例谈平面解析几何的“神”与“形”

2022-09-10

1 平面解析几何的“神”

在双曲线的几何性质的研究中, 关于其渐近线方程的引入, 各种版本的教材都用到了高等数学中的“极限”的思想, 其实如果从解析几何的“神”入手, 通过对双曲线方程的分析, 利用不等式表示的平面区域的知识, 来引入渐近线方程也是很自然的。

一般地, 设曲线C的方程为f (x, y) =0, 我们通常用如下方法来研究曲线C的几何性质:

1.1 范围

在方程f (x, y) =0中, 确定x、y的取值范围 (有时可转化为求函数的定义域、值域) , 从而确定曲线C的图形的大小, 即图形所占据的平面区域。

1.2 对称性

(1) 在方程f (x, y) =0中, 以-y代y或以-x代x, 如果方程不变, 则曲线C关于x轴或y轴对称 (有时可转化为函数的奇偶性、对称性) 。

(2) 在方程f (x, y) =0中, 以 (2a-x) 代x或以 (2b-y) 代y, 如果方程不变, 则曲线C关于直线x=a或y=b对称。

1.3 特殊点

在方程f (x, y) =0中, 通过解方程组可求出曲线C与两坐标轴的交点 (二次曲线称为顶点) 。

1.4 特殊参数

在方程f (x, y) =0中, 通过研究x、y的系数之间的关系, 可确定曲线C的某些特殊性质, 如:

(1) Ax+By+c=0 (B0) 中, 斜率可确定直线与x轴的倾斜程度。

(2) 椭圆和双曲线中的离心率, 可确定它们的扁平程度, 抛物线中的p可确定它的开口方向、开口大小、弯曲程度等性质。

(3) 通过对两条曲线的方程的研究, 可确定这两条曲线的位置关系 (如两条直线的平行、相交、夹角, 两平行线的距离, 两曲线的交点等) 。

2 平面解析几何的“形”

在处理解析几何的问题, 特别是直线与圆锥曲线的关系问题时, “点在曲线上”成了一个无法避开的问题。将点的坐标设好, 然后代入曲线的方程再作分析, 或者由曲线的方程解出点的坐标再作分析, 这是两种处理“点在曲线上”的常用手段, 前者简称为“代入”, 后者简称为“解出”。

例: (2003上海高考题) 在以O为原点的直角坐标系中, 点A (4, -3) 为△OAB的直角顶点, 已知|AB|=2|OA|, 且点B的纵坐标大于零。

(1) 求向量的坐标;

(2) 求圆关于直线O B对称的圆的方程;

(3) 是否存在实数a, 使抛物线上总有关于直线O B对称的两个点?若不存在, 说明理由;若存在, 求a的取值范围。

解: (1) (2) 略

(3) 由 (1) 知直线OB的方程为, 下面分别用“代入”和“解出”两种方法来解这个问题:

“代入法”:设为抛物线上关于直线OB对称的两点,

“解出法”:设为抛物线上关于直线OB对称的两点,

∵直线OB的方程为, 故与OB垂直的直线 (直线PQ) 可设为y=-2x+b

在本例中, 先设P、Q点的坐标, 利用点在曲线上, 将P、Q的坐标代入已知曲线中建立方程组, 通过简化方程组, 得到方程 (1) , 再利用判别式求解, 这就是“代入法”;如果先建立方程组得出方程 (2) (方程 (2) 与方程 (1) 类似) , 进而“解出”x1, x2 (此题利用根与系数的关系) , 结合其它条件, 利用判别式得出问题的解答, 这就是“解出法”。

这两种方法的区别在于得出点的坐标的方法不同;相同点是都利用了“点在曲线上”, 都利用了已知条件。在解决其它问题时, 我们可以仔细体会这两种方法的特点, 它们各有所长。解析几何的“神”是通过其“形”来体现的, 把握了其“形”也能促进对“神”的领会。

摘要：解析几何是数学中的一个重要分支。本文通过对教材和高考题目的分析阐述了如何抓住曲线的方程来研究其性质, 如何利用“点在曲线上”与“坐标和方程组”的内在关系解题。解析几何是通过坐标系把点和坐标, 曲线和方程联系起来的一个数学分支, 它是数学中数形结合的典范。通过用方程来研究曲线的性质, 从而达到用代数方法来研究几何问题的目的, 这就是解析几何的神来之笔, 既“神”;几何中的点与曲线的关系, 是通过点的坐标与曲线的方程来体现的, 从而“点在曲线上”就成了平面解析几何中最基本和最重要的表述, 它是实现用代数方法来研究几何问题的一个基石, 也就是平面解析几何的“形”。

关键词：解析几何,曲线的方程,点在曲线上