角的相关计算和证明

角的相关计算和证明（精选8篇）

篇1：角的相关计算和证明

角的相关计算和证明

学生做题前请先回答以下问题

问题1：看到平行想什么？ 问题2：看到垂直想什么？

问题3：看到三角形的外角想什么？ 问题4：看到三角形的内角想什么？

角的相关计算和证明

（一）（人教版）

一、单选题(共7道，每道14分)

1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为()

A.80° B.107° C.73° D.100°

2.如图，直线BD∥EF，AE交BD于点C，若∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为()

A.60° B.75° C.90° D.105°

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC边上一点，BE交AD于点F．∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，则∠BEC的度数为()

A.85° B.105° C.100° D.90°

4.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，则∠E=()

A.60° B.75° C.90° D.105°

5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为E，F，若∠ADE=158°，则∠FEC的度数为()

A.22° B.32° C.44° D.58°

6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．若∠A=70°，则∠D的度数为()

A.110° B.140° C.125° D.135°

7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M． 若∠ACB=70°，∠B=40°，则∠M的度数为()

A.20° B.15° C.35° D.25°

篇2：角的相关计算和证明

特殊的四边形在生活中有非常广泛的应用，也是现行教材中的一个重点和难点。学生在运用特殊四边形的性质，特别是构造四边形来解决有关的计算，证明问题时，存在严重缺陷。我认为构造特殊的四边形来解决相关问题时，能够另辟佳径,减少繁难的计算和证明，同时能够开阔学生视野,增强学生观察图形，分解图形，构造基本图形的能力。

一、数形结合，巧妙构造特殊的四边形。

1、如图,点A、B是反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上两点,过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线，垂足分别为C、D,AC、BD交于点F,则（）：AS△ADE>S△BECBS△ADE=S△BECCS△ADE

法确定解析：过点A作AM⊥y轴，过点B作BN⊥x轴，垂足分别为M、N,则S矩形AMOC=S矩形BNOD

矩形BNCE,=k ,即S矩形MADE=S矩形BNCE，又S△ADE= MADE，S△BEC=S

S2矩形∴S△ADE=S△BEC。解决此类问题一般的同学采用参

数法通过计算三角形的面积来解，计算量比较大，同时引入的参数个数也别较多，给学生造成较大的障碍，而我们采用数形结合，转化的思想，利用矩形的性质就很巧妙地加以解决。

二；培养数感，从直觉出发，构造特殊的四边形。

2，如图，AB=8，DB⊥AB，EA⊥AB，BD=6AE=12，点M是DE的中点，求BM的长。

解析：AE和BD的位置关系为平行，数量关系为BD=6，AE=12，BD=AE，延长DB至F点，使DF=12,连接EF、AD，则四边形ADFE是平行四边形。MB

分别是DE DF的中点，∴BM=EF,EF=AD，通过勾股定理可求出AD，从而解决BM长的计算问题。

我们利用学生对数字的敏感程度，对图形中相应边的位置关系和数量

关系进行分析，利用我们的直觉来构图，同时进行思维的发散，通过构造平行四边形将边的关系进行转化，联系三角形的中位线和勾股定理来进行计算。这是一道解法灵活多变的综合性较高的习题，学生没有现成的模式

可以套用，也不能简单依靠知识的叠加来实现解题，需要进行细致的观察。对数学敏感的程度和较好的构造图形的能力。．．．．．．．．．．．．．

121

2练习：如图所示，已知六边形ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=

∠F=120°, AB=10㎝，BC=70㎝，CD=20㎝，DE=40㎝。求AF、EF的长度。

解析：延长FA、CB交于点P ,延长FE、CD交于点Q,△APB △DEQ

均为等边三角形，从而可以证明四边形PCQF为平行四边形，利用方程思想可求出AF、EF的长。

三：生活问题数学化，建立数学模型，构造特殊的四边形。

E

F

B G

C4、如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC BA∥DE BD∥AE EC⊥BC,甲乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F,乙乘2路车，路线是B→D→C→F,假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由！

