有关角的计算教案

有关角的计算教案（共9篇）

篇1：有关角的计算教案

教学准备

1.教学目标

1.能进行简单的角的加减法计算。2.在探索中掌握角的加减计算方法。

3.在学习活动中发展空间观念，积累对数学的兴趣。

2.教学重点/难点

能进行简单的角的加减法计算。能进行简单的角的加减法计算。

3.教学用具

教学课件

4.标签

教学过程

一、新课导入

1、师：测量∠1的度数并说说你是怎样量角的？

2、师：今天这节课我们来学习角的计算。揭示课题：角的计算。

二、新课探索

1、探究一

已知∠1=45°，∠2=90°，求∠AOB=？

(1)师：请你们试着做在课堂练习本上。(2)师：说说你是怎么想的？(3)指导书写格式。

小结：∠AOB是由∠1和∠2组成的，所以要求∠AOB的度数只要用∠1的度数加上∠2的度数。(4)练习：书P73/1练习

已知∠1=65°，∠2=15°，求∠AOB=？ 已知∠3=∠1+∠2，∠1=18°，∠2=72°，求∠3=？

1）师：根据已知条件，完成上面两题，同时注意书写格式。2）学生练习并汇报。

2、探究二

已知∠AOB=63°，∠1=30°，求∠2=？

（1）师：说说你是怎么想的？

（2）师：请你们试着做在课堂练习本上。

小结：∠AOB是由∠1和∠2组成的，所以要求∠2的度数只要用∠AOB的度数减去∠1的度数。

（3）练习

书P73/2练

已知∠AOB=152°，∠1=70°，求：∠2 =？ 已知∠3=∠1+∠2，∠3=80°，∠2=50°，求∠1 =？

师：通过刚才的学习，我们掌握了角的计算，知道了通过角的度数的加减可以求出另一个角的度数，下面就请大家完成后面的练习。

三、课内练习

1、练习一 填空

（1）若∠AOB+60° =平角，则∠AOB=（）度； 若周角-∠1=60°，则∠1=（）度。

师：说说你是如何想的？（结合加减法的关系分析引导）（2）从12时10分到12时20分，分针转了（）度。师：这一题该如何求？

①可通过钟面上数刻度得出度数。

②通过用12时20分时时针与分针的夹角的度数减去12时10分时时针与分针的夹角的度数来求。

2、练习二

下面都是用两块三角板组成的角，算一算它们各是多少度？

师：说说你是怎样得到结果的？

师：通过刚才的练习大家对于角的计算更熟练了，那么下面的角你能否很快计算出来呢？

3、练习三 计算下列角的度数。

下图，已知∠1=65°，求∠2的度数。

如上右图，已知∠1=60°，求∠2的度数。师：谁来分析一下如何求∠2？请写出计算过程。

课堂小结

四、本课小结

根据已知角和未知角的关系，再利用加法和减法的互逆关系求未知角。

课后习题

五、课后作业 练习册P/67～68

篇2：有关角的计算教案

与圆有关的计算

复习内容：冀教版数学九年级上册第二十七章

复习目标：1.掌握弧长和扇形面积公式，会计算圆的弧长和扇形面积.2.了解圆锥侧面展开图为一个扇形，会计算圆锥的侧面积和全面积.复习重点：圆的弧长和扇形面积的计算.复习难点：有关弧长和扇形面积的综合应用.复习过程：

一、复习回顾 考点一 弧长的有关计算

1.(2011.安徽）如图(1)⊙○的半径为1，A、B、C是圆周上三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（）

234A． B. C. D.

5555思考与解答：弧长公式是_________ 考点二 扇形面积的计算

2.(2010长沙)已知扇形面积为12π，半径等于6，则该扇形 的圆心角等于________．

3.已知扇形的弧长为4cm，半径为３cm，则扇形面积为__________cm２.思考与解答：扇形面积计算公式是__________________ 考点三 计算圆锥的侧面积和全面积

4.(2011同仁)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它

2的高 AO=8m，底面半径ＯＢ＝６m，则圆锥的侧面积是________m.思考与解答：(1)圆锥侧面展开图是一个____形，它的弧长等于圆锥的_________，它的半径长等于圆锥的_________.(2)已知圆锥的底面半径为r，母线为a，则圆锥侧面积是_________，表面积是_________.二 探究总结

5.如图所示，这是一个零件示意图，A、B、C处都是直角，弧MN是圆心角为90°的弧，AB=BC=7，AM=CN=3，则A． B.32的长是() C．2 D．4

6.（2012内江）如图AB是o的直径，弦CD⊥AB,∠CDB=30°，CD=23，则阴影部分图形的面积为（）

A.4

B.2

C.

D.43

思考与解答：解决这道题利用了我们复习过的哪些知识？ 三 拓展提高

7.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯口圆的直径EF长为10cm，母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短路程为________cm.思考与解答：解决这个曲面上的最短路程问题你是怎么想的？ 8.(2011山西)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC =BC.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________．(结果保留π)思考与解答：(1)解决问题的关键是知道图形旋转时，图形上各点经过的路线是___________，要明确它的圆心、半径以及圆心角.(2)求不规则图形面积的方法是什么？ 四 反思评价

（一）反思

（1）你认为这节课重点要掌握哪些知识？请写出来（2）你在哪些方面有所提高？

（二）自测

9.已知扇形的圆心角是150°，扇形的面积为240π，则该扇形的弧长为()A．5π

B．10π C．20π D．40π

10.线段AB与⊙O相切于点C，连结OA、OB，OB交⊙O 于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝63 cm，求：(1)⊙O的半径(2)图中阴影部分的面积．

11.（2012广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线MN上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．

若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地旋转，当点A第3次落在直线MN上时，点A所经过的路线的长为 _______（结果用含有π的式子表示）

第三十五课时答案

1.B 2.120° 3.6 4.60 5.C 6.D 7.解析：求在曲面上的最短距离需要转化为平面上两点之间的距离．如图6－3－6所示，将圆锥的侧面展开，连接AE，AE即为蚂蚁爬行的最短路线．再借助于△AOE计算AE之长：AE＝OE2OA2=241

8.4 9.C 10.(1)如图所示，连结OC，∵AB与⊙O相切于点C ∴ OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC＝12AB=122×63=33 c m． AC2在Rt△AOC中，OC＝OA3cm.(2)在Rt△COB中∵OC＝

=3cm．∴⊙O的半径为12OB，∴∠B＝30°，∠COD＝60°.2∴扇形OCD的面积为603360＝

32

S⊿OBC=12OCBC=12333=

932 ∴

阴影部分的面积为

93-32cm2

11.解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°； ∵Rt△ABC在直线MN上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线MN上时，有3个的长，2个的长，∴点A经过的路线长=×3+）π． ×2=（4+）π．

篇3：与圆有关角的一个通性

定义:两边与圆相交或相切的角, 统称与圆有关的角.

定理:与圆有关的角, 等于它所夹弧度数的代数和.如果它所夹的是一条弧, 那么它等于它及它的对顶角所夹的两条弧度数和的一半 (若无对顶角所夹弧, 则度数按零计算) ;如果它所夹的是两条弧, 那么它等于这两条弧度数差的一半.

