高一数学教案不等式

高一数学教案不等式（共9篇）

篇1：高一数学教案不等式

不 等 式

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

（1）对称性：a>bb

（2）传递性：若a>b，b>c，则a>c；

（3）可加性：a>ba+c>b+c；

（4）可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac

不等式运算性质：

（1）同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；

（2）异向相减：ab，cdacbd.（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

（4）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则anbn；

（5）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则ab；

（6）倒数法则：若ab>0，a>b，则

2、基本不等式

定理：如果a,bR，那么a21a1。bb22ab（当且仅当a=b时取“=”号）

abab（当且仅当a=b时取“=”号）推论：如果a,b0，那么

2ab算术平均数；几何平均数2

推广：若a,bab； a2b2ab20，则ab1122ab

当且仅当a=b时取“=”号；

3、绝对值不等式

（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；

｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。

（2）||a||b|||ab||a||b|

4、不等式的证明：

(1)常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；

(2)在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

(3)证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

5、不等式的解法：

（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：

a0或a0检验； ax+bx+c>0对于任意的x恒成立2b4ac0

2a0或a0检验 ax+bx+c<0对于任意的x恒成立2b4ac02

（2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系

① 求一般的一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的解集，要结合ax2bxc0的根及二次函数yax2bxc图象确定解集．

② 对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解按照0，0，0可分为三种情况．相应地，二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集，列表如下：

含

参数的不等式

应适当分类讨论。

6、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：

（1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

az（3）由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－x＋，所以，求z的最值可看成是bb

az求直线y＝－x＋在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化bb

而变化）。

（4）作平行线：将直线ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行线），使直线与z可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点b的坐标。

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。

7、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0． ①若 0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方． ②若 0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．

8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．

yC0表示直线xyC0上方的区域；①若 0，则x

xyC0表示直线xyC0下方的区域．

yC0表示直线xyC0下方的区域；②若 0，则x

xyC0表示直线xyC0上方的区域．

9、最值定理

设x、y都为正数，则有

s

2⑴ 若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．

4⑵ 若xyp（积为定值），则当xy时，和x

y取得最小值 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”

注意：一正、二定、三相等

篇2：高一数学教案不等式

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)ax2bxc(a0,xR),有

1）f(x)0对xR恒成立a0;

0a0xR2）f(x)0对恒成立.0例1：若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R，求m的范围。例2 设函数f(x)＝mx-mx-1．

(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）f(x)a恒成立af(x)min 2）f(x)a恒成立af(x)max

2例

1、若x2,2时，不等式xax3a恒成立，求a的取值范围。

例2．设f(x)x22mx2，当x[1,)时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。

x22xa,x[1,)，若对任意x[1,)，f(x)0恒成巩固．已知函数f(x)x立，求实数a的取值范围。

练习1：若不等式x22mx2m10对满足x[0,1]的取值范围。的所有实数x都成立，求m练习2 已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)2恒成立，求a的取值范围.三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max 2）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max

x2x例3．已知x,1时，不等式12aa40恒成立，求a的取值范围。



巩固 已知函数f(x)ax围。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

4xx2,x(0,4]时f(x)0恒成立，求实数a的取值范例1．对任意a[1,1]，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围。

22.若不等式2x1mx1对满足m2的所有m都成立，求x的取值范围。

四、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；

2）f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。

例.设f(x)的取值范围.ykx3k的图象位于函数f(x)例2 已知函数f(x)|x24x5|，若在区间[1,5]上，x24x , g(x)4x1a,若恒有f(x)g(x)成立,求实数a3的上方，求k的取值范围.练习已知函数f(x)|x24x5|，若在区间[1,5]上，yk(x3)2的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围

由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。综合练习;例6

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若f(m)f(n)0mnm,n[1,1],mn0时，若f(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒成立，求实数t的取值范围.课后作业: 若不等式|x1||x2|…a对任意xR恒成立，则a的取值范围是．

篇3：高中数学不等式解法探讨

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号 (“>”、“<”等符号) 连接的两个数或代数式, 并表示它们之间不等的关系, 这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种:

1.一元一次不等式:含有一个未知数并且未知数的 最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式:含有一个未知数并且未知数的 最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式:含有两个未知数且未知数的最 高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式:未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式:含有分式且分母中含有未知数的不 等式.

