双曲线几何性质教案

2024-04-29

双曲线几何性质教案（共6篇）

篇1：双曲线几何性质教案

《双曲线的几何性质》教案

一、课前预习目标

理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征.

二、预习内容

1、双曲线的`几何性质及初步运用.

类比椭圆的几何性质.

2.双曲线的渐近线方程的导出和论证.

观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究

1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析

2、描述双曲线的渐进线的作用及特征

3、描述双曲线的离心率的作用及特征

4、例、练习尝试训练：

例1.求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解：

5、双曲线的第二定义

1).定义(由学生归纳给出)

2).说明

(七)小结(由学生课后完成)

将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结.

作业：

1.已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程.

(1)16x2-9y2=144;

(2)16x2-9y2=-144.

2.求双曲线的标准方程：

(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上;

(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上;

曲线的方程.

点到两准线及右焦点的距离.

篇2：双曲线几何性质教案

能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质.(2能力目标

通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心.(3 情感目标

通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神.教学重点:双曲线的几何性质.教学难点:双曲线的渐近线.教学方法:启发诱导、练讲结合教学用具 :多媒体教学过程:

一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究?

二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1.范围: 双曲线在不等式 x ≥ a 与 x ≤-a 所表示的区域内.2.对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称

中心叫双曲线中心.3.顶点:(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0、A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点.(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长;线段 B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练: 1.若点 P(2, 4在双曲线上,下列是双曲线上的点有(1 P(-2, 4(2 P(-4, 2(3 P(-2,-4(4 P(2,-4 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 0(22≠=-m m y x(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 : 4.渐近线

(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a b y a x 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!(2双曲线 12222=-b y a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x(3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双

曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并

根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率:(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=a c ,叫双曲线的离心率.(2范围:由 c>a>0可得 e>1.思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大.思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗?

三、学以致用,巩固双基: 例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.练习1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.思考 1:请你写出一个以为渐近线的双曲线方程.思考 2:你能写出所有以为渐近线的双曲线方程吗 ? 练习2 求渐近线为 x y 34 ±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程.四、小结反思,总结提高: 1.双曲线 0, 0(122 22>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离心率,渐进线

2.比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同

五、作业布置 : 必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12 x y 34 ±=x y 34

±=

六、教学反思

篇3：利用几何画板探索圆锥曲线性质

思考1.1:当点M在抛物线准线上运动时, 过M作抛物线两切线, 切点分别是A, B, 显然AB不是抛物线的通径, 但AB是否还过焦点?

演示:追踪线段AB, 拖动点M, 发现MA, MB虽然在变动, 但AB恒过焦点F. (如图2)

推论1.1:设M是抛物线C:y2=2px的准线上的一点, 过M向C作两切线, 切点分别是A, B, 则直线AB过焦点F.

在证明之前, 先证明两定理.

定理1:在抛物线y2=2px上一点 (x0, y0) 处切线方程为:y0y=p (x+x0) .

证明:设抛物线的切点为 (x0, y0) , 抛物线两边对x求导得2y=2p, 切线斜率为P/y0, 切线为:, 化简可得:y0y=p (x+x0) .

定理2:过抛物线y2=2px外一点M (x0, y0) 作抛物线的两条切线, 切点分别为A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则过切点A, B的直线方程为:y0y=p (x+x0) .

下面证明推论1.

证明:设抛物线切点A (x1, y1) , B (x2, y2) 抛物线外一点M (x0, y0) , 由定理1可得切线lMA:y1y=p (x+x1) , lMB:y2y=p (x+x2) , 将M (x0, y0) 代入可得lMA:y1y0=p (x0+x1) , lMB:y2y0=p (x0+x2) , ∴A (x1, y1) , B (x2, y2) 是方程y0y=p (x0+x) 的两个解, ∴过A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点的直线方程是y0y=p (x0+x) .

证明:点M在准线上, 令x0=-P/2, 由定理2可得∴lAB过焦点F (P/2, 0) .

思考1.2:当点M在抛物线准线上运动时, 是否还有MF⊥AB?