证明: (1) 如图一, ∠1是圆心角, 于是

(2) 如图二, ∠2是圆周角, 于是

综上, 与圆有关的角等于它们所夹弧度数的代数和.那么, 如何应用该定理呢?以下举例说明.

例1如图八, 已知AB为⊙O直径, P为AB延长线上一个动点, 过P作⊙O的切线, 设切点为C. (1) 连结AC, 作∠APC平分线交AC于D.请你测量∠CDP的度数. (2) 猜想∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上位置的变化而变化?并对猜想加以证明.

解析:观察图八发现, ∠A, ∠APC均是与圆有关的角, 于是

例2试分析高尔夫球比赛中, 击球点与球洞之间的距离和命中率有何关系?

解析:画图、分析、研究得, 因此∠CP2D>∠AP1B, 命中率与张角∠AP1B的大小成正比, 而张角∠AP1B的大小与击球点到球洞中心的距离成反比.故距离越近, 命中率越高, 反之命中率越低.

至此, 我们把圆心角、圆周角和弦切角推广到与圆有关的七种角, 于无疑处生疑, 把书读厚.然后, 探索得出定理, 合七为一, 整合知识, 把书读薄, 便于联系, 便于记忆, 减轻了学生学习的负担.

篇4：小议空间角的计算

关键词：线面角；平面角；解三角形链

计算空间角的问题，是高考常见类型之一，出题人往往会以这三种形式来命题的：（1）异面直线所成的角；（2）线面角；（3）二面角。对于这三种类型，不管是那类，都是通过转化的思想最终化成相交直线所成的角。尽管如此，但对于每一种类型还是有自己独到之处的，为了确保考场上万一无失，下面我们分别将其探讨一下。

一、异面直线所成的角

解决异面直线所成的角，须平移异面直线，使其转化为相交二直线的夹角问题，其方法有三：

1、直接法。设异面直线a、b所成角为θ，要求θ的值，须从下面三个步骤入手：

（1）确定θ角：同时平移直线a、b使其相交或将其中之一平移与另一条相交，则平移后相交二直线所夹的锐角或直角即为所求的角θ，这里的θ∈[0，π/2]。

（2）选择θ的最佳位置：充分利用几何图形的性质，选择特殊点、线作为角的顶点和边。当找不到特殊的点、线时，应最大限度地把已知条件归结到含θ的三角形中。

（3）计算θ的值：在完成（1）（2）两步时，要为第（3）步做好准备，使其便于计算θ的值，一般通过解含θ的三角形求θ的值。

2、公式法。利用异面直线距离公式求夹角。若异面直线a、b的公垂线段A’A=d？，E、F分别是直线a、b上的两点，A’E=m？，AF=n？，EF=l？直线a、b成的角为θ，则COSθ=|？d2+m2+n2-l2/2mn|？？其中θ∈[0，π/2]。

⑶向量法。对于异面直线所成的角，若能构造成向量，将异面直线所成的角转化成两向量的夹角，利用向量的数量积公式，则可在不作出异面直线所成角的情况下，巧妙而简捷地求出异面直线所成的角。

二、线面角

求直线与平面所成的角，应先指出图形中哪个角是直线和平面所成的角，而后将该角置于某一三角形中（一般构造直角三角形）计算它的值，其方法有二：

1、直接法。根据直线与平面所成角的定义，确定角而后计算，其中确定角的关键是找出直线在平面内的射影，而找其射影一般是按下列步骤进行的：

（1）确定射影：找一垂足和斜足；

（2）将角置于三角形中，解此三角形；

（3）特殊角不必计算，例00，900，可通过证明。

有时若直接求某一直线与某一平面所成的角比较困难，此时可根据所学的知识间接求得，即相当于将直线或平面平移，其角的大小不变。

三、二面角

二面角和平面角的概念及其大小的计算，是立体几何的一大重点和难点，因为它是立体几何证明和解题常用的概念和手段，而二面角的大小不能直接度量，需要借助于它的平面角来求。

二面角的平面角是用来度量二面角的，角的两边在两个半平面内且垂直于棱，它的大小是由二面角的两个面的位置来决定，与棱上一点选取的位置无关。因此，计算二面角的关键是求二面角的平面角的大小，其方法有二：

1、直接法。因为二面角是空间角，无法直接度量，但可以转化为相交二直线的夹角，既度量二面角平角是多少度，二面角就是多少度，此法称为直接法，其步骤有三步：

Ⅰ、先作出或找出二面角的平面角；Ⅱ、证其为二面角的平面角（根据定义）；Ⅲ、计算。其中最关键的是第Ⅰ步，而做第Ⅰ步的常用方法通常有：

（1）根据平面角的定义作出平面角：根据定义要符合平面角的三要素；顶点和角的两边的选择要便于计算。

（2）根据三垂线定理或逆定理作平面角：在二面角某一面α内，找一点A作AB垂直二面角的另一面β，且垂足易確定，在面β内，作BC垂直棱a于点C，连接AC，则∠ABC就是所求的平面角。

（3）作二面角棱的垂面，垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是该二面角的平面角。垂直棱的平面可平行的移动，要适当的选择以便于计算。

通过以上的方法我们很容易的把二面角的平面角找或作出来，接下来的任务是计算平面角的值，其方法有三：

（1）解三角形：将平面角置于某一三角形之中，解此三角形。若三角形是任意三角形----用余弦定理或正弦定理求解；若三角形是直角三角形---用勾股定理或三角函数等来求解。

（2）解三角形链：求二面角的值时，有时已知数和未知数不集中在同一个三角形中，无法找出直接关系，这时可通过解多个三角形，求出一些相关量，最后求出所要求的未知数，这种方法称为解三角形链。

（3）引进参数计算：已知数和未知数没有直接关系时，可引入参变量，以便于沟通已知和未知的关系。

2、公式法。用直接法求二面角大小时，若平面角不易求出或计算麻烦，且这时又具备使用公式的条件，则可间接地用公式法来求二面角。

（1）利用图形的面积射影公式来求二面角。

利用此公式，必须要知道每个字母的含意，否则易出现错误。

虽然空间角的求法总体上大同小异？？都是通过转化的思想最终化成相交直线所成的角，但对于具体的题目，还是有自己的独到之处，就如上面所讲的。但要做到在考场上见题就达到下笔如神、挥洒自如的程度，还得靠自己在下面大量的实践练习和归纳。

参考文献

[1] <<高等学校毕业设计指导手册>>.

[2] 高中<<几何>>实验修订本下A.

[3] <<成才之路>>.

[4] 2006年第8期的<<数学通讯>>.

