241圆的有关性质教案

241圆的有关性质教案（共11篇）

篇1：241圆的有关性质教案

初三数学总复习教案－圆的有关性质

教学目标: 知识目标：

（1）理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系；

（2）掌握垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理并会用它们进行计算；

（3）掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。（4）会用尺规作三角形的外接圆；了解三角形的外心的概念.能力目标：

通过知识点和典型题的讲练，使学生熟练掌握本节课的知识点，再用题图变形与题组训练来培养学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性。情感目标：

通过题图变形与题组训练来激发学生学习数学的兴趣；同时将课本的题目与中考题结合在教学当中以进一步向学生强调“依纲靠本”的复习指导思想，强化学生的中考意识。知识结构

定义不在同一直线上的三点圆点的轨迹 轴对称垂径定理性质旋转不变性圆心角、弦、弧、弦心距的关系1的弧的概念圆周角定理圆内接四边形及性质

重点、热点

垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.【典型例析】

例1.（1）[2002.广西] 如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，若OE=OF，则（只需写出一个正确的结论）.（2）[2002.广西] 如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD=.[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.[解答]（1）AB=CD或 AB=CD或AD＝BC, 直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.（2）由三角形的中位线定理知OD=

12BC

[拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用.例2.（1）[2002.大连市]下列命题中真命题是（）.A.平分弦的直径垂直于弦 B.圆的半径垂直于圆的切线 C.到圆心的距离大于半径的点在圆内 D.等弧所对的圆心角相等

（2）[2002.河北] 如图7.1-3.AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦，若AB=10cm,CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离

之和为（）.A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm

(3)[2002.武汉市] 已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100，则圆周角∠BAC的度数是（）.A.50 B.100 C.130 D.200



[特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价.[解答]（1）D（考查对基本性质的理解）.(2)D(过O作OM⊥CD，连结OC，由垂径定理得CM=

12CD=4，由勾股定理得OM=3，而AB两点到CD的距离

和等于OM的2倍)(3)A(由圆周角定理可得)

[拓展] 第（2）题中，涉及圆的弦一般作弦心距.例3.[2002.广西南宁市]圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是.[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.[解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x.∵∠A+∠C=180，∴x+3x=180，∴ x=45.∴∠A=45，∠ B=90，∠C=135，∠ D=90.∴ 最大角为135.[拓展]此题着眼于基本性质、基本方法的考查.设未知数，列方程求解是解此类题的基本方法.例4.[2002.陕西] 已知，如图7.1-5 BC为半圆O的直径，F是半圆上异于BC的点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E.（1）求证：BE•BF=BD•BC

（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理.[特色] 此题是教材中的习题变形而来，它立意于考查分析、观察、比较、归纳等能力.[解答]（1）连结FC，则BF⊥FC.在△BDF和△BCF中，∵∠BFC=∠EDB=90，∠ FBC=∠EBD，∴△BDE∽△BFC，∴ BE∶BC=BD∶BF.即 BF•BE=BD•BC.（2）AE>BD , 连结AC、AB 则∠BAC=90.∵AFAB, ∴∠1=∠2.又∵∠2+∠ABC=90，∠3+∠ABD=90，∴∠2=∠3，∠1=∠3，∴ AE=BE.在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD.[拓展] 若AC交BE于G，请想一想，在什么情况下线段BE、BG、FG有相等关系？

例5.[2001.吉林省]如图7.4-1，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G.（1）求⊙O的半径R；

（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、90三者之间的关系式（只需写出一个），并证明你的结论.[特色]此题第二问设计为开放性问题，它立意考查学生分析、观察、比较、归纳能力.[解答]（1）连结OE，则OE⊥AD.∵四边形是矩形，∴∠D=90, OE∥CD，

∴AC=AD2DC2=826215.4=10.∵△AOE∽△ACD，∴ OE∶CD=AO∶AC，∴ R∶6=(10-R)∶10，解之得： R=（2）∵四边形是圆的内接四边形，∴∠EFB=∠EGC，∵∠EGC=90+β，∴α =90+β 或 ∵ β<90，α =∠EGC>90，∴ β < 90< α.[拓展]比较角的大小时，要善于发现角与角之间的关系，判断角是锐角还是直角、钝角.[中考动态前瞻] 本节考查的题型常以填空、选择、解答题的形式出现，重点考查对圆的基本慨念、基本性质的理解及运用.特别是垂径定理及推论、圆周角定理及推论的运用是考查的重点内容.对圆内接四边形的性质进行考查，主要以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现，利用圆内接四边形的性质主要是得到角相等或互补.一般不会考较复杂的计算、证明.

