二次函数最值

二次函数最值（精选十篇）

二次函数最值 篇1

一、销售利润问题

例1 (2007年 贵州贵阳) 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果, 物价部门规定每箱售价不得高于55元, 市场调查发现, 若每箱以50元的价格调查, 平均每天销售90箱, 价值每提高1元, 平均每天少销售3箱。

(1) 求平均每天销售量y (箱) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(2) 求该批发商平均每天的销售利润w (元) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(3) 当每箱苹果的销售价为多少元时, 可以获得最大利润?最大利润是多少?

解: (1) y=90-3 (x-50) 化简得:y=-3x+240.

(2) w= (x-40) (-3x+240) =-3x2+360x-9600.

(3) w=-3x2+360x-9600.

∵a<0, ∴其图像抛物线开口向下.

当undefined时, w有最大值。

又∵x<60, w随x的增大而增大,

∴当x=55元时, w的最大值为1125.

∴当每箱苹果的销售价为55元时, 可以获得1125元的最大利润。

二、几何面积问题

例2 (2007年 福建龙岩) 如图1所示, 在△ABC中, ∠A=90°, AB=4, AC=3.M是边AB上的动点 (M不与A, B重合) , MN//BC交AC于点N, △AMN关于MN的对称图形是△PMN, 设AM=x.

(1) 用含x的式子表示△AMN的面积 (不必写出过程) ;

(2) 当x为何值时, 点P恰好落在BC上;

(3) 在动点M的运动过程中, 记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y, 试求y关于x的函数关系式;并求x为何值时, 重叠部分的面积最大, 最大面积是多少?

解:undefined;

(2) 如图4所示, 由轴对称性质知:

AM=PM, ∠1=∠2.

又∵MN//BC,

∴∠2=∠3, ∠1=∠B.

∴∠B=∠3.

∴AM=PM=BM.

∴点M是AB中点,

即当undefined时, 点P恰好落在边BC上。

(3) 以下分两种情况讨论:

第一种情况:

当0

当2

由 (2) 知ME=MB=4-x.

∴PE=PM-ME.

=x- (4-x) =2x-4.

undefined

第二种情况:

∵当0

∴易知undefined

又∵当2

undefined

∴当undefined时 (符合2

综上所述, 当undefined时, 重叠部分的面积最大, 其值为2.

备注:在求函数关系式时要分情况讨论。

三、动点题

例3 (2007年 山东济南) 已知:如图6直角梯形ABCD中 , undefined

(1) 求梯形ABCD的面积;

(2) 点E, F分别是BC, CD上的动点, 点E从点B出发向点C运动, 点F从点C出发点D运动, 若两点均以每秒1个单位的速度同时出发, 连接EF, 求△EFC面积的最大值, 并说明此时E, F的位置。

解: (1) 如图7, 过点D作DM⊥BC, 垂足为M,

在Rt△DMC中,

undefined

undefined

(2) 设运动时间为 x秒,

则有 BE=CF=x, EC=10-x,

过点F作FN⊥BC, 垂点为N,

undefined

当undefined时,

undefined

即△EFC面积的最大值为10, 此时点E, F分别在BC、CD的中点处。

二次函数的最值教案 篇2

一、教学目标

（一）知识与技能

1、会通过配方或公式求出二次函数的最大或最小值；

2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值；

（二）过程与方法

通过实例的学习，培养学生尝试解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识。

（三）情感态度价值观

1、使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心；

2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

四、教学重点与难点

1、教学重点：实际问题中的二次函数最值问题。

2、教学难点：自变量有范围限制的最值问题。

二、课堂教学设计过程

（一）复习导入 以旧带新

1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。

2、二次函数y=－x²+4x－3的图象顶点坐标是（）

当x

时，y有最

值，是______。

3、二次函数y=x²+2x-4的图象顶点坐标是（）当x

时，y有最

值，是______。

分析：由于函数的自变量的取值范围是全体实数，所以只要确定他们的图像有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值。

设计意图：复习与本节课有关的知识，可充分调动学生思维的积极性，又为新课做好准备。

（二）创设情境，导入新课

1、试一试：

1.有长为30米得篱笆，利用一面墙（墙的长度不超过10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于BC）的矩形花圃。设花圃的一边BC为x米，面积为y平方米。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，求出最大的面积；如果不能，请说明理由。设计意图：让学生从已学的用配方法或公式法求二次函数的最值，在教学时，可让学生充分讨论、发言，培养学生的合作探究精神，可让学生感受到成功的喜悦。