演示:拖动点M, MF, AB虽然在变动, 计算kMF·kAB, 发现保持kMF·kAB=-1, 说明MF⊥AB. (如图3)

推论1.2:设M是抛物线C:y2=2px的准线上的一点, F是其焦点, 过M向C作两切线, 切点分别是A, B, 则MF⊥AB.

证明:由定理1可得kMA=p/y1, kMB=p/y2, .∵AB是过焦点的弦∴y1y2=-p2∴kMA·kMB=-1∴MF⊥AB.

思考1.3:问题中NA⊥NB, 当点M在抛物线准线上运动时, 是否仍有MA⊥MB?

演示:拖动点M, MA, MB虽然在变动, 但计算kMA·kMB, 发现恒有kMA·kMB=-1, 说明MA⊥MB. (如图3)

推论1.3:设M是抛物线C:y2=2px的准线上的一点, 过M向C作两切线, 切点分别是A, B, 则MA⊥MB.

思考1.4:问题中NF在抛物线对称轴上, 当点M在抛物线准线上运动时, AB中点为G, MG显然不在对称轴上, 那么与对称轴什么关系?

演示:拖动点M, 发现MG平行于抛物线对称轴. (如图3)

推论1.4:设M是抛物线C:y2=2px的准线上的一点, 过M向C作两切线, 切点分别是A, B, 若AB中点为G, 则MG平行于抛物线对称轴.

思考2.1:若M在平行于准线的直线x=m上 (M在抛物线外) 运动时, 切点弦AB显然不恒过焦点, 那是否恒过定点?

演示:拖动直线x=m, 拖动点M, 追踪线段AB, 发现AB恒过定点F′, 且F′就是AB与x轴的交点, 度量F′的坐标, 发现横坐标与m互为相反数, 即F′= (-m, 0) . (如图4)

推论2.1:抛物线C:y2=2px, 过直线x=m (m≠0) 上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线, 切点分别是A, B, 则直线AB过定点F′ (-m, 0) .

证明:点M (m, y0) , 由定理2可得lAB:y0y=p (m+x) ∴lAB过定点F′ (-m, 0) .

思考2.2:若M在平行于准线的直线x=m上 (M在抛物线外) 运动时, 是否有MF′⊥AB?

演示:拖动点M在直线x=m上运动, 计算kMF′, kAB, 发现kMF′·kAB≠-1, 说明MF′不垂直于AB, 但kMF′·kAB保持常数不变.这个常数是多少呢? (如图5)

推论2.2:抛物线C:y2=2px, 过直线x=m (m≠0) 上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线, 切点分别是A, B, 则直线AB过定点F′ (-m, 0) , 且.

思考2.3:若M在平行于准线的直线x=m上 (M在抛物线外) 运动时, 是否有MA⊥MB?

演示:拖动点M在直线x=m上运动, 计算kMA·kMB, 发现kNA·kNB≠-1, 说明MA不垂直于MB, 但kMA·kMB保持常数不变, 且与kMF′·kAB相等. (如图5)

推论2.3:抛物线C:y2=2px, 过直线x=m (m≠0) 上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线, 切点分别是A, B, 则.

思考2.4:AB中点为G, 若M在平行于准线的直线x=m上运动时, 是否仍有MG平行于抛物线对称轴?

演示:拖动点M在直线x=m上运动, 发现MG保持平行于抛物线对称轴. (如图5)

推论2.4:抛物线C:y2=2px, 过直线x=m (m≠0) 上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线, 切点分别是A, B, 若AB中点为G, 则MG平行于抛物线对称轴.

思考3:若M在任意一条直线mx+ny=1上运动时, 是否还具有上述性质?

演示:任作直线mx+ny=1, 在直线上任取一点M, 过M作抛物线的两切线, 切点分别为AB, 追踪切点弦AB, 发现恒过一定点F′;度量kMF′·kAB, kMA·kMB, 发现不是定值;但AB中点G与M连线MG保持平行于抛物线对称轴. (如图6, 7)

推论3:抛物线C:y2=2px, 过直线mx+ny=1上在抛物线外部点M向双曲线引两条切线切点分别是A, B, 则直线AB过定点, 若AB中点为G, 则MG平行于抛物线对称轴.

