圆中的证明和计算

圆中的证明和计算（精选3篇）

篇1：圆中的证明和计算

第一组：

1．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的（）

A.外离．

B.相交．

C.外切．

D.内含．

2．⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是

（）

Ａ

Ｏ

Ｂ

A．

相交

B．

相切

C．

相离

D．

无法确定

3.如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于

A．

B．

C．

D．

4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C

=45°，AB=2，则⊙O的半径为

A．1

B．

C．2

D．

5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是

cm．

6．已知：如图，在△ABC中，AB

=

AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．

（1）求证：AD是圆O的切线；

A

B

C

D

P

E

．

O

（2）若PC是圆O的切线，BC

=

8，求DE的长．

7．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若⊙O的半径等于4，求CD的长.8．如图，⊙O的直径=6cm，点是延长线上的动点，过点作⊙O的切线，切点为，连结．若的平分线交于点，你认为∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．

A

O

B

P

C

9.已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC

于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交

AB的延长线于点D.（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O

半径的长；

（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影

部分的面积.10．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.【参考答案】

D

A

C

B

6.（1）证明：∵AB

=

AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD．

又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．……2分

（2）解：连结OP，由BC

=

8，得CD

=

4，OC

=

6，OP

=

2．∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴．

由勾股定理，得．

在△OPC中，在△DEC中，7.解：（1）直线BD与⊙O相切．

证明：如图3，连结OB．-

1分

图3

∵

∠OCB=∠CBD

+∠D，∠1=∠D，∴

∠2=∠CBD．

∵

AB∥OC，∴

∠2=∠A

．

∴

∠A=∠CBD．

∵

OB=OC，∴，∵，∴

．

∴

．

∴

∠OBD=90°．-

--

-2分

∴

直线BD与⊙O相切．

3分

（2）解：∵

∠D=∠ACB，∴

．-

4分

在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB

=

4，∴，．

∴

．-

5分

8.解：∠的大小不发生变化．

…………………………………

1分

M

P

C

B

A

O

·

连结，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=Rt∠．

∵PM是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APM．

∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A．

在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2∠A+2∠APM=90°，∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．

……………………………………

4分

即∠的大小不发生变化．

9.证明：（1）连接OC（如图①），∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.∵OE⊥AC，∴∠A＋∠AOE＝90°.∴∠1＋∠AOE＝90°.又∠FCA＝∠AOE，图①

∴∠1＋∠FCA＝90°.即∠OCF＝90°.∴FD是⊙O的切线.……………………………………………………2分

（2）连接BC（如图②），∵OE⊥AC，∴AE＝EC.又AO＝OB，∴OE∥BC且.……………3分

∴△OEG∽△CBG.图②

∴.∵OG＝2，∴CG＝4.∴OC＝6.………………………………………………………………5分

即⊙O半径是6.（3）∵OE＝3，由（2）知BC＝2OE＝6.∵OB＝OC＝6，∴△OBC是等边三角形.∴∠COB＝60°.………6分

在Rt△OCD中，.∴

.………………………………………………7分

10．（1）证明:

如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.∴

∠EAB+∠E=90°.……………………1分

∵

∠E

=∠C,∠C=∠BAD，∴

∠EAB+∠BAD

=90°.∴

AD是⊙O的切线.……………………2分

（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵

AE=2AO=6,AB=4,∴

.…………………………………………………3分

∵

∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴

…………………………………………………4分

∴

∴

.…………………………………………………5分

第二组

1．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是

A．相交

B．内切

C．外离

D．外切

2．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数是（）

A．25°

B．50°

C．100°

D．150°

3．若两圆的半径分别是2cm和5cm，圆心距为3cm，则这两圆的位置关系是

A．外离

B．相交

C．外切

D．内切

4．如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠C为20°，则∠AOB的度数为__________°．

5．如图，小正方形方格的边长为1cm，则的长为___________cm．

6．已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．

（1）求证:AC是⊙O的切线；

（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9，CA=12.求的值.7．已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC

