二次函数在闭区间最值

二次函数在闭区间最值（精选9篇）

篇1：二次函数在闭区间最值

二次函数的最值的教学设计

一、教学内容分析

二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

二、教学目标设计

知识与技能

1、掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值

2、会利用转化化规思想求解含参数不等式中参数的范围。

过程与方法

1、经历从轴定区间动到轴动区间定的类比推理，培养学生类比推理能力。

2、结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高

学生的综合能力

情态与价值

1、有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养了学生良好的思维习惯。

2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。

三、教学重点与难点

重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值

难点：求解含参数的一元二次函数不等式中参数的范围

四、教学方法：类比推理法，讲授发现法

五、教学过程（典型例题分析）

（1）轴定，区间定

方法：可以对其二次函数配方处理或者是结合二次函数图形求解，例1若实数x,y满足2x26xy20，则x2y22x的最大值是 26x2x022解：由y6x2x得2 2222xy2xx6x2x2x8xx

问题转化为求f(x)8xx2，当x[0,3]中的最大值，易的f(x)maxf(3)15.1设计意图：利用消元思想将问题简化，但是其中必须注意的是消元之后的自变量的取值范围，进而转化为二次函数在闭区间上的最值。

例2 设x1,x2是方程2x24mx(5m29m12)0的两实根，求x1x2的最值.分析：二次方程有实根，则必须△0,由此先解出m的范围.2

2x12x22(x1x2)22x1x2，利用韦达定理将x12x22表示成关于m的二次函数.4m25m29m12m29m12f(m)解：由韦达定理知xx2()2222

由2x24mx(5m29m12)0有两实根可得它的0

即(4m)242(5m29m12)24m272m960，解得1m

4,时]的最值，易的问题转化为求f(m)m29m12，当m[1m

f(m)maxf(4)32，f(m)minf(1)2.设计意图:结合韦达定理转化成为有关m的二次函数，但是其中的隐含条件：二次方程有实根，从而确定m的取值范围。

（2）轴定，区间变

方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：① 轴在区间右边②轴在区间左边③轴在区间内

例3 已知f(x)x22x2在x[t,t1]上的最大、最小值分别为M(t)、m(t)，求M(t)、m(t)的解析式.活动：师生一起合作求解函数的最小值m(t)的表达式，并作小结，再让学生板书求解函数的最大值M(t)的表达式，和下面例题4的最小值g(t)的表达式设计意图:（1）通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性

（2）学生求解例3函数中最大值的表达式中讨论轴在区间内的可能遇到阻碍，讲解过程中启发学生结合函数的图像和性质：如果我们俩个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式

（3）根据物理中动、静（定）的相对原理，那么例题4的轴变区间定的题型可以类比成轴定区间动的这种题型求解，培养学生的发散思维和类比能力解：对称轴为x1，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）：

22（1）t11，即t0时，M(t)f(t)t-2t

2、m(t)f(t1)t

1（2）t1时，M(t)f(t1)t2

1、m(t)f(t)t2-2t

2，且1-tt1-1，即（3）0t11t1时，2

M(t)f(t1)t2

1、m(t)f(1)

1，且1-tt1-1，即1t（4）0t11时，2M(t)f(t)t22t

2、m(t)f(1)1 12t21(t0)t2t2(t)2综上，M(t)，m(t)1(0t1)1t21(t)t22t2(t1)

2（3）轴变，区间定

方法: 与情形2一样.例4已知f(x)x22tx2在x[0,1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式.解：对称轴xt，分三种情况讨论

（1）t0时，g(t)f(0)0

2（2）0t1时，g(t)f(t)2t

（3）1t时，g(t)f(1)32t

2(t0)2综上，g(t)2t(0t1)

32t(t1)

例5 设f(x)x2ax3，当x[2,2]时恒有f(x)a，求a的范围.变式一：若将f(x)a改为f(x)a时，其它条件不变，求a的范围

变式二：若将f(x)a改为f(x)a时，其它条件不变，求a的范围

变式三：若将x[2,2]改为x(2,2)时，其它条件不变，求a的范围

设计意图：通过讲解例题5和变式一，让学生体会解不等式中的一种转化思想并一起总结归纳：若f(x)af(x)mina;f(x)af(x)maxa，通过变式二、三和原题的思考对比让学生体会相似题型的解法的相同点和不同点