由kMA=P/y1, kMB=P/y2, , ∵x0在变化∴kMA·kMB不再是定值.

思考4:椭圆与双曲线是否有类似的性质呢?同样均可通过几何画板来演示, 结论如下, 证明请详见参考文献[3][4].

推论4.1:设M是二次曲线C的准线上的一点 (不在双曲线渐近线上) , 过M向C作两切线, 切点分别是A, B, 则直线AB过准线对应的焦点F, 且MF⊥AB, 若AB中点为G, 则MG过坐标原点.

推论4.2.1:椭圆 (a>b>0) , 过直线x=m (m≠0) 上在椭圆外部的点M向椭圆引两条切线, 切点分别是A, B则直线AB过定点F′ (a2/m, 0) , 且, 若AB中点为G, 则MG过坐标原点.

推论4.2.2:双曲线 (a>0, b>0) , 过直线x=m (m≠0) 上在双曲线外部且不在双曲线渐近线上的点M向双曲线引两条切线, 切点分别是A, B, 则直线AB过定点F′ (a2/m, 0) , 且, 若AB中点为G, 则MG过坐标原点.

推论4.3.1:椭圆 (a>b>0) , 过直线mx+ny=1上在椭圆外部的点M向椭圆引两条切线, 切点分别是A, B, 则直线AB过定点F′ (ma2, mb2) , 若AB中点为G, 则MG过坐标原点.

推论4.3.2:双曲线 (a>0, b>0) , 过直线mx+ny=1上在双曲线外部且不在双曲线渐近线上的点M向双曲线引两条切线, 切点分别是A, B, 则直线AB过定点F′ (ma2, mb2) , 若AB中点为G, 则MG过坐标原点.

通过课堂教学的反馈, 我发现:利用几何画板探索图形的性质, 课堂教学的气氛活跃, 课堂教学时时散发出浓浓的现代教学气息, 在师生不断地享受一个又一个成功的喜悦的同时, 培养了学生积极探索、缜密思维的数学学习精神, 也逐步培养了学生优秀的数学思维品质.

摘要：当几个不同对象在某些方面 (如特征、属性、关系等) 有类同之处, 可引导学生合理地联想其他方面也有类同之处, 利用变式探索、挖掘、概括、引申获得问题的一般性结果, 使特殊问题一般化, 零散知识规律化.借助几何画板, 可以帮助学生发现数学性质与规律, 体验“观察—归纳—猜想—验证”的数学过程.本文系作者利用几何画板探索圆锥曲线性质的一些具体做法, 旨在抛砖引玉.

关键词：几何画板,圆锥曲线性质,探索

参考文献

[1]徐祖德.用《几何画板》探究图形性质的不变性.中学数学月刊, 2009, (8) .

[2]罗碎海.方程x0x+y0y=r2与x2+y2=r2几何背景的探讨.中学数学教学参考, 2009, (3) .

[3]王凡, 周宏.二次曲线切点弦的一个优美性质.数学通讯, 2005, (17) .

[4]袁利江.探讨二次曲线定点弦与切点弦的相关性.数学教学研究, 2005, (10)

篇4：双曲线的几何性质（一）教学设计

新课程积极提倡学生“主动参与、乐于探究、、勤于思考”,以培养学生“获取新知识”、“分析解决问题的能力”,而不再视知识为确定的、独立于于认知者的一个目标,而是视其为一种探索行动或创造的过程。依据新课程的对教学要求和教学内容的需要,设计了本节课的教学设计。本节课的设计教学思路有主要三个方面:(1)有让学生在现实的情境和已有的知识经验中体验和理解数学,(2)引导学生动手实践,主动探索与合作交流,(3)鼓励学生发现问题,解决问题,体验成功的愉悦。

二、教材分析

1、教材内容与地位

本节课是新课程实验教材人教A版数学选修2-1第二章第6节的内容。它是学好双曲线性质及利用其性质解决应用问题的关键一课。在这之前学生已经掌握了曲线与方程的联系以及椭圆及其几何性质。还有双曲线的基本概念。应该说具备了相当的知识储备,足够学生自主探索,合作探究来完成本课时的教学内容。

2、教学重点、难点

重点:双曲线的几何性质及初步运用.