解析：1路车路程：BA+AE+EF ,2路车路程：BD+DC+CF,谁先到达F站，即比较BA+AE+EF与BD+DC+CF的大小。延长ED交BC于G点，则四边形ABGD为平行四边形，∴DG=AB 又四边形ABDE是平行四边形 ∴DE=AB ∴D为直角三角形ECG斜边上的中点 ∴CD=DG=AB, ∵DF∥CG,D为EG的中点∴EF=CF ∴1路车2路车同时到达F站.这是一些立意新颖的情景性习题，充满浓厚的生活气息，它强化了学生对文字、图形、符号语言的理解，并能将生活实际问题纯数学化，建立相应的数学模型，来解决问题。它让学生感受到数学来源于生活，又能指导我们的生活生产。从而培养学生运用数学的意识，体现数学在生活中的价值，同时体验成功的快感，感觉学有所获。

四：构造特殊的四边形解决探究性问题

D5、如图，E是平行四边形ABCD边DC的延长线上的一点，且CE=DC=AC，连AE分别交BC、BD于F、G，连AC交BD于点O，则下列结论：（1）AE⊥BC（2）AB=2OF（3）S△CEF=S平行四边形ABCD（4）四边形AOFB为等腰梯形，其中正确的是＿＿＿，若将条件改为CE=CD，那么正确的结论呢？

解析：连接BE，则四边形ABEC为菱形。∴AE⊥BC,F为BC中点 ∵O为AC中点 ∴S△CEF =S△ABC=S平行四边形，而（4）只有在AB=AD时

才成立。

我们设计一些探究性练习，给学生提供资助探索的机会，使其经历观察 实验 猜想 证明 比较 推理 反设 验证 等数学思考，体验数学问题的探索性和挑战性，培养提高学生的探究能力，并通过变换命题，变换条件，变换图形来引发学生的认知冲突，从而进一步探索新问题，发现新见解。

篇3：角的相关计算和证明

关键词：线线垂直,线面垂直,面面垂直,变式

一、平面和平面垂直的证明技巧

例1在三棱锥P - ABC中, PA = PB = PC, ∠ABC =90°, 求证: 面PAC⊥面ABC.

分析要证明面面垂直, 先从线线垂直入手, 再证明线面垂直, 最后得到面面垂直. 第一步是如何作辅助线, 得到线线垂直?

证明分别取AC, BC的中点E, F, 连接PE, EF, PF.

∵PA=PB, E为AC的中点,

∴PE⊥AC.

∵ 在ABC中, E, F分别是AC, BC的中点,

∴ EF∥AB, ∴ BC⊥EF,

又∵ PB = PC, F为BC的中点, ∴ PF⊥BC,

而∵ PF∩EF = F, ∴ BC⊥面PEF. 即有BC⊥PE.

由PE⊥AC, PE⊥BC, AC∩BC=C, ∴PE⊥面ABC,

∵PE 面PAC, ∴面PAC⊥面ABC.

2. 如图, M, N, K分别是正方体ABCD - A1B1C1D1的棱AB, CD, C1D1的中点. 求证: 面A1B1C1⊥面A1MK.

分析先找出两个平面, 分析证明哪两条线线垂直比较合理且容易做辅助线? 这里通过证明MK垂直于面A1B1C中的两条交叉线获得线面垂直.

证明连接BC1, 在正方体ABCD - A1B1C1D1中, AB∥C1D1, AB=C1D1.

∵ M、K分别为AB、C1D1的中点, ∴ BM∥C1K, BM =C1K, ∴ 四边形BC1KM为平行四边形, ∴ MK∥BC1.

在正方体ABCD - A1B1C1D1中, A1B1⊥ 面BB1C1C, BC1面BB1C1C, ∴ A1B1⊥BC1.