篇2：241圆的有关性质教案

24.1 圆的有关性质

24.1.1 圆

※教学目标※ 【知识与技能】

探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.【过程与方法】

1.体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系． 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【情感态度】

在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 【教学重点】

圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题． 【教学难点】

圆的集合定义方法． ※教学过程※

一、情境导入

（课件展示图片）观察下列图形，从中找出共同特点．

学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．

二、探索新知

1.圆的定义

（课件展示）观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 同时从圆的定义中归纳：

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

于是得到圆的第二定义：所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

思考 为什么车轮是圆的？

把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．

2.圆的有关概念

弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的AB）叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧（如图中的AB）叫做劣弧.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧.三、巩固练习

1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由.2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?

3.如图,一根5m长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域.答案：1.首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.2.23÷2÷20=0.575(cm),故这棵红衫树的半径每年增加0.575cm.3.四、归纳小结 1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点．

2.通过这节课的学习，你还有那些收获？ ※布置作业※

从教材习题24.1 中选取． ※教学反思※

篇3：241圆的有关性质教案

笔者在解决高中几何题时，经常会碰到这类问题：在圆中，做圆的各种切线、割线，再引出一系列问题.此类题目看似错综复杂，实则都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，研究透彻它的性质，看似复杂的几何题便可迎刃而解.

1知识介绍

定义设A、B关于⊙O互为反演点，过B作OA的垂线l称为点A关于⊙O的极线；A称为l的极点.

注：若点A在⊙O外，过A做⊙O的两条切线，切点为B、C，则BC是点A的极线.

性质1（配极原则）设A在D的极线上，则D也在A的极线上.一般称A、D关于⊙O互为共轭点.

性质2设过两共轭点A、D的直线交⊙O于两点B、C，则A，B，D，C为调和点列.

由性质1和2，可得

性质3若点A的极线为l，过A作⊙O的割线ABC与l交于点D，则A，B，D，C为调和点列.反之亦然.

性质4A，B，C，D是⊙O上四点，直线AB与CD、AC与BD、AD与BC分别交于点P，Q，R.则三点中任意两点的连线的极点是第三点[1].

2巧解几何题

例1（2013年美国国家队选拔考试）在锐角△ABC中，以AC为直径的圆Γ1与边BC交于点F（异于点C），以BC为直径的圆Γ2与边AC交于点E（异于点C），射线AF与圆Γ2交于两点K、M，且AK

分析性质4是证明三线共点的有利工具.结合待证的结论和图1可知，只需证明K，L，M，N四点共圆，便可利用性质4立即得证.从已知条件易得K，L，M，N四点共圆.整道题的证明可谓水到渠成，一气呵成.

图1证明如图1，设CD⊥AB于点D，H为△ABC的垂心.则圆Γ1、Γ2均与AB交于点D.

由圆幂定理知LH·HN=CH·HD=KH·HM，因此，K、L、M、N四点共圆.注意到，AC、BC分别是四边形KLMN对角线LN、KM的中垂线，则四边形KLMN的外接圆的圆心为C.因为∠ANC=∠ALC=90°，所以，AN、AL与四边形KLMN的外接圆⊙C分别切于点N，L.

由性质1，点H在A关于⊙C的极线上.同理，点H在B关于⊙C的极线上.

由性质4，知ML与NK的交点在H关于⊙C的极线AB上.证毕.

例2（2009年IMO中国国家队选拔考试）设D是△ABC的边BC上一点，满足∠CAD=∠CBA.⊙O经过点B、D，并分别与线段AB、AD交于点E、F，BF与DE交于点G，M是AG的中点.求证：CM⊥AO[3].