解决办法:布置学生动手操作任务,通过完成任务的整个过程得到双曲线的的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明,培养学生定性分析的数学思想。

难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证.

解决办法:采用逐步设问,引导学生发现问题,解决问题。

疑点:双曲线的渐近线的证明.

解决办法:分三个层次。(1)通过观察几何画板动画展示给出合理猜想(2)通过公式变形定性分析(3)通过详细讲解

三、学情分析

这些学生是第一批接受新课程理念的教学模式,他们有强烈的自主探究学习的欲望,有很好的合作意思。而且刚学了曲线与方程及椭圆,已经接触了通过方程研究曲线的思想,具有一定能力自主研究曲线。而双曲线的几何性质与椭圆的几何性质完全可以类比过来,所以把这堂课设计成学生自主探索,研究发现,体验“研究者”的快感是非常合适的。

四、教学目标

(一)知识教学点

使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征.进一步体会到方程与曲线的联系。

(二)能力训练点

通过学生动手实践,合作学习,在发现问题和解决问题中学习新知识,从而培养学生分析、归纳、推理、合作学习等能力.

(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解。同时也让学生体会到数学研究的快乐,培养学生发现数学美,欣赏数学美,提高对数学学习的热情。

五、教学方法

本课程教学设计使用的教学方法有别于传统的讲授法。主要是采用学导式教学方法与讨论法、发现法相结合。当然在整个教学过程有老师适时的问题作为过程引导与衔接。

六、媒体选择

PPT辅助;几何画板辅助;实物投影仪

七、教学程序

(一)提出问题:前面我们已经学习了椭圆及其双曲线的概念,大家告诉我你们学的如何?(学生很有激情的回答学的不错)

那好,我来出考考大家

画出双曲线方程的草图

(1)给学生5分钟的时间,以后相互同学交换成果,比较讨论下,谈谈有何体会。

(2)到学生中去观察,找几个典型错误实例。

(3)通过讨论,再通过投影将几个典型错误实例展示给大家看,让同学感受自己知识的不足

设计意图:抛出问题与学生现有知识产生碰撞,引起学生兴趣。为整节课奠定了一个动手探索,自主发现的基调。

(二)制定方案:谁有办法较准确的画出双曲线方程草图呢?接下来我们就来探索下,能不能解决这个问题。

抛出问题:我们是如何画出椭圆草图的?那么是否可以用类比方法解决双曲线草图?

引导学生要画出图像必须从方程入手,然后讨论确定出研究步骤

(1)确定图像区域

(2)曲线是具有对程性

(3)曲线的大致变化趋势

(4)曲线的开口情况

设计意图:明确研究方案,为后续讨论指明了方向,使得学生的探索具有方向性,有利于问题解决。

(三)剖析问题

第一小组第二小组第三小组第四小组

确定图像区域负责///

曲线是否具有对称性/负责//

曲线大致变化趋势//负责/

曲线开口情况///负责

(1)第一小组成果:考察了方程x,y的取值范围得到图像应该在直线确定的区域外侧(这个探索过程学生完成的很漂亮,主要是学生类比了椭圆草图的得到过程)

动手任务1:大家在白纸上画出双曲线所在的区域

(2)第二小组成果:图像关于x,y及原点中心对称。

这个过程学生得到有点困难,所以我们实施的启发引导方程f(x,y)=0关于x,y及原点对称会有什么特征。完成这个过程后,学生很快探索出成果。完成情况不错。

思考任务2、第二小组同学的成果能给我们画草图带来何帮助?

学生回答:只要画出第一象限内的草图,然后根据对称性就可以画出全部图像了。

(3)第三小组成果:方程图像在第一象限内的图像y随x增大无限接近 ,但达不到

这个内容是教学的重点,也是难点,要注意逐步启发教学。我在教学过程中分这么几步:

1、回顾函数图像变化趋势是考什么来衡量?

学生答:函数单调性!

老师追问:如何判断单调性?

学生答:定义、图像、y随x增大而增大。

2、双曲线是函数吗?有办法变形成函数不?