∵ MK∥BC1, ∴ A1B1⊥MK.

∵ BB1C1C为正方形, ∴ BC1⊥B1C, MK⊥B1C.

∵A1B1面A1B1C, B1C 面A1B1C, A1B1∩B1C=B1,

∴MK⊥面A1B1C,

∵ MK 面A1MK, ∴ 面A1B1C1⊥面A1MK.

二、平面和平面垂直的变式计算技巧

例2把等腰直角三角形△ABC沿着斜边AC旋转到ACP的位置, 使得PB = AB, 求二面角B - PC - A的余弦值.

分析这是一个空间角的计算, 先想办法将其转化为一个三角形的内角.

解取PC的中点G, 连接EG, BG, BE.

∵EG为CPA的中位线, ∴EG∥PA.又∵PA⊥PC, ∴EG⊥PC.

∵ BP = BC, G为PC的中点,

∴ BG⊥PC, ∴ ∠EGB为所求二面角B - PC - A的平面角.

在GEB中, EG2+EB2=GB2, ∴∠BEG=90°,

在Rt△GEB中,

例3 如图, 已知三棱锥A - BPC中, AP⊥PC, AC⊥BC, M为AB中点, D为PB中点, 且△PMB为正三角形. 若BC =4, AB = 20, 求三棱锥D - BCM的体积.

分析体积问题其实就是解决底面积及高, 底面积DBC如何求? 哪条边, 哪个高? 如果CD ⊥⊥DB, 那么底面积容易求解了. 三棱锥D - BCM的高呢? 因为△PMB为正三角形. D为PB中点, 所以MD⊥⊥DB, 那么MD是否垂直于面DBC?

解∵ M为AB中点, D为PB中点, ∴ MD∥AP.

又∵ AP⊥PC, ∴ MD⊥PC.

∵ △PMB为正三角形. D为PB中点, ∴ MD ⊥ PB, ∴ MD ⊥ 面PBC, ∴ MD⊥面DBC, ∴ MD是三棱锥D -BCM的高.

又∵ MD⊥面DBC, ∴ MD⊥BC.

又∵ MD∥ AP, ∴ AP ⊥ BC, 又∵ AC ⊥ BC, ∴ BC ⊥ 面PAC, ∴ BC ⊥ PC, ∴ △PCB为直角三角形. ∠PCB = 90°, 那么可求得△PCB面积, 而M为PB中点, ∴ S△DCB为S△PCB的一半.

∵ AB = 20, ∴ MB = 10, ∴ PB = 10.

三、结论

通常情况下利用定理判定面面垂直比较简单, 也是证明面面垂直的常用方法, 即要证面面垂直, 只要证线面垂直, 关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.

篇4：与四边形有关的计算和证明

■平行四边形

与平行四边形有关的考题重点涉及平行四边形的性质及判定方法，解决有关问题需要熟练掌握平行四边形的性质和判定方法.

■ （2011四川凉山）如图1，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系，并对你的猜想加以证明.

■

■?摇猜想：BE∥DF，且BE=DF. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以CB=AD，CB∥AD. 所以∠BCE=∠DAF. 在△BCE和△DAF中，CB=AD，∠BCE=∠DAF，CE=AF，所以△BCE≌△DAF. 所以BE=DF，∠BEC=∠DFA. 所以BE∥DF. 所以BE∥DF，且BE=DF.

■矩形

与矩形有关的考题通常为矩形折叠问题和矩形的判定，解决折叠问题，需要把折叠的特征、勾股定理及平行线的相关知识综合应用；解决矩形的判定问题应熟练掌握矩形的判定方法，并能根据所给的条件灵活选用.

■ （2011黑龙江大庆）如图2，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将∠A翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．

（1）求∠DA1E的大小.

（2）求△A1BE的面积．

■

■?摇（1）由Rt△ABE≌Rt△A1BE知A1B=AB=2，又BC=1，所以∠BA■C=30°. 因为∠BA1E=∠BAE=90°，所以∠DA1E=60°.

