼则可以得到：

（11）

当λ=μmax时，微分方程⑹不能由上式表示，此时由式（7）有：

（12）

方程（12）的通解为：

（13）

设当t=t0时，有初始条件：

可求得：

（14）

设

可得：

（15）

2 仿真实验及分析

为了直观地分析交通流的变化规律，本文利用德国PTV公司开发的交通流微观仿真系统VISSIM来进行仿真模拟。VISSIM是交通问题分析的常用工具，它能够分析在车道特性、交通组成等约束条件下的交通流运行情况，能够输出各种交通评价参数，如行程时间等。

取畅行速度vf为60Km/h；取阻塞密度kj为167辆/km。选取了一长350m的路段，取λ为理论最大值，即λmax=2505辆/小时，取不同的初始车辆密度，计算路段造成完全堵塞所用的时间，仿真结果如表1所示。通过仿真可以看出，就算流入率在最大的情况下，只要车辆密度在kj/2左右时能保证路段内的车辆正常流出，路段是很难造成堵塞的；而路段车辆密度超出一定数值后，造成路段完全堵塞所需要的时间成加速度减少，这就要求交通部门在交通高峰时调节车流的流入率，使路段的车辆密度不至于超过kj/2太多，否则很容易造成交通堵塞，影响居民的出行。

3 结束语

交通流动力学研究是研究交通流规律的重要研究方法。本文从车辆守恒原理的角度研究了在高峰期路段交通流的变化规律，提出了一种路段交通流动力学模型，这个模型能表征路段交通流的变化，有助于交通高峰时调节各路段的交通流量，使交通流量在路网上分布合理，不至于造成堵塞。

交通流规律是复杂的，本文主要从理论上分析了交通量对交通流的影响，高峰期车流沿着各自的车道行走相互影响规律还要进一步研究。要从根本上解决交通高峰时交通流的堵塞问题，还需要广大交通工作者从交通流理论基础方面继续努力研究、探索，建立起能正确反映交通现象本质规律的交通流理论，并将其成功应用于交通规划和交通管理中。

参考文献：

[1] Lighthill M J， Whitham G B.On kinematic waves： I. Flow

movement in long rivers. Proc Roy Soc A，London，1955.229：281-316

[2] Lighthill MJ， Whitham GB. On kinematics wave： Ⅱ A theory of

traffic flow on long crowded roads. Proc R Soc London， Ser A，1955.22：317-345

[3] Richards p I. Shock waves on the highway. Opns Res，1956.4：

42-51

[4] Payne H J. Models of freeway traffic and control. Mathematical

Methods of Public Systems，1971.1：51-61

[5] 姜锐，吴清松，朱柞金.一种新的交通流动力学模型[J].科学通报，

2000.45（17）：1895-1899

[6] 熊烈强，王要武，李杰.交通流动力学的理论、模型及应用[J]. 哈尔滨