学生答:双曲线不是函数,但在第一象限内的图像可以理解成函数图像

老师追问:函数解析式是什么?

学生答:

3、在第一象限内的双曲线对应函数单调性如何?

学生答:y随x增大而增大,所以函数在第一象限内单调递增。

老师追问:黑板上画出两种递增的形态是,不是可以随意递增呢?

引导学生观察函数值的变化情况!给出2分钟思考时间。学生很快发现

学生回答:无论x有多大函数值y永远比小

老师答:非常棒!你能解释下为什么?

学生答:

老师问:非常好,大家能根据上述函数关系来回答反应在图像上他们的位置关系有何特征?

学生答:随着x的无限增大,曲线的图像越来越靠近直线 ,但永远不能达到。

老师答:GOOD,大家回一下以前我们研究的函数有没有类似的表述?

学生答:双曲线函数有这个性质。那条线叫渐近线。

老师答:对,那直线叫什么好呢?

学生异口同声的回答:渐近线。

4、你能得到双曲线图像变化趋势吗?

学生答:能,根据对称性就可以完成了。

动手任务3:大家在草稿纸上继续完成我们刚才没完成的草图。(给同学动手2分钟)

老师找几个典型图像,然后用投影仪展示给学生看,初步享受成果,体会快乐。但又提出问题,他们的画图像还不那么一致,所以还有必要研究另一个问题,也就是第四组同学的工作必须完成。

(4)第四小组成果

老师引导:椭圆中有控制形状的量e,双曲线中有没有呢?我们类似椭圆也给双曲线定义e

(e>1)

离心率是如何控制双曲线形状的呢?给学生3分钟讨论时间

老师问:大家讨论出结果了没有?

学生答: ,渐近线斜率越大,离心率越大。

老师答:非常好,简单说e越大,带过来渐近线的斜率越大(第一象限),导致双曲线开口越大

老师答:通过刚才所有同学的不懈努力我们完成了最先给出的4个问题。现在大家能告诉我你如何较准确画出双曲线草图?

动手任务4:在草稿纸上完成我们最先给出的双曲线方程,比较下你最初话的图像,修改错误之处。

设计意图:本环节是本节课的关键。所以在整个设计过程中我采用了以小组为单位进行任务分工解决,提高解决效率。同时对于较为困难的问题采用适时引导,层层设问,引导学生解决问题。同时在整个过程中始终贯穿这一个任务:正确画除双曲线草图。每每发现一点新知识就及时应用于画图。让学生边探索,边应用,体会学以致用。这个设计环节不仅培养了学生的动手与合作学习的能力同时也让学生体会成功的快乐,提高对数学研究的积极性。

(四)解决问题

展示部分学生优秀的作品,然学生充分体验成个的快乐。然后结合图像给出双曲线中几个相应的概念:顶点,焦点,实轴,短轴,渐近线等概念。

总结归纳:通过刚才学习,谁能总结下如何画出双曲线草图?能归纳下基本步骤吗?

(1)确定曲线范围;

(2)画出渐近线方程(两条);

(3)画出第一象限草图;

(4)根据对程性完成整个图像。

设计意图:展示成果,充分肯定学生的劳动成果。对问题进行归纳、概括、提升,获得解决双曲线方程的基本思路。同时也培养学生通过方程研究曲线的的能力。

(五)巩固问题

例、求双曲线的半实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程

设计意图:通过这个例题让学生体会下如何研究焦点在y轴上的双曲线几何性质与焦点在x轴上双曲线的几何性质有何异同。特别指明:焦点在x和在y轴上双曲线标准方程对应的渐近线方程公式化形式是不不同的,为下节课故设悬念。

(六)深化提升

思考作业:探究方程具有何性质?并画出草图

设计意图:通过本题更一步强化如何通过方程研究曲线的基本过程。检验学生通过方程研究曲线的能力。

八、板书设计

九、自主性教学设计评价

本课的教学设计有别于传统的教学设计。而是采用将问题抛给学生,然后通过逐步引导、启发,发现问题,解决问题,发现新知识的过程。整个教学设计其实就是一个研究性课题。解决了如何通过方程研究图象的问题,也完成了更个教学计划。更将双曲线的几个零散的几何性质串联的一起,形成一个整体。让学生从使用角度、整体大局角度去掌握双曲线的性质从但优点遗憾的是本教学设计对学生要求较高,极少部分同学在探求新知识上存在一定困难。