2。直击中考：

例2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么一个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在一个月内获得最大利润? 分析：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围，结合图像和二次函数的性质求w的最大值。

（四）课堂练习，见导学案

（五）课堂小结，回顾提升

本节课我们研究了二次函数的最值问题，主要分两种类型：

（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取最值；

（2）如果自变量的取值范围不是全体实数，要根据具体范围加以分析，结合函数图像的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数的最大值或最小值。

另：当给出了函数的一般形式时，不管自变量是否受限制，常常要配方化为顶点式来求最值问题。

二次函数最值问题分类剖析 篇3

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数最值问题及其解决方法 篇4

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】求二次函数f (x) =x2-2x-3在以下区间上的最值.

(1) x∈[-2, 0]; (2) x∈[0, 3]; (3) x∈[2, 4].

分析:f (x) = (x-1) 2-4.

1若对称轴在给定区间的右侧或左侧, 此时函数在该区间上是单调函数, 最大值和最小值分别在区间端点处取得, 比如本题的 (1) (3) 小题;

2若对称轴穿过区间, 此时函数在该区间上先减后增, 最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可, 或比较哪个端点距离对称轴较远 (端点离对称轴越远, 函数值越大) 即可, 比如本题的 (2) 小题;

3函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】求二次函数f (x) =x2-2x-3在区间[t, t+2]上的值域.

分析:随着区间位置的改变, 对称轴和 区间的相 对位置对函数值域的影响便一目了然了.

1当对称轴位于区间的左侧, 即t≥1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为增函 数, 此时f (x) 的取值范 围是f (t) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

2当对称轴位于左半区间, 即t≤1≤t+1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上是先减后增, 右端点t+2距离对称轴较远, 此时f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

3当对称轴位于右半区间, 即t+1≤1≤t+2时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上也是先减后增, 此时是左端点t距离对称轴较远, 所以f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即t+2≤1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为减函数, 此时f (x) 的取值范围是f (t+2) ≤f (x) ≤f (t) .

部分学生可能只讨论了三种情况, 将2 3合并, 这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[-1, 1]上的值域.

分析:对称轴x=m可改变, 对称轴与区间[-1, 1]的相对位置也是变化的, 仿照例2可以求出函数的值域.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即m≤ -1时, 有f (-1) ≤f (x) ≤f (1) ;

2当对称轴 位于左半 区间, 即 -1≤m≤0时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (1) ;

3当对称轴位于右半区间, 即0≤m≤1时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (-1) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m≥1时, 有f (1) ≤f (x) ≤f (-1) .

4.轴变区间变问题

【例4】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[a, b]上的值域.

分析:还是同前面的例子相同的讨论.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即当m<a时, 有f (a) ≤f (x) ≤f (b) ;

2当对称轴位于 左半区间, 即a≤m≤a+b/2时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (b) ;

3当对称轴位于 右半区间, 即a+b/2≤m≤b时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (a) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m>b时, 有f (b) ≤f (x) ≤f (a) .

二、求二次函数值域的方法和技巧

要求二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在指定区间[m, n]上的值域, 归根结底是要求出函数在这个区域上的最大值和最小值, 而求函数在这个区间上的最值关键是看函数的对称轴x=-b/2a是否落在指定区间[m, n]内.

1当对称轴落在区间内, 即m≤-b/2a≤n时, 函数的值域为[min (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) , max (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) ].

2当对称轴落在区间外, 即-b/2a<n或-b/2a>m时函数的值域为[min (f (m) , f (n) ) , max (f (m) , f (n) ) ].

二次函数最值问题参考答案 篇5

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数yx4x2(x2)2函数的最大值为f(2)2，最小值f(0)2。练习.已知2x23x，求函数f(x)xx1的最值。

解：由已知2x3x，可得0x222223，函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为2319。f2

42、轴定区间变

2例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

解：函数f(x)(x1)1 21t，当xt时，函数取得最小值f(x)minf(t)(t1)21。

t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1。t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21

综上讨论，f(x)min(t1)21,t1 1,0t12t1t02f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求对称轴为x1．

f(x)minf(t)tt21t3，f(x)maxf(t1)t22（1）当时，．（2）当t≤1≤t1，即0≤t≤1时，．

tt11即22tt111t≤12f(x)f(t1)t2max22即2若时，． 根据对称性，若

0≤t≤122时，f(x)maxf(t)t2t3．

f(x)maxf(t)t22t3t11t0（3）当即时，．

第1页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上，f(x)max12t2,t2 t22t3,t12