6.无理不等式:含有根号且根号中含有未知数的不等 式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

当a<0时, 可以在不等式的两边同时乘以-1, 从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

在用这种方法解不等式时, 首先要求不等式的右边为零, 左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小, 在线轴上标根时要考虑根的大小, 而不是根的距离;其次曲线要从左上方开始;最后遇到重根时, 奇次重根则要穿透线轴, 偶根穿而不透, 做到“奇穿偶回”.写不等式解集时, 应做到:遇“=”取根, 无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式, 都应通过变形将其变为“左边分式, 右边为0”的形式.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知, 解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号, 一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

(1) 平方法

当不等式两边都是非负数时, 可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

三、结语

为了提高不等式教学的效果, 教师在教学过程中要做到以下几点: (1) 明确教学目标.让学生通过学习感受现实世界的不等关系, 理解不等式所表达的意义[5].具体教学目标是:要求学生学会解一元二次不等式, 并能运用不等式知识解决一些实际问题;其次能够刻画简单的函数图像和线性规划.根据要求掌握不等式的教解方法; (2) 树立新的教学思想, 转变过去“填鸭式”的教学方法, 以启发性教学为主, 培养学生解决问题的能力; (3) 注重数形结合方法的运用.数与形是数学学习的必备工具, 通过数形结合来处理数学问题, 可以将抽象问题具体化.如在讲解“不等式的解法”中, 采用与函数图像相结合的方法, 画出不等式的解集.借助几何图形帮助学生具象地了解不等式的背后的关系[6]. (4) 注重数学思想在不等式教学中的运用.因为数学思想是对数学知识理性的、本质的、高度概括的认识, 对数学教学具有指导意义.

相信通过教师不断地探索不等式的教学方法, 可以很好地帮助学生学习和掌握不等式知识.

参考文献

[1]韩瑞.高中数学新课程中“不等式选讲”专题有效教学策略研究[D].兰州:西北师范大学, 2011.

[2]刘瑞.在不等式教学中渗透数学思想[J].新课改革, 2011 (6) :456.

[3]王铭炜.建构观下的中学数学教学研究[J].长沙:湖南师范大学, 2012.

[4]庄梅, 潘振嵘.高中新课程集合与不等式教学刍议[J].中学数学月刊, 2010 (6) :245-255.

[5]梁松林.关于高中数学不等式教学的几点建议[J].新课程学习, 2011 (1) :12.

篇4：高一数学教案不等式

关键词：高中数学；不等式教学；数学思维

高中数学是高中生学习的重要基础课程，而不等式教学是高中数学教学的重点和难点，因此，高中数学教师在教学过程中，要加大对不等式教学的研究力度，更新自身的教学观念，采用先进的教学模式，不断提高高中数学不等式教学水平。对于不等式教学环节，教师可以采用模块化教学方式，通过数学思维的渗透，来提高学生的数学思维能力，从而激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到高中数学不等式教学活动中，下面就高中数学不等式教学的数学思维进行分析。

一、高中数学不等式教学的数学思维方法

数学思维方法是通过数学思维让学生认识到数学知识结构的核心，帮助学生理解数学知识，在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合、函数方程、数学模型、化归、递推等几种情况，这些数学思维方法是高中数学教学中不可缺少的一部分。由于数学思维方法同换元、代人等数学基本方法不同，数学思维方法需要从数学知识中进行归纳，并在实践中应用，因此，教师在进行高中数学知识讲解时，要注重数学思维的渗透，从而有效地提高学生的数学思维能力。

不等式教学是高中数学教学的重要内容，是解决数学问题的基础工具，在进行不等式知识考查时，有间接考查和直接考查两种方法，间接考查是指结合函数、几何、数列等知识对不等式知识的应用进行考查；直接考查是指通过选择题、填空题等形式对不等式知识进行考查。因此，教师在进行高中数学不等式教学时，不仅要注重不等式知识与其他知识的交汇，还要注重培养学生的数学思维能力，提高学生运用数学思维解决不等式问题的能力，从而有效地提高学生的数学素质。

二、数学思维在高中数学不等式教学中的渗透

在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合思维、函数方程思维、化归思维、分类讨论思维等，在进行高中数学不等式教学时，教师要灵活的应用这些数学思维方法，从而有效地提高高中数学不等式解题灵活性，提高学生解决不等式问题的能力。