篇5：有关角的计算教案

教学内容：课本第30页，练习六的第1～4题。教学目的：

1、通过故事和游戏形式，引导学生经历认识0的过程及加减法，初步理解0的意义及有关0的加减法，对0的数字概念，获得全面认识和掌握。

2、培养学生实践能力、观察能力及初步的数学交流意识。

3、引导学生感受数0与实际生活的密切联系。教学重点：0的含义及有关0的加减法。教学难点：0的意义和书写

教具准备：黑板上田字格，课件。学具准备：铅笔、橡皮、练习本。教学过程 ：

一、情境导入

小朋友们都喜欢听故事，今天老师给你们讲一个故事，想不想听啊!我讲的故事题目是：《飞走的氢气球》（课件出示）

乐乐和家人一起到广场去玩了，妈妈见他一直很懂事，就给他买了两只氢气球，看他和妈妈玩儿的多么快乐呀！突然发生了一件让乐乐难过的事情？ 2．从1数到5。

二、新课 1．认识0 接着复习中的看图写数。提问：“如果我把每个圈里的茶杯都拿走3个，想一想，每个圈里还剩几个茶杯？” 教师从左边的集合圈中拿走3个茶杯。提问：“现在这个圈里有几个茶杯？用数字几表示？”学生回答后，教师在集合留下面板书：2。

教师从中间的集合圈中拿走一3个茶杯。提问：还剩几个茶杯？学生回答后，教师在集合圈下面板书：1。

教师从右边的集合一圈中拿走3个茶杯。提问：“现在这个圈里有几个茶杯？”（没有了）“用什么数表示呢？” 师：“像这样一个也没有，我们就用零表示。”在集合因下面板书：0。（注意写得慢一些。）师：“这就是我们今天要学的新数字。”带着学生念几遍。说明0和1、2一样，也是一个数，什么也没有就用零表示。师：“同学们看一看，想一想这个数字的形状像什么？”学生回答可能会有许多种，教师肯定其中比较合适的，如：0像个鸡蛋。

教师还可以让学生看一看数字0和上面的集合圈的形状一的关系＿。为了帮助学生记忆，并渗透空集思想，可以形象地说。0就相当于把上面的圈竖起来。因为把茶杯都拿走了，所以圈是空的。2．认识直尺。

师：“同学们想一想，你们以前见过0吗？”让学生拿出自己的直尺，教师出示直尺图。然后让学生先在直尺上找到0，再找到1，说明0到l是一段。用1表示；接着我2，说明0到2是两段，用2表示„„一段一段地数到5。说明0是开始，是起点。0在1的前面。带着学生从0到5数几遍。3．0的写法。

教师先在放大的写字格里板书，来示范0的写法。边示范边讲清笔顺的要点；0是一笔写成的。起笔，在上线中间偏右一点，向左下写，在中线附近与左线接触，然后向下拐，与下线接触在中间偏左部位，再向右上拐，到中线附近与有线接触，再继续向上，收笔处与起笔处相连。要特别提醒学生，0写得要圆滑，尤其在拐弯处不能有棱角。带着学生书空2～3遍。

打开教科书第24页，看写0的笔顺示意图。然后让学生按书上的虚线字描写数字0。4．巩固练习。

（1）做练习五的第1题，教师说明要求后，让学生自己填（）。做完后指名订正。对要填0的，问一问学生是怎样想的。

（2）做练习五的第2题。教师巡视，对书写不正确的要进行纠正。

（3）做练习五的第3题，拿出0～5的数字卡片，把卡片的顺序弄乱，做“游戏”。师：“把这些卡片按从小到大的顺序排一排队，看谁排得又对又快。” 订正后，再问一问0的含义，以及为什么要把0排在第一个。

（4）做练习五第9题。教师往意巡视，对笔顺写得不对的要及时纠正。课间活动。

5．有关0的加、减法。

（1）一个数减去与它同样多的数。师：“我们已经知道了0是一个数，所以它也像其他数一样可以进行计算。下面我们就学习有关0的加、减法。”出示学生放气球图。教师演示，学生观察。师：“小强手里有两个气球，放走了1个、还剩几个？”“怎样列式计算？”（2－1＝1）师：“小强手里有两个气球，放走了2个，还剩几个？”“怎样列式？”（板书：2－2＝）“得数是几？”（0）“为什么？”（2个气球都放走了、就没有气球了。）板书得数。2－2＝0 指明让学生说一说这个算式表示的意思。提问：“小丽有4块糖，吃了4块，还剩几块？”“怎样列式？”（4－4＝0）“为什么？” 师：“从上面的两个算式，你能想出5－5的得数吗？”“3－3＝？”“1－1呢？” 师：“一个数减去与它伺样多的数得O。”（2）一个数加0。出示蜡笔图。师：“左边盒里有4枝蜡笔，右边盒里有1枝蜡笔，一共有几枝蜡笔？”（4＋1＝5）师：“左边盒里有4枝蜡笔，右边盒里没有蜡笔，一共有几枝蜡笔？”“怎样列式？”（板书：4＋0＝）“得数是几？”（得数是4。）“为什么”’（因为右边盒里没有蜡笔，所以就只有4枝蜡笔。）板书得数：4＋0＝4 指名让学生说一说这个算式表示的意思。把左边盒里的蜡笔换成3枝。提问：“现在一共有几枝蜡笔？”（3枝。）“怎样列式计算？”（板书：3＋0＝3）

再把左边盒里的蜡笔换成2枝，问题同上。（板书：2＋0＝2）师：“想一想5＋0、1＋0等于几呢？” 师：“从上面的计算中可以看出什么？”（一个数加上0，还得原数。）教师把两个蜡笔盒交换一下位置。“现在一共有几枝蜡笔一？”“怎样列式？”（0＋2 ＝2）师：“想一想0＋4、0＋3、0＋5等于几？” 师：“从这几道题中可以看出什么？”（0加上一个数，还得那个数。）师：“想一想 0＋0等于几？”（3）一个数减去0。师：“想一想5－0等于几？”（„„）师：“5－0就是从5个东西里面去掉0个，也就是一个也没有去掉，所以还是5。” 板书；5－0＝5 师。“4－0、3－0、2－0、1－0等于几？”“为什么？”“0－0等于凡？” 6．混合练习。

做教科书第24页“做一做”中的题自。说明题意后，让学生独立做。教师巡视，集体订正。

三、课堂 小结。

我们这节课认识了数字0，知道了什么东西也没有就用0表示，0还可以表示起点。我们还学会了0的写法．要注意，写0的时候，要从上到下．从左向右，写得要圆滑，不能有棱角。最后我们学习了有关0的加、减法，知道了一个数加上0还得原数，一个数减去0也得原数。一个数减去与它同样多的数得0。

四、巩固练习

1.课本P30 做一做

2.课本P31 1、2、3、4 3.猜一猜

配乐出示：猜猜我是谁？ 我在1的前面，猜猜我是谁？ 我比3大比5小，猜猜我是谁？ 我的邻居是0和2，猜猜我是谁？ 学生边拍手边回答。

4.开火车，比一比。看谁反应快。

《0的认识和有关0 的计算》

教学反思

横涧乡中心小学

篇6：有关角的计算教案

[教学目标] 1．知识目标

（1）掌握多步反应计算的解题步骤和方法。（2）能正确解答一些较复杂的多步反应计算题。2．能力和方法目标

（1）根据元素守恒法建立化学计算关系式的方法。（2）掌握差量法、守恒法等化学计算常用方法。3．情感和价值观目标

（1）通过要求化学计算题的解题规范、书写格式的训练，培养学生讲究整洁美、规范美。（2）培养学生理论联系实际观念。[教学重点、难点] 根据多步化学反应建立化学计算关系。（见第五节第二课时ppt文件）[巩固练习] 1．用含FeS2 80% 硫铁矿 150 吨制H2SO4，在煅烧时损失2% 的硫，问可制得98%的硫酸多少吨? 注：工业上用黄铁矿制硫酸有关的反应式为：