=∠A.（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.8．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．

9．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P

.（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.10.已知：如图，⊙O的直径=8cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接．

(1)

若，求阴影部分的面积；

(2)若点在的延长线上运动，的平分线交于点，∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．

【参考答案】

A

B

D

6.解：（1）联结OD

∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°

∴BE是⊙O的直径

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CBD=∠ODB，∴BC∥OD

∵，∴BC⊥AC，∴OD⊥AC

-------------------1分

∵OD是⊙O的半径

∴AC是⊙O的切线

-------------------2分

（2）设⊙O的半径为r，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12

∴

-------------------3分

∵BC∥OD，∴△ADO∽△ACB．

∴．∴．

∴．∴

-------------------4分

又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC

∴．

-------------------5分

7．（1）证明：

∵

AB是⊙O的直径，∴

∠ADB=90°．…………………………

1分

∴

∠ABD

+∠A=90°．

又∵∠DBC=∠A．

∴

∠ABD+∠DBC=90°．

∴

∠ABC=90°．

∴BC是⊙O的切线．

………………………2分

（2）解：

∵

OC∥AD，∠ADB=90°，∴

OE

⊥BD，∠OED

=∠ADB=

∠BEC=90°．

∴

BE=BD

=3．

………………………4分

又∵∠DBC

=∠A，∴

△CBE∽△BAD．

∴，即．

∴AD

=．

……………………………5分

8．解：（1）直线CE与⊙O相切．

证明：如图，连结

OD．

∵AD平分∠FAE，∴∠CAD=∠DAE．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAE．

∴∠CAD=∠ODA．

∴OD∥AC．

∵EC⊥AC，∴OD⊥EC．

∴CE是⊙O的切线．　…………………………………2分

（2）如图，连结BF．

∵

AB是⊙O的直径，∴

∠AFB=90°．

∵∠C=90°，∴∠AFB=∠C．

∴BF∥EC．

∴AF∶AC=

AB∶AE．

∵

AF∶FC=5∶3，AE=16，∴5∶8=AB∶16．

∴AB=

10．……………………………………………5分

9、（1）证明：连结OC

…………………1分

∵PD⊥AE于D

∴∠DCE＋∠E=900

∵

AB=AE,OB=OC

∴∠CBA=∠E=∠BCO

又∵∠DCE=∠PCB

∴∠BCO＋∠PCB=900

∴PD是⊙O的切线

……………2分

（2）解：连结AC

………………3分

∵

AB=AE=5

AB是⊙O的直径

BE=6

∴

AC⊥BE且EC=BC=3

∴

AC=4

又

∵

∠CBA=∠E

∠EDC=∠ACB=90°

∴△

EDC∽△BCA

………………4分

∴=

即=

∴

DC=

…………………5分

10.解：(1)

联结OC.∵

PC为⊙O的切线,∴

PC⊥OC

.∴

∠PCO=90°.----------------------------------------------------------------------1分

∵

∠ACP=120°

∴

∠ACO=30°

∵

OC=OA,∴

∠A=∠ACO=30°.∴

∠BOC=60°--------------------------------------------------------------------------2分

∵

OC=4

∴

∴

-------------------------------------------3分

(2)

∠CMP的大小不变，∠CMP=45°

--------------------------------------------------4分

由（1）知

∠BOC+∠OPC=90°

∵

PM平分∠APC

∴

∠APM=∠APC

∵

∠A=∠BOC

∴

∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)=

45°---------------------------5分

第三组

1．如图，已知扇形，的半径之间的关系是，则的长是长的Ａ．倍

Ｂ．

倍

Ｃ．2倍

Ｄ．倍

2.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含圆心角的、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC

面积的比等于

A.B.C.D.3．如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是

（）

A.B.C.D.4．若两圆的半径分别为和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是

A．内含

B．内切

C．相交

D．外切

5．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．若∠BED=30°，⊙O的半径为4，则弦AB的长是