1、数形结合思维。在高中数学中，“数”和“形”是最重要的支柱，数形结合思维就是在解决数学问题时，用“数”解“形”，用“形”得“数”，从而达到解决数学问题的目的。在高中数学教学中，数形结合思维贯穿于整個数学教学活动，如数轴、三角法、图解法、复数法等都是数形结合思维的应用，通过数形结合思维能简化复杂的问题，将抽象的问题具体化，从而快速的解决数学问题。在进行数学教学时，教师要充分利用图像、图形，帮助学生理解不等式的相关知识概念，让学生通过“数”与“形”的对应，灵活的处理不等式问题，有效地提高高中数学不等式教学效果。

2、函數方程思维。函数方程思维是指在进行不等式教学时，对于某些问题可以构建相应的函数或者方程，将不等式问题转换为函数问题或者方程问题。例如教师在教学过程中，可以将不等式看成两个函数值的不相等关系，利用方程f（x）=0求解函数v=f（x）的零点，通过方程学生就能发现不等式和函数的单调性有很大的关系。在采用函数方程思维进行高中数学不等式教学时，教师要让学生明白函数和方程是两个不同的概念，两者存在一定的差别，如函数有定义域、值域、对应关系，并且x、y在函数中是从属关系，而在方程中，x、v是平等关系。学生只有明白函数和方程的差别，才能在“函数一图像一方程一解方程”和“方程跟一函数图像”的转化中应用自如。函数方程思维的本质是数学知识的转换，通过函数方程思维能加深学生对数学知识的理解，有助于学生数学能力的提高。

3、化归思维。化归思维是指利用现有的知识，对问题进行观察、类比、变化、转化，将问题变成已只掌握的知识，从而解决问题，化归思维是从事物相互联系和制约的角度进行问题处理的，当学生掌握了化归思维后，能轻松的将各种问题转换为简单、已知的问题。教师在进行高中数学不等式教学时，通过化归思维，能帮助学生将不等式问题转换为已经掌握的问题，从而有效地提高学生解决不等式问题的能力。

4、分类讨论思维。分类讨论思维是根据对象本质的差异性，对数学对象进行分类，帮助学生理解数学知识的一种思维。在高中数学不等式教学中，采用分类讨论思维，能有效地提高学生理解知识、总结知识的能力，能帮助学生建立完善的数学知识结构。

三、结语

高中数学是学生系统的学习数学知识的重要阶段，对学生的全面发展有十分重要的意义，不等式是高中数学的重要教学内容，贯穿于高中数学各个环节，在高中数学不等式教学中，教师要特别注重数学思维方法的应用，从而有效地激发学生学习兴趣，提高学生的数学思维能力，提高学生解决不等式问题能力，促进学生综合素质的提升。

记住你是个女孩，努力是你的象征，自信是你的资本，微笑是你的标志，你要奋斗的不是在一个男人面前委曲求全让他看到你的努力，而是好好努力并且等待数年后那个单膝跪地给你无名指戴上戒指的男人。想要别人爱你，前提是先好好爱自己。

篇5：高一不等式练习题

一、选择题

1．若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是()(A)ac＞bc(B)|a＋c|＞|b＋c|(C)a2＞b2(D)a＋c＞b＋c 2.设a＞1＞b＞－1,则下列不等式中恒成立的是()A．

1a1b

B．1a1

bC．a＞b2D．a2＞2b

3.设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()（A）6（B）42（C）22（D）26 4.函数ylogx(1x)x的定义域是()

A(1,1]B(0,1)C(1,1)D(0,1]

5.使“ab0”成立的充分不必要条件是()A.a2b2

0B.5a5b

C.a1b1D.log2alog2b

6．函数y＝log1（x＋

-1）（x > 1）的最大值是（）

x1

A．－2B．2C．－1D．1

7.函数f(x)x22x2

x1

(x3)的最小值是()

A.2B.22C.52D.103

8.如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()(A)(,2](B)(,2)(C)(2,2](D)(－2,2)

9.不等式

xx

x31

0的解集为()A {x0x1} B {x0x1}C {xx0}D {x1x2}

10.已知a2,Pa

a2，Qa24a,则P,Q的大小关系是（）A.PQB.PQC.PQD.PQ

二、填空

1．当0x

2时，函数f(x)1cos2x8sin2x

sin2x的最小值是________

2.已知正数x、y满足

8x1

y

1，则x2y的最小值是___________ 3.不等式

x21

2x

0的解集是__________________4．二次方程x2＋(a2＋1)x＋a－2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a的取值范围是_________