图2分析本题欲证CM⊥AO，只需证CM平行于点A的极线.又利用性质3的调和分割性质，结合题目构造出点A的极线便可轻松证明.一道复杂的几何题利用极线极点便可轻松解决，可见极线极点在几何题中的妙用.

证明连接EF并延长，与BC交于点P，连接AP，连接GP并延长分别交AB、AD于I、K，交AC延长线于L，延长AG与BC交于H.

因为∠DFP=∠ABD=∠DAC，所以PF∥CA.

由完全四边形BDPFEG的调和性可知A、F、K、D四点调和，A、E、I、B四点调和，于是得到2AF·KD=AK·FD，可得AFFD·KDAK=12，

因为AFFD=PCPD，所以PCPD·KDAK=12.

考察△ADC被直线KPL所截ALLC·PCPD·KDAK=1，得到ALLC=2，所以C为AL的中点，所以CM∥PG.

下面运用极线极点证明PG⊥AO.

A、E、I、B四点调和，A，F，K，D四点调和，由性质3得到PI的连线为点A关于⊙O的极线.由极线的定义，可得PG⊥AO，因为CM∥PG，所以CM⊥AO.

证毕.

例3（2010年全国高中数学联赛加试）如图3，已知锐角△ABC的外心为O，K是边BC上的一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆[4].

图3分析原题提供的解答，用了十分复杂且麻烦的方法证明了当A、B、D、C四点共圆时，OK⊥MN.再利用反证法证明了结论.但是若知道极线极点的性质，我们可以很快的证明出垂直来.

证明先证当A，B，D，C四点共圆时，OK⊥MN.

当A，B，D，C四点共圆时，由性质4，可得点K关于⊙O的极线是MN.根据极线的定义，可得OK⊥MN.再利用反证法，便可很快证出结论.此处不再赘述.

参考文献

[1]单墫译.近代欧氏几何学[M].哈尔滨工业大学出版社，2012.

[2]2013美国国家队选拔考试[J].中等数学，2014（8）.

[3]2009年IMO中国国家队选拔考试[J].中等数学，2009（7）.

[4]2010全国高中数学联合竞赛[J].中等数学，2010（12）.

作者简介黄燕华，女，广东汕头人，1990年2月生，华南师范大学研究生.林生放，男，广东陆河人，1989年12月生，广东省广州市真光中学数学教师，二级教师.

篇4：241圆的有关性质教案

罗泥新 学习目标：

1、掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。

2、掌握圆的切线常用添加辅助线的方法

复习指导

1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？

2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？

3、通过作图2，你是怎样得出圆的切线判定和性质的？

（二）过程与方法：

1、运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力；

2、进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。

（三）情感态度与价值观：

形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用． 教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程． 教学方法：先学后教，当堂训练 教学过程：

一、切线的判定及性质：

1、作图1：过⊙O外一点P作直线，(设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想)

作图2：若点A为⊙O上的一点，如何过点A作⊙O的切线呢？（请学生上黑板按要求作图）

（设计意图：利用作图，体会切线的判定定理内容有两个要点：①经过半径的外端②垂直于半径，并且从命题的题设与结论出发加深对判定的理解，自然过渡到圆的切线性质）

归纳小结：判断直线与圆相切的方法有哪些？圆的切线的性质是什么？（设计意图：概括归纳切线的判定和性质，形成切线的判定与性质知

2、课堂检测：

(1)已知⊙O直径为8cm，直线L到圆心O的距离为4 cm，则直线L为。

（2）PA切⊙O于点A,PA=4,OP=5,则⊙O的半径是____（设计意图：应用圆的切线判别方法及性质解决简单数学问题，同时做法指导：见切线，连半径，得垂直，同时体会转化的数学思想）（3）已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． ①求证：直线AB是⊙O的切线．