4FeS2+11O2==2Fe2O3+8SO2SO2+O2==2SO

3SO3+H2O==H2SO4

2．将28.8 g铁与硫化亚铁的混合物与足量的稀H2SO4充分反应，使生成的气体完全燃烧，将燃烧后的生成物通入盛浓H2SO4 的洗气瓶，结果洗气瓶增重7.2g。求：

（1）混合物中铁和硫化亚铁各为多少克?（2）把最后所得溶液稀释到500ml，求此溶液的物质的量的浓度。

3．在氧气中灼烧0.44g硫和铁组成的化合物，使其中的硫全部转变成二氧化硫，把这些二氧化硫全部氧化并转化成硫酸。这些硫酸可用20mL0.50 molL-1NaOH溶液完全中和。求原化合物中硫的质量分数。

4．将钠和过氧化钠的混合物12.4g投入足量水中，收集产生的气体并将其点燃，该混合气体恰好完全反应，求原混合物中钠与过氧化钠的物质的量之比。

5． HNO3是极其重要的化工原料。工业上制备HNO3采用NH3催化氧化法，将中间产生的NO2在密闭容器中多次循环用水吸收制备的。工业上用水吸收二氧化氮生产硝酸，生成的气体经过多次氧化、吸收的循环操作使其充分转化为硝酸（假定上述过程的每一步反应中无其它损失）。

（1）试写出上述反应的化学方程式。

（2）设循环操作的次数为n，试写出NO2→HNO3转化率与循环操作的次数n之间的关系的数学表达式。

（3）计算一定量的二氧化氮气体要经过多少次循环操作，才能使95%的二氧化氮转变为硝酸？

参考答案 1．196吨。

2．（1）Fe 11.2g FeS 17.6g；（2）0.8 molL。

3．根据反应式可找出关系式为：S~H2SO4~2NaOH，解得S%=36%。4．2:1。

5．（1）3NO2+H2O = 2HNO3+NO，2NO+ O2 = 2NO2。（2）经n次循环氧化后转化为硝酸的总量为：

Sn = 23-1+23×

13+

221n12213()+()+……+()333333恰好是一个等比数列关系，经等比数列求和可得Sn =1-()。因此，NO2→HNO3转化率

31n为[1-()]×100%。

篇7：有关角的计算教案

作为一名默默奉献的教育工作者，时常需要用到教学设计，借助教学设计可以更好地组织教学活动。一份好的教学设计是什么样子的呢？以下是小编整理的角的度量教案 《角的度量》教学设计，仅供参考，大家一起来看看吧。

角的度量教案 《角的度量》教学设计1

教学内容：

课本P83-85

教学目标：

知识与技能：

1、知道角的计量单位“度”。

2、认识量角器，初步会用量角器量出角的大小。

过程与方法：

通过解决实际问题的过程，认识量角器的结构与功能；通过实践操作，归纳量角器量角的一般步骤。

情感态度和价值观：

体会统一计量单位和度量工具的必要性，感受数学的简洁严谨。教学重点：会用量角器量出角的大小。教学难点：会正确使用量角器量角。

教学过程：

一、复习引入

1、复习角的组成，并画角，同桌比一比谁的角大。

2、比较角的大小要先知道什么？怎样量出角的大小？今天我们就一起来探讨这类问题的解决办法。（出示课题：角的度量）

二、探究新知

（一）认识角的计量单位

1、师：角的计量单位是什么？

2、课件演示：介绍角的计量单位

3、师：你知道这个角有多大了吗？有这样的几个1°，就是几度。

4、（出示70°角）这个角几度？

（二）认识量角器

1、用1°角拼成半圆，一共有几度？你怎么知道的？它们共同的顶点在哪里？

2、把量角器进行美化，读角的度数（52°、131°）

3、（出示30°开口朝左的角）师：那这个角几度？你是怎么看的？为了方便我们量各种方向角，我们可以从左边顺时针再标数据，这样就形成了度量角工具：量角器。

4、看书P83，对应着自己的量角器去找一找量角器上有什么，再和你的同桌说一说。

5、读角的度数，用手势表示。（开口朝右80°、155°、开口朝左55°）看哪圈刻度？怎么判断？

6、小结：量角器上有两圈刻度，我们怎么判断到底读哪圈的刻度？

（三）用量角器量角

1、学生尝试量角。讨论总结量角的方法：

2、中心点与顶点重合

3、零刻度线与边重合

4、读刻度

三、巩固与提高

1、量∠4=40°，有什么不一样的.方法？两种方法有何不同？

2、量∠5=120°同桌合作，互相检查。

3、量钟面上时针和分针组成的角。

4、量自己画的角，并与同桌的角比一比。

五、总结

1、今天我们学习了什么？

2、书上有一种特殊的量角器，看看它和你们的量角器有什么不同？这把量角器有什么特殊的作用呢？课后探究一下。

角的度量教案 《角的度量》教学设计2

一、教学内容：

角的度量教材第26~28页

二、教学目标

1、认识量角器、角的度量单位，会在量角器上找出大小不同的角，并知道它的度数，会用量角器量角。

2、通过一些操作活动，培养学生的动手操作能力。并通过联系生活，使学生理解量角的意义。

3、通过观察、操作学习活动，形成度量角的技能，同时使学生经历和体验知识的形成过程。

4、在学习过程中，感受数学与生活密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

三、教学重点难点：

1、引导学生观察量角器，认识内刻度线、外刻度线、0刻度线和中心点。知道角的计数单位“度”及相关知识。

2、掌握用量角器测量角的方法，能正确测量各种角的度数。

四、教具准备：

量角器、三角板。

五、过程：

（一）导入

教师：昨天我们根据角的边张开的大小认识了几种角，你们还记得吗？

学生说后，请他们按从大到小的顺序排列，即：周角、平角、钝角、直角、锐角。

我们已经认识了角，角的大小和什么有关系呢？大家会比较角的大小吗？

教师出示两个大小相近的角，问同学：∠a和∠b谁大谁小呢？ 学生自由发言。

教师：∠a和∠b究竟谁大呢?那大多少呢？大一点？这一点又代表多少呢？今天我们就来学习角的度量，相信学过这节课后，你就能解答这个问题了。板书课题：角的度量

设计意图：通过以问题的形式引出量角器的必要性，培养学生善于思考，发现问题的能力，在自主探究中学习。

（二）探究新知

1、认识量角器

教师：为了使测量更准确，描述更清楚，就产生了标准的测量角的工具——量角器。（板书：量角器）

出示一个量角器。教师边说边演示：人们将圆平均分成360份，把其中的1份所对的角叫做1度，记作1°，通常用1°作为度量角的单位。板书：度1°

提问：你知道一个周角是多少度吗？（360度）

一个平角是多少度呢？（180度）

介绍：度量角的大小，可以用量角器，它把半圆平均分成180份。

2、认识量角器的中心、0刻度线、内外圈刻度。（1）指导

请大家仔细观察自己的量角器，认真地研究研究，看看你有什么发现。

（2）小组合作研究量角器。

（3）学生汇报研究的结果。注意这里要尽量让学生说出自己的想法，有的问题还可以让学生来解答。

教师根据学生的回答，要说明哪里是量角器的中心，哪里是0度刻度线及内刻度和外刻度，量角器是把半圆平均分成180份等。根据回答作出下列板书：中心、0度刻度线、内刻度和外刻度。