分析：f(x)a恒成立f(x)mina

a解：对称轴为x，分三种情况讨论

2aa42（1）27 a3fmaxf(2)2a7a

a224a44a42(2)4a2 222ff(a)aa3aa4a1206a2

min242

aa42（3）27a4 a7fminf(2)2a7a

综上，7a2，即a的值域为a[7,2]

（4）轴变，区间变

例6已知y24a(xa)(a0)，求u(x3)2y2的最小值。

分析：将y24a(xa)代入u中，得

u(x3)24a(xa)[x(32a)]212a8a2，x[a，)

分①32aa、②32aa讨论

解：将y24a(xa)代入u中，得

u(x3)24a(xa)[x(32a)]212a8a

2由y24a(xa)0得xa

u[x(32a)]212a8a2的对称轴为x32a，分两种情况

①32aa0时，即0a1时，fminf(32a)8a212a

②32aa时，即a1时，fminf(a)a26a9

综上，f(x)min2(0a1)12a8a 2(a1)(a3)

（5）二次函数的逆向最值问题

3例7已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间[，2]上的最大值为3，求实2

数a的值。

分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a0与a0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。

解：（1）令f(2a11)3，得a 22a

32] 此时抛物线开口向下，对称轴为x2，且2[，2

1故a不合题意； 2

（2）令f(2)3，得a

称轴远些，故a1，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对21符合题意； 2

32（3）若f()3，得a，经检验，符合题意。32

综上，a21或a 32

评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。

六、课后小结：本教学设计几乎涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的所有可能性，不论是正向型还是逆向型，设计中主要体现在它们总体解题思路是根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间内，根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。本教学设计最主要还是向同学灌输了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法，让学生的数学思维得到不断延伸，提升他们的综合能力。我感觉课堂给他们的时间可能比较少，课堂内容比较大，需要课后不断巩固。

篇2：二次函数在闭区间最值

1.课件的教学设计要点

⑴ 教材的知识脉络和学生原有的知识经验分析

二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。但学生受一次函数的最值求法的影响，总是把边界值代进函数就可以得出最大或最小值了，为了让学生掌握二次函数在闭区间上的最值问题，必须经过其主动的探究，体会探究过程的每个环节，才能对问题有深刻地认识，只有充分的调动学生的认知准备，特别是对数形结合的思想方法的学习，更需要学生自己在探究过程中深刻体会，以学生的亲身体验主动建构新知识，才能使其使用这一思想方法成为一种自觉的行为，这种学习才是有效的。所以，本堂课更加注重学生运用数形结合数学思想方法的体验，情感目标是通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心。

学生已经了解一元二次函数的性质（图像），要让学生先了解给定具体区间（不含参数）的最值问题知识之后，勇于自己尝试对含参数的此类问题的研究解答。从运动的观点来体会参数值的变化导致图象的变化，从而引起函数单调性的变化，才使得函数的最值有不同的情况。

⑵ 教学策略和方法设计

复习提问，让学生探究例1完成后，然后把区间改变，既探究例2，然后用多媒体课件的动态演示，让学生有更直观的体会，对基础教差学生的理解起到的积极的辅助作用，由原来的知识掌握，确定为让学生加深运用数形结合的数学思想方法的体验。然后再研究例题3，以运动的观点来体会参数值的变化导致图象的变化，从而引起函数单调性的变化，才使得函数的最值有不同的情况。例题的难度作了梯度变更（由易到难），制作课件等。2.课件设计的技术要点

⑴设计问题情境及技术要点：

我们已学习了哪些一元二次函数的性质？学生再回顾一元二次函数的性质（图像），在闭区间的最值是怎样的呢？完成例题1；研究例2，然后反问，为什么要这样做，这样做的依据是什么，为什么必须这样做。然后再提问参数对图象分别有什么影响？ 技术要点：