A．4

B．

C．2

D．

6．已知，O的半径为3cm，O的切线长AB为6cm，B为切点.则点A到圆上的最短距离是

cm，最长距离是

cm.7.如图，是⊙O的直径，⊙O交的中点

于，E是垂足.（1）求证：是⊙O的切线；

（2）如果AB=5,tan∠B=,求CE的长.8．已知：如图，点是⊙上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，求弦的长．

9．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交

于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．

10．如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，于E，DA平分.（1）求证：AE是的切线；

（2）若

【参考答案】B

B

A

B

B,.7．(1)

证明：

连接，∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵OA=OB，∴OD∥AC.………………………………….1分

又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线……………………………..2分

(2)

解：连接AD,∵是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，tan∠B=,AB=5,∴设AD=x,则BD=2x,由勾股定理，得

x2+(2x)2

=25，x

=

∴=2………………………………………………….……………………..3分

∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC,∴∠B=∠C.∴Rt△ADB∽Rt△DEC

…………………………………………………………………..4分

∴

∴CE

=

.…………………………………………………………………………………..5分

8.（1）证明：如图，联结．

…………………………………1分

∵，∴

．

∴

是等边三角形．

∴，．

∴

．

∴

．

…………………………………2分

所以，是⊙的切线．

…………………………………3分

（2）解：作于点．

∵，∴

．

又，所以在中，．

在中，∵，∴

．

由勾股定理，可求．

所以，．

…………………………………5分

9．（1）证明：联结BO，……………………………1分

方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，∵AB＝AO，∴∠ABO＝∠AOB，………………2分

又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．

3分

方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°，…………………2分

∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．

……………………………………………………3分

方法三：∵

AB＝AD＝AO，∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上

…………2分

∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．

……………………………………………………3分

（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF，……………………

4分

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，又∵CF=9，∴EF=6．…………………5分

10.（1）

（2）

篇2：例谈直线和圆中的数学思想

数学思想方法与数学知识一样, 是人们对数学内容的本质认识, 是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括, 它对数学学习具有决定性的指导意义.在用直线和圆的知识时, 恰当地运用这些思想方法, 可以起到事半功倍的效果.下面举例说明.

一、数形结合思想

数形结合思想方法是高中数学的重要思想方法, 在直线和圆的方程中, 数形结合贯穿始末.将数化为形, 可使问题化难为易, 化抽象为具体.

例1 解关于 x 的不等式$\sqrt{a{}^2-x{}^2}＞x+a(a＞0).$

简析:若直接求解需分类讨论, 较为繁琐.由于不等式两边函数的几何意义十分明显, 故可利用数形结合求解.

设$y{}_1=\sqrt{a{}^2-x{}^2}‚y{}_2=2x+a$, 作出的图象如图1所示, 由图象可得不等式的解集为[-a, 0) .

点评:对于方程、不等式解的讨论, 仅限于数方面的考虑, 在解决问题时, 过程繁琐.如能分析数式特征, 揭示几何意义, 使数量关系与空间形式巧妙而和谐地结合在一起, 则更有助于问题的良好解决.

例2 已知${\rm M}=\{(x‚y)|y=x+b\}‚{\rm N}=\{(x‚y)|y=\sqrt{9-x{}^2}\}$, 若M∩N≠Ø, 求 b 的取值范围.

解:集合M是斜率为1, 在 y 轴上的截距为 b 的一束平行线, 集合N是以原点为圆心, 半径为3的圆在 x 轴上方的部分 (包括与 x 轴的交点) .由题意作出图形, 如图2, 当直线 y=x+b 过A (3, 0) 时, b=-3.

当直线与半圆相切时, 由点到直线的距离公式有

$\frac{|b|}{\sqrt{2}}=3$, 得$b=\pm 3\sqrt{2}.$

由图形易知 b>0, 故取$b=3\sqrt{2}.$

所以$-3\le b\le 3\sqrt{2}.$

评注:在涉及到半圆或圆的一部分的题目时, 应用数形结合较适宜.本题还可以再求M∩N=Ø时 b 的范围.