小结：量角器上有中心、0度刻度线、内刻度线和外刻度线。

3、量一量。

教师：我们了解了量角器上有什么，究竟怎么使用它呢？接下来让我们一起来研究研究。

（1）尝试量角，探求量角的方法。

出示教材第27页“试一试”，写出∠a和∠b的度数再读一读。教师：通过观察以上两组角，我们会读角的度数了，那该怎样量角呢？请你与同学交流量角的方法。

学生交流完之后，请两位学生到前面演示说明。

通过学生的演示度量，老师组织学生总结用量角器量角的方法，指导学生实际操作，按步骤去量角。

第一步，使量角器的中心点与角的顶点重合；

第二步，使量角器的零刻度线与角一条边重合； 第三步，看角的另一条边所对量角器上的刻度，就是这个角的度数 教师：我们可以把这三句话概括为四个字“两合一看”。“两合”是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。“一看”就是要看角的另一边所对的量角器上的刻度。（板书：两合一看）（2）突破读内圈刻度，还是读外圈刻度的难点。提问:量角器上为什么有内外两圈刻度呢？ 教师引导学生带着疑问研究。出示130°和50°的两个角 教师：左边这个角的度数是多少？

是130°还是50°？读内圈刻度，还是读外刻度线上的数？ 学生明确：这个角的度数是130°，要读外刻度线上的数。教师：右边这个角应该看内刻度，还是外刻度？是多少度？ 学生：这个角是50°，应该看内刻度。

质疑：为什么左右两个角看的刻度线不一样呢？什么时候看内刻度？什么时候看外刻度呢？ 学生小组交流。

学生可能会想到以下几种情况

学生甲：我们小组认为，在读度数之前应该先判断这个角是钝角还是锐角，如果是钝角肯定大于90°，是锐角要小于90°，然后再找刻度就不会错了。

学生乙：我们小组认为，要先找0刻度线，如果一条边压住的是外圈的0刻度线，那么肯定读外圈刻度。反过来压住的是内圈刻度的0刻度线，就要读内圈刻度。……

教师：这几个组的方法听起来都挺有道理，我们不妨试一试哪种方法更好。

（3）学生练习量角，巩固新知。小结量角的方法——两合一看 提问：看角的度数时要注意什么？

学生：要注意是看外刻度线还是看内刻度线。问：什么时候看外刻度线，什么时候看内刻度线呢？

小结：找0刻度线，如果一条边压住的是外圈的0刻度线，那么肯定读外圈刻度。反过来压住的是内圈刻度的0刻度线，就要读内圈刻度。设计意图：学生先独立练习，再交流订正，使学生能在练习中进一步将知识内化，并相互帮助提高。通过游戏活动，让学生自主测量角，培养学生学数学、用数学的意识。

（三）课堂作业设计

1、教材第28页第1题。

学生在找出正确答案后，应该说一说是怎样想的。

2、教材第28页第2题。∠1的方向是朝下，可以让学生先说一说量角的方法，然后再进行度量。

（四）课堂小结

今天我们学习了什么内容？你有什么收获？

篇8：数字触发中触发角的计算

晶闸管数字触发具有系统硬件简单可靠、精度高、重复性好、动态性能优越、智能程度高, 便于集中控制, 是晶闸管控制电路的发展方向[1]。导通角的计算精度直接影响晶闸管触发的效果, 选择合理的计算触发角方法就显得比较重要。以多项式拟合逼近作为触发角的计算方法, 计算量相当, 精度很高。现以工业上广泛应用的三相桥式全控弧焊电源为例, 提出一种触发角的计算方法, 适用于双窄脉冲及其宽脉冲触发。

1 全数字触发器

全数字触发器的工作过程可简析为:从电网获得的三相电压经同步电路整形后送给DSP, 经过必要的运算和逻辑判别之后, 启动EV事件管理器输出脉冲, 经脉冲调制电路、脉冲功率放大及隔离电路后加在晶闸管的门极, 从而实现全数字触发。晶闸管移相触发控制装置中, 其输出电压、功率的改变是通过改变晶闸管的触发角α来实现的。为满足晶闸管的导通条件并正确计算触发角, 必须获得晶闸管阳极电压由负变正时的过零点信号, 以此作为满足晶闸管的触发导通条件和计算触发角的基准点, 这一信号通常称为同步信号。同步信号电路除了满足上述基本要求外, 还有电源隔离和相位匹配功能。弧焊电源外特性的实现完全是依据不同方式控制晶闸管触发角, 即由给定电压Ug和给定电流Ig决定的初始角αo, 加之主回路晶闸管先后两次采样信号计算得到的控制角增量Δα共同作用决定的。

2 触发角的求解原理

在具有下降特性的三相全桥弧焊电源焊接过程中, 初始角αo的计算方法如下:依据弧焊电源规定的负载特性计算方法, 当弧焊焊接处于空载的状态下时, 依据公式Uf=2.34U2cosα进行计算。空载状态情况下, 即公式中α=0°, Uf=Uo=60V (焊机空载电压) , 计算得到变压器副边电压U2=25.64V。给定电流在0～800A变化时, 假设当给定电流Ig为400A, 代入公式计算此时的弧焊电压, 即Uf=20+0.04Ig (若给定电流大于600A时, Uf=44V) 得到Uf=36V, 将UfU2的值带入公式Uf=2.34U2cosα即α=arcos (Uf /2.34U2) , 将得到此种情况下晶闸管初始导通角αo。将计算得到的焊接过程中初始角αo与主回路先后两次采样信号计算得到的触发角增量Δα带入公式中, 即:α=α+Δα。计算得出对定时器定时的α值, 将其结果保存在存储单元中。当定时时间到将对触发电路发触发脉冲, 相应的晶闸管将导通进行焊接操作。

3 触发角计算的DSP编程

DSP可以很方便地直接进行乘法、加法、减法、移位运算, 但对于非线性运算就必须采用特殊的方法。常见的非线性运算包括:除法、求平方根、反三角函数、对数等。根据不同类型的运算及其精度、速度要求, 结合DSP的运算功能、存贮器容量, 选用不同的运算方式[2]。对乘加运算以外的函数, 最常用的运算方法是迭代法、泰勒级数展开法。泰勒级数展开法需要的存储单元少, 具有稳定性好, 算法简单, 易于编程等优点, 而且展开的级数越多, 失真度就越小, 迭代法中以牛顿迭代法最常见 [3]。本文采用了泰勒级数展开法。泰勒级数展开法是很规范的求解方法, 任何一个函数f (x) 都可以用它在某点a的各阶导数和x到此点的距离 (x-a) 来近似表示:

通常为了简化运算, 令a=0, 求f (x) 在0点的展开, 即麦克劳林级数。

f (x) =f (0) + (0) ′x+f (0) ″x2/2!+f (0) x3/3!