②若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA的长。

（设计意图：本题是对圆的判定及性质的综合应用。从判别方法说，可以从判定定理入手，旨在体会辅助线的添法（点已知，连半径，识体系）

O与⊙O的位置关系

AP在性质应用时体现辅助线

可以从数量关系证明，也证垂直）和判定方法的灵活应用；从性质入手的计算问题往往与直角三角形、勾股定理相关，让学生体会知识点间的密切联系和转化的思想）

二、当堂训练：

1、如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB①判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。②通过上述证明，你还能得出哪些等量关系？

③若OA与⊙D相切于点F，且∠AOB=60º，⊙D上存 在一动点P(不与E、F重合),求∠EPF的度数。

于E，以DE为半径作⊙D，ACD EOB（设计意图：本题在问题①中旨在体会判定方法的灵活应用，当公共点未知时，应该从数量关系角度判定，所以要做垂直，证明距离等于半径（辅助线添加：点未知，做垂直，证半径）；问题②是变式练习，圆的切线相关知识还有切线长定理和三角形内切圆和内心等问题，所以在此为后继学习伏笔；另外对于问题③则是分类讨论思想的体会，让学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题）

2、小结提升：

①有关圆的切线证明和计算常用辅助线的添法有哪些？ ②本节课的学习过程中，渗透了哪些思想方法？

（设计意图：综合概括本节课添加辅助线解决圆的切线问题时的不同方法及体现的数学思想方法，使学生用数学的眼光看待圆的切线问题）

三、作业设计：

1、已知: 在△ABD中，∠BAD= 40°，∠B=10°，⊙O经过点A和点D，圆心O在AB上，⊙O交AB于点C，那么BD是⊙O切线吗？请证明你的结论.四、板书设计：

圆的切线判定和性质复习

一、定义

例1

作图1

二、切线判定方法

作图2

例2

三、切线性质

篇5：241圆的有关性质教案

24.2圆的基本性质（4）

【教学内容】圆的确定。【教学目标】 知识与技能

了解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．

了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．

了解反证法的证明思想 过程与方法

通过引导学生添加辅助线，培养学生的创造能力。情感、态度与价值观

在运用数学知识解决问题的过程中，建立学习数学的自信心。【教学重难点】

重点：圆的确定条件。

难点：圆的确定条件、反证法。【导学过程】 【知识回顾】

1、圆的两种定义是什么？

2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？ 【情景导入】

自学教材内容，尝试自主解决以下问题：

思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？ 各部分的点与圆有什么共同特征？

【新知探究】 探究

一、探究、实践、交流：（1）、平面上有一点A，经过已知A点的圆有 个，圆心为（2）、平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有 个，它们的圆心分布的特点是（3）、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆分为两类：一种是三点在一条直线上，这时的圆有 个，圆心为 ；三点不在一条直线上，这时经三点 作圆。上述结论用于三角形，可得：经过三角形的三个顶点 作圆。3有关概念：

①经过三角形的三个顶点可以做一个圆，并且只能画一个圆，这个圆叫做 ．

②外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的 ． ③三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的 离、相等。

4、想一想

①一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？ ②什么是反证法？用反证法证明的第一步是什么？

5教师提示：可根据本班的具体情况而定。

【知识梳理】

本节课你有哪些收获？请与同学们分享。【随堂练习】

1、已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米

（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

2、判断下列说法是否正确

篇6：241圆的有关性质教案

24.2圆的基本性质（3）

【教学内容】 弧、弦、圆心角、弦心距。【教学目标】 知识与技能

掌握圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个量就相等，及其它们在解题中的应用 过程与方法

通过观察、比较、分析，发展学生的推理能力及培养学生的识图能力。情感、态度与价值观

通过观察、比较、分析，发展学生的推理能力，建立学习数学的自信心。【教学重难点】

重点：弧、弦、圆心角、弦心距关系的性质

难点：弧、弦、圆心角、弦心距关系的性质 【导学过程】 【知识回顾】

（学生活动）请同学们完成下题．

已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．

ABO

【新知探究】 探究

一、自学教材，思考下列问题： 举例说明什么是圆心角？

2、教材Ｐ82探究中，通过旋转∠AOB，试写出你发现的哪些等量关系？为什么？

在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？

4、由探究得到的定理及结论是什么？

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦，所对的弦的弦心距___________。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等,所对的弦的弦心距___________．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等,所对的弦的弦心距___________,．

在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么它们所对的 相等，•所对的 相等，所对的___________也相等。．

【知识梳理】

弧、弦、圆心角、弦心距关系的性质。【随堂练习】

如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．

（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？什么？∠AOB与∠COD呢？

ACFEODB

篇7：借助圆的几何性质巧解题

一、 巧用垂径定理

例1 (2008年重庆卷)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0, 1),则直线l的方程为.