5.已知1xy1,1xy3，求3xy的取值范围___________

6.．设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0 的解集为，则不等式f(x)·g(x)>0的解集为___________

三、计算题 1．解不等式5x

x2

2x3

1

2．已知函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围。

3.已知集合Ax|x25x40

与Bx|x2

篇6：初中不等式数学教案

2012届毕业生

摸拟实习教案

姓 名：马 泽

院 系：数 学 系

专 业：数 学 教 育

学 号：200930412031 指导教师：黄 激 珊

时间：2011年12月18日

第九章

不等式与不等式组

9.1

不等式

第一课时

9.1.1

不等式及其解集

教学目标：让同学们理解不等式及其解集的概念和表示方

法，同时对一元一次不等式的理解。

教学重点：不等式的表示方法和不等式解集的表示形式。教学难点：在实际应用中不等式所满足的条件及其解集的表

示。

教学用具：直尺。

复习导入：复习一元一次方程。教学过程：

一、提出问题：

一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，要在12:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？

二、分析问题：

解：设车速是x千米/时。

从时间上看，汽车要在12:00之前驶过地，则以2502这个速度行驶50千米所用的时间不到小时，即 ①3x3 从路程上看，汽车要在12:00之前驶过地，则以22x这个速度行驶小时的路程要超过50千米，即50 ②33

式子和从不同的角度表示了车速应满足的条件。

三、归纳定义：

1、不等式：像和这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式。

但是，像a+2a-2这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。这是同学们应该注意的。注意：（1）不含未知数的不等式 例如：34，-1-2（2）含有未知数的不等式5022x 例如：,50x33（3）怎样才能明确未知数满足的条件呢？2x 例如：5032x 当x78时，50;32x 当x75时，50;32x 当x72时，50.3

2x对上面的问题而言，当x取某些值（如78）时，不等式50成立；32x当x取某些值（如75,72）时，不等式50不成立。3

2、不等式的解：与方程类似，我们把不等式成立的未知数的值叫 做不等式的解。2x2x 例如：78是不等式50的解，而75和72不是不等式50的解.33

2x思考：判断下列数中哪些是不等式50的解？376，79,73，80,74.2,75,90,63

你还能最找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？2x从以上的思考可以发现，当x=75时，不等式50成立，而当x7532x或x=75时，不等式50不成立。3

这就是说：任何一个大于75的数都是不等式2x50的解，这样的解有无数个。

33、解的集合：能使不等式成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集。

2x例如：50的解集表示为：x75.这个解集还可以用数轴来表示：3

图9.1-1 原点①数轴正方向 ② 实数与点一一对应单位长度

用数轴来表示解集应注意得到问题：

（1）在表示75的点上画空心圆圈，表示不包含这一点。

（2）若画的是实点，则包含这个点。如x≥3 4

图9.1-2

(3)一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

（4）求不等式的解集的过程叫做解不等式。

4、一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知

数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

2x例如：50是一个一元一次不等式。3 同学们还能举出一些一元一次不等式的例子吗？250,7x14,2x423x250注意：中的x在分母位置，这个不等式不是一元一次不等式。3x

四、练习训练：

1、下列数值哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？-4，-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,9,12,16.2、用不等式表示：

（1）a是正数；

（2）a是负数；

（3）a与5的和小于7；

（4）a与2的差大于-1；（5）a的4倍大于8；

（6）a的一半小于3；

3、直接求出不等式的解集：

（1）x+3>6；(2)2x<8；(3)x-2>0.五、回顾总结：

1、不等式  不等式的解  解的集合  表示方法（数轴）

2、一元一次不等式；理解概念。

六、作业布置：

篇7：高三数学教案：不等式的应用

一、内容归纳

1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决.3思维方式: 合理转化；正确应用基本不等式；必要时数形结合.4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立.二、例题选讲