23、轴变区间定

例4.已知x21，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将

aa f(x)配方得：f(x)x32422aa2a二次函数f(x)的对称轴方程是x顶点坐标为，3，图象开口向上

422a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。2函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。由a2可得x

图3 例.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为xa，211即a时，f(x)maxf(2)4a5； 2211 当a即a时，f(x)maxf(1)2a2。

22当a综上所述：f(x)max12a2,a2。4a5,a12a2a2aaaa(2)函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，1即242222第2页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)（2）2a2；由图可知f(x)maxf()（3）a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2 24f(1),a2a1,a

2（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5.已知函数f(x)ax2ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

解：f(x)a(x1)1a,x[3,2]（1）若a0,f(x)1,，不符合题意。（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1 22由8a14，得a3 8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a 由1a4，得a3

第3页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上知a3或a3 8x2例6.已知函数f(x)x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：讨论对称轴中1与m,mn,n的位置关系。2①若，则f(x)maxf(n)3n

f(x)minf(m)3m 解得②若f(x)maxf(1)3nmn，无解 1n，则2f(x)minf(m)3mf(x)maxf(1)3nmn③若m1，则，无解

f(x)f(n)3m2min④若，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0 解析2：由f(x)1111(x1)2，知3n,n,，则[m,n](,1]，2226f(x)maxf(n)3n

f(x)f(m)3mmin又∵在[m,n]上当x增大时f(x)也增大所以解得m4,n0

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

构造二次函数解决两类最值问题 篇6

中图分类号：G633.6 文献标识码：B

文章编号：1009-010X（2011）07-0064-01

最值问题是近几年各地中考所关注的热点．比如解决面积最大问题，求最大利润问题往往需要“构造”二次函数模型，进而利用二次函数的有关知识加以解决。本文举例说明，以帮助学生从中发现规律，掌握解决最值问题的方法。

一、求最大面积

例1:如图1，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S。

（1）求证：△BEF∽△CEG；

（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；

（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

二、求最大利润

例2:某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。

设每个房间每天的定价增加x元。求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

所以，当x=210，w有最大值。此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，最大值为15210元。

总评在上述问题中涉及到两个变量，就是函数问题，可建立函数模型，结合函数的性质最终求解。对于这类中考的热点问题“当某某为何值时，某某最大（或最小）？”解决的方法步骤为：

1.设变量x、y；

2.根据题意建立y与x的函数关系式；.

3.求出自变量的x的取值范围；

4.利用函数的性质，求出数学问题的解（最值）；

5.检验解的合理性，得到实际问题的解（最值）。

二次函数在闭区间上最值教学随感 篇7

A. (-∞, 0] B.[2, +∞)

C. (-∞, 0]∪[2, +∞) D.[0, 2]

不由得想起高一时给学生讲二次函数的单调性的情景, 高一学生刚刚接触函数, 为了让他们明白, 于是我就通过例题总结出下面顺口溜:区间定, 轴在动, 求最值, a判定, 口向上, 分三种, 大于大 (顶点的横坐标大于区间的最大值) , 单调减, 变量小, 值最大;小于小 (顶点的横坐标小于区间的最小值) 单调增, 变量小, 值最小;在中间, 顶点低, 值最小, 离轴远, 值最大;口向下, 恰相反.以上你若记心间, 二次函数单调性也不难.二次函数在闭区间上的最值主要取决于三个因素:抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置.就高中学习的二次函数有关最值问题:一是定轴定区间, 二是定区间动轴, 三是定轴动区间问题.本文以实例说明借助顺口溜的求解方法, 供读者参考.

一、定轴定区间问题

例1 已知二次函数f (x) =ax2+2ax+1在[-3, 2]上有最大值4, 求实数a的值.

解 由函数对称轴x=-1是定直线.因而判定函数的单调性要结合二次函数的开口方向.有上述口诀“在中间, 口向上, 离轴远, 值最大.口向下, 则相反”易知:a=-3或

二、定区间动轴问题

例2 已知二次函数f (x) =-x2+2ax+1-a在[0, 1]上有最大值2, 求实数a的值.

解 分析:结合上述顺口溜, 容易想到分三种情况进行分析.即对称轴x=a与区间[0, 1]的相应位置分三种情况讨论:

(1) 当a<0时, f (0) =1-a=2,

∴a=-1.