分析 若直接设出直线l的方程,再和圆的方程联立,利用韦达定理并结合中点坐标公式求解,则过程繁琐.如果注意到圆的几何性质“垂径定理”,那么可知圆心C与弦中点D的连线与直线l垂直,便可迅速解决问题.

解 由圆x2+y2+2x-4y+a=0的圆心为C(-1, 2),弦AB的中点为D(0, 1),可知kCD=1-20-(-1)=-1.

由垂径定理,得CD⊥AB,则kAB=1,故直线l的方程为y-1=x,即x-y+1=0.

点评 利用垂径定理,从几何的角度也可推导出弦长公式:在圆中,半径r、弦心距d、半弦长12|AB|组成勾股数,即AB=2r2-d2.它在解题中有着广泛的应用.

二、 巧用“直径所对圆周角是直角”

例2 已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0,求证:对任意实数m,l1与l2的交点P在一个定圆上.

分析 若联立l1,l2的方程,求出点P的坐标,即点P的轨迹的参数方程,然后再消去参数m,得到点P的轨迹的普通方程,则往往会因计算量大而得不到最后的结果.而仔细审题,便能发现这两条直线相互垂直且分别过定点,利用直径所对的圆周角是直角,解题思路便豁然开朗.

证明 因为l1:mx-y=0恒过定点O(0,0),l2:x+my-m-2=0恒过定点Q(2, 1),

且l1,l2相互垂直,所以l1与l2的交点P在以线段OQ为直径的圆上,即在定圆(x-1)2+y-122=54上.

点评 利用直径所对的圆周角是直角,可推导出以两定点A(x1,y1),B(x2,y2)为端点的线段为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.另外,若AB是圆O的直径,则要判断点P与圆O的位置关系,只需看∠APB与90°的大小关系,即等于90°表示点在圆上,小于90°表示点在圆外,大于90°表示点在圆内.

三、 巧用相交弦定理

例3 如下图,已知圆O的方程为x2+y2=1,设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A(3,0)且与x轴垂直的直线为l,直线PM交直线l于点P′,直线QM交直线l于点Q′.求证:以P′Q′为直径的圆C总过定点,并求出该定点的坐标.

分析 通常可以求出点P′,Q′的坐标,然后求出以P′Q′为直径的圆C的方程,最后再探索圆C过哪个定点;但这样求解,运算量将很大.若另辟蹊径,根据题目特征,适时运用相交弦定理,则思路将很清晰.

解 因为PQ是圆O的直径,则∠PMQ=90°.

设直线PM的斜率为k,则直线QM的斜率为-1k,于是

lPM:y=k(x+1);lQM:y=-1k(x-1).

令x=3,分别得P′(3,4k),Q′3,-2k.

于是AP′•AQ′=4k-2k=8.

因为圆C与x轴相交,设交点为E,F,又P′Q′是圆C的直径,P′Q′⊥EF(即l⊥x轴)于A,

所以利用相交弦定理,有AE•AF=AP′•AQ′=8,则AE=AF=22.

又A(3, 0),故圆C过定点E(3-22,0),F(3+22,0).

点评 一般而言,相交弦定理在平面几何问题中常被用到;而在解析几何问题中,许多同学常忽视之,想不起来运用它.其实,知识是相通的,若条件具备,使用合理,则往往能化繁为简,使问题直观简捷地获解.又如2008年江苏卷第18题第(3)问中的圆过定点问题,当点O在圆内时,用相交弦定理也很容易解释之.