1、刘兼《数学新课程与数学学习》高等教育出版社 2008

篇5：双曲线几何性质教案

（二）●教学目标

1.能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；

2.应用双曲线知识解决生产中的实际问题.●教学重点

双曲线的准线与几何性质的应用 ●教学难点

双曲线离心率方程与双曲线关系.●教学过程 I.复习回顾：

师：上一节，我们利用双曲线的标准方程推导了双曲线的几何性质，下面我们作一简要的回顾（略），这一节我们将继续研究双曲线的几何性质及其应用.II.讲授新课：

例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且CC=13×2(m)，BB=25×2(m).设双曲线的方程为

x2y2a2b2

1（a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以

252122(y55)2b21, 132122y2b21.252(y12255)2b21(1)解方程组1322

122yb21(2)由方程（2）得 y512b

（负值舍去）.代入方程（1）得

(5b25255)212212b21, 化简得

19b2+275b－18150=0

（3）解方程（3）得

b≈25(m).所以所求双曲线方程为： x2y21.144625说明：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选择适当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.a2c例3 点M（x,y）与定点F(c,o)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(ca0),求点M

ca的轨迹.解：设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合MFcp=M, da由此得

(xc)2y2a2xcc.a化简得

(c2－a2)x2-a2y2=a2(c2－a2).设c2－a2=b2，就可化为：

x2y221(a0,b0).2ab这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.（图8—18）说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤.6.双曲线的准线：

由例3可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=

c(e>1)时，这个点的a轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.a2准线方程：x=.ca2x2y2a2其中x=相应于双曲线221的右焦点F(c,0);x=－相应于左焦点F′(－c,0).ccab师：下面我们通过练习来进一步熟悉双曲线几何性质的应用.III.课堂练习：

课本P113 2、3、4、5.要求学生注意离心率、准线方程与双曲线的关系的应用.●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家熟练掌握双曲线几何性质的应用，并注意利用离心率、准线方程与双曲线的关系确定双曲线方程的方法，并了解双曲线在实际中的应用问题.●课后作业

篇6：双曲线的简单几何性质

【学习障碍】 1．理解障碍

(1)关于双曲线对称性的理解

把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．

同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点．(2)关于对双曲线渐近线的理解

xyxyx2y2除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，当双曲线上点P(x，y)在第一、三象限且远离原点时，|在二、四象限远离原点时，|

xyxy＋|→＋∞，此时－→0，当点P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此时＋→0；这些表明双曲线(H)上位于一、三象限的点远ababxyxy离原点时，双曲线越来越靠近直线－＝0，位于二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直线＋＝0与－＝0叫做双曲线(H)的渐近线．

abab(3)关于对离心率e的理解

cbba2b2b由于e＝＝=1，e越大，渐近线y＝x的斜率就越大，这时渐近线y＝－x到yaaaaa＝

2bx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄． a2．解题障碍

(1)双曲线焦点位置的判定

双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定．(2)双曲线方程的几种变形

x2y2x2y2以双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即2－2＝0就是其渐近线方ababx2y2程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即2－2＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为

abλ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线

ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线的几个重要性质

渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．

【学习策略】 1．待定系数法

根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义． 2．定义法

与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果． 3．利用双曲线系利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系．【例题分析】

［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．

策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．

1x，2a1当x＝4时，y＝2＜yP＝3 ∴焦点在y轴上，即＝，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝x2y2∴双曲线方程为－22＝1 4kk∵P(4，3)在双曲线上，∴－169

2＝1，∴k＝5 224kkx2y2∴a＝5，b＝20 ∴所求双曲线方程为－＝1 20522

xx2解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0 ∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0．

24x2∴可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)

∵双曲线经过点P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

∴所求的双曲线方程为－y＝－5，即－＝1．

4205评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对

22xy双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0，λ为参数)ab中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

x2y25［例2］已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程． 1332策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．