(2) 当0≤a≤1时, f (a) =a2-a+1=2,

即a2-a+1无解;

(3) 当a>1时, f (1) =a+2,

∴a=2.

综上可知:a=-1或a=2.

结合本题我们也很容易看出上述的高考题正确答案为D.

三、定轴动区间

例3 已知二次函数f (x) =x2-2x+2, 当x∈[t, t+1]上有最小值h (t) , 试求h (t) 的解析式.

解 分析:区间与相对于对称轴的位置分三种情况讨论

(1) 当t+1≤1, 即t≤0时,

h (t) =f (t+1) =t2+1.

(2) 当t<1

h (t) =f (1) =1.

(3) 当t≥1时,

h (t) =f (t) =t2-2t+2.

二次函数内容涉及很广, 本文仅仅探讨了一下二次函数在定区间上最值的一些问题, 其关键点是弄清楚二次函数的对称轴与区间的相对位置关系.然后借助于图像及二次函数的单调性来进行解题.希望各位同仁在教学中也多多关注这方面的知识, 使我们的研究更深入, 我们的学生的理解更透彻.

摘要：二次函数是整个高中阶段重要的初等函数之一, 很多问题都可以转化为借用二次函数的知识来处理.二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式的知识点有着密切的联系, 因此必须熟练掌握它的有关性质, 本文主要对二次函数在闭区间上的最值给以探究.

关键词：二次函数,闭区间,最值,值域,顺口溜

参考文献

[1].杨茂竹, 赵权新.浅谈二次函数在闭区间上的最值[J].中国科教创新导刊, 2011 (18) .

二次函数在闭区间上的最值问题 篇8

一、定轴定区间

例1.已知函数f (x) =2x2+x-3, 求f (x) 在[-1, 2]上的最值。

解析:这里f (x) 图象 (抛物线) 开口向上, 对称轴, 且, 故

评注:例1中函数的对称轴确定, 区间也确定, 因而最值也是确定的。求解的关键是判断图象的开口方向及对称轴的位置 (即对称轴在不在给定的区间内) 。

一般的, 二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 在闭区间[p, q]上的最值可能出现以下三种情况:

(1) 若则f (x) 在区间[p, q]上是增函数, 则

(3) 若则f (x) 在区间[p, q]上是减函数, 则

二、定轴动区间

例2.设函数f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求g (t) 的解析式。

解析:由题意, f (x) = (x-1) 2-2, 则:

(1) 当t>1时, f (x) 在[t, t+1]上是增函数, 故g (t) =f (x) min=f (t) =t2-2t-1。

(2) 当1∈[t, t+1], 即0≤t≤1时, g (t) =f (x) min=f (1) =-2。

(3) 当t+1<1, 即t<0时, f (x) 在[t, t+1]上是减函数, 故

评注:例2中函数的对称轴给定, 定义区间因含参数而位置不定, 故求解方法是依对称轴与区间的位置分三种情形讨论。

三、动轴定区间

例3.已知函数f (x) =x2+ax+3-a, 若x∈[-2, 2]时, f (x) ≥0恒成立, 求实数a的取值范围。

解析:本题即求在[-2, 2]上, f (x) 的最小值非负时实数a的取值范围。

由, 则讨论如下:

(1) 当, 即a>4时, f (x) 在[-2, 2]上是增函数, 则f (x) min=f (-2) =7-3a≥0, 得, 这与a>4矛盾, 舍去。

(2) 当-2≤-2a≤2, 即-4≤a≤4时, , 得-6≤a≤2, 从而可得-4≤a≤2。

(3) 当, 即a<-4时, f (x) 在[-2, 2]上是减函数, 则f (x) min=f (2) =7+a≥0, 得a≥-7, 又a<-4, 从而-7≤a<-4。

综上, 实数a的取值范围是[-7, 2]。

评注:例3中的函数区间确定, 而对称轴含参数不确定, 从而仍按对称轴与区间的三种位置关系讨论。

四、动轴动区间

例4.已知y2=4a (x-a) (a>0) , 求f (x) = (x-3) 2+y2的最小值。

解析:将y2=4a (x-a) 代入f (x) 中,

得f (x) = (x-3) 2+4a (x-a) =[x- (3-2a) ]2+12a-8a2, x∈[a, +∞)