四、 巧用切割线定理

例4 一圆过两点A(2,1),B(10,5),且与x轴切于点C,求点C到原点O的距离OC.

分析 若求出该圆的方程后,再利用勾股定理求OC,则思路直接,但运算量大.而注意到隐含条件A,B,O三点共线,则结合切割线定理,问题便可迎刃而解.

解 因为kOA=12,kOB=510=12,所以kOA=kOB,所以A,B,O三点共线.

又OC是圆的切线,根据切割线定理,得OC2=OA•OB=25,则OC=5.

点评 解决本题的关键是挖掘出了隐含条件A,B,O三点共线,为使用切割线定理创造了条件,从而大大缩短了思维过程,精简了解题步骤.

五、 巧用两圆公切线的性质

例5 (2004年全国卷)在直角坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有条.

分析 乍看本题,好象无从下手;有的同学想直接设出直线的方程,利用点到直线的距离公式求解,但因所设的参数较多,而使思维受阻,一时很难展开.实际上,若记着两圆公切线的定义与性质,联想题设特征,将问题转化为确定两圆的位置关系,则便有“柳暗花明”的感觉.

解 记以A(1,2)为圆心,1为半径的圆为圆A,以B(3,1)为圆心,2为半径的圆为圆B,

因为AB=(3-1)2+(1-2)2=5,且1<5<3,故两圆相交,故它们有两条外公切线,即满足题意的直线有2条.

点评 解本题的关键是运用转化与化归的思想,但前提是熟悉两圆公切线的性质.

实际上,(平面)解析几何是用代数方法进行研究的几何学.因此,在学习这部分知识时,不能偏重于应用代数(函数、方程、不等式)的思想方法来解题,而忽视(平面)几何思想方法的应用.其实,若能恰当地应用(平面)几何的性质来解题,则对拓广解题思路,打破思维定势,减少解题运算量,都将起到非常重要的作用.

巩固练习

1. 已知圆C的圆心在直线x+2y=0上,圆C过点A2, -3,且被直线x-y-1=0截得的弦长为22,求圆C的方程.

2. 已知直线2x+y-6=0,x-2y+8=0及x-y=0,求它们所围成的三角形的外接圆方程.

3. 设函数f(x)=(x-2008)(x+2009)的图像与坐标轴有三个交点,求过这三点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标.

4. 已知直线y=mx与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于P,Q两点,试求OP•OQ(其中O为坐标原点)的值.

5.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为.

6. 已知P是圆x2+y2=1上的任一点,Q是直线x+2y-5=0上的任一点,则PQ的最小值为.

篇8：圆的切线的判定与性质教学设计

24.2.2.2切线的判定和性质教学设计

备课人：杨智刚

时间：2013年11月18日

【教学目标】

一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。

2.会过圆上一点画圆的切线。

二、过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性。

三、情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。

【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理，并运用。【教学难点】探索切线的判定方法。【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】

一、导语：通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线。

师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫。

二、探究新知

（一）切线的判定定理

1.推导定理：根据“直线l和⊙O相切d=r”，如图所示,因为d=r直线l和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线l的距离，即垂直，并由d=r就可得到l经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

分析：

1、垂直于一条半径的直线有几条？

2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？

3、去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？

师生行为：学生画一个圆，半径OA，过半径外端点A的切线l，然后将“d=r直线l和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

设计意图：过学生亲自动手画图，进行探究，得出结论。

思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？ 总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线。

思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？

① 圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线 ③上面的判定定理.师生行为：教师引导学生汇总切线的几种判定方法

思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？

2.定理应用

①完成课本例1 黄麓镇中心学校2013-2014学第一学期九年级数学教案

分析：已知点C是直线AB和圆的公共点，只要证明OC⊥AB即可，所以需要连接OC，作出半径。

知道一条直线经过圆上某一点，则连接这点和圆心，证明该直线与所作半径垂直即可.②如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，以OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切

分析：题中没有给出直线AC与⊙O的公共点，过点O作直线AC的垂线OE，证明垂线段OE等于半径OD即可。不知道直线和圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段等于半径，从而证明直线是圆的切线.③.如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．