级数的项越多, 近似精度就越高, 在程序的计算过程中需要计算反余弦, 一个角度为θ的反余弦函数, 可以展开成泰勒级数, 取其前9项进行近似。

设Uf/2.34U2=x

arccosx=π/2-arcsinx

undefined

在DSP的汇编语言上实际所用的计算公式为:

undefined

由于受到DSP字长和计算时间的限制, 反余弦的计算公式不可能展开到更多项, 公式不可避免地引入了截断误差[4]。截断误差随x 而变化的值如表1所示。从表中看到, 0～0.6之间的x值所引入的截断误差基本上是0, 而随着x从0.7增加到1, 截断误差迅速地增大 (表1中只列举了x 的正值, 对于x的负值有同样的变化) 。这就要求尽量地避免计算x为0.7以上值的反余弦。在焊接过程中, x的取值范围与Uf相关, 根据埋弧焊的负载特性可计算出20V≤Uf≤44V, 进一步计算出0.33≤x≤0.73。可算出其最大相对误差为4×104, 完全满足精度需求。

4 仿真实验结果

为了验证以上计算的正确性, 采用MATLAB进行数值仿真实验。图2为反余弦函数曲线和拟合逼近曲线 (虚线为拟合曲线, 实线为反余弦曲线) , 可以看出, 反余弦曲线和拟合曲线在-0.8～0.8区间内吻合的非常好, 从而印证了算法的正确性。

5 结论

该触发角计算算法是利用泰勒级数, 通过一定的约束原则, 实现触发角的在线计算, 避免了求解三角函数方程, 算法简单, 易于实现, 具有良好的通用性。

参考文献

[1]杜海江, 石新春.相序相位自适应相控整流器原理分析及实现[J].电工技术学报, 2005 (2) :105-109.

[2]苏涛, 蔡建隆, 何学辉.DSP接口电路设计与编程[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2003.230-232.

[3]李雪, 李训铭, 许胜.有理插值法求解TCR动态无功补偿触发角的探讨[J].电力建设, 2004 (12) :12-14.

篇9：汽车最大侧倾稳定角的简化计算

关键词：汽车侧倾稳定性；质心高度；侧倾稳定角

中图分类号： U467.1 文献标志码： A 文章编号：1005-2550（2014）02-0033-05

目前我国对汽车侧倾稳定性的评价主要通过实际测量最大侧倾稳定角进行确定，但是实际测量存在较大的劳动强度和一定的翻车风险。另外企业进行自主开发试验往往也不具备相应的实验条件。因此寻求一种有效的计算侧倾稳定角的方法仍然具有很强的现实意义。

国内外对汽车侧倾稳定角的计算方法按所建数学模型的不同通常可分为两种：一是将汽车整体作为一个刚体考虑，最简单的方法莫过于按照公式进行计算：

（1）

该公式在各类汽车研究文献中都是把它作为最简化、最基本的一个计算公式。日本TRIALS 2-1971《机动车最大侧倾稳定角试验方法》中所采用的方法即是将汽车整体作为一个刚体考虑的结果。该方法与采用公式（1）相比，原理一样，只是还考虑了以下两个因素：（1）质心位置的左右偏移对汽车向左向右侧倾的影响；（2）各轴轮距的不同对侧倾稳定性的影响。当汽车质心位置处于汽车纵向对称平面上且各轴轮距一样时，则两种方法结果相同。从公式可以看出，只要质心高度已知，其余参数非常容易获取，计算也相当简单。但是这两种方法存在一个致命的弱点，就是没有考虑汽车悬架系统和轮胎刚度对汽车侧倾稳定性的影响。因此计算结果与实际情况存在较大差异，只适用于估算。另一种则是考虑了悬架及轮胎刚度、力矩中心位置、车身的抗扭强度等因素。这种方法可以比较准确地计算出汽车最大侧倾稳定角。文献《汽车侧倾稳定性的动态仿真（一）---数学模型的建立》[1]中结合已有的轮胎力学模型[5]，考虑不同悬架侧倾运动特性[2][3]建立了双轴汽车稳态转向时的侧倾运动数学模型，利用计算机仿真分析取得较为满意的结果。文献《汽车侧倾过程的计算机模模拟分析》[4]介绍了美国密执安大学运输研究院（UMTRI）开发的静态侧倾模型（SRM）并应用该模型对汽车侧倾过程进行了计算机模拟分析，着重分析了影响汽车侧倾的敏感参数。类似的相关文献在汽车侧倾稳定性方面都作了比较深入的研究，但是由于研究或计算中涉及到的因素需要较多专业参数，大多数汽车生产商是无法提供这些参数的，而现今检测机构也没有简单易行的方法对这些参数进行测量，因此该种方法目前仅局限于研究方面的应用。

综上所述，目前对汽车侧倾稳定角的测量或计算存在如下问题：实际测量成本高、劳动强度大、风险大；计算验证采取的两种方法一种误差大，另一种过于复杂、不能推广应用。

因此，本文的研究目的就在于：寻求一种计算汽车侧倾稳定角方法，使之既能满足一定的准确度要求，又方便适用可作为一种日常检测的依据。

1 设想

要解决前面提到的问题，笔者根据已作的一些研究工作提出以下设想：

当汽车随侧倾试验台发生侧倾时，考虑将汽车悬上部分的侧倾角度分为三部分：由轮胎变形引起的倾角部分φ1，由悬架变形引起的倾角部分 φ2和汽车悬上部分作为刚体随试验台产生的倾角部分φ0。显然，利用在前面提到的简易计算方法算出的汽车最大侧倾稳定角由于没有考虑 φ1和 φ2两部分的影响，计算结果比实际偏大。汽车整车作为刚体产生的倾角部分可直接由汽车的质心高度求得，即为 φ0。则汽车实际最大侧倾稳定角α=f（φ0，φ1+φ2）。

式中φ0通过汽车质心高度很容易计算得出（现有手段对测量质心高度也较容易），φ1+φ2的求取是需要关注的重点，拟采用如下方案：将轮胎与悬架系统进行线性简化，建立一汽车静态侧倾模型，从而推导出汽车最大侧倾稳定角与φ1+φ2之间的数学关系，则只要用一种可行的方法求出φ1+φ2则问题得解。

2 数学模型及公式推导

根据前面提出的简化设想，将汽车车身及非悬挂质量分别作为两个独立的刚体，悬架及轮胎的弹性集中简化为一个等效弹簧，建立图1 所示的物理模型。

图1 简化物理模型

图2 将整车作为刚体

当汽车整车作为一个刚体随侧倾试验台侧倾α角时，汽车状态如图2所示，而实际上汽车由于悬架和轮胎的变形，汽车车身会侧倾角度φ，此时的状态，我们用图3来近似代替。

图3 考虑悬架和轮胎变形时的简化

基于上述假设和简化，当实际汽车在侧倾试验台上随侧倾台侧倾至极限状态时，与将汽车整体作为刚体考虑时相比存在如图4 所示的几何关系。

1.M-在汽车水平停放时，质心位置至汽车纵向对称平面的距离；2.α-侧倾试验台倾角；3.G-汽车未发生悬架及轮胎变形时质心位置；4.G'-汽车随侧倾试验台侧倾角α，发生悬架及轮胎变形时的质心位置；5.φ-汽车车身由于弹性变形发生的倾角；6.B-轮距.