① 建立“复习引入”页面，把复习引入的文本和新课说明复制到该页面中，并用【显示/隐藏】按钮控制。

② 建立“具体二次函数最值”页面，利用自动吸附网格功能，快速制作二次函数图象，动态变化区间[a，b]，用多媒体课件的动态演示，让学生有更直观的体会。

③ 建立“含参数二次函数最值”页面，利用自动吸附网格功能，制作二次函数的图象，在利用a、b、c三个参量分别变化，引起函数

篇3：二次函数在闭区间上最值教学随感

A. (-∞, 0] B.[2, +∞)

C. (-∞, 0]∪[2, +∞) D.[0, 2]

不由得想起高一时给学生讲二次函数的单调性的情景, 高一学生刚刚接触函数, 为了让他们明白, 于是我就通过例题总结出下面顺口溜:区间定, 轴在动, 求最值, a判定, 口向上, 分三种, 大于大 (顶点的横坐标大于区间的最大值) , 单调减, 变量小, 值最大;小于小 (顶点的横坐标小于区间的最小值) 单调增, 变量小, 值最小;在中间, 顶点低, 值最小, 离轴远, 值最大;口向下, 恰相反.以上你若记心间, 二次函数单调性也不难.二次函数在闭区间上的最值主要取决于三个因素:抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置.就高中学习的二次函数有关最值问题:一是定轴定区间, 二是定区间动轴, 三是定轴动区间问题.本文以实例说明借助顺口溜的求解方法, 供读者参考.

一、定轴定区间问题

例1 已知二次函数f (x) =ax2+2ax+1在[-3, 2]上有最大值4, 求实数a的值.

解 由函数对称轴x=-1是定直线.因而判定函数的单调性要结合二次函数的开口方向.有上述口诀“在中间, 口向上, 离轴远, 值最大.口向下, 则相反”易知:a=-3或

二、定区间动轴问题

例2 已知二次函数f (x) =-x2+2ax+1-a在[0, 1]上有最大值2, 求实数a的值.

解 分析:结合上述顺口溜, 容易想到分三种情况进行分析.即对称轴x=a与区间[0, 1]的相应位置分三种情况讨论:

(1) 当a<0时, f (0) =1-a=2,

∴a=-1.

(2) 当0≤a≤1时, f (a) =a2-a+1=2,

即a2-a+1无解;

(3) 当a>1时, f (1) =a+2,

∴a=2.

综上可知:a=-1或a=2.

结合本题我们也很容易看出上述的高考题正确答案为D.

三、定轴动区间

例3 已知二次函数f (x) =x2-2x+2, 当x∈[t, t+1]上有最小值h (t) , 试求h (t) 的解析式.

解 分析:区间与相对于对称轴的位置分三种情况讨论

(1) 当t+1≤1, 即t≤0时,

h (t) =f (t+1) =t2+1.

(2) 当t<1

h (t) =f (1) =1.

(3) 当t≥1时,

h (t) =f (t) =t2-2t+2.

二次函数内容涉及很广, 本文仅仅探讨了一下二次函数在定区间上最值的一些问题, 其关键点是弄清楚二次函数的对称轴与区间的相对位置关系.然后借助于图像及二次函数的单调性来进行解题.希望各位同仁在教学中也多多关注这方面的知识, 使我们的研究更深入, 我们的学生的理解更透彻.

摘要：二次函数是整个高中阶段重要的初等函数之一, 很多问题都可以转化为借用二次函数的知识来处理.二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式的知识点有着密切的联系, 因此必须熟练掌握它的有关性质, 本文主要对二次函数在闭区间上的最值给以探究.

关键词：二次函数,闭区间,最值,值域,顺口溜

参考文献

[1].杨茂竹, 赵权新.浅谈二次函数在闭区间上的最值[J].中国科教创新导刊, 2011 (18) .

篇4：二次函数在闭区间上的最值问题

类型1定轴定区间

例1已知函数[f(x)=x2-2x]，求[f(x)]的最小值.

解[f(x)=x2-2x=(x-1)2-1]，

由图1可知，当[x=1]时，[f(x)min=-1].

变式1已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[2,4]]，求[f(x)]的最小值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[2,4]]为增函数，

[∴f(x)min=f(2)=0.]

变式2已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[0,3]]，求[f(x)]的最大值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[0,1]]上递减，在[[1,3]]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离.

[∴f(x)max=f(3)=3.]