(1) 当3-2a≥a, 即0<a≤1时, f (x) min=f (3-2a) =12a-8a2。

(2) 当3-2a<a, 即a>1时, f (x) min=f (a) = (a-3) 2。

评注:例4中的函数不定, 区间亦不定, 同样是按对称轴关于区间位置分情况讨论。

总之, 二次函数在闭区间上的最值, 受限于对称轴与区间的相对位置关系, 特别是其中的含参数最值问题, 注意“定”“动”结合, 合理突破, 所以, 分类讨论常常成为解决此类问题的通法。

摘要：二次函数 (fx) =ax2+bx+c (a≠0) 在闭区间[p, q]上的最值问题实质是利用函数的单调性, 就对称轴与区间的“定”“动”关系, 分类解析

二次函数最值 篇9

关键词：二次函数,区间,最值

1.引 言

函数是整个高中数学的灵魂,又是学习高等数学的基础,在高考数学试题中占有重要的地位.而函数最值是它非常重要的性质,既是教学重点,又是难点,在解题中有着广泛的运用,尤其是二次函数的最值问题.但是学生对最值问题理解得不透彻,运用也不灵活,为此,我对二次函数在给定区间上的最值问题进行了一些必要的探索,针对不同类型的题目给出了简单有效地解题方法,避免了通常求最值的单调性方法,从而可有效的提高解题速度.

2.相关定义

定义1(二次函数) 一般地,形如y=Ax2+Bx+C(A,B,C为常数,A≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,A,B,C分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

定义2(二次函数在给定区间上的最值) 设二次函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果存在实数M(m)同时满足如下两个条件:

(1)对于任意的x∈D,都有f(x)≤M(f(x)≥m);

(2)存在x0∈D,使得f(x0)=M(f(x0)=m),那么,我们称M(m)为函数f(x)在给定区间D上的最大值(最小值).

3.二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数的最值是二次函数非常重要的性质,既是教学重点,又是难点.本文将对二次函数在给定区间D上的最值问题进行分析探讨,针对不同的类型的题目采用不同的方法进行求解,达到能用最节省的时间做出正确答案的目的(为方便起见,以下二次函数f(x)的定义域均为I,区间D⊆I).

二次函数在给定区间D上的最值问题,如果按照区间D来划分,一般有如下四种情况:

(1)求二次函数f(x)在区间D=[a,b]上的最值;

(2)求二次函数f(x)在区间D=(a,b)(a可取-∞,b可取+∞)上的最值;

(3)求二次函数f(x)在区间D=[a,b)(b可取+∞)上的最值;

(4)求二次函数f(x)在区间D=(a,b](a可取-∞)上的最值.

假设二次函数的二次项系数a>0(当a<0时,与a>0类似),对于以上四种情况,下面分别给出求解的简便有效方法.

对于第一种情况,我们采用如下方法:

(1)计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程:undefined;

(2)分别计算undefined和f(b)的值;

(3)比较上述(2)中三个函数值的大小关系,三个中最大值和最小值分别为该函数在该区间上的最大值和最小值,可分别记作:maxundefined和undefined

对于第二种情况,我们采用如下方法:

(1)计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程:undefined;

(2)若undefined,则函数f(x)在区间D上的最小值是undefined,无最大值;若undefined,则函数f(x)在区间D上既无最小值也无最大值.

对于第三种情况,我们采用如下方法:

(1)计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程:undefined;

(2)若undefined,计算undefined和undefined(当b=+∞时,记da

undefined

若undefined,函数f(x)在区间D上的最值为:

undefined

对于第四种情况,我们采用如下方法:

(1)计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程:undefined;

(2)若undefined,计算undefined和undefined(当a=-∞时,记da>db),则函数f(x)在区间D上的最小值为undefined,最大值为:

undefined

若undefined,函数f(x)在区间D上的最值为:

undefined

4.二次函数最值问题的应用举例

例1 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5],当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值.(2009年——-山东模拟)

分析 此题等价于求f(x)=x2-2x+2在区间D=[-5,5]上的最大值和最小值,属于本文3中的第一种情况.

解 ∵f(x)=x2+2ax+2,且a=-1,

∴f(x)=x2-2x+2,

∴f(x)所对应函数图像的对称轴为x=1,

∴f(-5)=37,f(5)=17,f(1)=1,

∴f(x)在区间[-5,5]上的最大值为max{f(-5),f(5),f(1)}=37,最小值为min{f(-5),f(5),f(1)}=1.

例2 求函数f(x)=2x2-x-1在区间D=(-1,1)上的最值.

分析 本题属于本文3中的第二种情况.

解 ∵f(x)=2x2-x-1,

∴函数f(x)所对应图像的对称轴方程为undefined

∴f(x)在区间D=(-1,1)上的最小值为undefined,无最大值.