（2）在Rt△A1BC中，A1B=2，BC=1，所以A1C=■. 所以A1D=2-■. 设AE=x（x>0），则ED=1-x，A1E=x.?摇 在Rt△A1DE中，A1D2+DE2=A1E2，即（2-■）2+（1-x）2=x2，解得x=4-2■. 在Rt△A1BE中，A1E=4-2■，A1B=AB=2，所以S△A1BE=■×2×（4-2■）=4-2■.

■菱形

与菱形有关的考题重点考查菱形的判定，常以解答题或探索题的形式出现，解决有关的计算题需要将菱形与勾股定理相结合；解决有关的判定题，需从边、对角线两个方面进行判定.

■ （2011福建福州）已知，在矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O. 如图3，连结AF，CE，求证四边形AFCE为菱形.

■

篇5：角的相关计算和证明

1、升入本科大学：满或12年以上的教育经历(即：具有高中、中专、技校学历)。

2、升入日本高中：初中毕业受过正规9年以上学校教育，或者高中、中专、大专在读。

3、有200小时以上的日本语学习经历。

4、18万左右人民币的银行存款证明。注意：这方面的材料准备，因每个申请人的基本情况不同而各有差异，请最好在详细咨询后，再去银行办理相关手续，以免造成不必要的损失。

5、如果想直接申请日本的专门学校、短期大学(即：相当于我国的大专、高职学院)，也就是不通过语言学校，直接和日本学生一起上课，则必需具有日本语能力考试N2的证书。

篇6：角的相关计算和证明

1.定义：b

af(x)dxlimf(k)xk 0k1n

2.可积性：

1）必要条件：f(x)有界；

2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；

3.计算1）b

af(x)dxF(b)F(a)

2）换元法

3）分部积分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 n1n31,n偶nnnn222(1)2sinxdx2cosxdx 00n1n32,n奇nn23

(2)

4.变上限积分：π0xf(sinx)dx20f(sinx)dx x

af(t)dt

1)连续性：设f(x)在[a,b]上可积，则

2）可导性：设f(x)在[a,b]上连续，则

变上限求导的三个类型： xaxaf(t)dt在[a,b]上连续。f(t)dt医学考研论坛在[a,b]上可导且(f(t)dt)f(x).ax

(x)(1)f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)(x)

(x)x(2)f(x,t)dt例1:F(x)(tx)f(t)dx 0(x)

bdx2(3)f(x,t)dt例2:sin(xt)dt0adx

3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则x

0f(t)dt为偶函数。

ii）若f(x)为偶函数，则5.性质：



x0

f(t)dt为奇函数。

1)不等式：i)若f(x)g(x), 则



ba

f(x)dxg(x)dx.a

b

ii)若f(x)在[a,b]上连续，则m(ba)iii)



ba

f(x)dxM(ba).

ba

f(x)dx|f(x)|dx.a

b

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上连续，则



ba

f(x)dxf(c)(ba),acb

g(x)不变号，则

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上连续医学考研论坛，

ba

f(x)g(x)dxf(c)g(x)dx,acb.a

b

【例1】I



n0

x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n





sin2







(cossin)2 cosxsinx

(cosxsinx)dx(sinxcosx)22n.