题型

1、不等式在方程、函数中的应用。例

1、P96 函数y2axb的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。

x21小结：本题用的是判别式法的思想 练习：P96深化拓展

练习：若关于x的方程4a2a10有实根,求实数a的取值范围。

xx4x1(2x1)22(2x1)22x解：ax212222 x212x121题型2：不等式在几何中的应用 例

2、用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直怎样围法，直三棱柱的空间最大？这个最大值是多少？ 解：如图：A—CC1---B是二墙面所成直二面角, CC1面ABC VABCA1B1C1AB2CC11AC2CB2ACCBCC1CC1（AC=CB时取”=”）244a2b当AB=a,AA1=b时，V1

4b2a当AB=b,AA1=a时，V2

4a2b因此，所围成直三棱柱的底面是等腰Rt，高等于b时，这柱体的体积有最大值.4题型

3、建立函数关系式，利用均值不等式求最值。例3，已知a>0,求函数yx2a1xa2的最小值。

cm，画面的宽与高的比为(1)，画练习：.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果[,]，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

2解：设画面的高为xcm，宽为xcm，则x4840，设纸张面积为S，则有

2334S(x16)(x10)

x2(1610)x16050004410(85时，S取最小值，此时，高x8

5)6760，当且仅当85时，即

484088cm，宽x58855cm.823342312, 34如果[,]，则上述等号不能成立.现证函数S()在[,]上单调递增.设

2334则 S(1)S(2)4410(81518252)4410(12)(8512)，因为12255又120，所以S(1)S(2)0，故S()80，3812在[,]上单调递增，因此对[,]，当233423342时，S()取得最小值.3[思维点拔] 用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.题型

四、综合问题 P96 例3 已知函数f(x)ax2bxc(a0且bc0)（1）若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解折式；

（2）今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在X轴上截得的弦的长度为L且0l2，试求f(x)的解折式。

解：P96

三、小结

1、要善于用不等式的知识解决一些表面上非不等式的问题；

2、使用不等式的有关性质、定理、结论时一定要准确到位，尤其是使用基本不等式求最值时，一定要检验等号能否成立。

篇8：用数学思想方法解决不等式难题

一、运用分类与整合思想解决不等式难题

当数学问题的对象不能进行统一研究时, 就需要对研究的对象进行分类, 然后对每一类分别研究, 给出每一类的结果, 最终综合各类结果得到整个问题的解答, 这种思想方法就是分类与整合思想.运用分类与整合思想时, 一要确立分类意识, 即遇到应该分类的情况, 是否想到要分类, 什么样的问题需要分类;二要知道如何分类, 即要科学地分类, 分类标准要统一, 不重不漏;三要明确分类之后解题如何展开, 对多级讨论, 应逐级进行, 不能越级;四要进行有机整合.

例1解关于x的不等式ax2- (a+1) x+1≤0 (a≥0) .

分析求不等式解集必须先求方程的根, 可分a=0和a>0两种情况讨论, 在a>0时, 要对两根的大小进行分类讨论.

解若a=0, 则原不等式为-x+1≤0, 解集为{x|x≥1};若a>0, 则原不等式等价于当a=1时, 原不等式等价于 (x-1) 2≤0, 解集为{x|x=1};当a>1时, 原不等式解集为当0

综上所述, 当a=0时, 解集为{x|x≥1};当01时, 解集为

二、运用函数思想解决不等式难题

将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数, 结合初等函数的图像与性质加以分析、转化, 解决有关求值、解 (证) 不等式、解方程以及讨论字母系数的取值范围等问题的思想方法, 叫函数思想.

例2若x≥0时, 关于x的不等式x2-2x+a>0恒成立, 求a的取值范围.

分析题意相当于已知不等式x2-2x+a>0解集为{x|x≥0}, 求字母系数a的取值范围, 如果再去解不等式就会进入解题误区.

解变换思维角度, 分离参数a, 可得a>-x2+2x, 令y=-x2+2x, 则该不等式等价于a>ymax, 从而将解不等式问题转化为当x≥0时, 求函数y=-x2+2x的最大值问题, 而x≥0时, y=-x2+2x=- (x-1) 2+1, 故当x=1时, ymax=1, 从而a>1.

三、运用方程思想解决不等式难题

将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决的思想方法叫方程思想.

例3若关于x的不等式ax2+bx-2≥0解集为[1, 2], 求a, b的值.

分析已知不等式ax2+bx-2≥0的解集, 便知方程ax2+bx-2=0的两根.因此, 变换视角, 将不等式问题转化为方程的根与系数关系问题, 运用方程思想容易得解.