二、化归的思想方法

转化与化归就是把复杂问题化归为简单问题, 把非常规问题转化为常规问题而得到解决的思想.一般在直线与圆的方程中, 化形为数或化数为形来解决问题.

例3 求函数$f(x)=\sqrt{x{}^2+1}+\sqrt{x{}^2-4x+8}$的最小值.

$\begin{array}{l}\text{解}:f(x)=\sqrt{x{}^2+1}+\sqrt{x{}^2-4x+8}\\ =\sqrt{(x-0){}^2+(0-1){}^2}+\sqrt{(x-2){}^2+(0-2){}^2}.\end{array}$

令A (0, 1) , B (2, 2) , P (x, 0) , 则问题转化为求点P到A, B两点距离和的最小值, 即求|PA|+|PB|的最小值.

因为A关于 x 轴对称点为A1 (0, -1) ,

所以$(|{\rm P}A|+|{\rm P}B|){}_{\min }=\sqrt{(0-2){}^2+(-1-2){}^2}=\sqrt{13}$,

即 f (x) 的最小值是$\sqrt{13}.$

点评:此问题如从代数角度考虑比较复杂, 如果借助于两点间的距离公式, 转化为几何问题, 则非常容易.

三、方程思想

在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中, 具备标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维, 将问题化归为方程的问题, 利用方程的性质、定理, 实现问题与方程的互相转化接轨, 达到解决问题的目的.

例4 设有三个集合A={ (x, y) |x+ay=1}, B={ (x, y) |ax+y=1}, C={ (x, y) |x2+y2=1}.当 a 为何值时, 集合 (A∩C) ∪ (B∩C) 的元素有两个?有三个呢?

$\begin{array}{l}\text{解}:A{\displaystyle \cap C}=\{(1‚0)‚(\frac{1-a{}^2}{1+a{}^2}‚\frac{2a}{1+a{}^2})\}‚\\ B{\displaystyle \cap C}=\{(0‚1)‚(\frac{2a}{1+a{}^2}‚\frac{1-a{}^2}{1+a{}^2})\}.\end{array}$

所以$(A{\displaystyle \cap C}){\displaystyle \cup (}B{\displaystyle \cap C})=\{(0‚1)‚(1‚0)‚(\frac{1-a{}^2}{1+a{}^2}‚\frac{2a}{1+a{}^2})‚(\frac{2a}{1+a{}^2}‚\frac{1-a{}^2}{1+a{}^2})\}.$

要使之有两个元素, 则$\frac{1-a{}^2}{1+a{}^2}=1‚\frac{2a}{1+a{}^2}=0$或$\frac{1-a{}^2}{1+a{}^2}=0‚\frac{2a}{1+a{}^2}=1$, 得 a=0 或 a=1.

要使之有三个元素, 则$\frac{1-a{}^2}{1+a{}^2}=\frac{2a}{1+a{}^2}$, 得$a=-1\pm \sqrt{2}.$

综上, 当 a=0或1时, (A∩C) ∪ (B∩C) 有两个元素:{ (1, 0) , (0, 1) };当$a=-1\pm \sqrt{2}$时, (A∩C) ∪ (B∩C) 有三个元素:$\{(1‚0)‚(0‚1)‚(\frac{-1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}‚\frac{-1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}})\}$或$\{(1‚0)‚(0‚1)‚(\frac{-1-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}‚\frac{-1-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}})\}.$

四、分类讨论思想方法

当面临问题不宜用一种方法解决或同一种形式叙述时, 就要把问题按照一定的原则或标准分为若干类, 然后逐类进行讨论, 再把这几类的结论汇总, 得出问题的答案.

例5 已知集合A={ (x, y) |l1:$\frac{y-3}{x-2}=a+1\}$与B={ (x, y) |l2: (a2-1) x+ (a-1) y=15}满足A∩B=Ø, 求实数 a 的值.

解: (1) a=1时, B=Ø, 则A∩B=Ø.