解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝133＝10，焦点F(±10，0)在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10．由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2∴所求双曲线方程为＝1． 82x2y2解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为＝1(3＜k＜13)13k3kx2y2即＝1，13kk3∴a＝13k，c＝10

∴离心率e＝c10＝，a13k即510＝解得k＝5．

213kx2y2∴所求双曲线方程为＝1． 8222xy评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆2+2＝1共焦点的圆锥曲线ab22xy系方程为2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程akbk表示双曲线．

［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．

策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．

解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±∵焦点F(±5，0)在x轴上，∴

3x． 4b3＝，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为－＝1． 169169解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)．即x29y216＝1

∴a2＝，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9³16

x2y2y2x2＝1． ∴双曲线方程为＝1，它的共轭双曲线方程为169169评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．

策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．

解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时，根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1为左焦点)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2为右焦点)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|²|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4³(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|²|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2³32＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．

［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)

2x2y2 ＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF|²|PF|＝32，求证PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是双曲线1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第一、第二类点的分界．

解：设M是分界线上的任意一点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程．在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|²|PB|²cos60°＝1002＋1502－2³100³150²1＝17500

2∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤

x2y2＝1(x≥25)6253750所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．

评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域．［例6］(2000年²全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

32≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之．解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2chc(2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．设双曲线方程为2－2＝1，则离心率e＝，21aab2(1)由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝e2h221①4b 2222he21②411b22he由①式得21 ③ b4c代入双曲线的方程得： a3e2将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e2433322依题设≤λ≤得：≤1－2≤，4e2433解得7≤ e ≤10

所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－

312

32，也可整理为e＝＝－2，再用2e211观察法求得7≤ e ≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．

x2y2［例7］设双曲线2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距ab离为3c，求双曲线的离心率。4解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：

xy＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由点到直线的距离公式得：aba2b23c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2b2b221又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步达纲练习】

1．下列各对双曲线中，离心率与渐近线都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D．－＝1或＝1 2．双曲线－＝1的两条渐近线所夹锐角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．点P为双曲线－y2＝1右支上一点(非顶点)，F1、F2是该双曲线的焦点，则△F1PF2的内心在（）

A．直线x＝2上 B．直线x＝1上 C．直线y＝2x上 D．直线y＝x上

5．设连接双曲线－＝1与－＝1的四个顶点的四边形的面积是S1，连结其四个焦点的面积为S2，则的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点且∠PF1Q＝___________．，则双曲线的离心率是7．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为___________．

8．双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且过点P(3，－)，则它的标准方程是___________．

9．若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为___________． 10．已知中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上的等轴双曲线经过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．

11．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x2＋y2＝17相交于点A(4，－1)，若圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求这双曲线方程．

12．在一次模拟军事演习中，A、B、C是我军三个炮兵阵地．在指挥作战图的坐标平面上，由数据给出：A在指挥中心O的正东3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P为敌军阵地(如图8—4—3)．某时刻，A处发现了敌军阵地P的某种信号，设该信号传播速度为1 km/s，由于B、C两地比A地距P地远，因此4秒钟后，B、C才同时发现信号，于是A处准备炮击P处，求A处炮击的方向角θ(即东偏北多少度)．

参考答案

【同步达纲练习】

1．解析：(用排除法)选项A和B中的两个方程所表示的双曲线渐近线不同，故排除A和B，而C中的两个方程所表示的双曲线渐近线相同而离心率不同，所以也排除C，因此选D．

答案：D 2．解析：双曲线＝1的两条渐近线方程为y＝±x，设两渐近线的夹角为θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：双曲线∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1两渐近线方程为y＝±x，又由题设知：－²＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：设双曲线的右顶点为N，△F1PF2的内切圆切双曲线的实轴于T，由双曲线的定义知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面几何知识得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右顶点N(2，0)，∴T与N重合，由圆的切线的性质定理知，△F1PF2的内切圆的圆心必在直线x＝2上．答案：A 5．解析：由题设知双曲线＝1的焦点坐标为：(±，0)，顶点坐标为

(±a，0)，双曲线＝1的焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(0，±b)．则S1＝²|2a|²|2b|＝2|ab|，S2＝

³（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B