图4 侧倾极限时对应的几何关系

由图4可得：

（2）

由三角函数加法公式可得：

（3）

由小角近似得：tanφ≈φ，将其代入式（2），（3）经整理可得：

（4）

所以：

（5）

在获取了式中的相关参数后，便可依据该式计算汽车最大侧倾稳定角。

由式（5）可得，当φ=0时，亦即当将汽车整车作为一个刚体考虑时，有：endprint

（6）

当M=0，亦即当汽车质心位于纵向对称平面时，有：

（7）

该式与第一章中式（1）一致。

3 相关参数的获取

利用式（5）计算汽车最大侧倾稳定角需测量或计算得出的参数如下文。

3.1 轮距B

可直接测量，对于前后轴轮距不同的汽车，取等效轮距：

（8）

式中：B1、B2分别为前后轮距；G1、G2 分别为前后轴重；G为总重。

3.2 质心偏移M

（9）

式中：Gr1、Gl1分别为前轴左、右轮重；Gl2、Gl2分别为后轴左、右轮重。

3.3 质心高度h

在这里作为已知参数，可根据不同条件通过计算或测量得出。

3.4 车身倾角φ

在这里，由于车身倾角φ对应于汽车最大侧倾稳定角，亦即当车身发生倾角φ时，汽车高侧轮胎对侧倾台压力为零。此时，高侧轮胎（等效轮距位置）相对于汽车水平静置时的压力变化为：

* （10）

则 ，代入式（10），得：

（11）

式中：Cφ为车身侧倾角刚度，文献6中有其计算方法的相关介绍，本文不再赘述。

在式（11）的推导过程中没有考虑悬架类型，这在计算车身相对地面的倾角时是适用的。但是将该公式用于式（5）计算最大侧倾稳定角将受到悬架类型的限制。由于在建立数学模型时采用了车身侧倾角度φ与整车附加同样大小的侧倾角效果一样的假设，没有考虑车身的垂直位移，这对于前后非独立悬架汽车而言是可取的；但对于前后独立悬架汽车来说，由于低侧车轮的独立运动，汽车车身在发生倾角φ时其质心位置的变化与所建数学模型中的变化有较大不同，因此式（5）不适用于前后独立悬架汽车；对于通常的前独立后非独立悬架汽车，虽然其前悬架低侧车轮会发生独立运动，但由于车身近似为刚体，其侧倾运动将主要取决于后悬架侧倾状态，因此对于这种类型汽车，在用式（5）计算时，不妨以后悬架代替整车进行计算，此时式中各参数以后轴相应参数代入。

4 试验验证

4.1 测量结果

为了验证公式（5）的有效性，对两辆样车进行了测量，测量结果见表1。

4.2 结果分析

对两辆样车利用侧倾试验台分别测量其实际最大侧倾稳定角，与上述计算结果比较如表2。

从表1、2中对比结果可以看出：两辆样车的计算结果与实际测量结果都有较好的一致性，最大绝对误差不超过1°，由此可见文中所采用的简化方法对于前后非独立悬架汽车以及前独立后非独立悬架汽车来说是适用的。另外，从表中所列结果也可看出计算结果均小于实际测量结果，这与本文所采用的数学模型是相一致的，在建立数学模型时，将汽车车身侧倾角度φ时对汽车质心位置的影响等同于汽车整车侧倾度φ时对汽车质心位置的影响，显然是放大其影响作用，从计算结果和实测结果的一致性可以认为建立数学模型时的这种近似是合适的，因为从工程实践角度来看这种近似既没有引入太大的误差，也使计算结果更为安全。

5 结论与展望

（1）本文在考虑悬架及轮胎变形的基础上建立了汽车静态侧倾简化模型，通过理论推导和试验验证得出通过汽车质心高度计算汽车最大侧倾稳定角的简化方法及公式，试验结果表明该方法具有较高的精度，在工程实践中具有较强的实用性；

（2）在汽车最大侧倾稳定角的简化计算方法试验验证中，出于安全及试验方便考虑，采用的样车均为中、轻型汽车，为了更具说服力，未来将选择适当的重型汽车予以验证，同时还将增加各类验证试验样车数量。

参考文献：

[1]刘合法，花家寿.汽车侧倾稳定性的动态仿真（一）[J].DRIVE SYSTEM TECHNIQUE，2003，17（2）.

[2][德]H-P威鲁麦特.车辆动力学模拟及其方法.北京：北京理工大学出版社，1998年5月.

[3]Aleksander Hac. " Rollover Stability Index Including Effects of Suspension Design".SAE Technical Papers 2002-01-0965，2002.

[4]何锋，廖昌明，杨宁.汽车侧倾过程的计算机模拟分析[J].贵州师范大学学报（自然科学报），1999，17（2）.

[5]庄继德著.汽车轮胎学[M].北京： 北京理工大学出版社，1995.

[6]余志生.汽车理论（第三版）[M].北京：机械工业出版社， 2000.10.endprint

（6）

当M=0，亦即当汽车质心位于纵向对称平面时，有：

（7）

该式与第一章中式（1）一致。

3 相关参数的获取

利用式（5）计算汽车最大侧倾稳定角需测量或计算得出的参数如下文。

3.1 轮距B

可直接测量，对于前后轴轮距不同的汽车，取等效轮距：

（8）

式中：B1、B2分别为前后轮距；G1、G2 分别为前后轴重；G为总重。

3.2 质心偏移M

（9）

式中：Gr1、Gl1分别为前轴左、右轮重；Gl2、Gl2分别为后轴左、右轮重。

3.3 质心高度h

在这里作为已知参数，可根据不同条件通过计算或测量得出。

3.4 车身倾角φ

在这里，由于车身倾角φ对应于汽车最大侧倾稳定角，亦即当车身发生倾角φ时，汽车高侧轮胎对侧倾台压力为零。此时，高侧轮胎（等效轮距位置）相对于汽车水平静置时的压力变化为：