例3 求函数f(x)=x2-x-2在区间D=[-2,1)上的最值.

分析 本题属于本文3中的第三种情况.

解 ∵f(x)=x2-x-2,

∴函数f(x)所对应图像的对称轴方程为undefined

∴f(x)在区间D=[-2,1)上的最小值为undefined

又undefined

∴f(x)在区间D=[-2,1)上的最大值为f(-2)=4.

例4 求函数f(x)=3x2-6x-1在区间D=(-2,3]上的最值.

分析 本题属于本文3中的第四种情况.

解 ∵f(x)=3x2-6x-1,

∴函数f(x)所对应图像的对称轴方程为undefined

∴f(x)在区间D=(-2,3)上的最小值为f(1)=-4.

又 ∵|-2-1|>|3-1|,

∴f(x)在区间D=(-2,3]上无最大值.

5.总 结

本文对二次函数在给定区间上的最值问题进行了探讨,针对不同的情况下的题型给出了简便有效的解决方法,此方法既不需要讨论函数在给定区间上的单调性,也不需要对二次函数进行作图,只需要判断对称轴在给点区间上的位置,然后进行必要的函数值比较.最后还给出了不同情况下的实例解析.

参考文献

[1]课程教材研究所编著.数学(九年级下册)[M].北京:人民教育出版社,2006.

[2]课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书——数学(必修1)[M].北京:人民教育出版社,2007.

二次函数最值 篇10

如果学生的懂仅仅是停留在表面上对概念和原理记忆性的“假性理解”, 那么, 他们对数学知识的学习就很难达到深刻理解形成能力水平的状态.而造成这种状况的原因很可能与先前的数学学习体验有关, 尤其是在初中阶段学习二次函数的时候, 解决诸如对称轴、顶点坐标、最大 (小) 值等问题, 奏效的策略往往就是记公式, 代入计算即可, 以至于学生在学习含参数二次函数闭区间上最值问题时, 把这些学习“经验”机械地迁移过来, 记题型、套类型, 而忽视了对数学问题的本质理解.有鉴于此, 我们尝试了探究教学的模式, 以期加深学生对于含参数二次函数闭区间上最值问题的理解.先将教学过程简述如下, (以下用T表示教师, 用S表示学生) , 再谈几点认识.

1 课堂实录

1.1引例

问题1 画出二次函数f (x) =x2-2x+3的图像, 根据图像指出当x取何值时, 函数取最小值, 并求出最小值.

S1:当x=b/2a=1时, 函数取最小值:undefined

问题2 求出函数f (x) =x2-2x+3, x∈[2, 3]的最小值.

S2:还是2, 不对, 好像是x=2时取最小值3吧.

T:能说说理由吗?

S2:观察图像可知, 二次函数f (x) =x2-2x+3在区间[2, 3]上单调递增……

T:通过对问题1, 2的研究, 有何感受?

S3:闭区间上二次函数的最值不能简单的套用公式, 需要借助函数图像, 最高点处取最大值, 最低点处取最小值.

1.2 编题引出问题

问题3 求f (x) =x2-ax+3 (a<4) 在区间[2, 3]上的最小值.

S4:最小值是undefined

S5:不对, 因为a<4, 对称轴x=a/2<2在区间[2, 3]左边, 函数在[2, 3]上单调递增, 当x=2时取最小值f (2) =7-2a.

T:回答完全正确, 很多时候不能直接套用公式, 具体问题还要具体分析, 不过失败是成功之母, S4的解答为大家提了个醒, 千万不要生搬硬套哟, 数学是讲道理的.大家能改编问题了吗?下面是学生改编的问题:

问题4 求f (x) =x2-ax+3 (a<4) 在区间[2, 3]上的最大值.

问题5 求f (x) =x2-ax+3 (a>6) 在区间[2, 3]上的最小值.

问题6 求f (x) =x2-ax+3在区间[2, 3]上的最小值.

问题7 求f (x) =x2-ax+3在区间[2, 3]上的最大值.

问题8 求f (x) =-x2-ax+3在区间[2, 3]上的最大值.

问题9 求f (x) =-x2-ax+3在区间[2, 3]上的最小值.

……

T:大家编的问题这么多啊, 了不起!

1.3 解决问题, 体验过程, 提炼方法

S6:因为a<4所以对称轴x=a/2<2在区间[2, 3]左边, 函数是单调递增的, 最大值是f (3) =12-3a.