(2) a≠1时, A={ (x, y) | (a+1) x-y+ (1-2a) =0},

B={ (x, y) | (a2-1) x+ (a-1) y-15=0}.

由A∩B=Ø, 有两种情况:

①集合A、B中的两条直线平行, 则

$\frac{a+1}{a{}^2-1}=-\frac{1}{a-1}\ne -\frac{1-2a}{15}$,

解得 a=-1;

②B中直线过点 (2, 3) , 而A中直线上缺少 (2, 3) 这一点, 此时 l1 与 l2 相交为空, 即A∩B=Ø.

所以2 (a2-1) +3 (a-1) =15,

解得 a=-4或$a=\frac{5}{2}.$

经检验, 此时两直线不重合.

综上, 当 a=-4或 a=-1或 a=1或$a=\frac{5}{2}$时满足A∩B=Ø.

点评:对于直线, 我们首先考虑斜率是否存在的问题, 然后再看题目的特征, 得出斜率存在时也有两种情况, 从而达到不漏的目的.

篇3：直线和圆中的最值求解方法

一、建立二次函数用顶点法

例1在直线L∶y=2x上求一点P，使P点到两定点A（3，0）、B（0，4）的距离的平方和为最小.

解设P（x,2x)，则有

|PA|2+|PB|2

=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2

=10x2-22x+25

∵a=10>0,∴抛物线开口向上，

∴函数在顶点处取得最小值.

∴当x=-b2a=--222×10=1110时，|PA|2+|PB|2取最小值，故P点坐标为（1110，115）.

点评二次函数求最值一般用配方法，本题只求x的值，所以用顶点法要简单.

二、设角为自变量用三角法

例2过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正向于A、B两点，求|PA|·|PB|最小时的直线l的方程.

分析此直线过已知点，求出斜率即可，若直接设斜率为k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.设角为自变量即可转化为三角函数求最值，易求斜率.

图1解如图1，过P做PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，设∠BAO=θ，则∠BPD=θ,则|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.

要使|PA|·|PB|最小，只需sin2θ最大，即sin2θ=1,2θ=90°,∠BAO=θ=45°，∴kAB=kl=tan135°=-1.

故直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.

三、建立一元二次方程用判别式法

例3已知直线l1∶y=4x，和点P（6，4），在直线l1上求一点Q，使过P、Q的直线与l1以及x轴在第一象限内所围成的三角形面积最小.

图2解如图2，设Q（x1,4x1)，则直线PQ的方程y-44x1-4=x-6x1-6.

令y=0，得x=5x1x1-1,故点A的坐标为（5x1x1-1,0).

∴S=12·4x1·5x1x1-1=10x21x1-1.

即10x21-Sx1+S=0(1)

∵x1为实数，∴Δ=S2-40S≥0,∵S>0,

∴S≥40，将S=40代入（1）得x21-4x1+4=0.

解方程得x1=2,y1=4x1=4×2=8.

故点Q（2，8）.

点评问题转化为函数后为分式函数，可考虑用判别式法求最值.

四、注意变元为正，用均值不等式法

例4过已知点P（1，4）引一条直线，要使它在两坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这条直线的方程.

解设在两个坐标轴上的截距分别为a、b，则所求直线方程为xa+yb=1.(1)

将P（1，4）代入方程（1）得

1a+4b=1，

解得a=bb-4,∵a>0,b>0,∴b>4.

设截距之和为L，则

L=a+b=bb-4+b=b-4+4b-4+b-4+4

=1+4b-4+(b-4)+4=5+(b-4)+4b-4

≥5+2(b-4)·4b-4

=5+24=5+4=9.

当且仅当b-4=4b-4时取等号，即b=6或b=2.此时a=3或a=-1.又a>0,b>0,∴a=-1舍去.

故所求直线方程是x3+y6=1，即2x+y-6=0.

点评构造变元积为定值，求和的最小值.关键是作b=b-4+4的技巧性的变形.