40



【解法2】原式=n

54



54

sin2xdx

=n





(cosxsinx)2dx

454

=n





(sinxcosx)dx2.ex4

sinxdx;【例2】 I

1ex2

xt

ee44

sinxdx2sintdt【解析】I2

xt1e1e22



(xt)



sin1ettdt





12ex1442sinxdxsinxdx

1ex221ex

2

2sinxdx

22









sin4xdx

313

海文考研钻石卡 

42216

【例3】 已知f(x)连续，【解析】令xtu得



x0



tf(xt)dt1cosx,求2f(x)dx的值.

x

tf(xt)dt(xu)f(u)duxf(u)duuf(u)du，xxx

xxxdx，从而有tf(xt)dtf(u)duxf(x)xf(x)f(u)duf(u)dusinx 0000dx

令x





得



f(u)dusin



1.1n

12n

【例4】 求 lim121n21n2nn

11222n212n

(2)ln1(2)ln1(2) 【解析】令yn(12)(12)(12)，则lnynln1nnnnnnn

n

2x2

ln22(1)limlnynln(1x)dxxln(1x)001x20n4

原式e

ln22(1

)



2e

2

.【例5】 求证:【解析】



sinx2dx0.2



2

sinxdx =



sint20

（令x2t）





sint2t



2

sint2t



而



2

2

sinusint

=du（令tu）

2u

则



sinxdx

0

sint11

dt0.2t

【例6】 设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:【证法1】令F(x)

bab

axf(x)dx2af(x)dx

b



xa

tf(t)

xax

f(t)dt a2

只要证明F(b)0，显然F(a)0

2a1x

f(x)f(t)dt 22a

x1

=(xa)f(x)f(t)dt

a2

=(xa)f(x)(xa)f(c)(acx)

而F(x)xf(x)0 则F(b)F(a)0 原式得证.【证法2】由于f(x)在[a,b]上单调海文考研钻石卡增，则

(x

abab)(f(x)f())0 22

从而有即又则即

b



ba

(x

abab)f(x)f()dx0 22

ababbab

(x)f(x)dxf()(x)dx0 a

22a2bab(x)dx0 a

2bab(x)f(x)dx0 a

篇7：四年级数学角的计算的练习题

1.如图6―10，已知△abc中，∠a=58°，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠boc的度数.

2.如图6―11，已知∠c=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠d的度数.

3.如图6―12，已知六边形有六个内角，求它们的和是多少度?

4.如图6―13，△abc是等腰三角形，ab=ac，求∠a的度数.

5.相同大小的8个等边三角形排列成如图6―14的形状，求∠1的度数.

6.如图6―15，已知正方形abcd的.边bc上有一点e，边cd上有一点f，且∠1=∠2=15°，证明△aef是等边三角形.

7.如图6―16，d在△abc的边bc上，且bd=da=ac，∠bac=63°，求∠dac的度数.

篇8：数字触发中触发角的计算

晶闸管数字触发具有系统硬件简单可靠、精度高、重复性好、动态性能优越、智能程度高, 便于集中控制, 是晶闸管控制电路的发展方向[1]。导通角的计算精度直接影响晶闸管触发的效果, 选择合理的计算触发角方法就显得比较重要。以多项式拟合逼近作为触发角的计算方法, 计算量相当, 精度很高。现以工业上广泛应用的三相桥式全控弧焊电源为例, 提出一种触发角的计算方法, 适用于双窄脉冲及其宽脉冲触发。

1 全数字触发器

全数字触发器的工作过程可简析为:从电网获得的三相电压经同步电路整形后送给DSP, 经过必要的运算和逻辑判别之后, 启动EV事件管理器输出脉冲, 经脉冲调制电路、脉冲功率放大及隔离电路后加在晶闸管的门极, 从而实现全数字触发。晶闸管移相触发控制装置中, 其输出电压、功率的改变是通过改变晶闸管的触发角α来实现的。为满足晶闸管的导通条件并正确计算触发角, 必须获得晶闸管阳极电压由负变正时的过零点信号, 以此作为满足晶闸管的触发导通条件和计算触发角的基准点, 这一信号通常称为同步信号。同步信号电路除了满足上述基本要求外, 还有电源隔离和相位匹配功能。弧焊电源外特性的实现完全是依据不同方式控制晶闸管触发角, 即由给定电压Ug和给定电流Ig决定的初始角αo, 加之主回路晶闸管先后两次采样信号计算得到的控制角增量Δα共同作用决定的。