S7:对称轴x=a/2>3, 在区间的右边, 函数在[2, 3]上单调递减, 最小值为f (3) =12-3a.

T:大家在议论问题6吗?看来, 这个问题还真有些难呢, 能说说你的难处吗?

S8:不能判断对称轴在区间的哪边.

T:想想前面已经解决了的问题, 看看对你有什么启发.

2分钟过去了……

S9:当a<4时, 对称轴在区间的左边, 最小值为f (2) =7-2a, 当a>6时, 对称轴在区间的右边, 最小值为f (3) =12-3a.

T:还有问题吗?

S10:当4≤a≤6时, 对称轴在区间上, 当undefined时, 最小值为undefined

T:哦, 两个同学的解答合起来就天衣无缝, 还是集体力量大啊!分类一定要完整, 谁小结上题的解法?

S11:分对称轴在区间的左边、在区间上、在区间的右边3种情况讨论:对称轴在区间左侧, 左端点取最小值;在区间右侧, 右端点取最小值;对称轴在区间上时, 最小值在顶点处取得.

T:总结的真好, 我无话可说了, 尝试问题7吧, 不一样哦!

S12:也和S9, S10两个同学一样, 分3种情形, 当4≤a≤6时, 最大值不知道是在哪个端点取到.

T:有可能在两个端点同时取最大值吗?

S13:当a=5时, 在两个端点同时取最大值-3.

T:你怎么发现的?

S13:抛物线开口向上, 离对称轴越远, 函数值越大, 离对称轴越近函数值越小, 当a=5时, 对称轴为x=5/2, 两端点到对称轴的距离相等, 在两端点处同时取最大值.

T:有道理, 有想法吗?

S14:只需将对称轴undefined与undefined作比较即可.当undefined时, 在x=2时取最大值7-2a;当undefined时, 在x=3时取最大值12-3a.

T:说得好, 只要分两种情形讨论就好了, 为什么有时候分两类有时候分3类呢?

S15:最值能在抛物线顶点取到, 要分3类, 最值不能在顶点处取到分两类.

T:原来顶点还真重要, 影响到分类, 请左边的同学做问题8, 右边的做问题9.

投影仪投影解答过程, 师生共同探讨.

1.4 逆向探究

问题10 已知函数f (x) =ax2+ (2a-1) x+1在区间[-3/2, 2]有最大值3, 求a的值.

S16:分3种情形a>0, a=0和a<0讨论, 就是太复杂了……

T:有其他办法吗?

T:没有思路怎么办?前面解决问题的经验对你也许有所启发.

S17:最值只可能在端点和对称轴处取到, 可以采取先代入计算, 再检验的方法.

S18:当a=0时是线段, 要单独考虑.

S19:线段的最大值也是在端点取得, 不需要讨论了.

T:好的, 大家的讨论已经指明了解决问题的思路, 下面做做看, 请S17同学板演.

……

T:做得很好, 解题就像拉车, 不仅要埋头拉车, 还要抬头看路, 看看方向对不对, 当没有思路时要想想曾经解决过的类似问题, 过去的经验对你也许有所启发.

2 几点认识

2.1 关于教学设计

上海市教育科学研究院顾泠沅教授对大量案例进行研究, 提出数学学习大致可以分为3类:第1类, 记忆操作类学习;第2类, 理解性的学习;第3类是探索性学习.学生学习的层次与教师的教学法处理有关, 教师可能对教材作不同的处理, 学生学习数学完全可能存在不同的层次.这些层次不仅和学习材料、学习者的策略有关, 而且和教师的教学法密切相关.建构主义学习论认为:个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的, 他已有的知识经验、信念、个性、情感等都不同程度的参与其中, 由于个体经验的不同, 学生对同一问题便会形成理解上的差异, 教学设计既要符合学生的认知, 还要有利于学生高水平的学习数学, 提升思维水平, 发展能力.

数学教学从本质上说, 是以知识为载体, 以问题为核心, 师生在课堂上的交互活动, 在这一活动中如何调动学生思维, 以达到在问题解决过程中发展能力, 实现由“知识学习”到“智慧生成”, 我们考虑了如下几个方面:

首先, 学生的学习是在已有经验基础之上对新知的建构, 当原有的经验不利于新知的学习时就会产生负迁移, 阻碍认知的发展, 初中二次函数的学习多半是偏重于记忆性的“静态知识”, 含参数二次函数闭区间上的最值问题需要动态的建构, 为解决这一矛盾, 在引例中编排了问题1、问题2, 这两个问题都是学生能力所及的, 放在起始阶段, 目的是通过对比使学生感受到过去的“经验”有时候会失灵, 再沿着“经验”惯性滑行是走不通的, 在问题解决过程中能自觉的挣脱经验的“枷锁”, 调整解题策略.