五、注意转化，巧用函数的单调性

图3例5如图3，在平面直角坐标系中，在y轴正半轴上（坐标原点除外）给定两点A、B，C点在x轴正半轴上移动，问C点在何处时∠ACB最大，并求最大值.

分析要求角的最值，先取一个函数，求函数的最值，关键是用函数的单调性.

解设A（0，a)、B（0，b),00.令∠ACB=α，于是

tanα=kBC-kAC1+kBCkAC=-bx+ax1+abx2

=a-bx+abx=a-bab(xab+abx)

记y=xab+abx≥2,当且仅当x=ab时，y取最小值2.

因此，当x=ab时，tanα取最大值a-b2ab.

∵在(0,π2)内y=tanα是增函数，

∴C点在（ab,0)时，α取最大值arctana-b2ab.

即C点在（ab,0）时，∠ACB取最大值，这个最大值为arctana-b2ab.

点评此题是求角的最大值，形式新颖，解法灵活、技巧性强，值得一学.

六、注意数形结合，巧用对称法

例6已知圆C：（x-3)2+(y-1)2=4和直线l:x-y-5=0，在C上求两点，使它们和l的距离分别是最近和最远.

解已知圆的圆心为C（3，1），过C点作直线l′⊥l于D，且l′交圆C于A1、A2，又圆是中心对称图形，所以A1、A2是与l的距离分别是最近和最远的点.离垂足近者为最近距离点，离垂足远者为最远距离点.

∵直线l的方程为y=x-5,∴kl=1,则kl′=-1.故直线l′的方程为y-1=-(x-3),即y=-x+3+1,解方程组

y=-x+3+1

(x-3)2+(y-1)2=4①

②

把①代入②后，化简整理，得

2（x-3)2=4,即(x-3)2=2,

∴x-3=±2,x=3±2，代入①得

y1=1-2,y2=1+2.

故所求两点是（3+2,1-2),(3-2,1+2).

七、注意转化，巧用公式a2+b2≥2ab法

例7设满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

解设圆的圆心为P（a,b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.

由题设知圆P截x轴所得劣弧的圆心角为90°，知圆截x轴所得弦长为2r，故r2=2b2.

又圆P截y轴所得长为2,所以有r2=a2+1.从而2b2-a2=1.

又点P（a,b)到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|5.

所以5d2=|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=a2+4b2-2a2-2b2=2b2-a2=1.

当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，从而d有最小值.此时a=b

2b2-a2=1,解方程组得a=1

b=1,或a=-1

b=-1.由于r2=2b2=2,∴r=2.

于是所求圆的方程是（x-1)2+(y-1)2=2,或（x+1)2+(y+1)2=2.

八、巧变形，用一次函数的单调性法

例8在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c=10,cosAcosB=ba=43,P为△ABC内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值.

解由cosAcosB=ba，根据正弦定理，有

cosAcosB=sinBsinA,sinAcosA=sinBcosB,

sin2A=sin2B.

∵A≠B,2A≠2B,∴A+B=π2,故△ABC是直角三角形.由c=10，ba=43,a2+b2=102及a>0,b>0,得a=6,b=8.

图4如图4，设△ABC内切圆的圆心为O′，切点为D、E、F，内切圆半径为r，则2r=a+b-c=6+8-10=4,∴r=2.

建立如图4的直角坐标系，则内切圆方程为

（x-2)2+(y-2)2=4.

设圆上动点P的坐标为（x,y),则P点到A、B、C的距离的平方和为

W=|PA|2+|PB|2+|PC|2

=（x-8)2+y2+x2+(6-y)2+x2+y2

=3［(x-2)2+(y-2)2］-4x+76

=88-4x

∵P点在内切圆上，故必有0≤x≤4.

∴W最大值=88；W最小值=72.

点评解此题的关键是证明△ABC为直角三角形，写出内切圆方程（x-2)2+(y-2)2=4,在建立函数式中凑出（x-2)2+(y-2)2=4，整体代入4，为用一次函数单调性创造条件，方法灵活、技巧性强，值得一学.

(收稿日期：2013-06-15)