解:由已知, 关于x的不等式ax2+bx-2≥0解集为[1, 2], 可得a<0, 且方程ax2+bx-2=0的两根为1和2, 故由方程的根与系数关系知, 解得a=-1, b=3.

四、运用变换与转化思想解决不等式难题

等价转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化, 把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题.转化的主要方式有: (1) 等价转化; (2) 空间图形问题转化为平面图形问题; (3) 局部与整体的相互转化; (4) 特殊与一般的转化; (5) 非等价转化; (6) 换元、代换等转化方法的运用; (7) 正与反的转化; (8) 数与形的转化; (9) 相等与不等的转化; (10) 常量与变量的转化; (11) 实际问题与数学语言的转化等.

例4对于满足|a|≤2的所有实数a, 求使得不等式x2+ax+1>2x+a恒成立的x的取值范围.

分析如果把不等式看作是关于x的二次不等式, 则求解过程极为烦琐.如果变换主元, 把不等式看作是关于a的一次不等式, 则可简化求解过程, 这就是变量与常量的转化.

解|a|≤2即-2≤a≤2, 视a为主元, 把不等式化为 (x-1) a+ (x-1) 2>0, 令f (a) = (x-1) a+ (x-1) 2 (-2≤a≤2) , 该不等式在-2≤a≤2上恒成立等价于-2≤a≤2时, f (a) min>0.而f (a) 为一次函数, 它在-2≤a≤2上的图像为一条线段, 由一次函数的单调性知, f (a) 的最小值不是在线段的左端点取到, 就是在线段的右端点取到, 故f (a) min>0等价于解得x<-1, 或x>3, 故x的取值范围是{x x<-1, 或x>3}.

五、运用数形结合思想解决不等式难题

数形结合思想, 就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法, 通过“以形助数, 以数解形”, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 有助于把握数学问题的本质, 它是数学的规律性与灵活性的有机结合.数形结合的途径: (1) 通过坐标系形题数解. (2) 通过转化构造数题形解.

例5设f (x) =x2-2ax+2, 当x∈[-1, +∞) 时, f (x) >a恒成立, 求a的取值范围.

解f (x) >a在x∈[-1, +∞) 上恒成立

⇔x2-2ax+2-a>0在x∈[-1, +∞) 上恒成立

⇔函数g (x) =x2-2ax+2-a的图像在x∈[-1, +∞) 时位于x轴上方.

如图两种情况, 不等式的成立条件是:

(1) Δ=4a2-4 (2-a) <0⇔a∈ (-2, 1)

综上所述, a∈ (-3, 1) .

六、运用整体思想解决不等式难题

某些相对复杂的数学问题, 如果从它的各个组成部分逐一分析, 有时能找到解题途径.而有意识地拓宽问题的视角, 将待解问题看作一个整体, 通过研究问题的整体形式与结构, 做某种整体处理, 往往能化难为易, 化繁为简, 化未知为已知, 从而达到巧解问题的目的.这种从整体出发研究问题的过程, 心理上称之为整体思维, 它是一种较高级的思维方式, 具有简约性和跳跃性等特征.而整体思想就是从问题的整体性质出发, 突出对问题的整体结构的分析和改造, 发现问题的整体结构特征, 善于用“集成”的眼光, 把某些式子或图形看成一个整体, 把握它们之间的关联, 进行有目的的、有意识的整体处理.

例6已知1≤a-b≤2 (1) , 且2≤a+b≤4 (2) , 求4a-2b的范围.

分析如果单独考察个体a, b的范围, 较易出错.而注意各部分之间的整体表示, 容易得解.

错解由

由 (3) ×4+ (4) × (-2) 得:3≤4a-2b≤12.

这个答案是错误的, 产生错误的原因是单独求a与b的范围时采用了非同解变形, 扩大了a与b的取值范围, 从而造成错误.

正解视a-b与a+b为整体, 设4a-2b=m (a-b) +n (a+b) , 则4a-2b= (m+n) a+ (n-m) b, 故m+n=4, n-m=-2, 解得m=3, n=1.

即4a-2b=3 (a-b) + (a+b) , 由 (1) (2) 知:3≤3 (a-b) ≤6, 2≤a+b≤4.

故5≤3 (a-b) + (a+b) ≤10, 即5≤4a-2b≤10.

篇9：高中数学不等式解法探讨

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0