基于数值分析的微分代数方程构建

随着社会经济飞速发展, 人们生活水平不断提高, 对文化水平的要求也不断提高。人们逐渐意识到相比起盲目追求生产时间的提高, 生产技术的进步更能有效促进生产力的发展, 而文化水平影响下相关技术的创新和发明是生产技术进步的基础。随着时代不断发展, 各种科学技术不断进步, 高新科学技术通过各种科技产品和技术的应用, 逐渐越来越深入的渗透到各行各业, 为整个世界带来了翻天覆地的变化[1]。而数学理论是一切高新科技发明创造的源泉和动力, 数学理论模型的不断完善促进了相关科技领域的发展, 也为其发展奠定了基础。但是随着市场需求的不断提高, 各行各业对数学理论模型的要求也在逐步提高, 为了适应时代发展的需要, 数学理论模型在积极促进其他领域发生变革和创新的同时, 其自身也在不断寻求完善和发展。作为数学理论模型的重要领域, 微分代数方程在现代经济文化等领域都发挥着重要作用。微分代数方程 (DifferentialAlgebraic Equations) , 是数学模型中的重要代表之一, 通常由几个微分方程和纯代数方程组成, 简称DAEs。这一数学模型由于其运用的灵活性, 目前在工程建设、生物医学甚至物理化学等领域得到了广泛应用。这一模型的应用能够显著提升计算的准确性和计算分析效率, 而且能够与其他计算方式相互融合贯通。由于具体应用方向和应用方法的不同, 根据不同准则可以对微分代数方程进行进一步细分, 例如线性微分代数方程和非线性微分代数方程, 利用系数矩阵对线性微分代数方程进行分类, 可以将线性微分代数方程进一步分为线性常系数微分代数方程 (Linear Constant Coefficients-DAE) 和线性变系数微分代数方程 (Linear Time VaryingDAE) 两类[2]。为了进一步促数学模型的发展以实现学术水平和社会科技水平的进步, 对基于数值分析微分代数方程构建进行研究。

一、微分代数方程参数设置

应用经验数据设定基础参数, 运用基于RBF的ASP生成方法对微分代数方程的参数进行优化, 从而完成微分参数方程的参数设置。首先参考相关资料。利用经验数据设定基础参数, 然后对这一基础参数进行优化。针对微分代数方程参数设置所要实现的目的对其功能框架进行模块划分, 大体可以分为三部分:插值功能、优化功能和筛选功能[3]。

通过上述流程完成对微分参数方程的参数设置, 对其功能模块进行具体阐释:插值功能模块的主要作用是将经验数据和当前参数设置代入公式进行计算, 得到当前最优解的估计值, 在这一步骤中, 经验参数的选取至关重要, 过大或者过小的参数设置都会严重影响数值的准确性;优化功能模块的主要作用是将插值模块得到的前最优解的估计值作为初始值, 使用求解器进行进一步优化, 从而进一步提高数值准确度;筛选功能模块的主要作用是评价当前数据的准确度, 对合乎要求的数据进行记录, 不合乎要求的数据进行继续优化, 以防止干扰后续计算。

二、微分代数方程优化

在设置参数的基础上, 运用正交配置离散化方法对微分代数方程进行进一步优化。

为了进一步优化微分代数方程, 采用正交配置离散化方法对微分代数方程进行处理。常见的正交配置方法包括Gauss正交配置法、Radau正交配置法和Lobatto正交配置法等, 这些方法各有其优势和弊端。

本文采用Lobatto正交配置方法进行微分代数方程的优化[4]。使用这种方法时, 有限元的第一个和最后一个正交配置点恰好位于前端点和后端点, 一方面能够省略连接方程, 另一方面可以保证数据的连贯性。因而出于计算的准确性和计算效率考虑, 相比其余两种方法, 这种正交配置法更符合本文设计的需求。对微分代数方程进行离散主要是为了将DAE的优化问题转化为NLP问题。

为了与上文的参数设置相配合, 采用配置法中的RBF方法进行方程的离散。结合RBF方法和Lobatto正交配置方法完成对微分代数方程的正交配置离散化。

三、微分代数方程求解方法设计

针对进行优化后的微分代数方程, 采用联立求解算法体系设计微分代数方程的求解方法[5]。在实际应用微分代数方程时, 求解的准确度和效率是考核整个方程实用性的重要要素。因此除了对微分代数方程进行设计外还需要对其求解方法进行相应设计。而联立求解算法的提出为求解方法的设计提供了新的思路。联立求解算法提出于20世纪70年代, 为各领域问题的解决做出了杰出贡献。

使用联立求解算法体系进行微分代数方程求解方法的设计, 一方面有助于提高微分代数方程求解的速度, 另一方面有助于提高微分代数方程求解的准确度。通过上述过程, 实现微分代数方程的求解方法设计。本文应用经验数据设定基础参数, 运用基于RBF的ASP生成方法对微分代数方程的参数进行优化, 从而完成微分参数方程的参数设置;在设置参数的基础上, 运用正交配置离散化方法对微分代数方程进行进一步优化;针对进行优化后的微分代数方程, 采用联立求解算法体系设计微分代数方程的求解方法, 实现了基于数值分析的微分代数方程构建。

四、结束语

微分代数方程在工程建设、生物医学甚至物理化学等领域都发挥着至关重要的基础性作用, 其本身的发展完善必然带动相关领域的变革创新, 对整体社会学术水平的提升乃至生产科技水平的提升都发挥着重要作用。本文设计了基于数值分析的微分代数方程构建方法。希望本文的研究能够为基于数值分析的微分代数方程构建提供理论依据。

摘要：随着时代飞速发展, 科学技术水平不断提高, 各种高新科技的应用促进着各行各业的发展, 而这些高新科技的产生和运用都需要相应数学理论的支撑。数学理论和计算方式不再仅仅局限于学术领域的相关研究, 其发展和创新都深刻影响着工程建设、生物医学甚至物理化学等领域的变革, 更为科学精确的数学理论能够有效促进相关领域的进一步完善发展, 促进社会生产力水平和科技水平的提高。微分代数方程是数学理论中的重要组成部分, 具有广泛应用前景, 对其进行深入研究具有深远现实意义。因此, 对基于数值分析的微分代数方程进行构建, 应用经验数据设定基础参数, 运用基于RBF的ASP生成方法对微分代数方程的参数进行优化, 从而完成微分参数方程的参数设置;在设置参数的基础上, 运用正交配置离散化方法对微分代数方程进行进一步优化;针对进行优化后的微分代数方程, 采用联立求解算法体系设计微分代数方程的求解方法, 实现基于数值分析的微分代数方程构建。

关键词：数值分析,微分,代数,方程构建

参考文献

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[5] 李艳, 李葆华.基于计算机模拟的葡萄酒色斑激光热疗中喷射冷却机理的数值分析[J].激光与光电子学进展, 2017, 19 (2) :226-233.