例2已知二次函数[f(x)=ax2+4ax+a2-1]在区间[-4，1]上的最大值为5，求实数[a]的值.

解将二次函数配方得[f(x)=a(x+2)2+a2-][4a-1]，函数图象对称轴方程为[x=-2]，顶点坐标为[(-2，a2-4a-1)]，图象开口方向由[a]决定.很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]内.

①若[a<0]，函数图象开口向下，如下图2所示.当[x=-2]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(-2)=a2-4a-1=5]，解得[a=2±10].

故[a=2-10(a=2+10舍去)].

②若[a>0]，函数图象开口向上，如上图3所示，当[x=1]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(1)=5a+a2-1=5]，解得[a=1或a=-6]，故[a=1(a=-6舍去)].

综上可知：函数[f(x)]在区间[-4，1]上取得最大值5时，[a=2-10或a=1].

点拨求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图象，然后结合其图象研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置.在例1中，二次函数图象的开口、对称轴和区间都是固定的. 需注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小.在例2中，二次函数图象的对称轴和区间是固定的，但图象开口方向是随参数[a]变化的，要注意讨论.二次函数[f(x)=a(x-k)2+h][(a>0)]在区间[[m,n]]最值问题：

①若[k∈[m,n]]，则[f(x)min=f(k)=h]，[f(x)max=max{f(m),f(n)}].

②若[k∉[m,n]]，当[k

当[k>n]时，[f(x)min=f(n)]，[f(x)max=f(m)].

类型2定轴动区间

例3已知函数[y=x2-2x,x∈[-2,a]]，求函数的最小值[g(a).]

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类讨论，即①对称轴在区间[[-2,a]]内，②对称轴在区间[[-2,a]]右侧.

解[∵]函数[y=x2-2x=(x-1)2-1],

①当[-2

②当[a≥1]时，函数在[[-2,1]]上单调递减，在[[1,a]]上单调递增，则当[x=1]时，[ymin=-1].

综上可知[g(a)=a2-2a,-2

例4已知函数[f(x)=-x22+x+6]在区间[[m,n]]上的值域是[[2m-2,2n-2]]，求[m、n]的值.

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类讨论，即①对称轴在区间右侧，②对称轴在区间内，③对称轴在区间左側.

解[∵f(x)=-x22+x+6=-12(x-1)2+132,]

①若[m

②若[m<1

故[2n-2=132]，得[n=174.]

由于[2m-2<0,f(n)=-12(174-1)2+132=3932>0,]

故[f(x)]在[x=m]处取最小值[2m-2.]

即[-12(m-1)2+132=2m-2]，解得[m=-1-17].

③若[1≤m

解得[m=2,n=4.]

综上可知[m=-1-17n=174]或[m=2n=4].

点拨当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论.

类型3动轴定区间

例5求[f(x)=x2-2ax-1]在区间[[0,2]]上的最大值和最小值.

分析因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图象，作二次函数图象时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图象对称轴[x=a.]位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论.

解[f(x)=(x-a)2-1-a2]，对称轴为[x=a.]

①当[a<0]时，由图4可知，[f(x)min=f(0)=-1]，[f(x)max=f(2)=3-4a.]

②当[0≤a<1]时，由图5可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(2)=3-4a.]

③当[1≤a≤2]时，由图6可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(0)=-1.]

④当[a>2]时，由图7可知，[f(x)min=f(2)=3-4a,][f(x)max=f(0)=-1.]

例6已知二次函数[f(x)=-x2+2ax+1-a]在[[0，1]]上有最大值2，求[a]的值．

解[f(x)=-(x-a)2+a2-a+1]．

①当[a<0]时，[f(x)max=f(0)=2，]得[a=-1]．

②当[0≤a≤1]时，[f(x)max=f(a)=2]，解得[a=1±52∉[0，1]]，故该方程在[[0，1]]上无解．

③当[a>1]时，[f(x)max=f(1)=2]，得[a=2]．

综上可知：[a=-1]或[a=2]．

点拨当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图象需分两种或三种情况讨论.

类型4动轴动区间

例7设[a]是正实数，[ax+y=2][(x≥0,y≥0).]若[y+3x-12x2]的最大值是[M(a).]求[M(a)]的表达式.