2 触发角的求解原理

在具有下降特性的三相全桥弧焊电源焊接过程中, 初始角αo的计算方法如下:依据弧焊电源规定的负载特性计算方法, 当弧焊焊接处于空载的状态下时, 依据公式Uf=2.34U2cosα进行计算。空载状态情况下, 即公式中α=0°, Uf=Uo=60V (焊机空载电压) , 计算得到变压器副边电压U2=25.64V。给定电流在0～800A变化时, 假设当给定电流Ig为400A, 代入公式计算此时的弧焊电压, 即Uf=20+0.04Ig (若给定电流大于600A时, Uf=44V) 得到Uf=36V, 将UfU2的值带入公式Uf=2.34U2cosα即α=arcos (Uf /2.34U2) , 将得到此种情况下晶闸管初始导通角αo。将计算得到的焊接过程中初始角αo与主回路先后两次采样信号计算得到的触发角增量Δα带入公式中, 即:α=α+Δα。计算得出对定时器定时的α值, 将其结果保存在存储单元中。当定时时间到将对触发电路发触发脉冲, 相应的晶闸管将导通进行焊接操作。

3 触发角计算的DSP编程

DSP可以很方便地直接进行乘法、加法、减法、移位运算, 但对于非线性运算就必须采用特殊的方法。常见的非线性运算包括:除法、求平方根、反三角函数、对数等。根据不同类型的运算及其精度、速度要求, 结合DSP的运算功能、存贮器容量, 选用不同的运算方式[2]。对乘加运算以外的函数, 最常用的运算方法是迭代法、泰勒级数展开法。泰勒级数展开法需要的存储单元少, 具有稳定性好, 算法简单, 易于编程等优点, 而且展开的级数越多, 失真度就越小, 迭代法中以牛顿迭代法最常见 [3]。本文采用了泰勒级数展开法。泰勒级数展开法是很规范的求解方法, 任何一个函数f (x) 都可以用它在某点a的各阶导数和x到此点的距离 (x-a) 来近似表示:

通常为了简化运算, 令a=0, 求f (x) 在0点的展开, 即麦克劳林级数。

f (x) =f (0) + (0) ′x+f (0) ″x2/2!+f (0) x3/3!

级数的项越多, 近似精度就越高, 在程序的计算过程中需要计算反余弦, 一个角度为θ的反余弦函数, 可以展开成泰勒级数, 取其前9项进行近似。

设Uf/2.34U2=x

arccosx=π/2-arcsinx

undefined

在DSP的汇编语言上实际所用的计算公式为:

undefined

由于受到DSP字长和计算时间的限制, 反余弦的计算公式不可能展开到更多项, 公式不可避免地引入了截断误差[4]。截断误差随x 而变化的值如表1所示。从表中看到, 0～0.6之间的x值所引入的截断误差基本上是0, 而随着x从0.7增加到1, 截断误差迅速地增大 (表1中只列举了x 的正值, 对于x的负值有同样的变化) 。这就要求尽量地避免计算x为0.7以上值的反余弦。在焊接过程中, x的取值范围与Uf相关, 根据埋弧焊的负载特性可计算出20V≤Uf≤44V, 进一步计算出0.33≤x≤0.73。可算出其最大相对误差为4×104, 完全满足精度需求。

4 仿真实验结果

为了验证以上计算的正确性, 采用MATLAB进行数值仿真实验。图2为反余弦函数曲线和拟合逼近曲线 (虚线为拟合曲线, 实线为反余弦曲线) , 可以看出, 反余弦曲线和拟合曲线在-0.8～0.8区间内吻合的非常好, 从而印证了算法的正确性。

5 结论

该触发角计算算法是利用泰勒级数, 通过一定的约束原则, 实现触发角的在线计算, 避免了求解三角函数方程, 算法简单, 易于实现, 具有良好的通用性。

参考文献

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