再就是以问题驱动, 在解决问题的过程中提炼方法.教师预设的问题和课堂生成的问题相互呼应, 问题3不仅符合学生的“最近发展区”, 还为课堂生成问题搭建“支架”, 促进学生思考, 改变a的范围、开口方向等提出系列问题, 是学生从数学角度对问题3认识的深化, 既有利于学生问题意识的培养, 也改变了由教师提问, 学生解决问题的传统模式.为什么分类?如何确定分类标准?是学生的困惑所在, 问题3, 5为问题6为什么要分类作了铺垫, 也为分类标准的确定作了暗示.任何难点的突破都是深入思考后灵光的闪现, 与传统的讲授法相比较, 这种设计为思维的提升搭建了“脚手架”, 基于对问题3, 5的思考, 在解决问题6时, 学生已有明确的分类意识, 对前面问题解决过程的反思, 分类标准也浮出了水面.在一般性问题6, 7解决后引导学生对方法进行总结与提炼, 提升思维水平, 明确分类标准, 在分类标准的讨论中“可在顶点取最值分三类, 不在顶点处取最值分两类”、“最值只能在端点或顶点处取得”如点睛之笔, 击中要害, 让学生结合自身的体验、提升自己的思维、对知识进行创造性的应用.

最后是以“诱思”代答, 语言幽默.在问题解决的过程中, 学生的思维并非总是一帆风顺的, 在问题6, 7, 10的解决过程中, 学生思维出现“掉链子”, 通过对前面问题的回顾诱导学生思考, 在问题7的解决过程中, 学生惯性的迁移了前面的经验, 借助设问“能同时在两个端点取得最大值吗”诱导学生重新思考分类标准.面对问题10, 学生显得束手无策, 学生的解题思路源于对已有经验的反思和认知的重构, 启发学生回顾、探寻解题思路, 回顾以前解决过的相关问题、思考相关的知识、对已有思路再思考等无疑有益于学生反思意识的培养.整堂课下来语言幽默风趣, 像“低头拉车抬头看路”等, 一改数学的严肃面孔, 有利于学生学习兴趣的培养.

2.2 关于探究学习

高中数学课程倡导自主学习、探究学习等多种学习方式, 体验数学发现与创造的过程, 发展自主创新的精神, 但一些教师认为教科书中缺少探究的素材, 一说到探究就追求新、奇、大、难的问题, 其实教材中“阅读材料”、“探究与发现”、“实习作业”、教学中的某个专题、例题、习题、学习难点等都是可资利用的探究素材.

教师主动求变与创新是新课程改革成败的关键, 普通高中新课程标准强调学生创新意识的培养, 学生的创新意识不可能凭空而来, 文[5]中指出:“就本例而言, 我们可以看到一个很清晰的封闭认识传递链:学生的封闭认识主要来自于教师, 教师的封闭认识主要来自于印刷物或‘教师的教师’.”由于印刷物是教师编写的, 所以归根结底还是来源于教师.探究学习与接受学习是两种主要的学习方式, 没有优劣之分, 只是我们现在大部分教师是接受式学习培养出来的, 探究学习对很多教师而言在观念上已经接受了, 但还没有成为我们的一种教学常态, 这就需要我们教师去主动求变, 对那些接受式学习效果不好的内容不妨尝试探究式学习, 敢于求变、自觉求变是与时俱进的必然要求, 新一轮课程改革的序幕已经拉开, 但是我们还有部分教师因循守旧, 新课程旧理念, 总想用传统的理念处理新教材中的一些问题, 一味因袭传统的教师又怎么培养学生的创新意识呢?

参考文献

[1]王神华.新课程理念下开展“问题驱动”教学的思考[J].数学通报, 2007, (12) .

[2]章显联.探究之路在何方[J].数学通报, 2008, (7) .

[3]瞿国华.关于“判别式法”的探究学习[J].数学通报, 2007, (9) .

[4]丁国忠.数学课程改革中教师数学教学观念的转变[J].课程.教材.教法, 2006, 26 (5) .

[5]罗增儒.教育叙事——开放策略下的认识封闭[J].中学数学教学参考 (上半月) , 2008, (6) .