分析该题是二元函数求最大值，应先由[ax+y=2]解出[y]代入，消元，转化为关于[x]的二次函数，再求最大值.

解设[f(x)=y+3x-12x2]，由[ax+y=2]得[y=2-ax].

[∴f(x)=(2-ax)+3x-12x2=-12[x-(3-a)]2+12(3-a)2+2.]

[∵y≥0]，[∴2-ax≥0].

又[a>0,x≥0]，[∴x∈[0,2a].]

（1）当[0<3-a<2a(a>0)]即[0

（2）当[3-a≥2a(a>0)]即[1≤a≤2]时，[M(a)=][f(2a)=-2a2+6a].

（3）当[3-a≤0]即[a≥3]时，[M(a)=f(0)=2].

[∴M(a)=12(3-a)2+2-2a2+6a2][(0

点拨当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论.通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得.

例8已知函数[f(x)=ax2+(2a-1)x-3][(a≠0)]在区间[[-32,2]]上最大值为1，求实数[a]的值.

分析若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：

①当[a<0]时，分三种情况讨论最大值；

②当[a>0]时，分两种情况讨论最大值.

一共有五种情形，过程繁琐.若从整体角度分析，注意到函数[f(x)]的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数[f(x)]在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可.

解函数[f(x)]的最大值只能在[x1=-32]，或[x2=2]，或[x3=1-2a2a]处取得．

①令[f(-32)=1]，解得[a=-103]，此时[x0=1-2a2a=-2320∈-32，2]．故[f(x)]的最大值不可能在[x1]处取得．（[a=-103]，抛物线开口向下）

②令[f(2)=1]，解得[a=34]，此时[x0=1-2a2a=-13<-32+22]．故[f(x)max=f(2)]，得[a=34]，符合题意．

③令[f1-2a2a=1]，解得[a=-3±222]．要使[f(x)]在[x0=1-2a2a]处取得最大值，必须且只须[a<0]且[x0∈[-32,2]]，经检验，只有[a=-3+222]合题意．

综上可知：[a=34]或[a=-3+222]

点拨本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.

求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”.“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论.

[【练习】]

1．已知函数[y=x2-2x+3 , x∈[0,m]]上有最大值3，最小值2，则[m]的取值范围是（ ）

A. [  [1,+∞) ]B. [ [0,2]]

C. [ [1,2]]D. [(-∞,2]]

2．已知函数[f(x)=x2－2x＋2]的定义域和值域均为[[1，b]]，则[b＝].

3．已知定义在区间[0,3]上的函数[f(x)＝kx2－2kx]的最大值為3，那么实数[k]的取值范围为．

4．若函数[f(x)=-12x2+132]在区间[[a,b]]上的最大值为[2b]，最小值为[2a]，求区间[[a,b]].

[【参考答案】]

1. C 2. 23. {1，－3}

篇5：二次函数在闭区间最值

二次函数是高中数学中最基本也最重要的内容之一，而二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续，随着区间的确定或变化，以及系数中参变数的变化，它又成为高考数学的热点.

一、求定二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴都确定时，要将函数式配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值.

【例1】 已知2x2≤3x，求函数f(x)=x2-x+1的最值.

解:由已知2x2≤3x，可得0≤x≤32，即函数f(x)是定义在区间[0，32]上的二次函数，将二次函数配方得f(x)=(x-12)2+34，其图象开口向上，且对称轴方程x=12∈[0，32]，故f(x)?max=f(32)=74，f(x)?min=f(12)=34.

二、求动二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间确定而对称轴变化时，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解.

【例2】 已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4，1]上的`最大值是5，求实数a的值.

解:将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1，其对称轴方程为x=-2，顶点坐标为(-2，a2-4a-1)，图象开口方向由a决定，很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]上.若a<0，则函数图象开口向下，当x=-2时，函数取得最大值5，即f(-2)=a2-4a-1=5，解得a=2-10(a=2+10舍去);若a>0，则函数图象开口向上，当x=1时，函数取得最大值5，即f(1)=5a+a2-1=5，解得a=1(a=-6舍去).综上讨论，函数f(x)在区间[-4，1]上取得最大值5时，a=2-10或a=1.