（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？

（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？

分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的距离等于半径，所以只要求出如图所示的CD即可．

（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．

师生行为：学生独立思考，然后小组交流，教师及时引导点拨画出辅助线，并规范解题步骤。学生审题，由本节课知识思考解决方法。结合题目特点，选择合适的判定方法和性质解决问题，感知作辅助线的必要性。

（二）切线的性质定理 1.阅读课本96页思考

2.如图，CD是切线，A是切点，连结AO与⊙ O交于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°因此，可得切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径．

3.切线的性质归纳： ①切线和圆只有一个公共点。

②切线和圆心的距离等于圆的半径。③上面的性质定理。

④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

（三）综合应用拓展

如图，AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,∠ DCB=∠A．（1）CD与⊙O相

（2）切吗？若相切，请证明，若不相切，请说明 理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

师生行为：学生阅读课本内容，尝试说明为什么圆的 切线垂直于过切点的半径。教师引导学生汇总切线的性质，全面深化 理解切线的性质。

学生尝试综合应用切线的判定和性质，解决问题。学生进行练习，教师巡回检查，指导学生写出解答过程，体会方法。

设计意图：综合应用切线的判定和性质解题，培养学生的分析能力和解题能力让学生通过练习进一理

解，培养学生的应用意识和能力。黄麓镇中心学校2013-2014学第一学期九年级数学教案

三、课堂训练：完成课本96页练习

四、小结归纳

1.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

3.常见作辅助线方法

师生行为：让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总。

设计意图：归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯。

篇9：有关圆的构想

有个老师曾经问过我们全班同学一个问题“为什么路上的井盖几乎是圆形的呢?”当时的我苦思冥想却怎么也想不出来。其答案就是“因为圆形的圆心到其边的距离都是相等的，所以无论井盖怎么转动都不会掉下井去，因此可以保证路人和车辆的安全。

当我们在孩童时期，无不天真烂漫，小小的脑袋里面装着好多新奇的想法，当然不免身上有很多“棱角”。随着时光如水般流逝，生活带给我们太多惊喜抑或是无奈，岁月毫不吝啬地将它的脚步重重地刻在我们身上。或许在我们不知不觉中，那儿时的“棱角”也在被渐渐磨平，逐渐向“圆”发展。我想，这是不是我们口中所谓的“长大”呢?

篇10：有关圆的作文300字

看到圆，我想到了戒指。我家的戒指是爸爸对妈妈的誓言，充满了无言的爱。妈妈的钻石戒指一直牢牢地戴在无名指上，闪闪发光，象征着他们忠贞不渝的爱情。

看到圆，我想到了荷叶。典雅的荷花出淤泥而不染，绽放着自己的美丽。而荷叶，从不在乎什么名分、名誉，默默地为荷花遮风挡雨，甘愿当配角，衬托出荷花的美丽。

篇11：小学作文：有关圆的数学日记

“铃铃铃”下课的铃声响了，同学们走出了教室。我和张靖娜，邹诗瑶和杜鑫越在一起玩游戏——异想天开。

我们四个人一人拿出三块纸分别在纸上写出人物，地点，和做的什么事，写完之后把它们捏成一个小球，打乱顺序，分好堆，人物一堆，地点一堆，事情一堆，一人在三堆里拿出一个球，打开并按照人物地点和事情连成一个句子。我先读，郝老师在锅里抓鱼，哈哈哈，我们四个不由得笑出声来，张靖娜读，出雷宇航在电饭锅里洗澡。哈哈哈，有一阵笑声，我插着腰撅着嘴看着张靖娜，扑哧一声笑了。我们又恢复了刚才的状态，这回到邹诗瑶了，她还没等说呢自己先笑上了，我们着急得对邹诗瑶说：快点。邹诗瑶笑眯眯地说：杜鑫越在英语书上摘苹果。杜鑫越边笑边看邹诗瑶，我有那么傻吗。最后一个是杜鑫越:张靖娜在厕所里吃黑芝麻糊。咦呀，我要吐了。哈哈哈愉快地笑声给我们的校园添了几分色彩。