* （10）

则 ，代入式（10），得：

（11）

式中：Cφ为车身侧倾角刚度，文献6中有其计算方法的相关介绍，本文不再赘述。

在式（11）的推导过程中没有考虑悬架类型，这在计算车身相对地面的倾角时是适用的。但是将该公式用于式（5）计算最大侧倾稳定角将受到悬架类型的限制。由于在建立数学模型时采用了车身侧倾角度φ与整车附加同样大小的侧倾角效果一样的假设，没有考虑车身的垂直位移，这对于前后非独立悬架汽车而言是可取的；但对于前后独立悬架汽车来说，由于低侧车轮的独立运动，汽车车身在发生倾角φ时其质心位置的变化与所建数学模型中的变化有较大不同，因此式（5）不适用于前后独立悬架汽车；对于通常的前独立后非独立悬架汽车，虽然其前悬架低侧车轮会发生独立运动，但由于车身近似为刚体，其侧倾运动将主要取决于后悬架侧倾状态，因此对于这种类型汽车，在用式（5）计算时，不妨以后悬架代替整车进行计算，此时式中各参数以后轴相应参数代入。

4 试验验证

4.1 测量结果

为了验证公式（5）的有效性，对两辆样车进行了测量，测量结果见表1。

4.2 结果分析

对两辆样车利用侧倾试验台分别测量其实际最大侧倾稳定角，与上述计算结果比较如表2。

从表1、2中对比结果可以看出：两辆样车的计算结果与实际测量结果都有较好的一致性，最大绝对误差不超过1°，由此可见文中所采用的简化方法对于前后非独立悬架汽车以及前独立后非独立悬架汽车来说是适用的。另外，从表中所列结果也可看出计算结果均小于实际测量结果，这与本文所采用的数学模型是相一致的，在建立数学模型时，将汽车车身侧倾角度φ时对汽车质心位置的影响等同于汽车整车侧倾度φ时对汽车质心位置的影响，显然是放大其影响作用，从计算结果和实测结果的一致性可以认为建立数学模型时的这种近似是合适的，因为从工程实践角度来看这种近似既没有引入太大的误差，也使计算结果更为安全。

5 结论与展望

（1）本文在考虑悬架及轮胎变形的基础上建立了汽车静态侧倾简化模型，通过理论推导和试验验证得出通过汽车质心高度计算汽车最大侧倾稳定角的简化方法及公式，试验结果表明该方法具有较高的精度，在工程实践中具有较强的实用性；

（2）在汽车最大侧倾稳定角的简化计算方法试验验证中，出于安全及试验方便考虑，采用的样车均为中、轻型汽车，为了更具说服力，未来将选择适当的重型汽车予以验证，同时还将增加各类验证试验样车数量。

参考文献：

[1]刘合法，花家寿.汽车侧倾稳定性的动态仿真（一）[J].DRIVE SYSTEM TECHNIQUE，2003，17（2）.

[2][德]H-P威鲁麦特.车辆动力学模拟及其方法.北京：北京理工大学出版社，1998年5月.

[3]Aleksander Hac. " Rollover Stability Index Including Effects of Suspension Design".SAE Technical Papers 2002-01-0965，2002.

[4]何锋，廖昌明，杨宁.汽车侧倾过程的计算机模拟分析[J].贵州师范大学学报（自然科学报），1999，17（2）.

[5]庄继德著.汽车轮胎学[M].北京： 北京理工大学出版社，1995.

[6]余志生.汽车理论（第三版）[M].北京：机械工业出版社， 2000.10.endprint

（6）

当M=0，亦即当汽车质心位于纵向对称平面时，有：

（7）

该式与第一章中式（1）一致。

3 相关参数的获取

利用式（5）计算汽车最大侧倾稳定角需测量或计算得出的参数如下文。

3.1 轮距B

可直接测量，对于前后轴轮距不同的汽车，取等效轮距：

（8）

式中：B1、B2分别为前后轮距；G1、G2 分别为前后轴重；G为总重。

3.2 质心偏移M

（9）

式中：Gr1、Gl1分别为前轴左、右轮重；Gl2、Gl2分别为后轴左、右轮重。

3.3 质心高度h

在这里作为已知参数，可根据不同条件通过计算或测量得出。

3.4 车身倾角φ

在这里，由于车身倾角φ对应于汽车最大侧倾稳定角，亦即当车身发生倾角φ时，汽车高侧轮胎对侧倾台压力为零。此时，高侧轮胎（等效轮距位置）相对于汽车水平静置时的压力变化为：

* （10）

则 ，代入式（10），得：

（11）

式中：Cφ为车身侧倾角刚度，文献6中有其计算方法的相关介绍，本文不再赘述。

在式（11）的推导过程中没有考虑悬架类型，这在计算车身相对地面的倾角时是适用的。但是将该公式用于式（5）计算最大侧倾稳定角将受到悬架类型的限制。由于在建立数学模型时采用了车身侧倾角度φ与整车附加同样大小的侧倾角效果一样的假设，没有考虑车身的垂直位移，这对于前后非独立悬架汽车而言是可取的；但对于前后独立悬架汽车来说，由于低侧车轮的独立运动，汽车车身在发生倾角φ时其质心位置的变化与所建数学模型中的变化有较大不同，因此式（5）不适用于前后独立悬架汽车；对于通常的前独立后非独立悬架汽车，虽然其前悬架低侧车轮会发生独立运动，但由于车身近似为刚体，其侧倾运动将主要取决于后悬架侧倾状态，因此对于这种类型汽车，在用式（5）计算时，不妨以后悬架代替整车进行计算，此时式中各参数以后轴相应参数代入。

4 试验验证

4.1 测量结果

为了验证公式（5）的有效性，对两辆样车进行了测量，测量结果见表1。

4.2 结果分析

对两辆样车利用侧倾试验台分别测量其实际最大侧倾稳定角，与上述计算结果比较如表2。

从表1、2中对比结果可以看出：两辆样车的计算结果与实际测量结果都有较好的一致性，最大绝对误差不超过1°，由此可见文中所采用的简化方法对于前后非独立悬架汽车以及前独立后非独立悬架汽车来说是适用的。另外，从表中所列结果也可看出计算结果均小于实际测量结果，这与本文所采用的数学模型是相一致的，在建立数学模型时，将汽车车身侧倾角度φ时对汽车质心位置的影响等同于汽车整车侧倾度φ时对汽车质心位置的影响，显然是放大其影响作用，从计算结果和实测结果的一致性可以认为建立数学模型时的这种近似是合适的，因为从工程实践角度来看这种近似既没有引入太大的误差，也使计算结果更为安全。

5 结论与展望

（1）本文在考虑悬架及轮胎变形的基础上建立了汽车静态侧倾简化模型，通过理论推导和试验验证得出通过汽车质心高度计算汽车最大侧倾稳定角的简化方法及公式，试验结果表明该方法具有较高的精度，在工程实践中具有较强的实用性；

（2）在汽车最大侧倾稳定角的简化计算方法试验验证中，出于安全及试验方便考虑，采用的样车均为中、轻型汽车，为了更具说服力，未来将选择适当的重型汽车予以验证，同时还将增加各类验证试验样车数量。

参考文献：

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