三、求定二次函数在动区间上的最值

当二次函数的对称轴确定而区间在变化时，只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.

【例3】 已知函数f(x)=-x2+8x，求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值g(t).

解:函数f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16，其对称轴方程为x=4，顶点坐标为(4，16)，其图象开口向下.

(1)当顶点横坐标在区间[t，t+1]右侧时，有t+1<4，即t<3，当x=t+1时，g(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7.

(2)当顶点横坐标在区间[t，t+1]上时，有t≤4≤t+1，即3≤t≤4，当x=4时，g(t)=f(4)=16.

(3)当顶点横坐标在区间[t，t+1]左侧时，有t>4，当x=t时，g(t)=f(t)=-t2+8t.

综上，g(t)=-t2+6t+7，当t<3时;16，当3≤t≤4时;-t2+8t，当t>4时.

四、求动二次函数在动区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴均在变化时，亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论，并结合其图形和单调性处理.

【例4】 已知y2=4a(x-a)(a>0)，且当x≥a时，S=(x-3)2+y2的最小值为4，求参数a的值.

解:将y2=4a(x-a)代入S的表达式得S=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.

S是关于x的二次函数，其定义域为x∈[a，+∞)，对称轴方程为x=3-2a，顶点坐标为(3-2a，12a-8a2)，图象开口向上.若3-2a≥a，即02=4，此时a=1或a=12.若3-2a1，则当x=a时，S?min=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4，此时a=5(a=1舍去).

篇6：二次函数最值问题

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

篇7：二次函数的最值问题

初三：年级 数学：学科 出核人：杨守德 审核人：高阳 时间：12月26日 1．若二次函数y=x－3x＋c图象的顶点在x轴上，则c=（）24411A． B．－ C． D．－

9999222．抛物线y=ax＋bx＋c的对称轴的位置（）

A．与a、b、c有关 B．只与a、b有关 C．只与a有关 D．只与b有关 3．关于二次函数y=x＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝2时，函数有最小值 C．当x＝－2时，函数有最大值 D．当x＝－2时，函数有最小值 4．二次函数的图象如图所示，则下列判断错误的是（）

A．a＞0 B．c＜0 C．函数有最小值 D．y随x的增大而减小

5．若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x－4x－1有相同的顶点，并且在对称左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的关系式为（）A．y=－x＋2x－4 B．y=ax－ax＋a－3 C．y=－2x－4x－5 D．y=ax－2ax＋a－3（a＜0）6．抛物线y=－222222125x＋3x－的顶点坐标是（）22A．（2，3）B．（3，2）C．（－2，3）D．（－3，2）

7．某商品进货单价为90元，按100元一个出售，能售出500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（）A．130元 B．120元 C．110元 D．100元 8．将抛物线y=x＋2x＋1向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的最小值是（）A．－3 B．1 C．2 D．3 9．根据二次函数y=（x－1）（x＋2）的图象可知，当x的取值范围是 时，y≤0 10．二次函数y=2x＋x－n的最小值是2，那么n＝

11．抛物线y=2x－4x＋1的开口向，最低点的坐标为

12．抛物线y=ax＋bx＋c在点（3，1）处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标为－8，则它的解析式为

13．把二次函数y=2x－4x＋5化成y=a（x－h）＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小。22222214．已知二次函数y=x－6x＋m的最小值为1，那么m的值是

15．已知一个二次函数的顶点为（1，2），且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式

16．心理学家发现学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x＋2.6x＋43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强，当x＝ 时，y有最大值是

17．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=3，求此二次函数的表达式。

18．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系式y=－x＋200，为获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？

19．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2.44米，问能否射中球门？

20．如图，在体育测试时，一位初三同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是二次函数的一部分，如果这个同学出手点A的坐标为（0，2），铅球路线最高处B的坐标为（6，5）（1）求这条二次函数的解析式；

（2）该生能把铅球掷多远？（精确到0.01米，15≈3.873）

21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场判定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件

篇8：二次函数在闭区间上的最值问题

一、定轴定区间

例1.已知函数f (x) =2x2+x-3, 求f (x) 在[-1, 2]上的最值。

解析:这里f (x) 图象 (抛物线) 开口向上, 对称轴, 且, 故

评注:例1中函数的对称轴确定, 区间也确定, 因而最值也是确定的。求解的关键是判断图象的开口方向及对称轴的位置 (即对称轴在不在给定的区间内) 。

一般的, 二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 在闭区间[p, q]上的最值可能出现以下三种情况:

(1) 若则f (x) 在区间[p, q]上是增函数, 则

(3) 若则f (x) 在区间[p, q]上是减函数, 则

二、定轴动区间

例2.设函数f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求g (t) 的解析式。

解析:由题意, f (x) = (x-1) 2-2, 则:

(1) 当t>1时, f (x) 在[t, t+1]上是增函数, 故g (t) =f (x) min=f (t) =t2-2t-1。

(2) 当1∈[t, t+1], 即0≤t≤1时, g (t) =f (x) min=f (1) =-2。

(3) 当t+1<1, 即t<0时, f (x) 在[t, t+1]上是减函数, 故

评注:例2中函数的对称轴给定, 定义区间因含参数而位置不定, 故求解方法是依对称轴与区间的位置分三种情形讨论。

三、动轴定区间

例3.已知函数f (x) =x2+ax+3-a, 若x∈[-2, 2]时, f (x) ≥0恒成立, 求实数a的取值范围。

解析:本题即求在[-2, 2]上, f (x) 的最小值非负时实数a的取值范围。

由, 则讨论如下:

(1) 当, 即a>4时, f (x) 在[-2, 2]上是增函数, 则f (x) min=f (-2) =7-3a≥0, 得, 这与a>4矛盾, 舍去。

(2) 当-2≤-2a≤2, 即-4≤a≤4时, , 得-6≤a≤2, 从而可得-4≤a≤2。

(3) 当, 即a<-4时, f (x) 在[-2, 2]上是减函数, 则f (x) min=f (2) =7+a≥0, 得a≥-7, 又a<-4, 从而-7≤a<-4。

综上, 实数a的取值范围是[-7, 2]。

评注:例3中的函数区间确定, 而对称轴含参数不确定, 从而仍按对称轴与区间的三种位置关系讨论。

四、动轴动区间

例4.已知y2=4a (x-a) (a>0) , 求f (x) = (x-3) 2+y2的最小值。

解析:将y2=4a (x-a) 代入f (x) 中,

得f (x) = (x-3) 2+4a (x-a) =[x- (3-2a) ]2+12a-8a2, x∈[a, +∞)

(1) 当3-2a≥a, 即0<a≤1时, f (x) min=f (3-2a) =12a-8a2。

(2) 当3-2a<a, 即a>1时, f (x) min=f (a) = (a-3) 2。

评注:例4中的函数不定, 区间亦不定, 同样是按对称轴关于区间位置分情况讨论。

总之, 二次函数在闭区间上的最值, 受限于对称轴与区间的相对位置关系, 特别是其中的含参数最值问题, 注意“定”“动”结合, 合理突破, 所以, 分类讨论常常成为解决此类问题的通法。

摘要：二次函数 (fx) =ax2+bx+c (a≠0) 在闭区间[p, q]上的最值问题实质是利用函数的单调性, 就对称轴与区间的“定”“动”关系, 分类解析

篇9：求二次函数在闭区间上的最值问题

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.

（责任编辑钟伟芳）

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中学数学中的地位非常重要，它的单调性由a、b决定，即当a>0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递减，在[-b12a，+∞）上单调递增；当a<0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递增，在[-b12a，+∞）上单调递减.它的单调性比较复杂，因此对于求二次函数闭区间上的最值问题，特别是含参数的最值问题较麻烦，一直是高中数学中的难点.下面笔者分三种类型进行分析.

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.

（责任编辑钟伟芳）

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中学数学中的地位非常重要，它的单调性由a、b决定，即当a>0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递减，在[-b12a，+∞）上单调递增；当a<0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递增，在[-b12a，+∞）上单调递减.它的单调性比较复杂，因此对于求二次函数闭区间上的最值问题，特别是含参数的最值问题较麻烦，一直是高中数学中的难点.下面笔者分三种类型进行分析.

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.